Методика изучения темы «Классификация поверхностей второго порядка» в курсе геометрии подготовки бакалавров педагогического профиля Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. Н. Дорофеев

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА» В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ

Аннотация. В статье рассмотрен методический прием изучения темы «Классификация поверхностей второго порядка». Данный прием основан на фузионистской идее обобщения методики классификации кривых второго порядка.

Ключевые слова: качество подготовки бакалавров педагогического профиля, формирование творческой активности, подготовка бакалавров к исследовательской деятельности.

Проблема разработки методики обучения будущих учителей математики приемам классификации линий и поверхностей второго порядка является одной из наиболее значимых. В большей части учебников и учебных пособий достаточно подробно и доступно изложена методика приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Однако методика приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду требует значительного дополнения [1, 2]. В существующих учебных пособиях по геометрии для педвузов (Базылев В. Т., Дуничев К. И., Иваницкая В. П. Геометрия. Ч. I. - М. : Просвещение, 1978; Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. Ч. I. - М. : Просвещение, 1986) эта проблема решается путем обучения студентов приемам приведения уравнения квадрики в л-мерном евклидовом пространстве к каноническому виду, а затем как частный случай дается классификация поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Однако, как показывает опыт, такой подход не всегда эффективен. Во-первых, между изучением поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям и рассмотрением теоремы классификации проходит большой период времени, за который студенты успевают забыть не только какие-то особенности каждой поверхности, но и их канонические уравнения. Во-вторых, прерывание процесса изучения приемов приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду нарушает целостность обучения будущих учителей математики методам аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. В связи с этим мы предлагаем сделать процесс обучения студентов по профилю «Математика» направления «Педагогическое образование» приемам приведения уравнения линии второго порядка и поверхности второго порядка к каноническому виду непрерывным. Это означает, что изучение данных тем необходимо объединить в блок под названием «Приведение общего уравнения линии второго порядка на плоскости и поверхности второго порядка в пространстве к каноническому виду». На теоретическое изучение данной темы достаточно 6 ч лекций: 2 ч - на приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду и 4 ч - на приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Целесообразность выбора такой методики обосновывается прежде всего тем, что после изучения метода приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду и освоения тонкостей его применения на практических занятиях в сознании наиболее продвинутой части студентов формируется потребность обобщения этого метода на

случай приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. К сожалению, в рекомендуемых учебных пособиях по геометрии для педвузов этот вопрос не рассматривается. Можно найти только алгоритм решения этой задачи в конкретном случае. Но вопрос о том, почему мы должны так делать, к сожалению, остается открытым. Нет теоретического обоснования ни одного шага этого алгоритма [3, 4]. Ниже мы приводим методику изучения данной темы в вузах, ответственных за подготовку бакалавров педагогического образования, которая включает в себя цели, средства и методы обучения будущих учителей приемам классификации поверхностей второго порядка.

Итак, классическая постановка задачи такова: в пространстве задана ПДСК (прямоугольная декартова система координат) а ] к и поверхность Ф второго порядка, определяемая относительно заданной системы координат уравнением

Необходимо найти такую ПДСК О' I'j' к', относительно которой данная поверхность определялась бы каноническим уравнением, т.е. уравнением, не содержащим попарных произведений текущих координат. Как известно, формулы преобразования ко-

Для того чтобы получить уравнение поверхности Ф в ПДСК О' і'і' к', заменим в данном уравнении текущие координаты х, у, z по формулам (1). В результате получим уравнение этой же поверхности, но в виде

а11 х2 + а22 у2 + а33 z2 + 2а12 ху + 2а13 xz + 2а23 yz + 2а10 х + 2а20 у + 2а30 z + а00 = о.

ординат точки при переходе от одной ПДСК О1 j к к другой О' Г j' к' имеют вид

х = х' соб(і, і') + у'соб(і, і') + X Є0Б(і, к'), у = х'Є0Б(І, І') + у'Є0Б(і, У) + z'Є0Б(і к), z = х' еоБ(к, і') + у' еоБ(к, і') + z' еоБ(к, к').

(1)

+ 2а20 у'+2^30 z' + а'00 = 0,

(2)

где

+ 2аХ3 Є08(і, і') е0Б(к, і') + 2а^3 соб(і, і') еоБ(к, у');

а33 = а11 соб2 (і, к') + а22 соб2 (і, к') + а33 соб2 (к, к') + 2а12 ео8(і, к') соб( і, к') + + 2а13 собО', к ')єоб( і, к') + 2а23 єоб(і , к')еоБ(к, к');

а12 = а11 собС, і') • соб(і, і') + а22 соб( і, і') • соб( і, і') + а33 еоБ(к, і') еоБ(к, і') + + а12(еоБ(і, і' )соб( , і) + соб( , і' )соб(і , /)) +

+ а13(еоБ(і, і')еоБ(к, і') + еоБ(к, і')соб(і, і')) +

+ а23 (соб( і, і ')еоБ(к, і') + соб( і, і ')еоБ(к, і'));

а!3 = а11 собО', Г)со8(1, к') + а22 ео8( j, к ')соб( j, г) + а33 С08(к, г )ео8(к, к') +

+ а12(ео8(1, I')соб( j, к') + соб( j, I')со8(1, к')) +

+ а13(ео8(1, I ')ео8(к, к') + С08(к, I ')со8(1, к')) +

+ а23(е08( j, г')е08(к, к') + соб( j, к')е08(к, I')); а23 = а11 собО', j' )соб(1, к' ) + а22 соб( j, j ')соб( j, к') + а33 С08(к, j ')ео8(к, к') +

+ а^еоБО',/ )соб( -, к') + соб( -, /)сс8(г, к')) +

+ а13 (собО' , j') соз(к, к') + ео8(к, j') собО', к')) +

+ а23 (соб( j, j')ео8(к, к') + соб( j, к')ео8(к, j'));

а10 = а10 со8(1 , Г) + а20 соб( j, I') + а30 ео8(к, Г)); а2о = аш ео8(г, j') + а20 соб( j, j') + а30 ео8(к, j'); а30 = а10 со8(1, к') + а20 соб( j, к') + а30 ео8(к, к'); а00 = а00.

Наша задача заключается в упрощении уравнения данной поверхности. Поэтому мы потребуем, чтобы в уравнении (2) коэффициенты при попарных произведениях

////// / / / г' ТТ Г’

ху, у z, переменных координат х , у , z были равны нулю. Для этого необходимо, чтобы выполнялись соотношения а12 = а13 = = 0. Из этих соотношений с учетом

равенств (3) получаем

а11 соб(1, г') со8(1, j') + а22 соб( j, I' ) соб( j, j') + а33 ео8(к, I' ) ео8(к, ) +

+ а12(С08(1,1 )С08(', / ) + С08(, 1')С08(1, /)) +

+ а13(С08(1,1')С08(к, j') + С08(к, I')С08(1, j')) +

+ а23(е08( j, I ')е08(к, j') + С08( j, j ')е08(к, I')) = 0;

а11 со8(1, I ')со8(1, к') + а22 соб( j, к ')соб( j, Г) + а33 С08(к, 1')ео8(к, к') +

+ а12(ео8(1,1' )соб( j, к') + соб( j, I' )со8(1, к' )) +

- ' - (4)

+ а13(ео8(1,1' )ео8(к, к') + С08(к, I ')соб(1, к')) +

+ а23(ео8( j, I ')ео8(к, к') + соб( j, к ')ео8(к, I')) = 0;

а11 со8(1, j ')со8(1, к') + а22 соб( j, j ')соб( j, к') + а33 С08(к, j ')ео8(к, к') +

+ а12(С08( I, - ')С08( -, к ')+ С08( -, - ')С08( I , к')) +

+ а13 (со8(1 , j') С08(к, к') + С08(к, j') со8(1, к')) +

+ а23(ео8( j, j ')ео8(к, к') + соб( j, к ')ео8(к, j')) = 0.

Преобразуя левую часть первого уравнения системы (4), получим уравнение вида (а11 со8(1, г') + а12 соб( j, I') + а13 С08(к, I '))соб(1, j') +

+ (а12 со8(1, I') + а22 соб( j, I') + а23 С08(к, I')) соб( j, j') +

+ (а13 со8(1, г') + а23 соб( j, I') + а33 С08(к, I '))ео8(к, j') = 0. (5)

Преобразуя левую часть второго уравнения системы (4), получим уравнение вида (а11 собО', і 0 + а12 соб( ', і 0 + а13 еоБ(к, і 0) собО', к 0 +

+ (а12 соб(і, і ') + а22 соб( ', і 0 + а23 еоБ(к, і 0) соб( ', к ') +

+ (а13 соб(і, і 0 + а23 соб( ', і 0 + а33 еоБ(к, і 0) еоБ(к, к' ) = о. (6)

Из равенств (5) и (6) следует, что вектор с координатами |а11 соб(і, і0 + а12 соб(', і') + а13 еоБ(к, і0; а12 соб(і, і0 + а22 соб( j, і0 + а23 еоБ(к, і0; а13 соб(і, і ' ) + а23 соб( j, і 0 + а33 еоБ(к, і '))еоБ(к, j '))

перпендикулярен вектору j' и вектору к'. Значит, этот вектор коллинеарен вектору г . Следовательно, их координаты пропорциональны, т.е. имеет место система уравнений

а11ео8(і, і') + а12еоБ(j, і') + а13еоБ(к, і') = А соб(і, і'); а12 соб(і, і ') + а22 соб( j, і') + а23 соБ(к, і') = X соб( j, і'); а13 соб(і , і') + а23 соб( j, і') + а33 соБ(к, і') = X соБ(к, і')

или

(а11 -Х)со8(і, і') + а12 соб(' , і') + а13 соБ(к, і') = о; а12 соб(і , і ') + (а22 -Х)соб( j, і ') + а23 соБ(к, і ') = о; а13 соб(і, і') + а23 соб(j, і') + (а33 -X)еоБ(к, і') = о.

(7)

Аналогичным образом, преобразуя левые части второго и третьего уравнений системы (4) и учитывая ортогональность векторов к', У и 1', к' получаем системы уравнений

и

(аи -Х)со8(і, j') + аХ2 соб( j, j') + а^ соБ(к, j') = о; а12 соб(і, /) + (а22 -X )соб(/ , j') + а23 соБ(к, /) = о; а13 соб(і, '') + а23 соб(','') + (а33 -Х)соз(к,'') = о

(а11 -Х)со8(і , к') + а12 соб( ', к') + а13 соБ(к, к') = о; а12 соб(і, к') + (а22 -Х)соб( ', к') + а23 соБ(к, к') = о; а13 соб(і, к') + а23 соб(', к') + (а33 -Х)соБ(к, к') = о.

(8)

(9)

Следует обратить внимание обучающихся на тот факт, что каждая из этих систем является линейной однородной системой относительно направляющих косинусов, которая имеет ненулевое решение. Иначе мы получим, что хотя бы один из координатных

векторов Г, У или к' будет нулевым, чего быть не может. Как известно, системы (7)-(9) линейных однородных уравнений имеют ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы каждой из них равен нулю:

а11-Х

а

а

а

13

а22 X

23

13

23

а33 ^

= о.

(1о)

Решая характеристическое уравнение (10), находим корни Х^ Х2 и Х3. При Х = Х1 из системы уравнений (7) находим координаты единичного вектора г ; при

Х = Х2 из системы уравнений (8) - координаты единичного вектора У; при Х = Х3 из системы уравнений (9) - координаты единичного вектора к'. Таким образом, в пространстве мы построили ПДСК 01'У к', относительно которой данная поверхность Ф второго порядка определяется уравнением вида

а11 х '2 + а'22 у '2 + а33 г '2 + 2а10 х' + 2а'20у' + 2а30 г' + а00 = о.

Поскольку Оц + а22 + а33 = Оц + а22 + а33 = Х1 + Х2 + Х3, то Оц =Х1, а22 =Х2, а33 = Х3. Итак, уравнение поверхности Ф второго порядка относительно ПДСК 0г У к' имеет вид

Х1 х '2 + Х2 у '2 + Х3 г '2 + 2а10 х' + 2а'20 у' + 2а'30 г' + а00 = 0.

В левой части полученного уравнения выделим полные квадраты. В результате приведем уравнение к виду

(

X,

/2 аюх

X 2 + 2 10 +

2

X,

V Х1 У

(

+ Х2

У2 + 2 —20у +

2

X

+ Х3

—

30

Х3

V 3 У

—

2

—

2

2

—

+ а 00 —

00 л л

X, Х2

V Х2 У

30

X,

или

X,

X +-

а

' У

X

1 У

У +

—

X,

' V

2 У

—

г +-

' Л2

30

+ —00

—

Перенесем начало О ПДСК 0І'У к' в точку О'

а

і'2

*10

'2

20

—00 л л

Х1 Х2

Х1

30

Х3

обозначим через а'00 . Тогда уравнение

х +-

—

2

X

+ Х2

1

У +

—

2

X

2 У

—

г +-

' V

30

X

+ —00

а;

3 У

0 =0

* 8 а і 1 а 02

X 2 X 00

а го ^ о I а 00 ' о

Х2’ X 00

* 8 а і 1 а 02

X 2 X 00

= 0.

, а выражение

= 0

примет вид

Х1 х',2 +Х 2 у''2 +Х 3 г''2 + —00 = 0.

(11)

Исследуя всевозможные значения, которые могут принимать Х1,Х2,Х3, и а'00, получаем, что все поверхности второго порядка в евклидовом пространстве исчерпываются следующими типами: эллипсоиды, мнимые эллипсоиды, однополостные и двуполостные гиперболоиды, конусы второго порядка, эллиптические и гиперболические параболоиды, эллиптические, гиперболические и параболические цилиндры, пары действительных или мнимых пересекающихся плоскостей, пары действительных или мнимых параллельных плоскостей, пары совпавших плоскостей. Теперь на более осознанном уровне

студенты смогут усвоить алгоритм приведения общего уравнения поверхности второго порядка. Сейчас они знают не только что надо делать, но и, самое важное, почему это надо делать. Достаточно лишь упорядочить систему действий, связанных с упрощением уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.

Изучение вопросов подобного рода, основанное на идеях фузионистского подхода, обусловливает у студентов с высоким уровнем развития математических способностей формирование высокой математической культуры, у студентов, проявляющих интерес к изучению математических методов, но не обладающих высокими математическими способностями, расширяет границы понимания естественной красоты в математике, формирует стремление и упорство не столько к запоминанию математических фактов, сколько к усвоению их математического смысла.

Список литературы

1. Дорофеев, С. Н. Координатный метод в обучении старшеклассников приемам распознавания геометрических образов / С. Н. Дорофеев, Н. В. Наземнова // Психодидактика высшего и среднего образования : материалы IX Междунар. науч.-практ. конф. (10-12 апреля 2012 г.). - Барнаул : АлтГПА, 2012. - С. 331-338.

2. Дорофеев, С. Н. Основы подготовки будущих учителей математики к творческой деятельности : моногр. / С. Н. Дорофеев. - Пенза : Информационно-издательский центр ПГУ, 2002. - 218 с.

3. Дорофеев, С. Н. Алгебра и геометрия : учеб. пособие / С. Н. Дорофеев. - Арзамас : АГПИ, 2005. - 275 с.

4. Дорофеев, С. Н. Высшая математика. Курс лекций : учеб. пособие / С. Н. Дорофеев. - М. : Мир и образование, 2011. - 592 с.

Дорофеев Сергей Николаевич

доктор педагогических наук, профессор, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования,

Пензенский государственный университет E-mail: [email protected]

Dorofeev Sergey Nikolaevich

doctor of pedagogical sciences, professor, sub-department of mathematics and supercomputer simulations,

Penza State University

удк 371.31:51

Дорофеев, С. Н.

Методика изучения темы «Классификация поверхностей второго порядка» в курсе геометрии подготовки бакалавров педагогического профиля / С. Н. Дорофеев // Вестник Пензенского государственного университета. - 2013. - № 3. - С. 9-14.