Оценка влияния конструктивных и аэродинамических характеристик заправочной системы шланг конус на ее динамические свойства и точность контакта при автоматической дозаправке Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Том XL III

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2012

№ 1

УДК 629.735.33.065.063.6

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ КОНСТРУКТИВНЫХ И АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗАПРАВОЧНОЙ СИСТЕМЫ ШЛАНГ — КОНУС НА ЕЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ТОЧНОСТЬ КОНТАКТА ПРИ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ДОЗАПРАВКЕ

В. М. ПОЕДИНОК

С помощью упрощенной математической модели заправочной системы шланг — конус проводится оценка влияния аэродинамических характеристик заправочного конуса и его конструктивных параметров на ее свойства, определяющие точность выполнения контакта при автоматической дозаправке.

Ключевые слова: автоматическая дозаправка в воздухе, аэродинамические характеристики, заправочная система шланг — конус, конструктивные параметры, математическая модель.

Как было показано в работах [1, 2], для повышения вероятности успешного контакта при автоматической дозаправке в воздухе в условиях воздействия турбулентности необходимо использовать управляемый заправочный конус. В процессе его конструирования возникает необходимость оценки влияния конструктивных элементов конуса на динамические характеристики заправочной системы шланг — конус. Такую оценку возможно осуществить с помощью математической модели этой системы. Имеющиеся в литературе математические модели заправочной системы шланг — конус условно можно разделить на две группы. Модели первой группы основаны на использовании системы уравнений в частных производных гиперболического типа для гибкой нити-шланга. Определение параметров модели в этом случае производится с применением различных численных процедур. В модели В. А. Ярошевского [3], например, решение получено методом разделения переменных с применением функций Бесселя. Эти модели используют геометрические, инерционно-массовые и аэродинамические характеристики как шланга, так и конуса. Это позволяет определить те из них, которые оказывают существенное влияние на динамические характеристики системы шланг — конус.

Вторую группу моделей можно назвать аппроксимирующей (модель В. Д. Курбесова [1] описывает реакцию системы на воздействие управляющего органа, модель Р. Боверс (R. Bowers) [4] описывает реакцию на воздействие атмосферной турбулентности). Эти модели получены путем аппроксимации записей колебаний реальных заправочных систем шланг — конус.

К недостаткам первой группы моделей следует отнести довольно громоздкую процедуру получения решений уравнений в частных производных, особенно, с помощью численных методов. Недостатком второй группы является отсутствие возможности с их помощью оценить влияние параметров модели на динамические характеристики еще не созданной, проектируемой системы шланг — конус. Поэтому возникает потребность в создании упрощенной модели системы шланг — конус, с помощью которой можно было бы оперативно оценивать влияние этих параметров. Один из вариантов такой упрощенной

ПОЕДИНОК Виктор Михайлович

ведущий инженер

модели рассматривается в настоящей работе на примере анализа движения системы шланг — конус в вертикальной плоскости. Синтезирована упрощенная математическая модель и оценены динамические свойства заправочной системы шланг — конус и их влияние на точность контакта для различных аэродинамических характеристик заправочного конуса.

1. УПРОЩЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЗАПРАВОЧНОЙ СИСТЕМЫ ШЛАНГ — КОНУС В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Синтез упрощенной модели движения системы шланг — конус основан на учете следующих особенностей этого движения, наблюдаемых при анализе видеозаписей процесса дозаправки в воздухе:

а) в окрестности равновесного положения наблюдаются колебания только первого тона. Колебания выше первого тона наблюдаются лишь во время выпуска шланга и непосредственно после выпуска;

б) в окрестности равновесного положения отсутствуют колебания заправочного конуса относительно точки его крепления к шлангу.

Уравнения движения в вертикальной плоскости при синтезе записываются в отклонениях от равновесных значений используемых фазовых координат. При этом пренебрегается изменением коэффициента сопротивления конуса по углу атаки. Считается также, что для угловых величин рассматриваемые отклонения малы, так что значение косинуса углового отклонения равно единице, а значение синуса — самому значению углового отклонения, выраженному в радианах.

Учитывая рис. 1 и первую особенность колебаний системы шланг — конус в окрестности положения равновесия, уравнения колебаний шланга с конусом относительно равновесного положения в вертикальной плоскости можно записать в виде:

1ШК Дф = АМаэр +АМ0 + ДМж + Шф + АМт.п,

где 1ш к = ^“3^ + ^к J-g-момент инерции шланга с конусом; Gш, Gк — вес шланга и конуса;

g — ускорение свободного падения; Ьш — длина шланга; Дф — отклонение угла наклона шланга от своего равновесного состояния, ДМаэр =-(0.5Д^ш + Д^пк)Lш — момент аэродинамических сил, действующих на систему шланг — конус; Д^пш = афшДф+акш wy — отклонение

у ф + х

нормальной аэродинамической силы, действующей на шланг; афш = Ушф; акш = ш ^ 0ш —

коэффициенты, учитывающие влияние отклонения шланга от своего равновесного положения на угол ф и влияние атмосферной турбулентности на аэродинамические силы, действующие на шланг; — вертикальная составляющая атмосферной турбулентности; уш = сфп шqdшLш —

производная нормальной аэродинамической силы шланга; сфш — производная коэффициента нормальной аэродинамической силы шланга по углу атаки; д — скоростной напор; dш — диаметр шланга; X0ш = ст шqdшLш — продольная аэродинамическая сила, действующая на шланг; схш — тангенциальный аэродинамический коэффициент шланга; ¥° — скорость полета само-лета-заправщика; Д^пк =ДУк + аекД0 + афкДф+аккwу — отклонение нормальной аэродинамической силы, действующей на конус; ДУк — отклонение вертикальной по отношению к скорости набегающего потока аэродинамической силы конуса; аек = У°кф° - X0к,

афк = -У0кф0 +Х0к, аwк = Х0к ^.У°кф° — коэффициенты, характеризующие зависимость перпендикулярной к шлангу аэродинамической силы конуса от угла наклона траектории конуса,

Рис. 1. Упрощенная схема сил, действующая на систему шланг — конус

угла наклона шланга и атмосферной турбулентности; 70к = сук (акдал ) , X0к = схк (акбал ) д£к

подъемная сила и сила сопротивления конуса в равновесном состоянии; еук, схк — аэродинамические коэффициенты конуса; 5к — характерная площадь конуса; акбал — балансировочный

угол атаки конуса; фо — среднее значение угла наклона шланга в равновесном состоянии; Д9 — отклонение угла наклона траектории конуса от своего равновесного положения;

в зависимости от величины смещения его конца относительно равновесного положения; АН — вертикальное отклонение центра масс конуса от своего равновесного положения;

вающего зависимость момента от угловой скорости колебаний шланга относительно равновесного

действующей на шланг в точке подвеса; ДПу тп — вертикальная перегрузка в точке подвеса

шланга к самолету-заправщику; тк — масса конуса.

При получении коэффициентов в уравнении для нормальной по отношению к шлангу составляющей аэродинамической силы конуса Д^ік нужно учитывать возможные особенности реализации соединения шланга и конуса посредством шарнира. Чтобы учесть эти особенности, запишем уравнение для отклонения вертикальной составляющей конуса в виде:

где 5 — отклонение аэродинамического органа управления конуса; Аатр — отклонение траек-

коэффициенты конуса и их соответствующие производные.

Из анализа имеющихся видеозаписей дозаправок в воздухе видно, что при колебаниях в окрестности равновесного состояния отсутствует вращательное движение конуса относительно точки крепления к шлангу, т. е. имеет место вариант реализации шарнирного соединения, при котором

ДМ(3 = —(0.5Gш + Gк)фо£шДф — момент от сил тяжести, действующих на шланг и конус;

= РшgLш ; рш — удельная плотность заполненного топливом шланга; ДМж = а!^.Дк — момент, учитывающий жесткость шланга; а^^ — коэффициент, учитывающий жесткость шланга

ДМф = тф дёш £ш2Дф = аф Дер; тф — коэффициент собственного демпфирования шланга, учиты-

положения; ДМтп = — ЬшД7т п = — Ьш (тк + 0.5ршЬш ) gДпут п = — аПу Дпут п — момент от силы Д7т п,

торного угла атаки конуса от своего равновесного состояния; Да № = ^/^0 — отклонение угла атаки конуса, вызванное наличием ветра; 7ка = ^ак д^к; Ук5 = с^qsк ; с^, сук — аэродинамические

момент трения в шарнире намного больше аэродинамического момента конуса. Он и будет рассматриваться в дальнейшем. В этом случае конус неподвижен относительно шланга, так что а0 ~ ф0 в равновесном случае, а отклонение траекторного угла атаки Датр « Дф. С учетом этого

факта отклонение конуса по высоте от равновесного состояния равно Дк = — Lш Дф, а выражение для отклонения перпендикулярной к шлангу составляющей аэродинамических сил, действующих на шланг, принимает вид:

Д^п.к = a9 к Д0 + ( + ^ка)Дф+( awк + Гка/^0 ) Wy + 7к55.

Приводя описанные выше уравнения к одному аргументу Дк и учитывая, что Лk = ^Д9, получим математическую модель траекторного движения системы шланг — конус в вертикальной плоскости в виде:

а + aк ^ + aкДк + а5Д3 + у + апу Дпу т.п = 0 (1)

где

I,,, к ( а9 к-^ш + аф

V ц.

V ш

= С1к + аф,

ак = °.5 (фш + Сшфо ) + афк + + Скф0 + Ож = аЬф + Ож,

а5=—Х, awy =-(awк + YKа/Vо +0^ш ), Д = VоД0.

Коэффициенты, учитывающие собственное демпфирование шланга аф и жесткость заполненного топливом шланга аж определяются либо по экспериментальным данным, либо по результатам математического моделирования с помощью других, более точных моделей системы шланг — конус. Если по этим данным определены собственная частота первого тона колебаний системы шланг — конус Юоэ и его демпфирование £э , то указанные выше коэффициенты упрощенной математической модели определяются по формулам:

аф = 2а к'£эЮ0э — ан,

ак = а Ю 2 — а аж ак 0э ак ф.

Демпфирование и частота, соответствующие текущим значениям коэффициентов упрощенной математической модели (1), определяются через эти коэффициенты по формулам:

Ю = ¡К. £ = ак

0 V а ъ ’ 2ю0ак '

Входящие в коэффициенты параметры равновесного состояния X0к = Хк (а0к), Yок = Yк (а0к), где а0к = ф0, определяются из условий равновесия системы шланг — конус. Используя рис. 1, можно эти условия записать в виде:

^к — Ск + Y0ш — — Х0шф0 + Т ф0 = 0,

Х0к + Х0ш + ^0шф0 — Т = 0,

где Т — натяжение шланга. Отсюда для варианта реализации шарнирного соединения (ок =фо ) получаем

Оценки значений Т и фо получим для параметров заправочного конуса, равных Ок = 40 кГ, q = 1200 кГ/м, сх = 0.33, = 0.0033 1/град, погонной плотности заполненного топливом шланга

рш = 3.5 кГ/м, длины шланга Lш = 30 м. Аппроксимируя аэродинамические характеристики

заправочного шланга зависимостями сфш = а + Ьфо, спш = сф.шфо, стш = а2 + ^фо, а = 0.09, Ь = 1.3036, а2 = 0.02, Ь = 0.027, уравнение для определения фо можно представить в виде:

Тогда оценки среднего угла наклона шланга и его суммарного натяжения равны: ф0 = 6.7°,

Сравним полученные значения среднего угла наклона шланга и суммарное натяжение троса с такими же характеристиками модели системы шланг — конус [3], использующей уравнения в частных производных, которую можно считать более точной при определении статической формы шланга и действующих на него нагрузок. Проведенные по этой модели расчеты при тех же аэродинамических характеристиках шланга и конуса и тех же условиях полета дают перепад высоты между закрепленным концом шланга и конусом 5к = 3.3 м и Т = 537 кГ. Оценка среднего угла наклона шланга в этом случае, равная ф0 = 5к=3.4/30 = 0.11« 6.3°, близка к той, которая получена из условий равновесия шланга.

Ошибка в определении Yок и фо мало влияет на коэффициенты уравнения (1), поскольку входящее в них произведение Yошфо существенно меньше других членов. Так при упомянутых выше значениях аэродинамических коэффициентов эти члены равны:

произведение Y0шф0 = 24.8• 0.13 = 3.2 кГ. Таким образом, оценку среднего угла наклона шланга, полученную из условий равновесия шланга можно использовать при вычислении коэффициентов упрощенной модели системы шланг — конус без существенного влияния на точность.

2. СРАВНЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ ШЛАНГ — КОНУС С ХАРАКТЕРИСТИКАМИ РЕАЛЬНОГО ОБЪЕКТА И ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ДРУГИХ МОДЕЛЕЙ

Сравнение производится с имеющимися данными летных экспериментов и с расчетными данными, полученными с использованием других математических моделей системы шланг — конус.

Ниже приводится таблица, где сравниваются некоторые оценки параметров системы шланг — конус из летных экспериментов и их расчетные значения, полученные при математическом моделировании с помощью упрощенной модели и модели В. А. Ярошевского [3]. При этом предполагается, что аэродинамические характеристики заправочного конуса и шланга соответствуют тем, которые описаны в разделе 1. При определении коэффициентов упрощенной модели используются нулевые значения коэффициентов, учитывающих упругость шланга и собственное демпфирование системы шланг — конус.

В табл. 1 используются обозначения: эксперимент — данные экспериментов; 1 — модель Ярошевского; 2 — упрощенная модель; То — натяжение шланга в точке подвеса; Юо — собственная частота системы шланг — конус; £, — демпфирование системы шланг — конус, cW —

Т = 449 кГ.

Х0к = 400.7 кГ, Yка = 229.6 кГ, 0.5^ + Хш) = 0.5(495.4 + 54.5) = 275 кГ,

Таблица 1 Таблица 2

Сравнение экспериментальных и расчетных характеристик Сравнение с моделью

системы шланг — конус В. Д. Курбесова

Модель 5Н, м Ф°0 Га, кГ 8 О 4 а,у, м Модель 80,1/с 4

Эксперимент «3 5.7 400 — 500 < 1.57 — — 3 1.41 0.14

1 3.3 6.3 537 2.05 0.08 0.1 1 1.67 0.08

2 3.5 6.7 458 2.02 0.07 0.1 2 1.49 0.05

среднее квадратическое значение отклонения заправочного конуса по высоте при воздействии атмосферной турбулентности интенсивностью а, = 1 м/с.

Как видно из таблицы, по одному из важнейших параметров, характеризующему переходной процесс и обеспечивающему соответствие между экспериментом и его математическими аналогами — частоте собственных колебаний, отличие составляет около 30%. Следует отметить, что отличие между моделями 1 и 2 по приведенным показателям незначительно. Для более точного сравнения параметров моделей с экспериментальными данными нужны более точные их значения, измеренные в эксперименте, и более полный их набор.

Сравним результаты, полученные с помощью моделей 1 и 2 с имеющимися результатами, полученными В. Д. Курбесовым [1] (использовавшим аппроксимирующую модель системы шланг — конус). Обозначим ее как модель 3. При этом для моделей 1 и 2 используются те же условия полета и те же аэродинамические характеристики, что и для модели 3 [1].

Результаты, полученные с помощью модели 3, соответствуют варианту конуса с протоком: скоростной напор q = 400 кГ/м2, Gк = 40 кГ, Ьш = 22 м, 5к = 0.28 м2, схк = 0.95, сук = 0.02,

с^. = 0.005 1/ град.

Видно, что значение собственной частоты завышено для моделей 1 и 2 (от 6 до 18%), значение демпфирования, наоборот, значительно занижено по сравнению с демпфированием для модели 3 (от 43 до 64%). Отличия между моделями 1 и 2 в этом случае составляют по собственной частоте — 11%, по демпфированию — 38%.

Из приведенных в табл. 1 и 2 результатов видно, что все модели по рассмотренным показателям отличаются друг от друга. Поэтому сделать вывод о приемлемости той или иной модели возможно только после сопоставления результатов математического моделирования с более точными и более полными данными, полученными в эксперименте и после анализа возможности коррекции параметров модели по этим данным. Учитывая простоту получения решений с помощью упрощенной модели и возможность ее коррекции по экспериментальным данным, в дальнейшем при анализе и моделировании будет использоваться упрощенная модель системы шланг — конус.

3. ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОНУСА И ДЛИНЫ ШЛАНГА НА УСТОЙЧИВОСТЬ И ДИНАМИКУ ЗАПРАВОЧНОЙ

СИСТЕМЫ ШЛАНГ — КОНУС

Используя упрощенную модель заправочной системы шланг — конус, оценивается влияние аэродинамических характеристик конуса и длины шланга на ее устойчивость и динамику заправочной системы шланг — конус. Варьируются аэродинамические коэффициенты конуса

схк, сук, и длина шланга Ьш. Оценивается их влияние на собственную частоту системы шланг — конус ^, демпфирование 4, среднее квадратическое отклонение конуса по высоте от своего равновесного состояния от воздействия атмосферной турбулентности а ^ ), среднее

квадратическое отклонение конуса по высоте от своего равновесного состояния от воздействия отклонений вертикальной перегрузки в точке крепления шланга ащ„у(,у)), суммарное среднее

квадратическое отклонение конуса по высоте от воздействия отклонений вертикальной перегрузки в точке крепления шланга к самолету-заправщику и атмосферной турбулентности анц,у).

Оценка изменений «0, 4 и средних квадратических отклонений производится с использованием аппарата анализа линейных систем. При этом предполагается, что отклонение вертикальной перегрузки в точке крепления шланга возникает от воздействия атмосферной турбулентности на самолет-заправщик, а передаточная функция от вертикальной составляющей турбулентности к отклонению вертикальной перегрузки для типичного самолета-заправщика соответствует автоматическому режиму выдерживания высоты Н = 6 км при числе М = 0.6 в продольном движении и заданного пути в боковом движении. Используемые при линейном анализе передаточные функции заправочной системы шланг — конус согласно упрощенной модели для аэродинамических коэффициентов конуса и шланга, приведенных в разделе 1, имеют вид:

Wnн =-120?; ^ = ■0^; W5Н =-4^; Р (р) = р2 + 0.274р + 4.092.

пу Р (р ) ’ №у Р (р)’ Ъв Р (р)’ и и

При рассмотрении воздействия атмосферной турбулентности используется модель Драй-дена со средним квадратическим значением вертикальной скорости ветра а,у = 1 м/с и масштабом турбулентности Ь, = 750 м.

На рис. 2 представлено влияние изменения схк на динамические характеристики системы шланг — конус. Звездочкой обозначены параметры, соответствующие номинальным значениям аэродинамических характеристик конуса, использованных в разделе 1. Видно, что с увеличением схк частота колебаний конуса и его демпфирование увеличиваются, а средние квадратические отклонения конуса от своего равновесного положения при воздействии турбулентности уменьшаются. При значении схк < 0.2 наблюдается резкое возрастание этого отклонения. При схк = 0.07 (вариант конуса без «юбки») значение анц, ) достигает 0.38 м. Для исходного варианта (схк = 0.33) эта величина равна 0.15 м. Увеличение схк в два раза приводит к уменьшению суммарной среднеквадратической ошибки до 0.11 м (на 27%).

На рис. 3 представлено влияние изменения с^к. Видно, что с увеличением с^к частота колебаний конуса увеличивается, а демпфирование уменьшается. Среднее квадратическое откло-

Рис. 2. Зависимость динамических и точностных характеристик системы шланг — конус от схк * Номинал

3

0.098 > 0.097 Ь 0.096

!

0.5 1 /рад

0.5 1/рад

0.08

0.06

0.04

460

й

о 455

450

В 0.2 } ол їР Ь

^ '

0.5 1 /рад

ук

0.5 1/рад

2 >о.і и -с

0.5

1/рад

0.5

, 1/рад

Рис. 3. Зависимость динамических и точностных характеристик системы шланг — конус от

нение высоты конуса от действия турбулентности о,( ) незначительно увеличивается, в то

время как среднее квадратическое отклонение конуса по высоте от воздействия отклонений вертикальной перегрузки в точке крепления о,/ ( ч и суммарное среднее квадратическое

\ПУ ( ^У ' )

отклонение конуса уменьшаются.

Остановимся более подробно на не совсем очевидном факте незначительного влияния с^к

на о,( ). Согласно [5], ) определяется по формуле:

где 5, (ю) — спектральная плотность атмосферной турбулентности. При этом в рассматривае-

мом диапазоне частот функции

< (ю)

с большим значением амплитуды соответствует воз-

мущающее воздействие 5^ (ю) с меньшей амплитудой. В результате подынтегральное выражение (произведение этих функций) при различных значениях Сук отличается незначительно и,

следовательно, отличаются незначительно и о

(У).

На рис. 4 представлено влияние Ьш. Видно, что с увеличением частота колебаний конуса уменьшается, а демпфирование, средние квадратические отклонения конуса увеличиваются. Влияние Сук на все рассмотренные параметры незначительно.

Для того чтобы выяснить, какие из коэффициентов оказывают наибольшее влияние на изменение рассматриваемых параметров, в табл. 3 представлены оценки чувствительности как отношение относительных диапазонов изменения изучаемой характеристики к относительному диапазону изменения изучаемого параметра, вызвавшего эти изменения характеристики.

* Номинал

Рис. 4. Зависимость динамических и точностных характеристик системы шланг — конус от Ьш

Соответствующие величины отнесены к своим номинальным значениям. В табл. 3 эти оценки для изучаемых характеристик отмечены чертой сверху.

Видно, что наибольшее влияние на частоту и демпфирование имеет длина шланга Ьш , наименьшее — сук. Знаком минус отмечены те из рассмотренных характеристик, значения которых уменьшаются с ростом соответствующего параметра. При увеличении схк частота и демпфирование увеличиваются, а влияние воздействия турбулентности уменьшается. Другим параметром, уменьшающим воздействие турбулентности, является Сук, но его влияние незначительно по сравнению с схк . Наибольшее возрастание воздействия турбулентности вызывает увеличение

длины шланга. С точки зрения минимизации воздействия атмосферной турбулентности на систему шланг — конус предпочтительной является система с наибольшим возможным значением схк и с наименьшей возможной длиной шланга. В первом случае ограничениями являются прочность шланга, располагаемая мощность наматывающего устройства и степень перфорации «юбки», с помощью которой закрывается кольцевая часть торцевой поверхности заправочного конуса. Перфорация «юбки» может использоваться как для уменьшения потребного тянущего усилия наматывающего устройства, так и для ослабления аэродинамического взаимодействия конуса с заправляемым самолетом (эффекта «всплывания» конуса). Ограничением снизу длины шланга является нижняя граница вихревого спутного следа самолета-заправщика.

Таблица 3

Оценки чувствительности динамических характеристик системы шланг — конус

Параметры Юо 4 стйОу), м ®h(ny (Wy )), м стШ>у), м

схк 0.174 0.732 -4.027 -7.643 -6.405

сук -0.002 -0.007 0.0027 0.007 0.004

Ап -0.988 2.219 1.551 1.241 1.377

са '■'ук 0.097 -0.084 0.001 -0.014 -0.011

Таким образом, из приведенных результатов следует, что синтезированная упрощенная модель системы шланг — конус позволяет провести анализ влияния аэродинамических и конструктивных параметров этой системы на ее динамические свойства.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-08-00628).

ЛИТЕРАТУРА

1. КурбесовВ. Д. Исследование возможности автоматизации процесса контактирования самолетов при заправке топливом в полете // Предприятие почтовый ящик В-8759.

Труды № 299. 1976, с. 1 — 27.

2. ПоединокВ. М. Вероятностная оценка потребной эффективности органов управления заправочного конуса при дозаправке самолета в автоматическом режиме // Ученые записки ЦАГИ. 2007. Т. XXXVIII, № 1 — 2, с. 119 — 128.

3. Ярошевский В. А. Методика моделирования движения шланга с заправочным конусом в процессе дозаправки самолета в воздухе // Ученые записки ЦАГИ. 2003. Т. XXXIV,

№ 3 — 4, с. 91 — 108.

4. Bowers R. Estimation algorithm for autonomous aerial refueling using a vision based relative navigation system // A Thesis of master science in aerospace engineering. Texas A&M University, 2005, p. 1 — 145.

5. ЮревичЕ. И. Теория автоматического управления. — Л.: Энергия, 1969, с. 90 — 92.

Рукопись поступила 7/VII2010 г.