Модели принятия решений на основе нечетких множеств Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

^(саНамшса-млтемлтШ'еасае

моуели^а&гНие

МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИИ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

Н. А. КОЧУБЕЙ,

аспирант кафедры информационных технологий

E-mail: nkochubey@inbox. ru Московская финансово-промышленная академия

В статье рассматривается модель учета неопределенности во время принятия решения в инвестиционной деятельности. С помощью описанного в статье подхода устранятся недостатки вероятностного и минимаксного подходов, связанные с учетом неопределенности. На основе нечетко-множественного подхода разработана модель оценки эффективности и риска инвестиционного проекта.

Ключевые слова: принятие решений, нечеткие множества, эффективность, инвестиции.

Проблемы принятия решений в усложненных условиях занимают в данное время особое место в информационных технологиях. Математические методы стали широко применяться для описания и анализа сложных экономических, социальных и других систем. Теория оптимизации создала совокупность методов, которые помогают при использовании ЭВМ эффективно принимать решение при известных и фиксированных параметрах. Основные трудности возникают, когда параметры оказываются неопределенными (хотя, возможно, и не случайными) и в то же время, когда они сильно влияют на результаты [1]. В ситуациях, которые требуют утверждения стратегических решений, дополнительно присутствует неопределенность, порожденная поведением потенциальных конкурентов, которые имеют возможность инвестировать в аналогичный проект. Решение этих проблем требует разработки адекватных экономико-математических моделей инвестиционных решений в условиях неопределенности [3]. Оттого, насколь-

ко рационально сформирована инвестиционная политика, зависят стойкость и эффективность деятельности предприятия.

В условиях непрерывного и непрогнозируемого изменения факторов внешней среды постоянное возникновение новых ситуаций порождает для субъекта бизнеса новые угрозы и новые возможности [2, 3]. Поскольку инвестиционный риск характеризует вероятность возникновения непредусмотренных финансовых потерь, его уровень при оценке определяется как отклонение ожидаемых доходов от средней или расчетной величины. Поэтому оценка инвестиционного риска всегда связана с оценкой ожидаемых доходов и их потерь. В то же время недостаточно изучены вопросы влияния на инвестиционные решения неопределенности, связанной со случайными колебаниями спроса на плановый выпуск продукции и ресурсы, а также неопределенности налоговой среды, в которой функционируетпредприятие [2].

Анализ современных методов и моделей принятия инвестиционных решений. Принятие решений инвестиционного характера, как и любой другой вид управленческой деятельности, основывается на использовании различных формализованных и неформализованных методов и критериев. В отечественной и зарубежной практике известен целый ряд методов, с помощью которых расчеты могут служить основой для утверждения решений в области инвестиционной политики [1, 3,4]. Однако какого-то универсального метода для всех случаев жизни не существует.

Критерии, используемые в анализе инвестиционной деятельности, можно разделить на две группы в зависимости оттого, учитывается или нет временной параметр. Это методы, основанные на дисконтированных оценках (динамические методы) и на учетных оценках (статистические методы).

Для оценки финансовой эффективности проекта обычно применяют динамические методы, основанные преимущественно на дисконтировании тех денежных потоков, которые образуются в ходе реализации проекта. Общая схема всех динамических методов оценки эффективности в принципе одинакова и основывается на прогнозировании позитивных и негативных денежных потоков (расходов и доходов, связанных с реализацией проекта). Общим недостатком перечисленных подходов к оценке эффективности инвестиционного проекта является требование определенности входных данных, которая достигается путем применения средневзвешенных значений исходных параметров инвестиционного проекта, который может привести к получению значительно смещенных точечных оценок показателей эффективности и риска инвестиционного проекта. Очевидно, что требование детерминированности входных данных является неоправданным упрощением реальности, поскольку любой инвестиционный проект характеризуется множеством показателей неопределенности. Именно факторы неопределенности определяют риск проекта, т. е. опасность потери ресурсов, недополучения доходов или появления дополнительных расходов.

Среди разных подходов к моделированию в условиях неопределенности можно выделить три основных подхода: вероятностный, нечетко-множественный и экспертный. Как свидетельствует опыт [1,3,4], эффективность применения подходов на основе вероятностных, нечетко-множественных и экспертных описаний зависит от уровня и характера неопределенности, связанной с конкретным заданием. Действительно, по мере увеличения неопределенности классические вероятности уступают место, с одной стороны, субъективным (аксиологическим) вероятностям, основанным на экспертных оценках, а с другой стороны, нечетко-интервальным описаниям, выраженным в виде функций принадлежности нечетких чисел или, в частном случае, в виде четкого интервала.

Но в существующих подходах [2, 3] денежные потоки от реализации инвестиционного проекта интерпретируются как поступления от безрисковых вложений, что приводит к невозможности проведения анализа эффективности инвестиционного

проекта в условиях неопределенности. Применение коэффициентов достоверности в такой интерпретации делает принятие инвестиционных решений произвольным и при формальном подходе может привести к серьезным ошибкам и к последующим негативным последствиям для предприятия. Возникает необходимость выполнения достаточно большого объема работы по отбору и аналитической обработке информации для каждого возможного сценария развития, и, как следствие, наблюдается эффект ограниченного числа возможных комбинаций [4]. Также велика доля субъективизма в выборе сценариев развития при определении вероятности их возникновения.

При анализе долгосрочных инвестиционных проектов необходимо прогнозировать во времени будущее состояние большого числа неопределенных параметров рыночной конъюнктуры, поэтому абсолютно точный прогноз получить практически невозможно. При прогнозировании экономической эффективности и оценки риска реализации инвестиционного проекта ключевым является проявление неопределенности числовых параметров планируемого проекта. Неустранимая неопределенность порождает такой же неустранимый риск принятия инвестиционных решений [4]. Следовательно, при проведении прогнозов необходимо учитывать факторы неопределенности, которые обусловливают риск по определенным показателям эффективности. Таким образом, наличие разных видов неопределенности приводит к необходимости адаптации показателей оценки экономической эффективности проекта на основе применения математических методов, которые позволяют формализовать и одновременно обрабатывать разные виды неопределенности.

Следовательно, применение нечетких чисел к прогнозу параметров позволяет задавать расчетный коридор значений прогнозируемых параметров, а не формирует точечных вероятностных оценок. Различие между нечеткостью и случайностью приводит к тому, что математические модели во многих отношениях проще в силу того, что понятию вероятностной меры в теории вероятности отвечает более простое понятие функции принадлежности в теории нечеткого множественного числа. По этой причине даже в тех случаях, когда неопределенность в процессе принятия решений может быть представлена вероятностной моделью, обычно удобнее оперировать методами теории нечетких множеств без привлечения аппарата теории вероятности [4]. Такой подход дает приближенные, но в то же время

эффективные способы описания поведения систем, настолько сложных и плохо определенных, что они не поддаются точному математическому анализу. В каждом конкретном случае мера точности решения может быть согласована с требованиями задания и точностью данных. Подобная гибкость составляет один из важных принципов данного подхода.

Моделирование принятия инвестиционных решений в условиях неопределенности. Предлагаемая модель основана на информации о размере первичных вложений, ожидаемых доходов от деятельности, а также о размере некоторых других параметров. Модель описывает алгоритм действий инвестора во время процесса принятия решения об инвестировании. Результатом моделирования является определение интервала чистой приведенной стоимости (МРУ) и вероятности риска. Определение параметров модели осуществляется с учетом ограничений: все инвестиционные вложения осуществляются в начале инвестиционного процесса; оценка ликвидационной стоимости проекта осуществляется по окончании срока жизни проекта; ставка дисконтирования зависит от конкретного периода.

Используется оценка эффективности проекта на основании расчета чистой приведенной стоимости [4]. Этот подход основан на сопоставлении величины исходной инвестиции с общей суммой дисконтированных чистых денежных поступлений, которые генерируются в течение прогнозированного срока. Поскольку прилив денежных расходов распределен во времени, он дисконтируется при помощи коэффициента г, который устанавливается исходя из ежегодного процента возвращения капитала, который инвестируется.

КРУ = у Рк . -1, Г (1 + г)к '

где ИРУ— чистая приведенная стоимость;

к — количество проектов;

Рк — вероятность риска по к-му проекту;

г — ставка;

I— стартовый объем инвестиций.

Во время прогнозирования доходов по годам учитываются все виды доходов как производственного, так и непроизводственного характера, которые могут быть ассоциируемы с данным проектом. Таким образом, если по окончании периодареали-зации проекта планируется поступление средств в виде ликвидационной стоимости оборудования или высвобождения части оборотных средств, они учитываются как доходы соответствующих периодов.

Если проект предусматривает не разовую инвестицию, а последовательное инвестирование

финансовых ресурсов в течение т лет, то формула для расчета ЖРКмодифицируется таким образом:

Р т I,

ЫРУ = У-

I

к -1 (1 + г У ,1(1 + г У Необходимо отметить, что показатель ИРУ отображает прогнозную оценку изменения экономического потенциала предприятия в случае принятия данного проекта. Этот показатель является аддитивным во временном аспекте, т. е.:

КРУ = -1 + + С (!)

+г,) • (1+гм) к+15 где Ы— число плановых интервалов инвестиционного процесса, соответствующих сроку жизни проекта;

А У{ — оборотное сальдо доходов и платежей в /-м периоде;

г;. — ставка дисконтирования, избранная для /-го периода с учетом оценок ожидаемой стоимости используемого в проекте капитала; С — ликвидационная стоимость чистых активов, которая сложилась в ходе инвестиционного процесса.

Инвестиционный проект признается эффективным, когда ИРУ, оцененная при помощи формулы (1), больше определенного проектного уровня О [4].

В показателях модели Ж'Коценивается при помощи формулы (1) в постоянных (реальных) ценах. Ставка дисконтирования планируется такой, чтобы период начислений процентов на привлеченный капитал совпадал с соответствующим периодом инвестиционного процесса. (N+1) -й интервал не относится к сроку жизни проекта, а выделен в модели для фиксации момента завершения денежных взаиморасчетов всех сторон в инвестиционном процессе (инвесторов, кредиторов и дебиторов) по кредитам, депозитам, дивидендам и т.д., когда итоговый финансовый результат проекта сделается однозначным. В модели задается следующий набор нечетких чисел для анализа эффективности проекта:

• /=(/ ,/ ) — инвестор не можетточно оценить,

^ тт? тах7 * '

каким объемом инвестиционных ресурсов он будет владеть на момент принятия решения;

• г, = (г;. т[п, г, тах) — не может точно оценить стоимости капитала, используемого в проекте (соотношение собственных и ссудных средств, а также процент по долгосрочным кредитам);

• АУ1 = (Кт;п, Ктах) - прогнозируется диапазон изменения денежных результатов реализации проекта с учетом возможных колебаний цен на продукцию, которая реализовывается, стоимости потребляемых ресурсов, условий налогообложения ит.д.;

• С = (С С ) — инвестор нечетко представ-

^ тт> шах7 * * ^

ляет себе потенциальные условия будущей продажи бизнеса или его ликвидации;

• 0 = (От.п, Стах) — нечеткий критерий, по которому проект может быть признан эффективным. В том случае, если какой-либо из параметров А

однозначно заданный, то нечеткое число А вырождается в недействительное число А с выполнением условия а . =а=а . При этом суть метода остается

^ шт тах г 1

неизменной. Инвестор, избирая ожидаемую оценку, руководствуется, возможно, не только тактическими, но и стратегическими рассуждениями. Таким образом, он может позволить проекту быть даже несколько убыточным, если этот проект диверсифицирует деятельность инвестора и повышает надежность его бизнеса. Как вариант инвестор реализует демпинговый проект, компенсацией за временную убыточность станет захват рынка и сверхприбыль, но инвестор хочет отсечь сверхнормативные убытки на той стадии, когда рынок уже будет переориентирован в его пользу. Или, наоборот, инвестор идет на повышенный риск для прироста средней взвешиваемой прибыльности своего бизнеса.

Таким образом, задание инвестиционного выбора в приведенной ранее постановке является процессом принятия решения в расплывчатых условиях, когда решение достигается слиянием целей и ограничений [4]. Чтобы привести выражение (1) к виду, пригодному для использования нечетких выходных данных, целесообразно воспользоваться так называемым сегментным способом. В модели используется уровень принадлежности а, который определяется как ордината функции принадлежности нечеткого множества. Тогда пересечение функции принадлежности с нечетким числом дает пару значений, которые принято называть границами интервала достоверности.

По каждому нечеткому числу в структуре выходных данных получаются интервалы достоверности [1Х, /2], [г;1, г;2], [АУа А¥а], [С,, С2]. И тогда для заданного уровня а путем подстановки соответствующих границ интервалов в выражение (1) получаем выражение (2). Задавшись приемлемым уровнем дискретизации по а на интервале принадлежности (0, 1), можно реконструировать результирующее нечеткое число ИРУ путем аппроксимации его функции принадлежности

ломаной кривой по интервальным точкам.

N \У

[шУ,ШУ2] = (-)[/,, /2](+)(£ )Ь—V,

'=1 (1 + ги)

ДУ,

(1 + Гц)

-](+)[

с

с

(1 + г )N+1' (1 + г )л

V1 т 'N+1,2 / V- т N+1,2 )

г] =

= [-12 +1

ДУ,

с,

1(1 + ГЛУ (1 + Ъ+1,2)

-1 +

N+1 1

ДУ,

с

г]-

(2)

-1(1 + гаУ ■ (1 + Ъ+Ц)Л.....

Таким образом, показатель ИРУ приводится к треугольному виду, ограничиваясь расчетами по значимым точкам нечетких чисел выходных данных. Это позволяет рассчитывать все ключевые параметры в оценке меры риска не приблизительно, а на основе аналитических соотношений. Для оценки доходности инвестиций в модели используется индекс рентабельности Р,. ^ АУ

Р.I =-

'(1 + Г)'

Очевидно, если Р.> 1, то проект следует принять; Р7< 1 — проект следует отклонить. Логика критерия Р7такая: он характеризует доход на единицу расходов. Именно этот критерий наиболее подавляющий, когда необходимо упорядочить независимые проекты для создания оптимального портфеля в случае ограниченности сверху общего объема инвестиций. В отличие от чистого приведенного эффекта индекс рентабельности является относительным показателем. Благодаря этому, он очень удобен при выборе единичного проекта из ряда альтернативных, таких, которые имеют приблизительно одинаковые значения ИРУ, или при комплектовании портфеля инвестиций по максимальным суммарным значениям ИРУ.

Модель оценки риска неэффективности проекта на основе нечетких описаний. Оценка риска проводится с помощью нечетко-множественных подходов, которые, с одной стороны, свободны от вероятностной аксиоматики и от проблем с обоснованием выбора вероятностного веса, а с другой стороны, включают все возможные сценарии развития событий. Таким образом, треугольное нечеткое число включает все числа в определенном интервале, однако каждое значение из интервала характеризуется в известной мере принадлежности к подмножеству треугольного числа. Такой подход позволяет генерировать непрерывный спектр сценариев реализации по каждому из прогнозированных параметров финансовой модели. Нечетко-множественный подход позволяет учитывать в финансовой модели хозяйничающего субъекта качественный аспект, который не имеет точной числовой оценки. ИРУи критериальное значение О имеют вид нечеткого треугольного числа. На рис. 1 представлены их функции принадлежности.

Точкой пересечения этих двух функций принадлежности является точка с ординатой аг С помощью выбранного произвольного уровня принадлежности

66

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жгвРЪЯЪ'НР^'Х'ШЪ'^

а определяются соответствующие интервалы [ЫРУХ, ЫРУ^ и [01,02]. При а > а1 ЫРУХ > 02, интервалы не пересекаются, и уверенность в том, что проект эффективен, стопроцентная, поэтому мера риска неэффективности инвестиций равняется нулю. Уровень а1 уместно назвать верхней границей зоны риска. При 0 < а < а1 интервалы пересекаются.

Нарис. 2 показана заштрихованная зона неэффективных инвестиций, ограниченная прямыми 0= Ох, О = в2, ЫРУ= ЫРУХ, ЫРУ= ЫРУ2 и биссектрисой координатного угла 0 = ЫРУ.

Взаимные соотношения параметров 012 и ЫРУХ 2 дают следующий расчет для площади заштрихованной плоской фигуры: 0,КРУ, > О2

(Ог - КРУ,)

а1 Л

/ \ тЫРУ

тв \

\

/ ж

1 1 1 1 1 \ ЫР V, Й

•■> >

Рис. 1. Соотношение МРУ и критерия эффективности

^ =

2

О2 > КРУ, > О1,КРУ2 > О2

(О! - КРУ!) + (О2 - КРУ!)

КРУ! < О!,КРУ2 > О2

(О2 - О1)(КРУ2 - КРУ!) -

(О2 - О1),

(КРУ2 - О1)2

(3)

КРУХ < О1 < КРУ2,КРУ2 < О2 (О2 - О1) (КРУ2 - КРУ!),КРУ2 > О1

-1 с

/

>ш

л ——^ !<Н' ¿фф*г1|Г1 IIIIIIIЛ ИПЛСПИГШИ

У \ / |«Р1/,

Поскольку все реализации (ЫРУ>0) при заданном уровне принадлежности а равно возможны, то мера риска неэффективности проекта ф (а) — геометрическая вероятность события попадание точки (ЫРУ, О) в зону неэффективных инвестиций:

ф(а) =-2-, (4)

(О2 - О!) (КРУ2 - КРУ)

где оценивается при помощи выражения (6). Тогда итоговое значение меры риска неэффективности проекта: У & М = |(а) В важном частном случае (рис. 3), когда ограничение О определено четко уровнем О, то предельный переход в выражение (4) при 02 ^ Ох дает:

Рис. 2. Зона неэффективных инвестиций

Для определения всех необходимых выходных данных для оценки риска необходимы два значения обратной функции Первым значением

является О (по определению верхней границы зоны риска а1). №Ут1п и НРУ^ — два значения обратной функции й^ЧО).

Выражение для меры инвестиционного риска У&М с учетом выражения (5) и длинной цепи превращений имеет вид:

Г0, О < КРУ^„

(а) =

0,О < КРУ О - КРУ

У & М =

КРУ2 - КРУХ 1, О > КРУ

,КРУ < О < КРУ2,

(5)

а = [0,1]

Я

КРУ

1 + 1п(1 - а!)

1 - (1 - Я)

< О < КРУ 1 - а.

1 +-11п (1 - а!)

КРУ < О < КРУш 1, О > КРУ_

риска. Например, если ввести лингвистическую переменную «Мера риска» из возможных значений {Незначительная, Низкая, Средняя, Относительно высокая, Неприемлемая}, то каждый инвестор может произвести самостоятельное описание соответствующих нечетких подмножеств, задав соответствующее количество функций принадлежности ^ (У&М).

Главный вопрос — это учет

~*АЛ И 1 иг Я ,аЛ! Ч

неопределенности во время Рис. 3. Точечная нижняя граница эффективности принятия решения об инвес-

тировании. Проведенный анализ экономических

о.

Мо \ Ми>к

С в \ NPV

Я =

О - ИРУт

а =

КРУтх - КРУ» 1, О > КРУтх

0,О < ИРУтп О - ИРУ.,

, О < ИРУ_

ИРУ - ИРУт

ИРУ_ < О < ИРУ,

1,О > ИРУ ИРУ - О

ИРУ так - ИРУ

0, О > ИРУ„.

,ИРУ < О < ИРУт

(6)

Исследование выражения (5) при О = ИРУт.п (предельно низкий риск), Я = 0, а1 = 0, О' = ИРУтак и предельный переход в выражение (6) дают У&М = 0. При 0=0' = ИРУ (средний риск) а1 = 1, Я = (ИРУ - ИРУ) / (ИРУ - ИРУ .) = 1 - Р и

^ тах7 ' ^ тах тт7

предельный переход в выражение (6) дают У&М = (ИРУ - ИРУ) / (ИРУ - ИРУ . ). При о =

^ тах 7 ' ^ тах тт7 *

ИРУтах (предельно высокий риск) Р= 0, а1 = 0, О' = 0 и предельный переход в выражение (6) дают У&М= 1. Таким образом, мера риска У&М приобретает значения от 0 до 1. Каждый инвестор, исходя из своих инвестиционных преимуществ, может классифицировать значение У&М, выделив для себя отрезок неприемлемых значений риска. Также возможна более детализированная градация мер

и математических методов оценки эффективности инвестиционного проекта в условиях неопределенности свидетельствует об их теоретической значимости, но ограниченности практического приложения для анализа эффективности и риска проекта. При помощи описанного подхода, основанного на нечеткостях, преодолеваются недостатки вероятностного и минимаксного подходов, связанные с учетом неопределенности. Во-первых, здесь формируется полный спектр возможных сценариев инвестиционного процесса. Во-вторых, решение принимается не на основе двух оценок эффективности проекта, а по всей их совокупности. В-третьих, ожидаемая эффективность проекта не является точечным показателем, а является полем интервальных значений со своим распределением ожиданий, которое характеризуется функцией принадлежности соответствующего нечеткого числа. А взвешенная полная совокупность ожиданий позволяет оценить интегральную меру ожидания негативных результатов инвестиционного процесса, т. е. меру инвестиционного риска. На основе нечетко-множественного подхода разработана модель оценки эффективности и риска инвестиционного проекта. Эта модель позволяет учитывать ситуации, когда инвестор не можетчетко определить некоторых входных параметров, таких как первичная сумма инвестиций, ставкадисконтирования, поступления от реализации проекта и др.

Список литературы

1. Бланк И. А. Инвестиционный менеджмент. М. : Омега-Л, 2008.

2. КейнА., МаркусА. Принципы инвестиций. М. : Вильяме, 2004.

3. Волков А. Инвестиционные проекты: от моделирования к реализации. М. : Вершина, 2006.

4. Недосекин А. О. Финансовый менеджмент на нечетких множествах // Аудит и финансовый анализ, 2003. № 4.