CC BY
25
2017'3(34)
УД К-355.583
Войцеховский В.Ф., Мазаник А. И., Мухин В.И., Носов М.В.
МЕТОДИКА РАСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТИ СВЯЗАННОСТИ В СЕТЕЦЕНТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ОПОВЕЩЕНИЯ НАСЕЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ МЕТОДА ПОЛНОГО ПЕРЕБОРА ПРОСТЫХ РАЗРЕЗОВ
В статье рассматривается применение метода полного перебора простых разрезов (далее - МПППР) на основе использования его биномиальных коэффициентов (БК) для, расчета вероятности связности в сетецентрических системах оповещения населения (далее - ССОН). Приводятся примеры решения поставленной задачи.
Ключевые слова: метод, простой разрез (далее - ПР), биномиальный коэффициент, вероятность, связанность, сетецентрическая система оповещения населения.
Voitsekhovsky V.F., Mazanik A.I., Mukhin V.I., Nosov M.V.
THE METHOD OF CALCULATION OF THE PROBABILITY OF CONNECTEDNESS IN A NETWORK-CENTRIC SYSTEMS OF WARNING THE POPULATION BASED ON THE USE OF BINOMIAL COEFFICIENTS THE METHOD OF COMPLETE ENUMERATION OF THE SIMPLE CUTS
He article discusses the application of the method of complete enumeration simple chains (MPPPTS) based on its use of binomial coefficients (ВС) to calculate the probability of connectivity to network-centric system, of alert for population (SSON). Numerical experiments to solve this problem.
Keywords: method, a simple circuit (HRC), the binomial coefficient, probability, connectivity, network-centric system, of public notification.
1. Исходные положения и постановка задачи
Для повышения постоянной готовности действующих СОН необходимо применение сетецентрических принципов их организационно-технического применения [1, 2].
Оценка вероятности связности для таких СОН известными методами является чрезвычайно сложной и трудной задачей [3].
Первыми работами в области расчета надежности сетецентрических систем следует считать работы отечественных ученных В.А. Гада-сипа и H.A. Ушакова [4, 5]. В указанных работах показана теоретическая сложность решения такого класса задач и, несмотря на это, предложены методы точного и оценочного расчета структурной надежности сетецентрических систем управления на основе использования производящих функций.
Целью предложенной работы является обоснование принципиальной возможности применения МПППР по их биномиальным коэффи-
циентам для расчета вероятности связности в сетецентрических системах оповещения населения.
Задача расчета связности в двухполюсных сетях на основе использования метода полного перебора простых резервов сформулирована в работе [6].
В настоящей статье впервые решается задача расчета вероятности связности для сетецентрических СОН и предложен алгоритм ее решения на основе использования биномиальных коэффициентов БКга(п = МПППР.
При решении этой задачи используются следующие исходные данные.
Пусть ССОН характеризуется некоторым множеством ПР:
= {гп} ,п = 1 ,тк, (1)
где шд = - мощность множества ПР.
Каждый п-ый ПР гп включает некоторое подмножество Ьп е Ь = {¿^ = 1,т^} ребер,
где ть = - мощность множества ребер в
ссон.
Для этих исходных данных требуется определить вероятность связанности в ССОН при использовании БКга(п = МПППР.
2. Решение задачи
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой сложения вероятностей совместных событий [7], согласно которой в качестве совместных состояний могут быть использованы всевозможные комбинации из элементарных
Е ьоы = Е П - Е п Л Тз + Е п Л Тз Л Гк -.....+ (-1)тд V л г2 Л гз Л .... Л гтп, (3)
г I,]
где знаки сумм распространяются на различ- ляют собой биномиальные коэффициенты п-го ные значения индексов г; г, ]] г, ], к, и т.д. От- порядка следующего вида: дельно взятые суммы равенства (3) представ-
( с1
гг = БКп=1 = Стд = ш=f Кп=Т-;
С2
Г1 Л г2 = БКга=2 = С1 д = ЕШ=1Й КП=2ТШ;
С 3
< Г1 Л Г2 Л Г3 = БК„=3 = С^д = Еш=1й КП=3ГШ; (4)
ств.
(-1ГД-1Г1 Л Г2 Л Г3.....гтп = БКп=тп = = Еш=1й Кп=гп^.
V
С учетом равенств (4) формула (3) примет вид:
^ п
тк тк^тд
ЁЬ0= (-1)га-1 ^ БКп,млмЁщ,щ = (-1)га-1 ^ ^ Кп,ш. (5)
п=1 п=1 Ш=1
Вероятность QV0,Vi несвязности (далее - ВН), в соответствии с (5), определим следующим образом:
= (-1Г-1 Е = (-1)га-1 Е Е ). (6)
п=1 п=1 ш=1
конъюнкции ПР:
Кг = П Л Г2 Л ... Л ттк, (2)
взятые соответственно из их общего числа тд по п = 1,тд, т.е. С = С™ д.
С учетом этого положения определим событие несвязности Е,1)0,щ вершины ьо центры оповещения (далее - ЦО) с вершиной нижнего уровня оповещения Уг \г = 1,(1 пункта оповещения (далее - ПО) в ССОН следующим образом:
Формула (6) позволяет упростить
д.
"40, "»г
па
осно-
процесс вычисления ве применения алгоритма расчета по совокуппостиБК^ п =1,Шд[1].
Заметим, любая комбинация кп,ш € БКга характеризуется рангом р = представ-
ляющим собой некоторое число ребер, составляющих рассматриваемую комбинацию, т.е. р = 1,ть € Кп,ш
3. Пример решения задачи определения вероятности связности в ССОН
Практическое приложение рассмотренного в общем виде МПППР на основе использования совокупности БКга = , (п =1,тд) проиллюстрируем на примере ССОН, представленного на Рисунке 1,а.
В структуре этой ССОН имеется три ради-
альных ребра Ьр = {14,15,16} и три кольцевых получены четыре ПР (Рисунок 1,6) для разъ-ребра = {17,18,1д}, из которых могут быть единения вершины ьо с вершиной 1)1(1)2,
б)
Рисунок 1 Структура ССОН а) и ее ПР б)
Тогда, применительно к анализу несвязности вершины ьо с вершиной и\( 1)2,из) анализируемой ССОН по ПР (7), выражение (6) примет
вид:
д.ио,и1 = БКг -БК2 + БКз -БК4, (8)
гдс
БКг = Сг =
БК2 = С =
з
= с43 =
Кг,г = [гг = (к Л к Л к)]_ + Кг,2 = [г2 = (1т Л к Л кД + _ _ +К,з = [гз = (Iт Л14 Л_1б К,4 = Ь = (к Л к Л 15 Л 18)] ;
К2 г = [п Л г2 = (к Л 1,5 Л к Л 1т Л к)] + К2 2 = [гг Л г3 =
= (14 Л 15 Л 16 Л Iт Л у] +_К2_з =[г 1 Л Г4 = (14 Л 15 Л 1т Л 18 Л 19)] + +К24 =_[Г2 Л г3_ = (и Л 16 Л 1т Л 18 Л I 9)] + К25 =_[ Г2 Л г4 = _ _ = (14 Л 15 Л 1т Л 18 Л 19)]_ + К_2,6 = [гз Л Г4 = (14 Л Л 1б Л 1т Л 18 Л 19)] ; Кз,г_ = [гг Л Г2 Л Гз = (14_Л ^ Л 1б Л 1т Л ^ Л 19)] + Кз,2 = [гг Л г2 Л г4 =
= (14 Л 15 Л 16 Л Iт Л 18 Л 19) = (14 Л 15 Л 16 Л 1т Л 18 Л 19) = (14 Л 15 Л 16 Л 1т Л 18 Л 19)
+ Кз,з = [гг Л Гз Л Г4 = + Кз,4 = [г2 Л Гз Л Г4 =
(9)
БК4 = С44 = к4,_ = г 1 Л Г2 Л гз Л Г4 = (14 Л 15 Л 16 Л 1т Л 18 Л 19).
В [6, с. 34-35] показано: если функция алгеб- логического умножения и сложения заменяют-ры логики (далее ФАЛ) представлена в про- ся операциями арифметического умножения и извольной бесповторной форме, то при нерехо- сложения. С учетом этого положения значение де от ФАЛ к вероятностной функции операции БК примет следующий вид:
\я = 1,4 д(БК1) д(БК2) Ч(БК4)
(+) (") (+) (-)
3 - - -
4 2д* - - - 2д*
5
6 - -ч" 2д(
4д6
Таблица 1
Представление алгоритма расчета ВН по БКга=и и рангам их комбинации в табличном виде
Яь0,ы = ^(БК1) = (^ • ^ • ^ + q7 • • ^ + q7 • • ^ • ^ + дд • ^ • ^ • д8) - д(Б= = (Я4 • % • % • Ят • % + Я4 • Я5 • % • Ят • % + Я4 • Я5 • Ят • % • Яд +
+Я4 • Яв • Ят • % • % + Я4 • Я5 • Ят • % • % + Я4 • Я5 • Яв • Ят • % • Яд) + ^(БК3) = (10)
= (Я4 • Я5 • Яв • Ят • % • Яд + Я4 • Я5 • Яв • Ят • Я8 • Яд + Я4 • Я5 • Яв • Ят • Я8 • Яд+ +Я4 • Я5 • Яв • Ят • Я8 • Яд) - д(БК4) = ^ • ^ • дв • дт • ^8 • Яд.
После приведения подобных членов и вза- разными знаками, формула (10) примет вид: имного уничтожения одинаковых слагаемых с
= Я4 • Я5 • Яв + Ят • Я4 • Яд + Ят • Я4 • Яв • Я8 + Яд • Я4 • Я5 • Я8--(Я4 • Я5 • Яв • Ят • Яд + Я4 • Я5 • Яв • Ят • Я8 + Я4 • Я5 • Ят • Я8 • Яд+ +Я4 • Яв • Ят • Я8 • Яд + Я4 • Я5 • Ят • Я8 • Яд) + 2 • Я4 • Я5 • Яв • Ят • Я8 • Яд.
(11)
При исходных данных вида формулу (11)запишем как:
Я(1с=4Тд) = Я
=2д3 + 2д4 - Ъд5 + 2дв.
(12)
Рассматриваемый алгоритм расчета (^<ио{и1 по БКга=и и рангам их комбинации может быть представлен в виде Таблицы 1 [6].
По столбцам таблицы размещаются значения д(БКга=и), то строкам - ранги р = 3,6 всевозможных комбинаций из конъюнкций (2). На пересечении столбца д(БКга=и) и строки с рангом р = 3,6 проставляется значение комбинации я(Кп,ш) € ^(БКга=и), соответствующее рангу р = 3,6. Заполнение таблицы производится по-
следовательно, начиная с БКга=1.
Например, рассмотрим последовательность вычисления д(БКга=1) = С\ = 4 и представление полученных результатов в виде Таблицы 1 для условия, когда д(1^=4д) = д.
Очевидно (см. равенство 9), что справедливо выражение:
д(БКга=1) = {(Кц = д3) + (К 1,2 = д3) + (К 1,3 = д4) + (К1А = д4)} = 2д3 + 2д4. (13)
Первое слагаемое равенства (13) записываем в строке с рангом р = 3, второе - с рангом р = 4.
Далее, но аналогичной методике, переходим к выполнению расчета дляБКп=2; БКп=з; БКга=4.
В Таблице 1 суммирование значений д(БКп=\44) для получения конечного результата (^<и0,<и1 осуществляется как по строкам, так и но столбцам: в строках суммирование выполняется по величине ранга р = 3,6 комбинации Кп,ш £п=_4; в столбцах по п-му значению
БК^.
Заметим, что суммирование значений я(Кп,ш) с одним и тем же рангом р по строкам предпочтительнее, поскольку при этом взаимно уничтожаются комбинации конъюнкций с одинаковыми рангами, вероятности которых имеют разные знаки.
Из содержания Таблицы 1 следует, что точное значение в зависимости от способа суммирования (по строкам или по столбцам) может быть получено из выражения:
или
4 с^
(«о,1 =££^ = 2(1з + 4 - 595 + 296
п=зш=г
= £ Ц(п) = з + 2д4 - (5д5 + д6) + 4д6 - д6 = 2дз + 2д4 - 5д5 + 2д6.
п=г
(14)
(15)
Таким образом, табличная форма алгоритмизации процесса вычисления позволяет осуществлять контроль последовательности и точности получения конечного результата и упрощает вычислительный процесс в силу того, что размер таблицы но биномиальным коэффициентам БКп(п = 1,тя) сокращается относительно таблицы, включающей все комбинации К п,ш (п = 1,тк;ш = 1,С'пл )■
Для исходных данных вида д( 1^=4-9) = д = 0,1 точное значение ( вершин ьо и ы ССОН
(Рисунок 1) согласно (1) будет равно: =
0,002. Тогда Р^= 1-^1= °'998-
Полученный результат означает, что ее-тецентри чеекий принцип организационно-техничеекого построения СОН существенно увеличивает постоянную готовность относительно радиального принципа построения (Рисунок 2).
Действительно, применительно к Рисунку 2 и аналогичным исходным данным, что и для
о
г>1 будет составлять величину Р^ = 0,9.
Рисунок 2 Радиальный принцип построения СОН для 3-х направлений оповещения
Выполним еще один сравнительный эксперимент следующих) содержания.
Сравнительную оценку рассмотренных выше вариантов структур целесообразно провести при одинаковом количестве ребер.
технических) построения (далее ОТП) СОН, в котором в радиальных направлениях оповещения ¡4,1$ и 1б дополнительно используется резервное ребро соответственно 1д, Рисунок 3.
Для этого рассмотрим вариант организационно-
Рисунок 3 Вариант ОТП СОН с резервированными направлениями оповещения
Тогда связность по радиальным направле- соответственно равна: ниям оповещения для такой структуры будет
= = = 1 - [! - Р(14)] [1 - Р(17)] [1 - рМ = 0,998.
Следовательно, для предложенного варианта ОТП СОН вероятность связности любого направления оповещения (например Ру0 = 0,99) оказывается меньше, чем при использовании еетецентричеекого принципа ОТП СОН, при котором Р,ио ,у\ = 0,998.
Заключение
Показано, что еетецентричеекий принцип ОТП СОН является более эффективным для
(16)
принятых исходных данных относительно рассматриваемых радиальных принципов ОТП СОН.
Предложенный алгоритм расчета вероятности связности в ССОН позволяет определить ее точное значение и обеспечивает снижение трудоемкости вычислений относительно использования поэлементных комбинации МПППР [6].
Литература
1. Носов М.В. Комбинаторные методы анализа качества функционирования и модернизации систем оповещения населения. АГЗ МЧС России. 2014. 304 с.
2. Попов Н.М. Сетецентрические войны // Национальная оборона. 2011. № 2. С.24.
3. Гэри М.. Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. Мир. 1982. 241 с.
4. Гадасин В.А.. Ушаков H.A. Надежность сложных информационных управляющих систем: Радио и связь. 1975. 115 с.
5. Гадасин В.А.. Гадасин Д.В. Надежность двухполюсных сетей с аддитивной структурой. Автоматика и телемеханика.- 1999. № 10. С. 42.
6. Рябинин H.A. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. СПб.: Политехника. 2000. 218 с.
7. Вентцель E.G. Теория вероятностей. Наука. 1969. 576 с.
