CC BY
45
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XVIII
19 87
М 5
УДК 533.6.071.4.011.55
МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕРАВНОВЕСНОГО ПОТОКА ВОЗДУХА В ГИПЕРЗВУКОВЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ УСТАНОВКАХ ПО ДАННЫМ ИЗМЕРЕНИЯ
Т0,роНр'о (Го<2000К)
Разработана методика определения скоростного напора, числа М, давления, плотности и других газодинамических параметров в рабочей части гиперзвуковых аэродинамических установок с учетом неравновесного протекания физико-химических процессов в рабочем газе. Методика основана на данных измерения Т0, р0 и р0.
Для воздуха представлены все материалы, необходимые для определения q, М, р и т. д. в диапазоне температур торможения Го^2000 К при условиях, когда отсутствует конденсация и когда несущественно влияние межмолекулярных сил.
1. При проведении экспериментов в аэродинамических установках (АУ) необходимо знать газодинамические параметры в рабочей части
АУ: скоростной напор q = > число М = а также плотность р,
давление р, температуру Т и т, д.
Если в установках, действующих по принципу адиабатического разгона газа, из эксперимента известны Т0, р0 и р'0 (обозначения общепринятые; р'0-—давление торможения за прямой ударной волной), а рабочий газ в ядре потока хорошо описывается моделью совершенного идеального газа с показателем адиабаты х = const и молярной массой H = const, то на основе данных о значениях Т0, р0 и р'0 можно найти все газодинамические параметры: р, р, Т и т. д. Для этого имеются известные формулы, таблицы, графики [1]. Например,
В. Н. Комаров, О. Ю. Полянский
х
число М определяется из соотношения
X
Эта методика базируется как на известных из эксперимента данных о р'0 , р0 и Го, так и на принятой модели рабочего газа и законов сохранения.
При этом погрешность определения М, р, р и т. д. будет обусловлена как погрешностью измерения р'0 , р0 и Г0, так и неадекватностью принятой модели газа, т. е. ее отличием от реальной модели газа, имеющей место при данных условиях. Так, например, если определять газодинамические параметры воздуха при Г0= 1000 К и р0=Ю6 Па на основе экспериментально полученных данных о рй, р'п и Г0 и при этом пользоваться формулами (1), (2) для совершенного газа, а реальный поток близок к термодинамически равновесному (или, наоборот, если при определении Т, р ит. д. пользоваться методикой для равновесного газа, а действительное состояние потока близко к замороженному по условиям в форкамере), то при М>6 в определении Т, р, р и т. д. будет сделана ошибка в значениях Г — 6%, р — 3%, р — 4%, М—1%, д — 0,4% [2]. Эти ошибки сильно возрастают с ростом Г0, и при 2000 К они уже составят в параметрах газа Г — 25%, р — 9%, р—13%, М — 5%, q—1,3%. Таким образом, поведение реального газа может сильно отличаться от поведения совершенного газа, и формулы (1) и (2) в этом случае непригодны для описания связи между газодинамическими переменными. Основные причины этого отличия следующие:
1) влияние физико-химических процессов в газе (возбуждение колебательных степеней свободы, диссоциация, химические реакции и т.д.);
2) влияние межмолекулярных сил (Ван-дер-Ваальсовы эффекты);
3) влияние конденсации как самого рабочего газа, так и его примесей.
При относительно невысоких числах Рейнольдса на показания датчика р'0 может также оказывать влияние вязкость [3]. В дальнейшем будут рассматриваться только такие режимы работы АУ, когда в ядре потока можно не учитывать влияние конденсации и вязкости. Остановимся на п. 1 и 2.
Не отвлекаясь на частности, можно констатировать, что в тех случаях, когда газ с физико-химическими превращениями во всем тракте сопла находится в термодинамически равновесном состоянии, методика определения газодинамических параметров потока на основе данных о Т0, р0 и р'0 также теоретически обоснована и доведена до практического использования (разработаны алгоритмы, составлены таблицы, графики), причем сделано это как с учетом, так и без учета межмоле-кулярного взаимодействия [4]—[7]. (Более подробная библиография приведена в [6]). Таким образом, с равновесными течениями дело обстоит
•ÏÏPo = fî (Т0, Ро, М„ состав газа); Ме=/3 (Г0) р0, р'0, состав газа) и т. д. (здесь Ме — равновесное число М).
4 — «Ученые записки» № 5
49
Однако в действительности, как правило, поток газа в высокоэн-тальпийных гиперзвуковых АУ находится в термодинамически неравновесном состоянии [2], по крайней мере на протяжении некоторых участков сопла.
Возникает вопрос, можно ли для неравновесных потоков разработать методику определения д, М, р и других газодинамических параметров, основанную на данных измерения только р0', р0 и Г0? Какая дополнительная информация для этого требуется? Какую точность определения газодинамических величин при этом можно ожидать?
Ниже для воздуха в диапазоне значений температуры и давления торможения
Т0<2000К; л,^107 Па (3)
разработана такая методика.
Поскольку эта методика является не прямой, а косвенной, где искомые величины (<?, М, р и т. д.) не измеряются непосредственно, а рассчитываются по алгоритмам, в которых непосредственно используется принятая модель газа, то одним из необходимых условий являются полнота этой модели и ее адекватность реальным условиям.
Будем считать, что как и в случае течений совершенного и равновесного газов, так и для неравновесного течения имеется полная газокинетическая модель данного рабочего газа, а именно, уравнение энергии, уравнение состояния, уравнения кинетики (релаксационные уравнения) со всеми значениями определяющих параметров. Математический базис, как и для совершенного газа, — система уравнений Эйлера.
Заметим, что модель, описывающая неравновесное состояние газа, тем более такого достаточно сложного газа, как воздух, известна со значительно меньшей точностью, чем модели совершенного и равновесного газов.
В отличие от течений совершенного или равновесного газов при рассмотрении неравновесных течений необходимо знать геометрические характеристики сопла, его форму и размеры. (Строго говоря, следовало бы знать контур невязкого ядра потока до того сечения, в котором поток можно считать практически замороженным).
Учитывая, что замораживание воздуха, как правило, происходит да разгонном участке сопла, имеющем форму, близкую к конической (более строго — для гиперболических сопл с распределением площадей поперечных сечений
=1 + (-*-)’, / = г,№», (4)
г*—радиус критического сечения сопла; ■О — полуугол асимптотического конуса), для газов с бинарной кинетикой, в частности, для воздуха при Г0<£2000К, когда возбуждены лишь колебательные степени свободы молекул кислорода и азота, параметрами подобия будут Го и р01. 18].
Параметр р01 характеризует степень неравновесности потока. При достаточно малых ро1 поток замораживается в дозвуковой части сопла, при больших — в сверхзвуковой. Учет неравновесности проводится в рамках квазиодномерного приближения, т. е. для любой трубки тока в невязком ядре потока влияние неравновесности предполагается одинаковым, соответствующим одному и тому же значению параметра р01. Вообще же поток в ядре может быть неодномерным, с разными степенями расширения разных трубок тока и соответственно с разными значениями р'0!Рй Для разных трубок тока. Другими словами, на основную зависимость р'01р0 в рабочем сечении сопла не накладывается
ограничения: p'0¡Po= const, но влияние неравновесности в разных трубках тока полагается одинаковым, соответствующим параметру pol. Нужно заметить, и это будет подтверждено расчетами, что параметр Pol оказывает относительно слабое воздействие на течение. Так, изменение Pol на Щ% приводит не более чем к 1% изменения р, р, Т, т. е. практически не скажется на параметрах газа в рабочей части сопла
д\пТ ^ п пп_ д In р
|для воздуха при Т = 2000К имеем:
д In р
<Э1п(р01)
< 0,02;
<0,1
д In (ро I)
д 1п (р0 I)
Это свойство позволяет на разгонном участке сопла, точнее там, где поток неравновесный, игнорировать разницу в площадях поперечного сечения сопла и невязкого ядра потока.
2. Рассмотрим общие закономерности неравновесных течений воздуха в гиперзвуковой АУ при условиях (3). Будем считать, что состояние воздуха в форкамере — равновесное. При этом во всем тракте АУ за исключением, быть может, ударного слоя около насадка для измерения р0, единственным неравновесно протекающим физическим процессом является возбуждение (дезактивация) колебательных степеней свободы.
Типичной является ситуация, когда поток в сопле, будучи вначале равновесным, пройдя неравновесную стадию, замораживается и далее ведет себя как поток совершенного газа с постоянным показателем адиабаты и/=1,4, молярной массой ¡ы/ = 29 г/моль и энтальпией торможения (эффективной) Н0—ем, где вы—замороженная колебательная энергия (индекс / относится к параметрам в замороженном потоке). Допустим, что известны (получены из расчетов) все газодинамические параметры течения воздуха (Мь рр Ть р4 и т. д.) при заданном режиме (р0, Т0, ро) в некотором сечении рассматриваемого сопла /ч, где поток заморожен. При расчетах целесообразно выбирать сечение сразу, как только с заданной степенью точности поток можно считать замороженным. Тогда ниже по потоку от сечения Т7! рассматриваемый замороженный поток в заданном сопле будет газодинамически тождествен (т. е. иметь такие же М, р, Т и т. д.) потоку совершенного газа с х = х/ и некоторыми отличными от ро, То и ро «эффективными» параметрами торможения Роэф, То эф и ро эф и эффективной площадью критического сечения сопла эф. Эти эффективные параметры торможения определяются по формулам для совершенного газа
Р0 эф
— Р\ +
х—1 хд2 \ х—* /, I X— 1 ,,2\
2 Mi j ; роэф — Pi ^ 1 Н--- —Mi]
7’оэФ=7'1(1+^-М?);
х+1 х+1
/7*8*=/7i(j4lL)2(x *4(1 +
(5)
Введем, как и в случае равновесных течений [5, 6], обозначения:
Ро эф
Р о
Wo, Pol)’ A^ = k*(To> РоП;
(6)
)p4f / о \
причем , так как для воздуха при условиях (3)
Г /2т» Дл Лг
[х/ = ^о=29 г/моль. Поскольку в гиперзвуковых АУ, работающих на воздухе, поток в ударном слое около насадка для измерения р'0, как правило, заморожен или близок к замороженному [2], то число М, скоростной напор р, Г и т. д. определяются по формулам для совершенного газа с показателем адиабаты х= 1,4
женным, а равновесным или неравновесным, то, строго говоря, пользоваться формулами (7) и (1 а) нельзя, формулы же (8) сохраняют силу и в этом случае, только число М больше не определяется соотношением (7).
Оценим максимальную погрешность, которая получится, если определять газодинамические величины М, р и т. д. для условий (3) по формулам для совершенного газа (7) и (8), несмотря на то, что состояние воздуха в ударном слое около насадка для измерения ро является неравновесным или равновесным [напомним, что формулы (7) и (8) строго получены для замороженного ударного слоя около насадка, при этом поток в сопле может иметь произвольную степень неравновесности, т. е. 0<ро/<°°].
Расчеты, проведенные на основе соотношений, взятых из работы [9], показали, что наибольшее отличие в показаниях насадка р'0 будет при замороженном (р'0/) и равновесном (р'0е) ударном слое в случае, когда поток в сопле близок к равновесному. Для значений р'0 >102 Па это отличие составляет примерно 1,3% р'0 . Другие сочетания условий в сопле и в ударном слое приводят к меньшему отличию Ро и р'й} [9]. (Естественно, сравнение р’0^ и полученного в эксперименте значения р'0, соответствующего рассматриваемым условиям течения воздуха в сопле и около насадка, проводится при одном и том же скоростном напоре д). Поскольку в гиперзвуковом потоке совершенного газа при к =1,4
то для условий (3) определяемая максимальная погрешность составит для значений М—менее 0,3%, 7’~0,5%, р —1,8,%, для значений а и р ~1,3%.
4. Теперь определим функции kj в выражениях (6) при условиях (3). Для этого численно решим задачу неравновесного течения воздуха в гиперболическом сопле.
Ро Эф
Ро
(у. — 1) М2 + 2
(*+ 1)М2
2хМ2 — (* — 1)
*.+ 1
;)* \ Я\р'й [°М- (1а)]'5 (7>
3. Если же поток в ударном слое около насадка будет не заморо-
d ln (p0lPo) d ln (p'olpo)
d ln (QlPo) _ ¿ln(p/p0) _ d ln (p/pp)
d ln (p'olpo) rfln (p'0lp0) ’ d\n(p'0lp0)
Сформулируем газокинетическую модель воздуха. В диапазоне температур Т<2000 К состав неравновесного воздуха практически не меняется вдоль сопла и определяется молекулярными концентрациями компонентов воздуха в форкамере [10]. Если пренебречь квантовыми эффектами вращения и принять, что поступательные и вращательные степени свободы находятся в равновесии между собой, то тогда кинетическая модель сводится к модели колебательной релаксации для молекулярных компонентов воздуха.
В приближении гармонических осцилляторов система газокинетических уравнений для одномерных течений воздуха имеет вид:
puF= const; ри-^- + -^- = 0;
dx dx
+ = р = й = А(7\ т„ ё,у,
Л0 2h0 ц
й = шг; (г = 1, 2, 3 — 0„ N,, N0).
dx
(9)
Система уравнений (9) написана в безразмерном виде. Обезразмерива-ние проведено по формулам:
— и 77І Т - р _ р _!£
® V ' Т ’ Р п ’ Р — Гт2 > Iі
Т ’ " о ’ " — 1/2 ’ “ 11 ’
“ Р°° Роэ ^шах
Т Ар«, — в! - — X -¡5 р
П =--------, = РТ~ , Тг = Тг(А~,, ■* =—г = “Б—•
’ ‘ ЯТ’оо иг°° '•* -р*
Здесь Єі я уі — удельная колебательная энергия и мольно-массовая концентрация г'-го компонента воздуха; х—координата вдоль оси сопла; Я — универсальная газовая постоянная; г* — радиус критического сечения (характерный размер); Т7 — площадь поперечного сечения сопла; со г — скорость колебательной релаксации г'-го компонента воздуха. Индекс «»» относится к критическому сечению, индекс «О» — к условиям
торможения, Ушах =^ = 29 Ты =273 К, р^—Ю-3 г/см8.
eN„— 60,
Выражения для «г имеют вид: ч = (Я- - ¿О,) + ¿о,-*, {*„, (¿о, + ё0а) exp i _
— ёо3 (<?Nl + 6Ns) I -f ¿o3-no (eNO (е + 0 ) X J NO I
X exp j (-NQ + ёко)|;
®N, = Lk («Й, — eNJ + ¿N2-02 Je0) (eNs + 0Ns) X X exp (^~°‘ _ ~N-j — £Na (e0j + Bo. )J + Z.N3_NO X X |^N0 (^n2 + ®ns) exp ^ ~N'2 j — (eNO -f 6NO) |;
“ж» ~ ^N0 (^N0 •— £к0) + ¿ЫО-Оа
РТо,
0П.
ео, (ет + ®гго) X
X ехр
"N0
О-
^N0 (е°2 "Ь ®0,) | + ¿?ГО-Ыа ^ X
X (^N0 + ^N0) еХР
“Ы., '
N0
Здесь
Г1—- 1 —
1‘-~'
I1
1^1—,
^N0 (^N3 + ®Иа) | •
NA р,
х1]
Ц =
V*
т(. — время V — Т релаксации ¿-ого компонента,
чг
■время V — V’ обмена колебательной энергии между ¿-ым и у-ым компонентами,
Ыа — число Авогадро,
То= еьЧт— 1
Выражения для времен колебательной релаксации взяты из работы [11]. 0г — характеристическая температура.
Система (9) интегрируется численно до тех значений х = хи при которых поток становится практически замороженным. Метод расчета изложен в работе [12]. Расчеты проведены для осесимметричных гиперболических сопл при различных значениях Т0 и различных значений параметра р01:
Т0, К - 1000; 1300; 1500; 1800; 2000; р01, Па-см-106; 3-106, 107; 3-Ю7, 108; 3-108, 109;
(р01, атм-см — 10,30, 102; 3-102, 103; 3-103, 104).
Далее по формулам (5) и (6) вычисляются эффективные параметры торможения Го эф, ро эф, ро эф, эффективная площадь критического сечения сопла /=*эф и соответствующие им значения &{(Г0, ро1).
Р01^[5] /
Полученные значения приведены на рис. 1—4.
5. С использованием графиков рис. 1—4 и формул (или таблиц) для газодинамических функций совершенного газа при х= 1,4 расчет параметров потока в гиперзвуковой АУ проводится следующим образом:
1. Определяются экспериментальные значения р0, Т0 и р'0.
2. Для данного сопла вычисляются параметры и р01.
3. На основе рис. 1—4 находятся величины
4. По формулам (6) находятся эффективные параметры торможения и эффективная площадь критического сечения сопла.
5. По формулам (7), (8), где в качестве параметров торможения в форкамере берутся их эффективные значения Тоэф, Роаф и р0эф, вычисляются число М, скоростной напор <7, р, р, Т и т. д. Приведем эти формулы для х = 1,4:
Формула (1) для д остается без изменений, и для к= 1,4 она принимает вид
1. Ames Reseáfch Staff. Equations Tables and Charts for Compressible Flow. — NACA /Rep. 1135, 1953.
2. Полянский О. Ю. Методика определения степени неравновесное™ потоков воздуха и азота около моделей в гиперзвуковых аэродинамических установках. — Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. 16, № 3.
kp(T0, Po I), kç>, k.F.
125 Л М2 у
216М \ 5 )
3. С hue S. H. Pressure probes for fluid measurement. — Prog. Aerospace Sci., 1975, vol. 16, N 2.
4. П о у п А., Г о й н К. Аэродинамические трубы больших скоростей.— М.: Мир, 1968.
5. Здункевич М. Д. Таблицы и графики газодинамичесих функций воздуха для одномерных течений при высоких температурах торможения.— Труды ЦАГИ, 1969, вып. 1165.
6. Зыков Н. А., Севастьянов Р. М. Таблицы термодинамических и газодинамических функций воздуха при высоких давлениях и температурах торможения. — Труды ЦАГИ, 1972, вып. 1398.
7. С н и г и р е в Ю. И. Определение скоростного напора в аэродинамических установках с интенсивным нагреванием газа в форкамере. — Труды ЦАГИ, 1970, вып. 1209.
8. Агафонов В. П., В ер тушки н В. К., Гладков А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике.— М.: Машиностроение, 1972.
9. Полянский О. Ю. Влияние неравновесных процессов на газодинамические параметры в гиперзвуковых установках и в критической точке затупленного тела. — Ученые записки ЦАГИ, 1971, т. 2, № 5.
10. Комаров В. Н., Полянский О. Ю. О корреляции неравновесных течений воздуха в соплах. — Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. 8, № 5.
11. Бирюков А. С. Кинетика физических процессов в газодинамических лазерах. Теоретические проблемы спектроскопии и газодинамических лазеров. — Труды ФИАН, т. 83. — М.: Наука, 1975.
12. Бударина М. Ф., Комаров В. Н., Саяпин Г. Н. Расчет неравновесных течений воздуха в соплах. — Труды ЦАГИ, 1975, вып. 1701.
Рукопись поступила 17/VII 1986
