Методика оценки риска инвестиционного проекта с использованием неопределенно-множественной модели с гауссовой функцией принадлежности Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

9(99) - 2012

Математические методы анализа

в экономике

УДК 368.025.6: 620 (045)

методика оценки риска инвестиционного проекта с использованием неопределенно-множественной модели с гауссовой функцией принадлежности

Т. С. ГНУНИ,

кандидат технических наук, доцент кафедры управления и экономики предприятий энергетической отрасли E-mail: Tigran. Gnuni@energinst. am Государственный инженерный университет Армении, ЗАО «Научно-исследовательский институт энергетики»

Рассмотрены вопросы оценки риска инвестиционного проекта в условиях неопределенности показателей экономической эффективности проекта. Получены аналитические выражения для расчета величины риска инвестиционного проекта, основанные на использовании неопределенно-множественной модели с гауссовой функцией распределения. Практическое применение полученных выражений позволит потенциальным инвесторам принимать обоснованные решения о целесообразности реализации инвестиций.

Ключевые слова: инвестиционный, проект, чистая приведенная стоимость, критерий, эффективность, нечеткое число, функция принадлежности, риск, функция потерь.

Для обоснования целесообразности реализации инвестиционных проектов в международной практике наиболее широкое применение нашли показатели, определяемые на основании исполь-

7х"

зования концепции дисконтирования, в частности внутренняя норма доходности IRR и чистая приведенная стоимость NPV [6, с. 262]. Если решение об инвестировании принимается в условиях определенности, когда исходные данные детерминированные, то чистая приведенная стоимость определяется по известной формуле:

r CF C

NPV = - IC +

- + -

(1)

=1 (1+гУ (1+гг+1Г

где 1С - стартовый объем инвестиций; Т - срок жизни проекта;

CFt - оборотное сальдо поступлений и платежей в 7-м году;

С - ликвидная стоимость чистых активов, сложившаяся к концу срока жизни проекта; г7 - ставка дисконтирования в 7-м году. Любой инвестиционный проект сопряжен с рисками его нереализации, неэффективности или меньшей эффективности, чем ожидалось. По оцен-

27

кам Мирового банка, на стадии предынвестицион-ного обоснования инвестиционного проекта расчетные показатели его экономической эффективности могут отличаться от реальных почти наполовину.

Основная причина возникновения рисков инвестиционного проекта связана, в частности, с тем, что все переменные правой части формулы (1) являются недетерминированными величинами, т. е. в момент принятия решения об инвестировании проекта являются факторами неопеределенности. В современной трактовке под риском, в широком смысле, понимают возможность отклонения от предполагаемого результата. При этом вопрос о методах количественной оценки факторов неопределенности и риска продолжает оставаться одним из наиболее сложных и наименее разработанных научных проблем.

В теории статистических игр для количественной оценки последствий от принятия решений используется понятие функции потерь [2, с. 176]. В общем случае они зависят не только от принятого решения u, но и от реальной ситуации, описываемой параметрами 9. Функцией риска называют математическое ожидание функции потерь, определяемое на основе выражения:

Risk (u) = JJ L(u, 9, z)P(z|9)W (9)dzd9, (2) где Risk(u) - количественная оценка риска от принятия решения и;

z - данные результатов наблюдения;

L(u, 9, z) - функция потерь от принятого в

ситуации 9 решения u;

P(z| 9) - функция правдоподобия, представляющая собой условную вероятность наблюдаемых в ситуации 9 данных z;

W(9) - плотность распределения вероятностей возможных ситуаций 9 е 0 . Для оценки уровня инвестиционного риска используются различные экономико-статистические, экспертные и аналоговые методы [1, с. 65; 3, с. 204; 4, с. 75-80], основанные, как правило, на:

1) анализе чувствительности инвестиционного проекта, сущность которого состоит в оценке влияния какого-либо параметра проекта на его результаты при условии, что прочие параметры остаются неизменными;

2) имитационном моделировании, в ходе которого математическая модель определения какого-либо показателя экономической эффективности проекта подвергается ряду имитационных прогонов, в каждом из которых исходные данные полагаются случайными величинами;

3) сценарном моделировании, в котором рассматриваются несколько примерно одинаково вероятных, но значимо контрастных гипотетически или математически спрогнозированных вариантов будущего развития проекта. В последее время для оценки уровня инвестиционного риска все большее применение находят новые подходы, основанные на использовании нечетко-множественных моделей [5, с. 181; 8, с. 504; 9], в которых функция принадлежности представляется в упрощенной многоугольной форме, как правило треугольной. Основными достоинствами такого представления являются простота модификации параметров и значительное упрощение расчетов, а недостатком - невыполнение аксиом Шваба о непрерывности первой и второй производных и минимальном значении кривизны [7].

В настоящей статье для дальнейшего развития методических основ нечетко-множественного моделирования рассмотрены вопросы оценки риска инвестиционного проекта для модели, заданной гауссовой функцией принадлежности с ограниченным носителем, описываемой выражением:

^А (Х) =

exp

x - b

для b - Х< x < b + X;

0 в других случаях, (3)

где ДА(х) - гауссова функция принадлежности; b - модальное значение функции принадлежности;

с - параметр, задающий ширину функции принадлежности;

X - параметр, задающий узловые точки функции, ограничивающие ее носитель. Пример гауссовой функции принадлежности представлен на рис. 1, где для упрощения дальнейшего изложения функция принадлежности да(х) задана в L - R(L - Left, левый; R - Right, правый) представлении [7, с. 798].

Если носитель функции ограничен узловыми точками, то в соответсвии с основными понятиями теории нечетких множеств можно говорить о том, что область определения носителя установлена на уровне а^-среза так, что:

Ааmin = {x| ДA (x) ^ОптЬ

где Аа - множество уровня а;

amin - минимальный уровень среза, характеризующий степень различимости границ носителя. Если минимальный уровень а-среза задан с точностью до amin = дА (b - X) = дА (b + X) = s Ф 0,

2

Рис. 1. Пример гауссовой функции принадлежности ц(х) с параметрами Ь = 5, ст = 1,5 и X = 3,2

то после ряда несложных преобразований выражение (3) примет следующий вид:

Ц л (x) =

x-b > X 12

A =

b-X

ln a

b + X,

ln a

,Va>s.

7х"

терия эффективности инвестор может расчитывать на стратегические выгоды, связанные, например, с преодолением рыночного барьера.

Пусть нечеткие числа NPVи О заданы гауссовыми функциям принадлежности цИрДх) и цО(х) с модальными значениями ИРУ и О и узловыми точками ИРУ ±Х ИРУ и О ±ХО соответственно, а также удовлетворяющими условию 8 ИРУ = 8О = 8. Тогда в зависимости от величины этих значений можно выделить три характерных случая взаимного расположения функций принадлежности:

NPV - G < 1 и NPV - G

если

x - npv xg x npv + xg

< 1, то функ-

ции lNPV(x) и |G (x) пересекаются в двух точках с координатами

(

Е^' г для Ь -Х< X < Ь + Х, 0 в других случаях. Для любого а-среза гауссовой функции с ограниченным носителем множество уровня Аа может быть задано интервалом:

P( X, М = P

P2(X2' M = P2

^ • NPV + Xnpv • G

xg + xnpv

V Л

и

^ • NPV-Xnpv • G

xg _ xnpv

npv-g i2 ^

V

NPV - G > 1 и NPV - G

если

X - npv xg X npv + xg

ln s' У ln s

В соответствии с общепринятыми подходами [5] инвестиционный проект признается эффективным, если оцененное по выражению (1) значение NPV больше некоторого критериального уровня G, задаваемого, как правило, на основе предпочтений инвестора. Поскольку входные переменные правой части формулы (1) являются нечеткими, то и значение NPVтакже является нечетким числом. В общем случае нечетким является также значение критериального уровня G.

Инвестор, руководствуясь, как правило, не только тактическими, но и стратегическими целями, не всегда может определить четкое значение критерия эффективности проекта. В наиболее распространенном случае модальное значение критерия эффективности может быть принято на уровне G = О , если обеспечена приемлемая для инвестора величина ставки дисконтирования /• = const = IRR.

Неоднозначным также является ответ на вопрос о том, что понимать под эффективностью на момент завершения инвестиционного процесса, поскольку даже при отрицательном значении кри-

; (4)

< 1, то функ-

ции цИру(х) и цО(х) пересекаются в одной точке с координатами р (х1, ), вычисленными в соответствии с выражением (4);

3) если

NPV - G

x npv + xg

> 1, то функции |NPV(x) и |G(x)

не пересекаются.

Рассмотрим приведенный на рис. 2 типичный пример, когда исходные данные нечетко-множест-

1 fl

0,8 ■

0,4 ■ 0,2 J > \ h ' \

¡\ \ \ /' \ \

У V V

-6 -4 -2 0 2 4 6 0 10 12 14 16 -NPV --G

Рис. 2. Гауссовы функции принадлежности |npv(x) и |G(x) с параметрами NPV = 5 и XNPV = 10; G = 3 и XG = 4

29

G 1 '-NPV

венных моделей с гауссовыми функциями принадлежности удовлетворяют неравенствам NPV > G

и ^npv >

Точка пересечения P1 функций Дд^ (х) и д, (x) называется верхней границей зоны риска, поскольку для любого среза а > P1 выполняется, в принятых на рис. 1 обозначениях, условие LNPV(х) > RG (x), и, следовательно, ситуация риска отсутствует. Если уровень а-среза расположен ниже верхней границы зоны риска, т. е. в < а < P1, то возникает ситуация риска.

Рассмотрим представленную на рис. 3 ситуацию, возникающую, например, на срезе а = 0,7.

Данная ситуация характеризуется пространством элементарных событий у е Y, ограниченным прямоугольником, образованным от пересечения прямых NPV = LNpДx), NPV = RNpv(x), G = LG(x) и

G = ^Дх).

В качестве решающего правила для определения зоны риска примем {г е Z с У^ > NPV}, а в качестве функции потерь -

, [ 1 если у = z; l(и,e, z) = ■]

10 в других случаях .

Поскольку возникновение любого события у е У на пространстве элементарных событий равновероятно, то функция правдоподобия P( z| е) может быть найдена на основе геометрического определения вероятности попадания зоны риска в рассматриваемое пространство элементарных событий [5].

Если в качестве меры пространства элементарных событий У принять площадь ограничивающего

-6-

¿1 -

NPI

У

Rg(X)

Рис. 3. Пример ситуации, возникающей на срезе а = 0,7

ее прямоугольника £у, а зоны риска Z - площадь отсекаемой от этого прямоугольника в соответствии с решающим правилом фигуры Бг, то по оп-£

ределению P( z| е) = —. Зона риска г е Z на срезе

Бу

а = 0,7 представлена на рис. 3 в виде затемненного треугольника.

Поскольку возникновение любой ситуации, т. е. появление любого значения среза а = [в, 1] равновероятно, то можно говорить о непрерывном равномерном распределении случайной величины 0 ~ и [в, 1], плотность распределения вероятностей которой при в << 1 по определению ЩБ) = 1.

Поскольку в соответствии с условиями рассматриваемого примера и выражением (4) функции принадлежности д^Дх) и д^х) в общем случае пересекаются в двух точках, то для оценки риска можно ограничиться рассмотрением трех характерных зон возможных ситуаций, возникающих на срезах а0 = [др 1], а1 = [д2, ц1], и а2 = [в, д2]. Функции правдоподобия для каждой из зон запишутся в виде:

£

p( г е)=^=

0, если д1 < д < 1;

[ r (x) lnpv ( x)]

2[rg (x) - lg (x)][rnpv (x) lnpv ( x)] если д2 < д < д1;

rg ( x) + lg (x) 2lnpv ( x)

если s < д < д2.

2[ Rnpv ( x) - " Lnpv ( x)]

С учетом изложенного и после ряда преобразований выражение (2) может быть переписано в виде:

Risk (u) = Riskl (u) + Risk2 (u) =

* G - NPV + Xnpv

1П(д) ln(e)

Мд)

' ln(e)

d * +

(G - NPV)2 + 2(G - NPV)(Xg + Xnpv )

+

ln(*)

ln(8)

+ (xg npv )

ln(*) ln(8)

npv xg

ln(*) ln(8)

d*. (5)

2

Для решения интегралов Risk1(u) и Risk2(u) по частям запишем выражение (5) в виде следующих двух выражений:

^(и)=^^ I Щ* д+21а

2X,

Risk2 (u) =

(G - NPV)2 ? ln(8)

8Xnpvxg j ln(*)

(G-NPV)(Xnpv +K1J /ln(8)

4x npv xg

1П(ц)

8xnpv xg ц2

Решение интеграла Riskl(u) таково:

(u) = ^,/R8)(G - NPV) erf ^)

2X,

где erf /'(ц) = -i erf (i ц) - мнимое значение функ-

2 Г Л

ции ошибок erf (ц) = —^=1 e~ dt, которая

Vn i

может быть представлена в виде ряда

rf() 2 ,(-1)" Ц2"+1

erf ( ц = -;=, ( +Л• Vn "=i n!(2n +1)

С учетом того, что 8 << 1 и ц < 1, а значит, ln(8) < 0 и ln( ц) < 0, подкоренные выражения в правой части (6) могут быть записаны в виде

V'n(8) = i^|ln(8)| и ^/ln(ц) = ij|ln(ц)|. После подстановки их в выражение (6) и некоторых преобразований, получим:

т/йу!|ln(8)|(NPV - G)

Risk1 (u) = -

2X,

-erf (^Ьаф

2

R^iu)=l«^NPV -G)2 m

npv xg

- G)(xnpv + ^g)

npv xg

erf ^Tl^C^^)

(xnpv + xg ) ,, |mi

npv xg

-дГ

г 1ц

(8)

где li(ц) = J— для 0 < ц <1 - интегральный NPV > G и Xnpv >xg позволяет прийти к ряду

J In (t\ аг\ a attt о mitttiv тотлтт1лттр11т1т1'

в выражение (7) соответствующих значений 1 и д2 с учетом того, что из в << 1 следует |1п(в)| >> 1 и «1, окончательно получим:

1) если |S I =

NPV - G

X

лnpv лg

< 1 и |5,| =

NPV - G

x npv + xg

< 1,

то

dц + +xg )2 J d^

(6)

2)

Risk1 (u) = -

yfn^l|ln(8)|(NPV - G)

2X,

М^^Щ] -1} + -

8°' -8

2

Risk2 (u) =

ln(8)(NPV - G)2

8X npv xg

2ln

Xnpv -Xg j + jj[ln(8)]"(52"-52") VXnpv +Xg J "=1 "!"

+

+ л/Л^Ш^NPV - G)(Xnpv +Xg)

4x npv xg

{erf[5^jm(8)] - erf^^)]}

+

+

(xnpv + xg ) , 52 5? ч

-- (8 2 -8 1);

от, T, 4 "

(9)

•(7)

Аналогично решением интеграла Risk2(u) является

если 5J > 1 и 52 < 1, то

Risk = 0;

Risk2(u) =

ln(s)(NPV - G)2

8Xnpv Xg

[2ln(52) + ±[h,(8)]"(52" -

n!n

4^$m\(NPV - G)(XnpV + Xg)

4xnpv xg

(erf^TM] -1}-

(x npv +xg )2

8Xnpv Xg

(b52-e); (10)

3) если |52| > 1, то Risk^u) = Risk2(u) = 0.

Анализ полученных выражений (9) и (10) для рассматриваемого примера с исходными данными

,1п(Г)

логарифм, который может быть представлен в

гг ч 1 11/ ^ [1п(д)]И

виде ряда «(д) = 1п 1п(д) + > ---.

п!п

В рассматриваемом примере для каждого из приведенных выше трех случаев взаимного расположения функций принадлежности после подстановки

обобщающих заключений: 1) если G ^ NPV, то для Xg <<xnpv следует, что |5j ^ 0 и |52| ^ 0 и в соответствии с выражением (9) Riskl(u) ^ 0,5 и Risk2(u) ^ 0, а для XG ^ XNPV следует, что |5j > 1 и |52| ^ 0 и в соответствии с выражением (10) Riskx(u) ^ 0 и Risk2(u) ^ 0,5;

7х"

31

2

n=i

2) если G << NPV, то возрастает вероятность непересечения функций принадлежности, и, следовательно, Risk (u) — 0;

3) если XG — 0, то из выражения (4) следует, что ц2 — ц1, а из выражения (8) - что Risk2(u) — 0, и значение риска определяет величина Risk1(u);

4) если XG — XNPV, то возрастает вероятность перечения функций принадлежности в одной точке, следовательно, Risk1(u) — 0, и значение риска определяет величина Risk2(u).

Таким образом, в рассматриваемом примере область определения величины риска в зависимости от взаимного расположения функций принадлежности ограничена интервалом Risk (u) = [0...0,5]. Значение M = 0,5 верхней границы области определения функции риска, т.е. VRisk (u) е E: Risk (u) < M. обусловлено симметричностью гауссовой функции принадлежности относительно ее ядра core (NPV) = {x: цNPV (x) = 1, x е X}.

Если изменить исходные условия нечетко-множественной модели на NPV < G и XNPV >XG, то получим зеркальное отображение рассмотренного выше примера.

Нетрудно убедиться, что для расчета величины риска в этом случае можно воспользоваться следующим приемом. Если вместо функции принадлежности ^G(x) с модальным значением G и узловыми точками G ± XG ввести функцию принадлежности

mG(x) с модальным значением G1 = 2NPV — G и

—i

узловыми точками G ±XG, то задача оценки величины риска Risk1(u) сводится к рассмотренной выше.

Поскольку функция принадлежности mG (x) является зеркальным отображением функции принадлежности (x), то величина риска Risk^(u) равнозначна величине ожидаемой полезности рассматриваемой нечетко-множественной модели с NPV < G и XNPV >XG, а следовательно, величина риска для исходной задачи может быть определена так: Risk (u) = 1 - Risk1(u).

Анализ возможных ситуаций для модели с исходными данными NPV < G и XNPV > XG позволяет прийти к следующим заключениям:

1) если G — NPV, то Riskx(u) — 0,5; следовательно, Risk (u) = 1 - Risk1— 0,5;

2) если G >> NPV , то возрастает вероятность непересечения функций принадлежности, и, следовательно, Risk (u) - 1;

3) если XG - 0, то из выражения (8) следует, что Risk\ (u) — 0, и значение риска определяет величина Risk = 1 — Risk (u).

4) если XG — XNPV, то возрастает вероятность пересечения функций принадлежности в одной точке и, следовательно, Risk1 (u) — 0, и значение риска определяет величина Risk = 1 — Risk\ (u). Аналогичным образом, используя понятие величины ожидаемой полезности, могут быть определены величины рисков для нечетко-множественных моделей с гауссовыми функциями принадлежности, исходные данные которых удовлетворяют неравенствам NPV > G и Xnpv <XG, а также NPV < G

и X npv <xg ■

Выводы

1. В статье предложена методика оценки риска инвестиционного проекта в условиях неопределенности показателей его экономической эффективности, заданных нечетко-множественной моделью с гауссовой функцией принадлежности.

2. Получены аналитические выражения для расчета вличины риска инвестиционного проекта для нечетко-множественной модели с гауссовыми функциями принадлежности, исходные условия которых удовлетворяют неравенствам NPV > G и Xnpv >Xg , NPV < G и XNPV >XG, NPV > G и XNPV <XG, NPV < G и XNPV <XG ■

3. Использование полученных аналитических выражений позволит потенциальным инвестрам принимать обоснованные решения о целесообразности реализации инвестиционного проекта.

4. Недостатком рассмотренной нечетко-множественной модели является симметричность гауссовой функции принадлежности относительно ее ядра. Целесообразно продолжить аналогичные исследования для несимметричных функций принадлежности.

Список литературы 1 ■ Гнуни Т. С. Основы разработки бизнес-планов: метод. указания. Ереван: Изд-во Чартарагет, 2009.

2. Дубров А. М., Лагоша Б. А., Хрусталев Е. Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: учеб. пособие / под ред. Б. А. Лагоши. М.: Финансы и статистика, 2000.

3. Колмыкова Т. С. Инвестиционный анализ: учеб. пособие. М.: ИНФРА-М, 2009.

4. Мамий Е А., Байбуртян М. А. Методические подходы к анализу рисков инновационных проектов // Финансы и кредит. 2011. № 15.

5. Недосекин А. О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций. СПб: Сезам, 2002.

6. Непомнящий Е. Г. Инвестиционное проектирование: учеб. пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003.

7. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление: пер. с англ. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.

8. Теплова Т. В. Финансовый менеджмент: управление капиталом и инвестициями: учебник для вузов. М.: ГУ ВШЭ, 2000.

9. Buckley J. The fuzzy mathematics of finance// Fuzzy Sets & Systems. 1987. № 21.

SAM посчитает SAM сэкономит SAM защитит

Управлять программными активами —

выгодно и просто.

Закажите консультацию прямо сейчас:

Телефон: +7 (495) 232-00-23. Электронная почта: sam-info@softline.ru Сайт: www.sam-audit.ru

souline

7""

33