Методика моделирования движения шланга с заправочным конусом в процессе дозаправки самолета в воздухе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XXXIV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2 00 3

№ 3—4

УДК 533.6.013.2.011.3 629.735.33.015.3.023

МЕТОДИКА МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ШЛАНГА С ЗАПРАВОЧНЫМ КОНУСОМ В ПРОЦЕССЕ ДОЗАПРАВКИ САМОЛЕТА В ВОЗДУХЕ

В. А. ЯРОШЕВСКИИ

Предложена методика математического моделирования движения шланга с заправочным конусом на конце в процессе дозаправки самолета в воздухе, в том числе - в присутствии атмосферной турбулентности.

Общие уравнения движения гибкого шланга. В принципе, наиболее простым методом вывода уравнений движения гибкого шланга с заправочным конусом в процессе дозаправки представляется метод конечных элементов. Однако он требует введения большого числа фазовых координат для аккуратного описания формы шланга, и, к тому же, при использовании уравнений Лагранжа необходимо предварительно разрешить эти уравнения относительно старших (вторых) производных. В то же время, изучение видеозаписей процесса дозаправки показало, что формы колебаний шланга имеют плавный характер, и поэтому на практике можно ограничиться учетом от одной до трех первых форм продольных колебаний шланга и такого же количества форм боковых колебаний.

Уравнения движения тонкого шланга имеют вид ([1], [2]):

где р — погонная плотность шланга; Т — натяжение шланга; х, у, г — декартовы координаты; 5 — длина шланга в текущей точке; р1 — компоненты погонной нагрузки, действующей на шланг. Неизвестными функциями являются х, у, г, Т(5, ^). Кроме того, должны быть заданы соответствующие начальные и граничные условия.

Условия равновесия шланга. Рассмотрим вначале условия равновесия пустого шланга, считая инерциальной систему координат, связанную с горизонтально летящим самолетом-заправщиком, и помещая начало координат в точку прикрепления шланга к этому самолету (рис. 1). Скосами потока за самолетом пренебрегаем. Тогда левые части уравнений (1) обращаются в нуль, боковые смещения и боковые нагрузки отсутствуют. Систему уравнений (1) в этом случае нетрудно преобразовать к следующей системе уравнений первого порядка:

2

2

2

(1)

= 1,

Рис. 1. Расположение шланга с заправочным конусом в системе координат, связанной с точкой подвеса шланга на самолете-заправщике

Нагрузки на шланг, по данным [3], определяются формулами:

Px = (cfksh -схУ'3 ) qd, Py = cj2 x'qd -pg. (3)

Здесь q — скоростной напор, значение которого было принято равным q = 6860 Н/м . Диаметр шланга был принят равным d = 0,06 м, длина l — равна 20 м, а погонный вес шланга — равным pg = 17,6 Н/м. Коэффициент сопротивления при обтекании цилиндра поперечным потоком был принят равным cx = 1,2, а произведение коэффициента шероховатости на коэффициент трения £sh Cf — равным 0,0133.

В формулах (3) учтено, что производная — = y' отрицательна.

ds

На конце шланга располагается заправочный конус массой 40 кг и диаметром 0,8 м (S = 0,5 м ). При проведении расчетов было принято, что коэффициент сопротивления и производная коэффициента подъемной силы конуса по углу атаки равны соответственно

Cxc = 0,7, cayc = 0,3.

При большой скорости шланг располагается под малым углом к направлению полета. В этом можно убедиться по видеозаписям процесса, а также на основании сопоставления суммарной вертикальной и горизонтальной сил, действующих на шланг.

Действительно, вертикальная сила, направленная вниз, равна суммарному весу шланга с конусом G = (pl + mc ) g « (1,8 • 20 + 40) 9,8 = 745 Н, из которого вычитается суммарная подъемная аэродинамическая сила, действующая на систему шланг + конус. В то же время, горизонтальная сила складывается из сопротивления шланга (hose) и сопротивления конуса (cone) Xh + Xc, где

при скоростном напоре

6860 Н/м2 Xc =(cxS)q «(0,35)6860

= 2380 Н. Оценка значения Xh показывает, что сопротивление шланга (при l = 20, d = 0,06) соизмеримо с сопротивлением конуса. Таким образом, горизонтальная сила в 4—8 раз превышает вертикальную, поэтому средний наклон троса к горизонту мал.

Для того чтобы путем интегрирования уравнений (3) вычислить статическую форму шланга, следует на правом конце задать граничные условия, значения T(l), x'(l), y'(l), которые можно определить из условий балансировки на правом конце шланга (см. рис. 1):

T (l) « Xc, (4)

Т (I )ф + Г>* тс%,

(5)

Т(I)Дх(а - ф) «М^а,

(6)

где Дх — расстояние от точки крепления конуса к шлангу до центра масс конуса. Разрешая эти уравнения, получим:

Т(I) « 2380 Н, У(1) « -0,114.

Здесь подразумевается, что значения угла атаки конуса а и угла наклона шланга к горизонту ф = —у'(1) малы. На практике эти значения оказываются близкими, поскольку правая часть уравнения (6) мала. Граничные значения координат на правом конце шланга можно задать произвольными, а затем сместить их из условия, чтобы на левом конце шланга эти значения обратились в нуль.

Рассчитанная форма шланга изображена на рис. 2, а. Как видно, средний угол наклона шланга к горизонту близок к 8°. Для сопоставления там же изображена форма шланга, рассчитанная без учета аэродинамических сил, действующих на шланг (при сохранении аэродинамических сил, действующих на конус). Различие оказывается ощутимым, перепад высот между точкой закрепления шланга на самолете-заправщике и концевой точкой уменьшается под действием этих сил с 3,8 до 2,8 м. На рис. 2, б изображена зависимость силы натяжения шланга от горизонтальной координаты. По мере удаления от точки крепления шланга к концу шланга эта сила убывает практически линейно от 2780 до 2380 Н. Это убывание определяется в основном силами трения, пропорциональными коэффициенту с ^.

Рис. 2

а — статическая форма шланга, I = 20 м; б — изменение силы натяжения по длине шланга

Свободные вертикальные колебания шланга с конусом. Учитывая, что в статических условиях наклон шланга к горизонту мал, и считая колебания малыми, допустим, что выполняется условие

йи « йх. (7)

Тогда можно ограничиться рассмотрением второго уравнения (1) в вариациях и представить его в виде:

д 25у д(дЬу Л .

Г^ (8)

Последний член в правой части этого уравнения, характеризующий влияние вертикальных аэродинамических сил, действующих на шланг, пока не учитываем, имея в виду, что этот фактор будет введен в рассмотрение в качестве внешних сил.

В этом случае решение уравнения (8) выражается в стандартном виде:

5у = £/ (х)Иц (0, (9)

1=1

где / (х) — собственные функции для уравнения

(Т/ ')'+рш2/ = 0, (10)

а функции кг (^) удовлетворяют уравнению гармонических колебаний

% (0 + &2к1 (Г) = 0 (11)

Здесь штрих означает дифференцирование по координате, а точка — дифференцирование по времени.

Поскольку шланг располагается почти горизонтально, его продольные колебания малы, и зависимость Т(х) практически не изменяется. Исходя из рис. 2, б, будем считать, что

Т(х) = Хк + Хс - РхХ Рх « со^. (12)

Тогда решения уравнения (10) выражаются через функции Бесселя:

(Х) = ¿0

рТ ( х)

(13)

где 20 (и) = С1J0 (и) + С2У0 (и)..

Для определения собственных частот следует учесть граничные условия. На левом конце имеем:

/ (0) = 0. (14)

На правом конце это условие выражается более сложным образом, с учетом уравнений движения конуса, записанных в вариациях:

шс 5у = 57с + Т 5ф, (15)

Jzc8а = ЬЫ1С - ТАх (5а - 5ф). (16)

Здесь, по аналогии с уравнением (8), пока опустим члены, характеризующие влияние аэродинамической подъемной силы, действующей на конус. Если же пренебречь моментом инерции конуса, то исчезает различие между вариациями угла тангажа конуса и угла наклона

шланга и при этом исключается из рассмотрения одна степень свободы. Тогда, при условии, что Дх □ /, упрощенное граничное условие на правом конце имеет форму:

шс 5у (/) + Хс 5у ' (/) = 0 (17)

Поэтому второе граничное условие для собственных функций приобретает вид:

Шс®2/, (/) = Хс№. (18)

Используя соотношения (14) и (18), можно определить отношение коэффициентов С2 в выражении (13). Приравнивая эти соотношения, получим трансцендентное уравнение для определения собственных частот:

Л Щ ){Щг 70 (" ) + ^Ъ (и ^70 ("0 ){шТ А ("/ ) + ^ А ("/ )} = 0. (19)

Здесь "0 = — ¡р(Хс + Хк ), и/ = —^^. Рх Рх

При этом определяются и формы соответствующих собственных функций (с точностью до

постоянного сомножителя).

Для вывода условий ортогональности собственных функций рассмотрим уравнения вида

(10) при 7 Ф у :

(Т/ ') ' = -«2Р/, (20)

(/; ) '=-«2 р/у. (21)

Умножим уравнение (20) на /у (х), а уравнение (21) на / (х) и вычтем одно из другого.

Выполняя интегрирование по частям и учитывая граничные условия (14) и (18), получим при юг Ф«у искомое соотношение:

/

¡р/х + Шс/ (/)/у (/) = 0. (22)

0

При 7 = у можно нормировать собственные функции (определенные с точностью до постоянного сомножителя), налагая условие

/

|р/2 йх + ш/( /) = 1. (23)

0

Формулы (22) и (23) можно переписать в традиционном виде (без внеинтегральных членов в левой части), представляя массовую плотность в виде обобщенной суммы:

Р0( х) = Р + Шс§( х -/), (24)

где 5( х - /) — дельта-функция.

Заметим для дальнейшего, что вертикальную нагрузку можно также представить в обобщенном виде:

РУ0(х, X) = Ру (х, X) + Ус (X) 5 (х - /). (25)

Для расчета форм собственных колебаний системы шланга с конусом необходимо прежде всего определить собственные частоты этой системы. Решим трансцендентное уравнение для

Рис. 3. К определению собственных частот колебаний, I = 20 м

определения собственных частот (19). При принятых значениях величины, входящие в формулу (13), равны:

¡рХс = 1

и0 = 7,07ю, и1 = 6,54ю, --— = 1,66/ю,

тсю

где ю имеет размерность радиан в секунду.

Зависимость функции (19) от значения ю изображена на рис. 3. Первые три нуля этой функции определяют значения трех первых частот: Ю1 = 1,57, Ю2 = 6,45, Ю3 = 12,2 . Можно усмотреть, что при изменении скоростного напора эти частоты будут изменяться почти

пропорционально ^д.

Формы колебаний определяются формулами (13). Считая первую константу С равной единице, получим: С2 = 1,065; -1,545; 1,93, для первой, второй и третьей формы соответственно. Собственные функции определены с точностью до произвольного сомножителя. Для удобства обращения с ними следует нормировать эти функции, используя соотношение (23).

Для этого функции (13) следует умножить на нормирующие множители, равные соответственно С = 0,55; 1,097; 1,308 для первой, второй и третьей формы. Нормированные собственные функции построены на рис. 4. Обращает на себя внимание тот факт, что значения

Рис. 4. Формы собственных колебаний, I = 20 м

/i(l), /з(1) малы. Поэтому очевидно, что роль первой формы колебаний при движении конуса оказывается преобладающей.

Очень важно, для контроля за правильностью вычислений, проверять условия ортогональности собственных функций (формула (22)):

i

0

Далее перейдем к расчету собственных колебаний шланга с конусом с учетом изменений аэродинамических сил, вызванных этими колебаниями. Уравнения (11) преобразуются с учетом этих сил к виду

I

И, +ю% = |/ (х)Ъру (х, х)дх + / (I)57с (х). (27)

0

Сохраним в сумме (9) три члена ряда. Малая вариация вертикальной аэродинамической нагрузки, пропорциональной скоростному напору «поперечного потока», в соответствии с формулой (3), может быть представлена в виде

дру ( х, х) = 2у'ш(х) (сха ) д Ц] И, (х) /'(х) + V £ И (х) / (х) |. (28)

где функция у'м(х) < 0 определяется из расчета статической формы шланга (см. рис. 2) и с хорошей точностью при I = 20 м может быть описана формулой

У'ш (х) « -0,156 + 0,0007х + 0,00007х2, (29)

где х измеряется в метрах.

Вариация подъемной силы, действующей на конус, может быть представлена в традиционной форме:

Ыс = -??£ (/'(1) И (х)+V / (I) И, (х)} (30)

Нетрудно заметить, что здесь требуется конкретизировать не только значение скоростного напора, но и значение скорости: с увеличением высоты при фиксированном значении скоростного напора демпфирование колебаний ослабевает. Примем, что скорость составляет V = 150 м/с.

Для вычисления правых частей уравнений (27), с учетом соотношений (22), (23) и (29), нам потребуется вычислить ряд интегралов:

I

а ц = | У'гаг(х)£ (х)/(хМ х (31)

0

а также

I

Ьц = Ьц =|у'яЬЛ(х)/(х)/ (х)^ х (32)

0

Кроме того, следует выписать значения / (I) и /'(/). Результаты этих вычислений приведены ниже:

а11 =-0,00128, а21 = 0,00270, а31 = 0,000386, Ъ11 =-0,0173, Ь22 =-0,0687, /1(1) = -0,138, /1(1) = -0,00572,

а12 =-0,00321, а22 =-0,000680, а32 =-0,0 1 08, Ь12 = 0,0247, Ь23 =-0,00920, /2(1) = -0,0572, /2(1) = -0,0399,

а13 =-0,000232,

а23 = 0,0112, а33 =-0,000619; Ь13 =-0,0116, Ь33 =-0,07 48; /3(1) = 0,0315, /3(1) = 0,0786.

В итоге уравнения (27) приобретают вид:

01 + 0,249^ + 4,60Н1 - 0,111/?2 + 9, 02й2 + 0,0475/т3 -11,2^ = 0,

02 + 0,485/г2 + 44,6й2 - 0Д1Ц - 2,38й1 + 0,0492/т3 -16,0^^ = 0, И3 + 0,510^з + 152й3 + 0,0475/г1 - 0,578й1 + 0,0492й2 + 9,57й2 = 0.

(27')

Составляя соответствующее характеристическое уравнение и решая его, получим значения корней:

А,12 =-0,134 ±/2,26, Х3,4 =-0,236 ±/6,74, Х5,6 =-0,252 ±/12,3.

Как видно, вторая и третья частоты определяются практически без учета аэродинамики шланга, а первая частота заметно возрастает за счет влияния аэродинамических сил.

Расчет вынужденных колебаний шланга под действием вертикального ветра. Рассмотрим вначале случай, когда ускорениями точки закрепления шланга на самолете-заправщике можно пренебречь, т. е. считать систему координат с началом в этой точке инерциальной. Тогда для учета возмущений, вызванных поперечным ветром, в частности вертикальным ветром (X), необходимо добавить в правые части уравнений (27) слагаемые

I / (х)р№у (X, х)ёх,

(33)

которые определяются формулами

р№у (х, х) = [(Рх - 2у'ш (х) (схй) д) + (гса + Хс )5(х -1)] Ъу/У.

(34)

Сосредоточенная сила, действующая на конус, учтена включением в формулу (34) слагаемого в виде дельта-функции.

При вычислении интегралов (33) с учетом условия (12) требуется предварительно вычислить интегралы вида

аг = I/ (х)^ и Ь/ = IУ'ш (х) /г (х)ёх :

а1 =-1,428,

а2 = 2,652,

а3 = 0,0305;

Ь1 = 0,1897,

Ь2 =-0,378,

Ь3 =-0,03385.

Рис. 5. Зависимость квадрата модуля передаточной функции F(im)F(-гю) от частоты, l = 20 м: а — учитывается 1 тон или 3 тона; б — 2-й тон; в — 3-й тон

В итоге в правых частях уравнений (27) добавляются члены e^WyjV, где ex =-699, e2 = 227, e3 = 145.

После этого нетрудно сформировать передаточную функцию от ветрового угла атаки wy jV к вертикальному отклонению конуса:

F (p) =

-10,94 (-28,65 + p )(27,57 + p )( 7,247 +1,353p + p 2 ) (5,143 + 0,2686p + p2 )(45,46 + 0,4715p + p2 )(l50,7 + 0,5032p + p2 )'

Здесь и далее р — оператор дифференцирования.

Зависимость квадрата модуля передаточной функции ^(/ю)^(—/ю) от частоты ю в окрестности трех собственных частот приведена на рис. 5. Как и следовало ожидать, наибольший вклад

в энергию колебаний вносят колебания по первому тону.

Определим далее среднеквадратические значения вертикальных отклонений конуса при воздействии атмосферной турбулентности, используя модель Драйдена. Спектральная плотность согласно этой модели определяется выражением

2 1 + sf ^

Swy = V V

2nV f

1

V

2

(35)

где — среднее квадратическое значение вертикальной скорости ветра, — масштаб турбулентности.

Тогда справедлива формула для среднего квадратического вертикального отклонения конуса (конца шланга):

С у(1 ) =

f - V/2

2JSwy (ю)F(гю)F(-гю)dю

V 0

(36)

Учитывая, что скорость принята равной 150 м/с, зададим значение <5w = 1 м/с, проварьи-руем масштаб турбулентности в пределах от 150 до1500 м и поместим во второй столбец табл. 1 результаты расчета по формуле (36), соответствующие учету трех тонов колебаний. Здесь и в дальнейшем средние квадратические значения вертикальных отклонений конуса выражены в метрах.

В этой же таблице приведены результаты расчета, соответствующие учету только двух или только одного тона колебаний.

В случае учета двух тонов колебаний в уравнениях (27), дополненных правыми частями

(33), следует исключить последнее уравнение, а также члены, пропорциональные ^(х) и ^(х), входящие в первые два уравнения. В соответствии с этим изменяются значения передаточной функции Р(р) и корней характеристического уравнения: А,1 2 =-0,1325 ± 2,264/,

Я3 4 =-0,2344 ± 6,636/ (количество корней уменьшается).

Таблица 1

, м 3 тона 2 тона 1 тон

150 0,305 0,304 0,304

300 0,256 0,259 0,262

450 0,228 0,230 0,234

600 0,210 0,213 0,216

750 0,199 0,200 0,204

900 0,190 0,192 0,195

1200 0,179 0,180 0,183

1500 0,171 0,172 0,175

Если ограничиться учетом одного тона колебаний, то остается только одно уравнение (27) и одна правая часть (33). Корни характеристического уравнения в этом случае равны А,1 2 =-0,1246 ± 2,1406/.

Зависимость квадрата модуля передаточной функции от частоты для этого случая изображена на рис. 5, а. Как видно, максимум модуля почти не изменяется по сравнению со случаем, когда учитываются три тона, происходит лишь незначительный сдвиг резонансной частоты. Передаточная функция от ветрового угла атаки к вертикальному отклонению конуса определяется формулой:

ш л 96,2

Р (р) =

р2 + 0,249р + 4,60'

Как следует из результатов, приведенных в табл. 1, для вычисления средних квадратических отклонений конуса можно с приемлемой погрешностью ограничиться учетом только одного тона колебаний! Этот факт объясняется тем, что значения /2(/), /3(1) относительно невелики.

В том случае, когда используется модель Кармана

с2 ь 1 + - (1,339/у»/У)

ЖЖ _3_

(1 + (1,3394,в/У )2 )

4'->) = 1ЛТЛ ,3........(37)

указанная закономерность сохраняется. В подтверждение этому можно привести результаты расчетов, выполненных по формуле (36).

Таблица 2

, м 3 тона 1 тон

150 0,276 0,279

300 0,246 0,251

450 600 750 900 1200 1500

0,228 0,215 0,206 0,200 0,190 0,184

0,232 0,220 0,210 0,204 0,195 0,188

Таким образом, в случае, если среднеквадратическое значение вертикальной скорости составляет 1 м/с, среднеквадратическое отклонение вертикальной координаты конуса составляет около 20 см для наиболее вероятного значения масштаба турбулентности (750 м).

Влияние длины шланга на характеристики колебаний. Оценим влияние длины шланга на характеристики движения конуса. Учитывая результаты, приведенные в таблицах, ограничимся учетом колебаний только по первому тону. Расчеты проводились в точности по описанной выше схеме. Статическая форма шланга при I = 10 м с учетом аэродинамики шланга изображена на рис. 6. Первая частота составляет в данном случае ^ = 2,29. При этом /1(1) = -0,154, /1(1) = -0,0141. Нужные значения интегралов составляют: а11 =-0,00144, Ъп =-0,00992, а1 =-0,785, Ь1 = 0,0974.

Рис. 6. Статическая форма шланга, l = 10 м

Рис. 7. Зависимость квадрата модуля передаточной функции F (ira)F (-ira) от частоты, l = 10 м

Таблица 3

К, м Драйден Карман

150 0,180 0,170

300 0,148 0,146

450 0,129 0,133

600 0,119 0,126

750 0,111 0,120

900 0,106 0,116

1200 0,099 0,110

1500 0,095 0,105

Передаточная функция от ветрового угла атаки V

конуса определяется

к вертикальному формулой

отклонению

т л 99,8

Р (Р) = —2-•

р2 + 0,232р + 8,99

Зависимость квадрата модуля передаточной функции от частоты приведена на рис. 7. Результаты расчета по формуле (36) при а№ = 1 м/с и различных масштабах

турбулентности для моделей Драйдена и Кармана приведены

в табл. 3.

Таким образом, при уменьшении длины шланга вдвое среднее квадратическое вертикальное отклонение конуса для масштаба турбулентности 750 м составляет 11 —12 см.

Рассмотрим далее случай, когда длина шланга составляет 40 м. Статическая форма шланга с учетом аэродинамических сил, действующих на шланг, изображена на рис. 8. Первая частота составляет ю1 = 1,04. При

этом /1(/) = 0,123, /(/) = 0,0023 . Нужные значения интегралов составляют: а11 =—0,00110, Ь11 =—0,0303, а1 = 2,59, Ь1 =—0,369.

Рис. 8. Статическая форма шланга, I = 40 м

Передаточная функция от ветрового угла атаки к вертикальному отклонению конуса определяется формулой:

ш л 104 Р (р) = -•

р2 + 0,310 р + 2,49

Значения квадрата модуля передаточной функции в зависимости от частоты приведены на рис. 9 . Значения среднего квадрата вертикального отклонения конуса при <5w = 1 м/с приведены в табл. 4.

Таблица 4

К, м Драйден Карман

150 0,484 0,446

300 0,459 0,439

450 0,423 0,406

600 0,400 0,390

750 0,381 0,378

900 0,367 0,369

1200 0,349 0,356

1500 0,336 0,346

Рис. 9. Зависимость квадрата модуля передаточной функции Е (г'ю)Е (-г'ю) от частоты, I = 40 м

При Ь^ = 750 м среднее квадратическое вертикальное отклонение конуса составляет около 38 см. Таким образом, прослеживается почти линейная зависимость этого отклонения от длины шланга.

Для того чтобы закончить рассмотрение плоских колебаний конуса, следовало бы также учесть влияние продольных порывов ветра на характеристики колебаний, но это влияние оказывается малым, хотя и различимым. Действительно, эти порывы приводят к изменению силы

w

сопротивления конуса АХС = 2-^ХС, в то время как вертикальные порывы приводят к

wy а

изменению подъемной силы конуса АГС = . Спектральная плотность продольных порывов

ветра для модели Драйдена при больших частотах составляет 2/3 от спектральной плотности поперечных порывов. Отношение моментов сил относительно точки крепления шланга при

2cxcУstat(l)

изотропной турбулентности имеет порядок

Са I

ус

■ 1/2. В итоге спектральная плотность

вертикальных отклонений конуса увеличивается на одну шестую, а среднее квадратическое вертикальное отклонение увеличивается примерно на одну десятую.

Боковые колебания шланга с конусом. Нелинейная зависимость аэродинамических сил от скорости (скоростной напор «поперечного» потока) приводит к тому, что характеристики боковых колебаний шланга с конусом будут отличаться от характеристик вертикальных колебаний. Для того чтобы аккуратно разобраться с этим явлением, рассмотрим элемент шланга единичной длины, единичный вектор 7 (рис. 10). Пусть компоненты скорости этого элемента относительно системы 0ху2, связанной с самолетом-заправщиком, составляют X, у, ¿. Вектор

скорости набегающего потока относительно элемента выражается в виде

=(у+^ - х)'+(^ - у) ]+(^ - *)к.

(38)

Определим компонент вектора скорости, нормальный к оси элемента, как разность между вектором скорости и компонентом, направленным вдоль оси элемента, равным 7 • 7). Тогда,

согласно принятой схеме обтекания этого элемента набегающим потоком, вектор аэродинамической силы, действующей на этот элемент при небольших углах между вектором скорости и направлением элемента, определяется формулой:

Р =

к'ЬС/пУге?Уге? + Сх |Уге? — 5 (Уге? • 5 )| (Уге? — 5 (Уге? ' 5 ))] '

а1ш

(39)

где ра1ш — плотность атмосферы.

Рис. 10. К определению аэродинамических сил, действующих на элемент шланга

Здесь первое слагаемое обусловлено силами трения, а второе — силой сопротивления цилиндра при поперечном обтекании элемента. Единичный вектор 5 равен

5 = -V + (У'ш + 5У') ] +

(40)

причем 52 + 52 + 522 = 1, а штрих обозначает частную производную по длине шланга —.

д5

Анализируя формулу (39), можно убедиться, что при описании боковых колебаний шланга коэффициенты при дополнительных членах, входящих в правые части уравнений (27), а также в правые части (33), изменяются. Это изменение сводится к тому, что перед интегралами а^, Ъу, Ьг- появляется множитель 1/2, а интегралы а1 остаются без изменения.

Поясним это на частном примере. Пусть ветер отсутствует, элемент шланга неподвижен, а ориентация элемента в соответствии с формулой (25) отличается от статической на малую

величину, причем у'ш < а |5/| □ |у8\а11, |5^| □ |у'гаг|.

Рассмотрим, как изменяется формула (28) при переходе к анализу боковых колебаний. Вектор скорости поперечного потока определяется формулой:

Уюгш = V (1 — 52 ) 7 + У (у'ш + 5у') 5Х] + УЪ2'5хк,

а модуль этого вектора равен

Упогт = У\ (1 — 5х2 )2 +(Ум + 5у ')2 52 +5^ '25х2 •

(41)

При 5у ' Ф 0, 5г ' = 0 с учетом 5^ + 5^ = 1 получим

Vnom = ^Ыш + 6у'| = - (УStat + 8у'), ^погш =У (1 -7х2 ) г + У ( yStat +8у') ].

Поэтому приращение вертикальной аэродинамической силы составляет

,'\2 , ,Л

(cxd) Я - (у8ш + 6У') + У^Й ~ -2УStat (cxd) Я6У'

что соответствует выписанной ранее формуле (28).

рр• РР'

А

/

2,6 2,8

со

1,6 1,9

2,г г,а

а)

б)

1,2 1,4 1,6 1, в)

Рис. 11. Зависимость квадрата модуля передаточной функции Е (г'ю)Е (-г'ю) от частоты для бокового движения конуса:

а — I = 10 м; б — I = 20 м; в — I = 40 м

При 5у' = 0, &' Ф 0 поправка к модулю вектора ^Погш имеет второй порядок малости по 62', но направление силы изменяется. В итоге приращение боковой силы составляет

- у^ ( ^ ) Я62,

(44)

т. е. соответствующий коэффициент в формуле (28) уменьшается в два раза.

Применим упомянутое выше правило к анализу боковых колебаний, учитывая только первый тон колебаний. Рассмотрим последовательно с учетом только первого тона колебаний три варианта значений длины шланга: I = 10, 20 и 40 м.

В первом, втором и третьем случаях передаточная функция от ветрового угла скольжения wz|V к боковому отклонению конуса определяется соотношениями:

92 2

Е (р) = —2-922-,

р2 + 0,198 р + 8,26

Е (р) = -

83,3

р2 + 0,191 р + 3,87 т л 81,5

Е(р) = -.

р2 + 0,208р +1,93

Зависимости квадратов модулей этих функций от частоты показаны на рис. 11. В табл. 5 приведены значения средних квадратических боковых отклонений конуса для моделей Драйдена и Кармана при различных длинах шланга.

Таблица 5

Lw , м 1 = 10, Д 1 = 10, К 1 = 20, Д 1 = 20, К 1 = 40, Д 1 = 40, К

150 0,195 0,181 0,343 0,314 0,548 0,507

300 0,157 0,156 0,297 0,282 0,527 0,488

450 0,137 0,141 0,263 0,260 0,483 0,459

600 0,125 0,133 0,241 0,245 0,449 0,438

750 0,117 0,126 0,226 0,234 0,425 0,422

900 0,111 0,122 0,215 0,226 0,406 0,410

1200 0,103 0,115 0,200 0,214 0,381 0,391

1500 0,098 0,110 0,191 0,206 0,365 0,378

Как видно, в том случае, когда ускорениями точки подвеса шланга на самолете-заправщике можно пренебречь, амплитуды боковых колебаний превышают амплитуды вертикальных колебаний на 15—20%.

Учет колебаний точки подвеса шланга. Приведенные результаты могут подвергнуться существенной корректировке, если учесть, что точка подвеса шланга на самолете-заправщике совершает вертикальные и боковые колебания под воздействием атмосферной турбулентности. Поэтому система координат, связанная с точкой подвеса, не является инерциальной и возникают силы инерции, пропорциональные массам элементов шланга и массе конуса.

Учесть эти эффекты в общем виде не представляется возможным, поскольку они зависят от передаточных функций, связывающих вертикальную и боковую турбулентность с вертикальными и боковыми ускорениями точки подвеса, т. е. от системы управления движением самолета-заправщика.

Рассмотрим простой пример, учитывая, что погонная массовая плотность шланга постоянна. По данным В. М. Поединка передаточные функции от ветровых углов атаки и скольжения

к приращению вертикальной и боковой перегрузки в центре масс типичного самолета-заправщика при номинальном режиме полета описываются формулами:

= F ( )= 9,16p(p + °,63) а, Л ' p2 +1,41 p +1,94'

П^ = F { ) = - 1,84p4 + 2,92p3 +1,06p2 Pw 2 p4 +1,70 p3 + 5,69 p2 + 2,26 p + 0,096.

(45)

Здесь, очевидно, г^ = 9,16, пв =-1,84.

Ограничимся по-прежнему учетом только первых форм колебаний конуса в вертикальном и боковом направлениях. Тогда в правых частях уравнений (27) появляются слагаемые от сил инерции, равные

(I ^ ^ l \

{р/1 (*)^ + тсА (1)

V 0

gAпv и -

{рЛ (х)^ + тск (1)

V 0

g Апг

соответственно. Принимая во внимание, что ус, = /1(/^(Х), где функции х), /^(Х) относятся к вертикальным и боковым колебаниям соответственно, получим передаточные функции от ветровых углов атаки и скольжения к вертикальным и боковым перемещениям конуса:

1с_

96,2 -11,1^ (p) -83,3 - 11,Щ (p)

p2 + 0,249p + 4,60 Pw p2 + 0,191 p + 3,87

(46)

Квадраты модулей этих передаточных функций изображены в зависимости от частоты на рис. 12. Сравнивая эти результаты с результатами расчета, изображенными на рис. 5 и 11 , можно убедиться, что по-прежнему определяющими являются окрестности первых частот колебаний конуса. При этом вертикальные колебания конуса (относительно точки подвеса шланга!) должны заметно уменьшиться (примерно на одну треть) по амплитуде, а боковые колебания слабо изменяются (незначительно увеличиваются). Этот факт объясняется тем, что «парусность» шланга

с конусом оказывается такой же, что и парусность самолета в вертикальном направлении, поэтому происходит компенсация воздействия вертикальных порывов ветра. В то же время, парусность самолета в боковом направлении оказывается намного меньшей парусности шланга с конусом.

Из этого можно сделать предварительный вывод о том, что управление заправляемым самолетом в вертикальном направлении облегчается по сравнению с задачей об управлении самолетом в боковом направлении, если заправляемый самолет обладает соизмеримой с самолетом-заправщиком парусностью в вертикальном направлении. Действительно, в этом случае наибольший интерес вызывают колебания конуса относительно точки подвеса шланга, хотя этот вывод нуждается в подтверждении по результатам моделирования процесса стыковки самолетов.

До сих пор подразумевалось, что колебания точки подвеса близки к колебаниям центра масс самолета-заправщика. Задача усложняется в еще большей степени из-за того, что в действительности эта точка находится позади центра масс и в большинстве случаев располагается на полукрыле. Тогда колебания самолета по крену, обусловленные турбулентностью бокового ветра, приведут к вертикальным колебаниям точки подвеса. Поэтому в действительности возникает некоторая передаточная функция от боковых порывов ветра к вертикальным перемещениям конуса, зависящая от передаточной функции, связанной с движением крена. Этот эффект также может быть учтен с помощью описанной методики и подлежит исследованию при моделировании процесса дозаправки.

К вопросу о моделировании движения самолетов в процессе перекачки топлива. В результате маневрирования заправляемого самолета носовая часть его устройства для забора топлива должна войти в конус. После этого защелкивается замок и начинается перекачка топлива со скоростью около 10 м/с при поперечном сечении шланга около 25 см . В итоге погонная массовая плотность возрастает от 1,8 до 4 кг/м.

Процесс дозаправки может быть прерван, если горизонтальная составляющая силы натяжения превысит ранее оцененную силу сопротивления конуса 350 кГ (или 3400 Н). Поэтому для полной имитации успешной дозаправки следует продолжить процесс моделирования,

РР'

а) б)

Рис. 12. Зависимость квадрата модуля передаточной функции Е(г'ю)Е(-г'ю), вычисленной с учетом движения точки

подвеса шланга, от частоты, I = 20 м:

а — от ветрового угла атаки к вертикальному перемещению конуса; б — от ветрового угла скольжения к боковому перемещению

конуса

используя известную модель шланга, закрепленного в двух точках [2].

Однако для исследования возможности возникновения происшествия, связанного с отсоединением конуса, можно применить и упрощенную методику. Рассмотрим расположение шланга в статических условиях (см. рис. 2) и оценим горизонтальную силу натяжения в точке В. Для упрощения пренебрежем аэродинамическими силами, действующими на шланг (ослабляющими силу Xв), и силами инерции, возникающими при движении топлива по искривленному шлангу (увеличивающими силу Xв).

Тогда ситуация соответствует классической задаче о равновесии тяжелой однородной гибкой нити заданной длины Ь с закрепленными концами, положение которых характеризуется пролетом I и превышением h (по терминологии [2]). В этом случае горизонтальная составляющая натяжения нити постоянна (см. первое уравнение (1)) и равна

Tx = T ^ = pga. (47)

Значение а определяется формулой

а = —, (48)

а значение ^ является корнем трансцендентного уравнения

8^ = ¿С, (49)

где

VZ2 - h2

k = ^ ^ h > 1. (50)

Если значение k незначительно превышает единицу, то

Z4 6( k -1), (51)

Pgl

T

x

2,45,

(52)

l2 -/-2

i

-1

В рассматриваемом примере при длине шланга 20 м можно убедиться, что значение Tx приближается к 3600 Н, если k -1 < 0,003 ^ 0,005.

Таким образом, в процессе моделирования совместного полета двух самолетов достаточно проверять выполнение последнего условия, которое практически совпадает с условием «ненапряженности» шланга.

Заметим, что при повторных дозаправках шланг оказывается заполненным топливом, поэтому колебания системы «шланг плюс конус» происходят с меньшими амплитудами и меньшими частотами. В результате, процесс дозаправки облегчается. Поэтому наиболее сложным расчетным случаем остается дозаправка самолета при пустом шланге самолета-заправщика.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 01-01-00431).

ЛИТЕРАТУРА

1. Лурье А. И. Аналитическая механика.— М.: Физматгиз.— 1961.

2. Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити. — М.: Наука. — 1980.

3. B o o 11 e W. I. Forces on an inclined cylinder in supercritical flow//AIAA J. 9(3).—1970.

Рукопись поступила 11/VI2002 г.