Один из методов аппроксимации отсека нелинейчатой поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.681.3

ОДИН ИЗ МЕТОДОВ АППРОКСИМАЦИИ ОТСЕКА НЕЛИНЕЙЧАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ

© 2012 г. А.В. Замятин, В.В. Сухомлинова

Ростовский государственный Rostov State Building

строительный университет University

Рассмотрены вопросы аппроксимации отсеков нелинейчатых поверхностей методом Фергюсона. Приведен аналитический алгоритм определения векторных коэффициентов в аппроксимирующем уравнении, формулы вычисления частных производных первого и второго порядков. Описанные алгоритмы могут быть использованы для приближенного вычисления различных геометрических параметров поверхности.

Ключевые слова: нелинейчатая поверхность; метод Фергюсона; векторное уравнение; частные производные первого порядка; частные производные второго порядка.

In article questions of approximation of compartments not a linear surfaces are considered Ferguson's by method. The analytical algorithm of definition of vector factors in the approximating equation, formulas of calculation of private derivatives of the first and second usages is resulted. The algorithms described in article can be used for the approached calculation of various geometrical parametres of a surface.

Keywords: not linear surface; Ferguson's method; the vector equation; private derivatives of the first order; private derivatives of the second order.

Во многих технических задачах, связанных с обработкой поверхностей деталей машин и механизмов, приходится сталкиваться с поверхностями, которые не имеют аналитического описания, а заданы в виде дискретных точечных или линейных каркасов. Для обработки таких деталей на современных станках с числовым программным управлением необходимо определить координаты точек их поверхности с заданной плотностью, касательные плоскости и нормали в точках поверхности и решить ряд других геометрических задач. Эти задачи можно решить, выполнив аппроксимацию порции заданной поверхности. В данной статье рассмотрена аппроксимация нелинейчатой поверхности по методу Фергюсона [1].

Пусть поверхность О задана линейным каркасом ^ . Каждая линия задана дискретным точечным каркасом (xLyLzL) (рис. 1).

Рис. 1. Задание поверхности общего вида

В методе Фергюсона отсек поверхности аппроксимируется следующим кубическим полиномом:

г (и,V) = а00 + а01V + +а02 V2 + а03 V3 + а10 и + а11иу +

^ 2 ^ 3^2^ 2 ^22

+а12 uv + а13 uv + а20 и + а21и V + а22 и V +

2 3 3 3 2 3 3

+а23 и V + а30 и + а31и V + а32 и V + а33 и V , или в более кратком виде

3 3

г (и, V) = а^У1. (1)

1=0 ]=0

Параметры и и V в пределах отсека аппроксимируемой поверхности меняются от 0 до 1. Координаты радиусов-векторов точек поверхности г (иу) обозначим через х(иу), у(иу), г(иу), координаты векторных коэффициентов ау - через х", у", г" . Запишем частные производные первого и второго порядков уравнения (1).

= ?„ (и,V) = 1 ¿ц/-V; (2)

Си 1=1 ]=0

= г\, (и, V) = ^ ^ ^-1; (3)

Су 1=0=1

= ¿ии (и, V) = ^ ^ 1(1 - Щи'; (4)

Си '=2]=0

= ^ (и,V) = ^ ^ ](] --2; (5)

СУ '=0 =2

= ^ («,V) = 1 I ти-1vj-1. (6)

диду 1 =1 ;=1

Координаты производных ги — хи, уи, ¿и;

Гу — Ху , уу, 2у ; Гии — хии , Уии , 2ии ; Гт> — , Ут, ;

Г — х У

иу иу > у иу > иу'

Определим вид функции (1) для отсека поверхности Lij Lij+1 Li+1k Lj+1к+1 (рис. 2). Найдем значения двенадцати векторных коэффициентов йу . Для их определения возьмем в каждой из четырех точек отсека поверхности значения г (и, у), ги (и, у), гу (и, у) и гиу (и,у). В точке Lij будем считать и = 0, у = 0, в точке Lij+1 - и = 0, у = 1, в точке Li+1k - и = 1, у = 0 и в точке Li+1k+1 - и = 1, у = 1. Радиусы-векторы этих точек известны. По формуле численного дифференцирования [2]

¡г = 12(—:1- — ^ + 18^1 — 6^+2 + 4+э) (7)

найдем координаты частных производных по параметру у, как отмечалось выше, линии каркаса поверхности заданы в виде точечных рядов. Частные производные по параметру и найдем, взяв координаты ближайших точек, по отношению к заданным. Смешанную производную определим по формуле (7), подставив в нее координаты частных производных по параметру и, взятых по направлению у.

Запишем значения функции и производных в точке Lij, подставив в уравнения (1) - (Э) и (6) и = 0 и у = 0.

г (0,0) = а00;

Ги (0,0) = «ю;

(8)

Г (0,0) = 5М;

(0,0) = «11.

Рис. 2. Аппроксимируемая отсека поверхности

Таким образом, из системы (8) определим четыре векторных коэффициента а00, а01, а10 и а11. Для точки Lj+1 параметры принимаем и = 0, у = 1

г (0,1) = а 00 + а01 + ^2 + «03; Ги (0,1) = «10 + «11 + «12 + «1э;

< _ (9) Г (0,1) = % + 2«02 + Э^0э;

Гиу (0,1) = «11 + 2«12 + Э«1Э.

Умножим первое уравнение системы (9) на 2 и вычтем его из третьего уравнения, получим

«03 = —2Г(0,1) + Гу (0,1) + 2«00 + «01.

Для «02 имеем

«02 = Г (0,1) — «00 — «01 — «03.

Умножим второе уравнение системы (9) на 2 и вычтем его из четвертого уравнения

«13 = —2Ги (0,1) + Гиу (0,1) + 2«10 + «11; «12 = Ги (0,1) — «10 — «11 — «13.

Запишем уравнения для точки Li+1k при и = 1, у = 0

Г(1,0) = «00 + «10 + «20 + «30;

Ги (1,0) = «10 + 2«20 + Эa?Э0;

< _ (10)

Г (1,0) = + яц + «21 + «31;

Гиу (1,0) = «11 + 2«21 + 3«31.

Умножим первое уравнение системы (10) на 2 и вычтем его из второго уравнения

«30 = —2Г(1,0) + Ги (1,0) + 2«00 + «10; «20 = Г (1,0) — «00 — «10 — «30.

Умножим третье уравнение системы (10) на 2 и вычтем его из четвертого уравнения

«31 = — 2Гу (1,0) + 'и (1,0) + 2«01 + «11.

«21 = Гу (1,0) — «01 — — «31. В точке Li+1k+1 (и = 1, у = 1) имеем

гГ(1,1) = £ £ ^;

i=0 ]=0

Ги (1,1) = ТТ «;

¿=1 j=0

(11)

Г (1,1) = Т Т ßij;

¿=0 j=1

.. 3 3

ruv (1,1) =ТТУ«у .

¿=1 j=1

Решив систему линейных уравнений (11), например методом Гаусса [2], найдем а22, а23, а32 и а33.

Таким образом, все векторные коэффициенты в уравнении (1) определены. Можно вычислить координаты любой точки отсека для соответствующих значений параметров и и V по формуле (1) и значения производных первого и второго порядков по формулам (2) - (5).

К примеру, найдем касательную плоскость у к поверхности ^ в точке N (xNyN zN), находящейся в границах аппроксимируемого отсека поверхности (рис. 3). Значения параметров им и Vм соответствуют данной точке в уравнении (1).

Рис. 3. Построение касательной плоскости в заданной точке

Уравнение касательной плоскости имеет вид

ANx + BNy + CNz + Dn = 0,

где

II N A yN ZN su и ; BN =- XN zN ; CN = X N u zN u

yN ZN У v v XN ZN x N v z N v

Dn =-ANxN - BNyN - CNzN,

N N \

:,N -N -N ___„„„„„„,, 0r (U ,V ) • N -N

Xu , Уи , Zu - координаты

0U

NN

(2), Xv , yv

zv - координаты

0r (uN, vN ) 0v

(3).

Приведенный метод аппроксимации нелинейчатой поверхности, заданной в виде дискретного каркаса, позволяет определить значения ее параметров в любой точке с заданной точностью.

Литература

1. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. М., 1982.

2. Супрун А.Н., Найденко В.В. Вычислительная математика. М., 1996.

Поступила в редакцию 23 апреля 2012 г.

Замятин Александр Витальевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Начертательная геометрия и черчение», Ростовский государственный строительный университет. Тел. (863)263-57-31, 227-75-90. E-mail: [email protected]

Сухомлинова Виктория Викторовна - ассистент, кафедра «Начертательная геометрия и черчение», Ростовский государственный строительный университет. Тел. (863)263-57-31, 227-75-90. E-mail: [email protected]

Zamyatin Aleksandr Vitalievich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Descriptive Geometry and Sketching», Rostov State Building University. Ph. (863)263-57-31, 227-75-90. E-mail: [email protected]

Suhomlinova Victoria Viktorovna - assistant, department «Descriptive Geometry and Sketching», Rostov State Building University. Ph. (863)263-57-31, 227-75-90. E-mail: [email protected]