Формообразование поверхностей на основе аппарата качения сферы по поверхностям общего вида Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 515.681.3

ФОРМООБРАЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ АППАРАТА КАЧЕНИЯ СФЕРЫ ПО ПОВЕРХНОСТЯМ ОБЩЕГО ВИДА

© 2011 г. А.В. Замятин

Ростовский государственный строительный Rostov State Building

университет University

Описан способ образования поверхностей на основе аппарата качения сферы по двум поверхностям общего вида. Приведены аналитические зависимости, необходимые для реализации предложенного способа в виде программных продуктов, пригодных в практическом применении.

Ключевые слова: поверхность 2-го порядка; опорный элемент; параллельная поверхность; нормаль.

The method of surfaces' formation on the basis of rolling apparatus of sphere on 2 general view surfaces is described in the article. Analytical dependences are given, essential for realization of the suggested method in the form of software product, suitable for practical use.

Keywords: surface of second order; supporting element; parallel surface; normal.

В работах [1—3] рассмотрены общие вопросы конструирования поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка. Проведенные исследования показали, что данный способ является удобным инструментом для образования различных типов поверхностей, пригодных для практического применения в качестве элементов конструкций зданий и сооружений.

В [1, 3, 4] рассмотрены аппараты, в которых сфера катится по опорным элементам в виде пространственных линий и торсовых поверхностей. Применение в качестве опорных элементов поверхностей общего вида значительно расширяет возможности предложенного аппарата в образовании различных типов поверхностей.

Пусть заданы две поверхности общего вида Ъ и О . Поверхности заданы в виде линейных каркасов к и I.. Каждая линия каркасов поверхностей представляет собой дискретный точечный ряд

К1к(хЕ, УКК, ¿Е) и Ьл(. у-1,) (рис. 1).

Множество сфер, заданного радиуса Я, является трехпараметрическим множеством (). Сферы радиуса Я, соприкасающиеся с заданной поверхностью Ъ, представляют собой двухпарамет-рическое множество (Условие

соприкосновения с поверхностью О дает одно-параметрическое множество сфер заданного радиуса (Полученное однопараметрическое мно-

жество сфер будем использовать для образования поверхностей [1—3].

Множество точек, в которых находятся центры сфер радиуса Я, соприкасающиеся с заданной поверхностью Ъ, представляет собой поверхность Ъ, параллельную заданной и отстоящую от нее на расстоянии Я. Примем обозначения для элементов параллельной поверхности такие же, как и для Ъ, только со знаком ». Алгоритм построения параллельных поверхностей приведен в [1].

Аналогичным образом множество центров сфер, соприкасающихся с поверхностью О , представляет собой поверхность, параллельную ей и отстоящую от нее на расстоянии Я. Обозначим эту поверхность через О (рис. 2). Следовательно,

\Z

щ Як Q

\\\ \ у\ \ чл>\\Ж\\ \\\х\ l N* у

Рис. 1. Опорные поверхности

центры сфер, радиуса Я, соприкасающиеся и с поверхностью Е и с поверхностью П , лежат на

линии пересечения поверхностей Е и П — т .

Рис. 2. Поверхности, параллельные заданным

Пусть сфера радиуса Я соприкасается с поверхностью Е в точке А,, лежащей на линии к. Центр сферы М1 будет лежать на линии ~ поверхности Е и принадлежать поверхности П . Таким образом, точка М1 является точкой пересечения линии ~ и поверхности П . Пусть известно приближенное положение точки Мг. Для более точного определения точки и построения нормалей в этой точке к поверхностям Е и П , необходимых для нахождения точек соприкосновения сферы с опорными поверхностями Е и П, аппроксимируем отрезок линии ~ и отсек поверхности П , где находится точка , по методу Фергюсона [5]. Из приближенного положения точки М^ известно, что она находится между точками К/к и К/к+1 линии / и линиями и ~+1 поверхности П . Выполнив аппроксимацию отрезка К/к К/к+1 линии Кк+1 по методу Фергюсона, получим

(0 = 41 - 3t2 + 2t3)+ 4+1 (3t2 + 2t3)+ ((- 2t2 + 3t3)+ rk+1 (-12 +13); t e [0;1];

r

+ r.

= rk (- 6t + 6t2)+ rk+1 (6t + 6t2)+ + r&k(l - 4t + 9t2)+ r&k+i(- 2t + 3t2),

dr (t) dt

(1)

(2)

где t — параметр; гк — радиус-вектор точки К/к , для краткости обозначим его координаты

{хк, ук, 1к}, они равны координатам точки К/к ;

4+1 {Хк+1, Ук+1,1к+1} - радиус-вектор точки

К.,

drk

.k +1

rh =

rk+1

drk

k+1

. Координаты этих

dt dt векторов {ik, y&k, &k} и {х,+1, Уk+1, &k+1}, соответ-

ственно. Производные радиусов-векторов в точках К/к и К/к+1 рассчитываются по формулам численного дифференцирования по методике, приведенной в [1].

Определим отсек поверхности П , которому принадлежит точка пересечения Мг. Известны линии, между которыми находится точка пересечения — /j и +1. Найдем точки на этих линиях, расположенные на наименьших расстояниях от точки М1. Пусть это точки Ьп и /+1т . Тог-

да возможны два варианта: точка Мг принадлежит отсеку Ьп Ь отсеку Ь:

'jl^jl+1 +1m+1 Lj+1m (РИС- 3а) ИЛИ

-j-1 Ljl Lj+1m Lj+1m-1 (рис-

Lj+1m-1

L

'j+1m+1

jm-1

Ljm+1

Рис. 3. Определение отсека поверхности

Для определения отсека проведем через горизонтальные проекции точек Ь^ и Ь^+1т и прямую

Ах + Ву + С = 0, (3)

где

A =

У^+1т - yß

iL+1myjl ijlyj+1m

B =

jl ij+1m

ij+1myß - ißyIj+1m

C = 1.

ВыШИСЛИМ

г

а = Ах?? + Ву? + С

Р = АхЬ-1 + ВуЬ-1 + С.

Если знаки а и в одинаковы, т. е.

^ ^н(а) = «Р), (4)

то точки М1 и Ьр _! находятся по одну сторону от прямой (3) на горизонтальной проекции, значит, точка М принадлежит отсеку

Ь_11л Ьр+1т Ьр+1т_1 (рис- Если знаки а и р разные, т. е. уравнение (4) не выполняется, точки М и Ьр_! на горизонтальной проекции лежат по разные стороны от прямой (3) следователь-

но,

точка

M,

принадлежит отсеку

/ /+1 /+1т+1 /+1т (рис. 3а). ВЫШлнИм аппрОКсимацию отсека поверхности, в котором находится точка МI, по методу Фергюсона [5], получим

r (u, v) = YY

Z-iZ-i j

i=0 j=0

ajuivj; u e [0;1] v e [0;1]

dr(u, v) du

dr(u, v) dv

= XX(i - DOjU-1

i=1 j=0

j

= У,У,( j - 1)aju

i=0 j=1

(5)

(6)

(7)

Координаты векторных коэффициентов ар {ху, Уу, ¿у} в уравнениях (5)—(7) вычисляются методом, описанным в [6].

Для определения координат точки пересечения с заданной точностью е, учитывая (1) и (5), необходимо решить следующую систему нелинейные уравнений:

x = XXxiu'v1;

i=0 j=0 3 3

y=ХХ y^^; i=0 j=0 33

z= ZZz!uV'; i=0 j=0

В системе (8) имеем шесть неизвестные х, у, t, и, V и шесть уравнений. Решив систему (8) любым численным методом, например Ньютона [7], получим координаты точки М и соответствующие ей значения параметров t, и, V с заданной точностью е .

Построим нормали в точке М 1 к поверхностям Е и П — Nе и Nп . Для поверхности Е дг(^ s) йгЦ)

имеем

dt

dt

(2). Производную по вто-

дг (t, s)

рому параметру —-— рассчитаем методом, дs

приведенным в [1], тогда

^ = х.дг (t, s)

dt

ds

(9)

Единичный вектор нормали в точке М к поверхности Е равен

«z =

N

IN«

(10)

Обозначим координаты единичного вектора (10) через {х/, у/, ^}.

Аналогично (9), для вектора нормали к поверхности П имеем

N = dr (u, v) v dr (u, v)

N n = - x"

du

dv

(11)

Производные векторов рассчитываются по формулам (6) и (7). Единичный вектор нормали (11) равен

«n =

(8)

i = ik (1 - 3t2 + 2t3)+ ik+1 (3t2 + 2t3)+ xk ((- 2t2 + 3t3)+ + je,+1(- t2 + 13);

y = у, (1 - 3 t2 + 2t3)+ yk+1 (3 t2 + 2t3)+ у, ((- 2t2 + 3 t3)+

+ Ук+1 (t2 +13);

Z = Zk (1 - 3t2 + 2t3)+ zk+1 (3t2 + 2t3)+ &k ((- 2t2 + 3t3)+

+ Zk+1 (-12 + t3).

Nn

IN ~

обозначим его координаты через

{х П, у//, ^пП}.

Пусть центр катящейся сферы находится в точке М, найдем точки соприкосновения сферы с опорными поверхностями Е

и П — А(хгА, угА, ¿гА) и В{(хВ, уВ, zB), соответственно. Координаты точек соприкосновения рассчитаем по следующим соотношениям:

iA = iM ± Rx«; yA = yM ± Ry«; zA =

= zM ± Rz«;

(12)

xf = xj~ ± RxД ; y? = yM ± RyД ; z? =

= zM ± Rz Д.

(13)

Рис. 4. Линейчатая поверхность, являющаяся совокупностью прямых, проходящих через центры сфер и соответствующие точки соприкосновения с опорными прямыми

Рис. 5. Линейчатая поверхность, являющаяся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки соприкосновения с опорными прямыми

Для того чтобы определить знак в формулах (12)—(13), найдем точки ^пересечения прямых, проходящих через точку М / и нормальных к поверхностям Ъ и О , с поверхностями Ъ и О . Знак в формулах (12)—(13) выбирается таким образом, чтобы расстояние полученной точки и точ-

ки пересечения было минимальным. Линию, являющуюся совокупностью точек А., обозначим через а, линию, являющуюся совокупностью точек В., — через Ь.

Рассматриваемый аппарат качения сферы по двум поверхностям общего вида равнозначен аппарату качения сферы по двум пространственным линиям а и Ь. Алгоритмы образования поверхностей аналогичны описанным в [1—3].

На рис. 4, 5 приведены примеры полученных на основе описанного аппарата линейчатых поверхностей.

Разработанный аппарат образования поверхностей на основе качения сферы по поверхностям общего вида может быть использован в качестве модуля в архитектурно-строительных автоматизированных системах проектирования. Это позволит значительно расширить возможности применения в архитектурно-строительной практике поверхностей сложной формы, что положительно скажется на эстетических, экономических параметрах проектируемых объектов.

Литература

1. Замятин А. В. Формообразование поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка. Ростов н/Д, 2005. 190 с.

2. Замятин А. В. Образование поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка // Изв. ИжГТУ. 2007. № 4. С. 120-122.

3. Замятин А. В. Конструирование поверхностей на основе кинематики сферы. Элиста, 2001. 107 с.

4. Замятин А. В. Конструирование поверхностей на основе кинематики сферы (часть 2). Элиста, 2002. 79 с.

5. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. М., 1982. 304 с.

6. Замятин А. В., Сухомлинова В.В. Аппроксимация порции поверхности по методу Фергюсона // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2006. Приложение № 2. С. 58-60.

7. Супрун А. Н, Найденко В.В. Вычислительная математика для инженеров-экологов. М., 1996. 391 с.

Поступила в редакцию

30 сентября 2010 г.

Замятин Александр Витальевич — канд. техн. наук, доцент, Ростовский государственный строительный университет. Тел./факс (863)263-57-31, 227-75-90.

Zamyatin Aleksandr Vital'evich — Candidate of Technical Sciences, assistant professor, Rostov State Building University. Tel./fax (863) 263-57-31, 227-75-90.

x