CC BY
583
ТЕМА НОМЕРА: ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Применение теории нечетких множеств в анализе рисков инвестиционных проектов
Статья посвящена актуальной проблеме оценки сложных инвестиционных проектов в условиях риска и неопределенности. Рассматриваются основные методы учета рисков и подробно описываются их основные недостатки. В качестве альтернативного метода автором предлагается использование теории нечетких множеств, которая в последнее время становится все более популярна среди специалистов различного профиля. В статье показано, что теория нечетких множеств является одной из наиболее эффективных математических теорий, направленных на обработку неопределенной информации и во многом интегрирующей известные подходы и методы. Также автором была предложена математическая модель для расчета величины рисков инвестиционных проектов на основе теории нечеткости.
Ключевые слова: инвестиции, оценка стоимости, нечеткие множества, учет рисков, дисконтирование.
Метод чистой приведенной стоимости (NPV — Net Present Value) в настоящее время широко применяется в мировой практике для анализа эффективности инвестиционных проектов, при оценке стоимости активов и обязательств. Данный метод, пожалуй, является наиболее распространенным в современной экономике и стал настолько привычным, что мало кто решается подвергнуть его сомнению и критике.
Тем не менее некоторые всемирно известные специалисты уже говорят о скорой кончине данного метода. Так, например, один из известных специалистов в области оценки — Том Коупленд говорит о том, что метод реальных опционов в скором времени полностью вытеснит классический метод NPV [10]. Основной причиной являются недостатки метода, проявляющиеся при оценке инвестиционных проектов.
Одним из недостатков можно считать статичность метода: так, когда производится расчет
© Мельников В.И., 2010
В.И. Мельников
проекта сроком на несколько лет, прогнозные значения денежных потоков приводятся к настоящему моменту путем процедуры дисконтирования. В итоге полученная величина чистой приведенной стоимости сравнивается, скажем, с нулем или другой минимально допустимой величиной. Проблема заключается в том, что если вы принимаете участие в проекте, который реализуется с трудом, то совершенно необязательно, что проект просуществует в течение всего планируемого срока, его могут сократить или вообще свернуть. В то же время, если проект окажется удачным, то, скорее всего, его продлят или расширят. Кроме того, совершенно необязательно, что основную часть средств нужно инвестировать сразу. Иногда их требуется вкладывать через год или два, когда после реализации предварительных стадий проекта неопределенность значительно уменьшится.
В аспекте решения проблемы негибкости метода NPV революционным, безусловно, является метод реальных опционов. Однако он не устраняет других существенных недостатков метода NPV, поскольку метод опционов по своей сути — это всего лишь надстройка над классическим методом расчета чистой приведенной стоимости [2]. А у этого классического метода есть еще один существенный недостаток, который напрямую связан с учетом экономических рисков, присущих прогнозным значениям денежных потоков.
Рассмотрим природу этого недостатка более подробно. Для начала вспомним, что вся финансовая математика, в том числе и методика NPV, основывается на принципе, что сегодняшний доллар стоит больше, чем завтрашний [11]. В основе этого простого принципа лежит экономическая теория процента. Все мы знаем, что если положить деньги в банк или предоставить их в кредит, то за это банк будет выплачивать нам определенный процент.
Чтобы лучше понять суть этого процесса, необходимо знать, что деньги, являясь средством обмена, обеспечивают благосостояние только косвенно. Они сами по себе не удовлетворяют жизненных потребностей и должны быть обменены на товары или услуги. Таким образом, когда кто-либо инвестирует деньги, он отказывается от возможности получить пользу напрямую, обменяв деньги на товары и услуги. Посему ему приходится довольствоваться более низким уровнем полезности [13]. Одной из функций процента как раз и является компенсация снижения уровня полезности, которая связана с невозможностью получить выгоду немедленно.
Помимо этого, кредитор также сталкивается с неопределенностью относительно будущей стоимости денег. Количественная мера этой неопределенности называется риском. Риски могут иметь различную природу. Один из видов риска — это риск потери покупа-
тельной способности или, другими словами, инфляционный риск. Данный риск говорит о том, что за ту же сумму денег в будущем можно будет купить меньший объем благ.
Второй вид экономического риска — это риск отклонения ожидаемых величин денежного потока от действительных, причем эти отклонения имеют двойственный характер [4]. Так, для положительных потоков риск будет заключаться в недополучении дохода, а для отрицательных — в перерасходе средств [3]. Все эти риски должны быть компенсированы, поэтому второй функцией процента является компенсация рисков.
Таким образом, под риском в общем случае нужно понимать возможность наступления какого-либо неблагоприятного события, влекущего за собой финансовые потери. Для учета рисков при расчете NPV используют целый ряд методов [5]. Однако большинство из известных методов может быть отнесено всего к двум основным подходам:
• учет рисков в знаменателе формулы расчета NPV посредством корректировки ставки дисконтирования;
• учет рисков в числителе формулы расчета NPV посредством корректировки денежного потока.
Данные подходы могут быть использованы как в чистом виде, так и в комбинации. Не вдаваясь в тонкости каждого из методов, рассмотрим их общие черты в рамках обозначенных подходов.
Первый подход, подразумевающий корректировку ставки дисконтирования, является наиболее распространенным на практике. Он основывается на предпосылке, что более рисковый проект должен иметь более высокую доходность. В расчетах это отражается за счет увеличения ставки дисконтирования. Методики расчета могут быть различны (кумулятивная, CAPM, WACC), но все они заключаются в добавлении рисковой составляющей к безрисковой ставке дисконта и могут быть записаны в следующем виде:
NPV - V ^
% <1 + ^ + 'я)1’
где СГ— суммарный денежный поток за период времени £;
— безрисковая годовая ставка дисконтирования в период Ґ; ¡я — поправка на риск;
N — продолжительность прогнозного периода.
Если подходить более строго с точки зрения теории, то для сложения процентных ставок необходимо использовать формулу Фишера:
(1+ /2) = (1 + /,) х (1 + /р),
из которой следует, что ставка дисконтирования, учитывающая в себе поправку на риск (/^), рассчитывается следующим образом:
'т = /ї + 'д + /ї х Д
Запись вида /^ = /{ + ід, которую мы использовали, является не совсем корректной, но поскольку слагаемое і{ х ід в формуле Фишера является достаточно малым, то на практике им зачастую при-небрегают.
Рассмотрим пример, наглядно демонстрирующий всю ограниченность данного подхода. Допустим, мы выбираем между двумя инвестиционными проектами. Денежные потоки в обоих проектах одинаковы, однако первый проект является безрисковым — ставка дисконтирования 10%, в то время как во втором проекте присутствуют значительные риски — ставка дисконтирования рассчитывается как безрисковая ставка 10% плюс премия за риск 10%, итого: 20%. Совершенно очевидно, что при таком раскладе предпочтительнее первый проект. Но давайте произведем расчеты, чтобы это доказать (см. табл.).
Таблица
Расчет стоимости альтернативных проектов, €
Номер года, t 1 2 3 4 5
Приток, CF (+)t 110 200 300 500 600
Отток, CF <->t 50 150 250 700 600
Денежный поток, CFt 60 50 50 -200 0
Безрисковая ставка, it 10%
Ставка с учетом риска, i't 20%
DCF 1 (дисконтированный поток по ставке it = 10%) 54.55 41.32 37.57 -136.60 0.00
DCF 2 (дисконтированный поток по ставке i't = 20%) 50.00 34.72 28.94 -96.45 0.00
NPV 1 (проект без риска) -3.17
NPV 2 (рисковый проект) 17.21
Итак, проект длится 5 лет. Денежные притоки СГ(+^ и оттоки СГ^-^ формируют денежный поток СГ{, дисконтируя который по заданным ставкам ¡{ и ¡’р мы получаем значения чистой приведенной стоимости для каждого из проектов: ЫРУ 1 для безрискового проекта и ЫРУ 2 для проекта, в котором присутствует риск.
Как можно видеть, в данном примере мы получили несколько странные результаты, идущие вразрез со здравым смыслом. Согласно расчетам, более предпочтительным является второй проект, генерирующий тот же объем денежных поступлений, но являющийся более рисковым. Проблема здесь кроется в том, что, добавляя в ставку дисконтирования премию за риск, мы, конечно, снижаем значение чистой приведенной стоимости положительных денежных потоков, но вместе с этим увеличиваем общую стоимость проекта за счет уменьшения по абсолютной величине отрицательных потоков. Таким образом, мы отражаем в наших расчетах не риск, а, наоборот, выигрыш.
Основываясь на подобных рассуждениях, можно прийти к выводу, что необходимо использовать различные ставки дисконтирования для положительных и для отрицательных денежных потоков или какие-либо другие ухищрения, что само по себе является нетривиальной задачей, решение которой еще не гарантирует получения адекватных результатов [1, 6].
Второй подход к учету экономического риска, как мы уже отмечали ранее, подразумевает корректировку денежного потока. Данный подход заключается в учете вероятностей возникновения тех или иных денежных потоков и в общем виде может быть представлен следующим образом:
г = 1
СР, х р, (1 + ¡) ’
где р, — вероятность возникновения потока СР, за период времени ,;
¡, — безрисковая годовая ставка дисконтирования в период ,;
N — продолжительность прогнозного периода.
Проблема, возникающая при использовании данного подхода, кроется в самом определении вероятности, значение которой, как известно, изменяется в пределах [0, 1]. Умножение отрицательного значения СР, на число меньше единицы и больше нуля приводит к уменьшению значения СР, по модулю, в то время как для учета риска необходимо производить обратую операцию, то есть увеличивать значение планируемых расходов (рис. 1).
СР (-),
СР(-), СР(-), ■ р 0 СР(+), ■ р СР(+),
р е [0, 1] р е [0, 1]
(с поправкой на риск)
Рис. 1. Ошибка при учете рисков отрицательных денежных потоков
И это отнюдь не какой-то частный случай. Если вспомнить, что чистый денежный поток является разницей между притоками и оттоками, то очевидно, что даже при положительном значении чистого денежного потока, его отдельные элементы — оттоки не только не корректируются на риск, но, наоборот, получают некую премию. В данном случае мы получаем учет вероятности возникновения тех или иных потоков, но отнюдь не учитываем присущий этим потокам экономический риск. Как можно видеть, в данном случае математика полностью идет вразрез с экономикой.
Кроме того, применение вероятностного подхода основывается на предпосылке, что финансовые показатели формируются случайным образом, что не совсем верно в случае оценки инвестиционных проектов. Да и сама теория вероятности если и применима, то только для исследования больших групп однородных случайных событий. Если же говорить о решении слабо структурированных задач, к которым относятся исследуемые нами, то однородностью они, как правило, не обладают. Каждый проект по-своему уникален и, более того, каждый существует в неодинаковых внешних условиях.
Поэтому, чем в меньшей степени статистически обусловлены те или иные параметры, тем менее может быть обосновано применение любых типов вероятностей в инвестиционном анализе [7]. Отсюда и проблемы с использованием вероятностных подходов, в том числе и подходов на основе реальных опционов.
Таким образом, при оценке любых активов по методу дисконтированных денежных потоков основной проблемой становится неопределенность, связанная с прогнозными значениями денежных потоков. При этом самые распространенные подходы к учету неопределенности зачастую не справляются со своей задачей. Вследствие этого в последнее время все больше и больше специалистов склоняются к применению альтернативных методик расчета экономических показателей. Одной из таких популярных методик стала методика, основанная на применении теории нечетких множеств.
Начало современной теории нечеткости было положено в 1965 году американцем Лотфи А. Заде [8]. Он рассматривал эту теорию как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, то есть систем, в которых участвует человек. Предложенный им подход опирался на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых множеств, для которых переход от «принадлежности» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен.
Чтобы пояснить эту идею, давайте обратимся к рассмотрению основ теории множеств. По определению, множество — это совокупность каких-либо объектов (элементов), обладающих общими
свойствами. Традиционно любое множество может быть определено входящими в него элементами. В обычной теории множеств принадлежность любого элемента х некому множеству А может быть представлена двумя значениями: 1 — принадлежит или 0 — не принадлежит. А само утверждение о том, что элемент x входит или не входит в множество А, может быть выражено при помощи так называемой функции принадлежности ц(х), имеющей следующий вид:
{1, при х е А;
0, при х ч А.
В реальной же жизни такая четкая принадлежность встречается редко и зачастую невозможно дать однозначный ответ о вхождении того или иного объекта в некое множество. Примером могут служить множество молодых людей, множество высоких процентных ставок и другие подобные. Решение этой проблемы, которое предложил Лотфи Заде, заключается в том, чтобы расширить булеву логику и характеризовать принадлежность элемента множеству с некой степенью достоверности [9]. В таком случае функция принадлежности ц(х) может принимать любые значения на отрезке [0, 1].
В каждом конкретном случае функция принадлежности может принимать различный вид. Например, график А (рис. 2) иллюстрирует функцию принадлежности для множества молодой человек, а график Б — функцию принадлежности для множества высокая процентная ставка.
Однако для расчетов удобнее использовать нечеткие множества со строго определенной функцией принадлежности. Например, такой, как показано на рисунке 3. Множества, задаваемые подобной характеристической функцией треугольного вида, принято называть треугольными нечеткими числами.
Треугольное нечеткое число записывается в виде A = (атП, аср, атах) и отвечает высказыванию: «элементы множества А приблизительно
Рис. 2. Примеры графиков функций принадлежности
Рис. 3. График функции принадлежности треугольного нечеткого числа
равны аср и однозначно находятся в диапазоне [атЫ, атах]». Аргументы атЫ, аср атах называют значимыми точками нечеткого числа А. При описании экономической модели при помощи нечетких чисел значимые точки можно интерпретировать как пессимистический, наиболее возможный и оптимистический сценарии развития ситуации.
Алгебраические операции с треугольными нечеткими числами сводятся к действиям с границами их интервалов. Так, для двух независимых треугольных нечетких чисел А и В с интервалами принадлежности [атп атах] и ^тП Ьтах] должны выполняться следуюЩие
аксиоматические правила:
• правило сложения: \атт, атах] + [ЬтП Ьтах] = [атП + ЬтП
атах + Ьтах];
• правило вычитания: \атп, атах] - Кп Ьтах] = \атп - bmax,
атах Ьтіп]’
пРавило умножения: [атіп’ атах] Х [Ьтш’ Ьтах] = [атіп Х Ьтт>
атах Х ЬтахХ];
пРавило Деления: [атгп, атах] - [ЬтП Ьтах] = [атіп - Ь
атах ' Ьтгп]’
• правило возведения в степень: [атп атах] = \атп!, атаЛ Логика этих правил проста. Если значение числа А может изменяться в пределах [атп атах] а значение В — в пределах \bmin, Ьтах^
то при осуществлении операции сложения этих чисел максимальный размах полученного интервала составит \атШ + Ьтп атах + Ьтах]
Соответственно, при операции вычитания максимальный интервал
может составить \атп - bmax, атах - Ьтт] поскольку наименьшее значение нижней границы результирующего интервала получится
только при атЫ и Ьтах, а наибольшее значение возможно лишь при
атах и Ьт(п (рис. 4). Аналогичные рассуждения справедливы и для остальных операций.
Однако для зависимых треугольных нечетких чисел перечисленные выше правила выполняться не будут [12]. Дело в том, что алгебраические операции с независимыми числами призваны увеличивать степень неопределенности (размытость), присущую рассматриваемым параметрам, в то время как при выполнении тех же операций с зависимыми числами неопределенность возрастать не должна. В случае с зависимыми числами речь идет не о размывании границ результирующего интервала, а только о смещении этих границ в одинаковом направлении.
Так, например, если величина заработной платы работников пропорциональна объему выполняемых работ и выручка, в свою очередь, также зависит от объема проделанных работ, то очевидно, что при расчете прибыли из максимального значения выручки следует вычитать максимальное значение заработной платы (рис. 5). Поскольку максимальное значение заработной платы (15 тыс. руб.,
Выручка (А), тыс. руб. А = 15
30 ^ 45
А = 5 г'----"' Заработная плата (В), тыс. руб.
10 15 А О т. 1-чж/Л А = 20
15 35
Рис. 4. Результат вычитания независимых треугольных нечетких чисел
Выручка (А), тыс. руб. А = 15
30 45
А = 5 'Заработная плата (В), тыс. руб.
10 15
А - В, тыс. руб. А = 10
20 30
Рис. 5. Результат вычитания зависимых треугольных нечетких чисел
рис. 5) соответствует ситуации, когда проделан максимальный объем работ и получена максимальная выручка (45 тыс. руб., рис. 5).
Если в расчетах встречаются как зависимые, так и независимые величины, то алгоритм расчета удобнее разбить на два этапа. На первом этапе произвести операции со всеми зависимыми и четкими числами. Четкие числа при этом представляют собой частный случай треугольных нечетких чисел при атЫ = аср = атах. А на втором этапе, используя правила нечеткой арифметики, произвести расчеты со всеми независимыми величинами.
Нечеткие числа являются достаточно удобным средством моделирования экономических процессов с неоднозначными, не вероятностными параметрами. Использование интервалов достоверности позволяет описать неопределенность присущую прогнозным значениям показателей, более естественным путем. При этом в отличие от сценарного подхода, анализу подлежат не просто три возможных сценария (пессимистичный, средний и оптимистичный), а весь спектр возможных исходов.
При использовании нечетких множеств формула расчета ИРУ трансформируется следующим образом:
[NPVmin, NPVcp, NPVmax] - £
[CFt min' CFt ср, CFt max]
ср’ vmaxJ (1 + [.- ; ; ])t
t= 1 ' L t min* 't ср 't max-i'
N ер N CF N CF i
- [ V min y1 CFt ср у1 CFt max ]
= L t-l (1 + it max])'' ¿I (1 + it с/' £ (1 +t min)t J'
где CFt — суммарный денежный поток за период времени t;
it — безрисковая годовая ставка дисконтирования в период t; N — продолжительность прогнозного периода.
В результате расчетов мы получаем треугольное нечеткое значение показателя NPV = (NPVmin, NPVcp, NPVmax).
При этом учитывать неопределенность и связанные с ней риски в ставке дисконтирования уже не представляется необходимым, так как они полностью отражены в интервалах используемых показателей. Кроме того, данный инструментарий дает возможность производить точную оценку риска проекта достаточно простым и наглядным путем. Рассмотрим это более подробно.
Для упрощения записи дальнейших математических выкладок введем следующую систему обозначений:
N1 = NPVmin — нижняя граница интервала нечеткого числа NPV;
N = NPVcP — среднее значение NPV;
cp
N2 = NPVmax — верхняя граница интервала нечеткого числа NPV;
W — четкий критерий эффективности проекта, то есть критерий, ниже которого проект считается невыгодным.
Поскольку результат расчета NPV, как уже было показано ранее, представляет собой треугольное нечетное число, то при соотношении его с критерием эффективности Ж образуется четыре возможных случая (рис. 6), в каждом из которых степень риска будет определяться индивидуально.
В случае А (рис. 6), когда Ж < Л^, весь полученный диапазон значений ИРУ однозначно больше оценочного критерия Ж, это говорит о том, что риск полностью отсутствует, обозначим степень риска как Я = 0.
В случае Б (рис. 6), когда < Ж < Л, степень риска Я будет определяться как геометрическая вероятность попадания в область неэффективных инвестиций, то есть в зону между точками N и Ж. Геометрическая вероятность может быть выражена как отношение площади зоны неэффективности к общей площади зоны полученных значений ИРУ:
_ Б(^Щ
Я Б ’
где Я — показатель степени риска проекта,
Б(Ы№ — площадь области неэффективных инвестиций,
Б(ы1ы2) — площадь области полученых значений ИРУ.
В) N < W < N3 Г) N3 < \М
Рис. 6. Определение степени риска проекта
Указанные площади фигур могут быть найдены различными путями. В самом общем виде площадь фигуры на интервале [Л^, Ж] представляет собой определенный интеграл от функции, ограничивающей фигуру сверху:
W
Б(N1W) = } Цлев^Х’
N
где цлев — функция, описывающая левую сторону функции принадлежности треугольного нечеткого числа ИРУ.
Поскольку график функции принадлежности треугольного нечеткого числа представляет собой треугольник, то для получения уравнения функции цлев воспользуемся формулой прямой, проходящей через две точки:
Цлев - ^2 Х - Х2
|Д2 - Ц х2 - Х1
Зная, что цлев = 0 в точке х = И и цлев = 1 при х = И, мы можем получить следующее уравнение графика функции цлев:
Цлев - 1 х - N х - N х - N
1 - 0 N - N1 рлев N - N1 ’ рлев N - N1^
Теперь, зная функцию, мы можем вычислить площадь фигуры:
W W х - N1
Б(N1W) = ] Цлев^х - ] N - М^Х
W W х - N1 х2 - 2xN1
J(N1W) = J ^левих - J Й7йх = ЙТ
N1 N1 1 1
W
W2 - 2WN1 N12 - 2N12 М2 - 2WN1 + N12 (W - N1)2
2(N - N1) 2^ - N1) 2(N - N1) 2(N - N1) '
Значение площади всей области возможных значений ИРУ можно вычислить значительно проще, если вспомнить, что график функции принадлежности представляет собой треугольник. Площадь треугольника есть произведение половины основания на высоту:
N2 - N 2
Таким образом, мы можем получить расчетную формулу показателя риска:
^ - N1)2 2 (W - N1)2
Я = ТТТ71------¡¡ГГ ■ 1}-¡¡7" = ТГ,-¡¡71—7Г,-¡¡77“, при N. < W < N2.
2(N - N1) N2 - N1 N - N1) ■ (N2 - N1)' ^ 1 2
N
В случае В (рис. 6), когда И < Ж < Щ, степень риска Я будет определяться по аналогии с предыдущим случаем:
(N,14) Э№Ш)
5^2)
где Я — показатель степени риска проекта,
S(N1N) + S(NW) — площадь области неэффективных инвестиций, ^(/у N) — площадь области возможных значений NPV.
Для упрощения расчетов выразим площадь области неэффективных инвестиций через ^(ИИ) и перепишем предыдущую формулу следующим образом:
Я = - S(WN2) = 1 - ^N2)
^N2) ^N2)
где S(WN) — площадь области эффективных инвестиций.
Площадь 5(И1И2) мы уже вычислили ранее, а S(WN2) может быть рассчитана как площадь треугольника:
^2) = у N2 - ^
где (И2 — Ж) — длина основания треугольника, ц' — высота треугольника.
Треугольники с основаниями (ИИ-) и (ЖИ-) являются подобными, поэтому ц' может быть получена из следующего соотношения:
N2 - W ц’
N2 - N Г'
Подставив полученное значение ц’ в (9), получим выражение для расчета площади эффективных вложений:
(N2 - W)2 = 2(N2 - N ’
в результате получаем, что:
S(WN ) (N2 - М)2
Я = 1 - (^2) = 1 - --------------при N < М < N2.
^(N,N2) (N2 - N) (N2 - N1)
В случае Г (рис. 6), когда N2 < Ж, весь полученный диапазон значений ИРУ однозначно меньше оценочного критерия Ж, это говорит о том, что риск такого проекта составляет 100%, то есть Я = 1.
В итоге, для всех описанных случаев мы можем записать следующую систему решений, которая в значительной степени упрощает механизм расчета рисков инвестиционных проектов:
Я
0, при W < N1
1)2
№ - N1)2
N - N1) (N2 - N1)
, при N-1 < W < N;
N - W)2
1 - (N2 -АО (N2 - N1), ПРИ N < W< N2;
1, при N2 < М/.
где N1 — нижняя граница интервала значений NPV;
N — среднее значение NPV;
N2 — верхняя граница интервала значений NPV;
W — критерий эффективности проекта.
В качестве заключения отметим, что проведенный анализ методов оценки эффективности инвестиционных проектов показал, что теория нечетких множеств является одной из наиболее эффективных математических теорий, направленных на обработку неопределенной информации и во многом интегрирующей известные подходы и методы. Теория нечетких множеств позволяет обрабатывать разнородную информацию, характерную для реальных задач инвестиционного анализа, и позволяет преодолеть недостатки, связанные с учетом неопределенности, которые присущи методам учета риска в ставке дисконтирования и методам, основанным на теории вероятности.
Литература
1. Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка Эффективности инвестиционных проектов: Теория и практика: Учеб.-практ. пособие. М.: Дело, 2001.
2. Галасюк В, Галасюк В, Вишневская А. Метод NPV: фундаментальные недостатки // Финансовый директор. 2005. № 2(30).
3. Галасюк В, Сорока М., Галасюк В. Понятие экономического риска в контексте концепции CCF // Вестник бухгалтера и аудитора Украины. 2002.
4. Дамодаран А. Инвестиционная оценка: Инструменты и методы оценки любых активов: пер. с англ. 2-е изд. М.: Альпина Бизнес Букс, 2005.
5. Деревянко П.М. Применение теории нечетких множеств в финансовом и инвестиционном анализе деятельности предприятия в
условиях неопределенности // Менеджмент и экономика в творчестве молодых исследователей ИНЖЕКОН 2005. VIII научнопрактическая конференция студентов и аспирантов СПбГИЭУ 19—20 апреля 2005 г.: Тезисы докладов. СПб.: СПбГИЭУ, 2005.
6. Ковалев В.В. Финансовый анализ: Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. М.: Финансы и статистика, 1995.
7. Недосекин А.О. Применение теории нечетких множеств к задачам управления финансами // Аудит и финансовый анализ. 2000. № 2.
8. Орлов А.И. Теория принятия решений. Учебное пособие / А.И. Орлов. М.: Март, 2004.
9. Птускин А.С. Нечеткие модели и методы в менеджменте: учебное пособие. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.
10. Предвидение будущего: беседы с финансовыми стратегами: пер. с англ. / под ред. Л. Келенира, Д. Свогермана, В. Ферхуга. М.: ИНФРА-М, 2003. XXVI. (Менеджмент для лидера).
11. Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов: пер. с англ. М.: Олимп-Бизнес, 1997.
12. Скороспелое Д. Нечеткие множества для нечетких выводов // Управление компанией. 2005. № 5.
13. Уотшем Т. Дж, Паррамоу К. Количественные методы в финансах: Учеб. пособие для вузов: пер. с англ. / под ред. М.Р. Ефимовой. М.: Финансы : ЮНИТИ, 1999.
