CC BY
18
удк 371.31:51 С. Н. Дорофеев
О ПУТЯХ РЕАЛИЗАЦИИ ФУЗИОНИСТСКОГО ПОДХОДА К ГЕОМЕТРИЧЕСКОМУ ОБРАЗОВАНИЮ БАКАЛАВРОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ
Аннотация. В данной статье обосновывается необходимость внедрения фузионистского подхода к геометрической подготовке бакалавров педагогического образования. Рассматривается методика реализации этого подхода при изложении темы «Классификация кривых и поверхностей второго порядка».
Ключевые слова: идея фузионистского подхода, геометрическое образование бакалавров педагогического профиля, творческая активность, приемы формирования математической деятельности.
Математическое образование бакалавров педагогического образования предполагает не только обучение основам математических методов и алгоритмам их применения при решении стандартных математических задач, но и, самое важное, формирование у них творческой инициативы, потребности в совершенствовании своих математических знаний, устойчивых мотивов в поиске новых форм, средств и методов организации творческой деятельности будущих воспитанников [1]. На современном этапе развития образовательного пространства творческая деятельность характеризуется овладением обучающимися культурно-историческим опытом, накопленным человечеством, научными фактами, последовательностью их открытия, умением устанавливать взаимосвязь между этими фактами, творчески переосмысливать их; развитием способности использовать благоприятные обстоятельства для открытия новых, ранее неизвестных фактов и связей, приводящих к новым знаниям. Особую актуальность проблема подготовки обучаемых к творческой деятельности приобретает в стенах вузов, ответственных за подготовку бакалавров педагогического профиля. От того, в какой степени будет готов учитель к творческому переосмыслению явлений окружающего мира, зависит готовность его учащихся не только созерцать происходящие вокруг них явления, но и критически относиться к ним, принимать активное творческое участие в процессе их преобразований, позволяющих направлять природные явления на благо человечества. Творческий процесс обучения и воспитания учащихся обеспечивается, с одной стороны, достаточно глубокими знаниями учителя в области преподаваемого им предмета, его способностью проявить творческую инициативу, развить у учащихся интерес к поиску нетрадиционных решений возникающих проблем, умением создавать учебные проблемные ситуации и организовывать поиск оптимальных путей выхода из создаваемых ситуаций, с другой стороны, настойчивым желанием учащихся овладеть приемами творческого мышления и способами его проявления. Достаточно глубокие математические знания, высокий потенциал творческой энергии обеспечивают учителю математики возможность свободного творчества, свободного выбора действий при формировании творческой личности. Для того чтобы учитель математики имел достаточно высокий потенциал творческой энергии, его необходимо специально готовить к этому в процессе обучения в педвузе. К сожалению, мы еще реально продолжаем сталкиваться с той частью выпускников вузов педагогического профиля, которые, владея на достаточно высоком уровне основами вузовских математических курсов, не могут применить их методы к поиску оптимальных решений математических задач школьного типа. Например, выпускники, владея основами векторно-
го и координатного методов, теории преобразований, теории многомерных пространств и т.д., затрудняются, а порою и не могут применить их при организации поиска решений школьных геометрических задач [2]. В связи с этим усиливается необходимость целенаправленно обращать внимание студентов на лекциях по геометрии на те вопросы, которые имеют если не прямое, то хотя бы опосредованное отношение к школьной математике, а практические занятия строить таким образом, чтобы главенствующее положение на них занимали задачи школьного типа, задачи, связанные с фигурами, имеющими важное значение в школьном курсе. Именно такой подход к процессу подготовки будущего бакалавра к преподаванию математики обеспечит выполнимость принципа преемственности между вузовским и школьным математическим образованием, послужит основой для организации творческого процесса обучения и воспитания учащихся. Умение будущего учителя математики применять методы вузовских математических курсов к поиску вариативных решений задач и доказательств теорем позволит ему по-новому оценить роль и место каждой задачи, каждой теоремы в формировании личности, желающей не просто познать окружающий мир, но и стать субъектом творческой деятельности, связанной с преобразованием мира на благо человечества [3].
Современный этап развития геометрического образования будущих учителей математики и учащихся общеобразовательных учреждений можно охарактеризовать как период интенсификации поиска более эффективных путей и методов их обучения приемам познания явлений и объектов окружающего мира. В методической науке разработан достаточно широкий ряд глубоких научных исследований, связанных с повышением качества геометрической подготовки будущих учителей математики и учащихся общеобразовательных школ. Заметим, что значительная часть этих исследований так или иначе основывается на учебниках и учебных пособиях, фундаментальные основы которых были заложены великим древнегреческим мыслителем Евклидом в его знаменитом трактате «Начала». Создавая «Начала» как систематический курс геометрии, он ориентировался, прежде всего, на продвинутую часть человеческого общества того времени: врачей, философов, юристов и т.д. Как известно, это личности с уже твердо сложившейся жизненной позицией, которые обладают определенными способностями к умственной деятельности и для которых занятия математикой служили некоторым средством развития логического мышления. Следует особо подчеркнуть, что в истории развития математики и математического образования длительный период времени лидирующее положение занимала числительная математика. Поскольку главным вычислительным средством этой эпохи развития человечества являлись счеты, то в учебных заведениях ХУТ-ХТХ вв. значительная часть учебного времени отводилась изучению арифметики, алгебры и математического анализа. Возможно, поэтому существенные научные открытия в этот период времени были сделаны именно в этих областях (исчисление бесконечно малых, дифференциальное и интегральное исчисления, теория дифференциальных уравнений, теория Галуа и т.д.). Значительная же часть геометрических и методических открытий, таких как понятие перспективы, теорема Дезарга, координатный метод, неевклидовы геометрии, теоретико-групповой подход к изучению геометрии и т.д., была сделана в связи с решением задач прикладного характера.
Сегодняшний период развития человеческого общества характеризуется проникновением во все сферы деятельности человека высоких информационных и компьютерных технологий. В связи с этим снижается уровень требований к формированию у школьников вычислительных навыков и повышается уровень требований к овладению учащимися качественными знаниями, позволяющими ему смоделировать исследуемую проблемную ситуацию до уровня стандартной программируемой задачи. Заметим, что большая часть геометрического материала только за счет высокого уровня развития математического мышления и пространственного воображения индивидуума может быть сведена
к традиционной форме изложения. На современном этапе нет программных продуктов, позволяющих решать любую математическую и, прежде всего, геометрическую задачу. В связи с этим естественным образом обостряется проблема поиска эффективных путей и методов обучения школьников за достаточно короткие промежутки времени геометрическим методам познания явлений окружающего мира. Современная методика преподавания геометрии вновь обращается к идеям наглядной геометрии, гармонично реализующей возможности одновременного изучения пространственных фигур и как их составляющих плоских фигур. Такой подход к изложению учебного курса геометрии обеспечивает оптимальное развитие интеллектуальных способностей обучаемых и реализацию принципа целостного восприятия пространства. Важно отметить, что именно реализация идеи фузионизма в большей степени отвечает личным потребностям каждого обучаемого, более полно удовлетворяет его интересы. Нет сомнения в том, что из специального набора плоских и пространственных фигур (пирамид, параллелепипедов, призм, треугольников, квадратов, трапеций и т.д.), предложенных младшему школьнику, он больше интереса проявит именно к пространственным фигурам. А это значит, что в сознании каждого обучаемого природой и опытом общения с окружающей средой сформирована база для успешного усвоения математических методов.
Таким образом, исходя из принципов гуманной педагогики обучение школьников геометрическим методам познания явлений окружающего мира следует начинать с изучения пространственных фигур, хотя бы на уровне чувственного познания. Однако для того, чтобы учитель математики имел возможность организовать эффективное обучение школьников геометрическим методам на фузионистской идее, его необходимо специально готовить к этому.
Итак, мы пришли к явному противоречию между достаточно высоким психологопедагогическим потенциалом фузионистского подхода к изложению учебного курса геометрии и крайне низким уровнем использования его в учебно-воспитательном процессе образовательных учреждений. С целью разрешения этого противоречия мы разработали программу и учебное пособие по аналитической геометрии для студентов физикоматематических факультетов педвузов. Отличительная особенность наших разработок состоит в том, что в них в полной мере реализуется идея совместного изучения аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Некоторые вопросы этого учебного пособия достаточно полно освещены в [4-6]. Такой подход к изложению учебного курса геометрии и к обучению студентов геометрическим методам экономичен и эффективен.
Изучение геометрии на первом курсе традиционно начинается со знакомства студентов с векторным методом и естественным обобщением множества векторов - векторным пространством. Введение понятия векторного пространства позволит нам систематизировать введение таких понятий, как линейная зависимость векторов и базис, а следовательно, аффинная и прямоугольная декартова система координат. Владение обучаемыми умением задавать векторы координатами относительно прямоугольной декартовой системы координат служит достаточно прочной основой для обучения их приемам использования скалярного, векторного и смешанного произведений при решении геометрических задач школьного типа.
С целью интерпретации широты использования координатного метода необходимо знакомить студентов и с такими системами координат, как полярная на плоскости, сферические и цилиндрические координаты в пространстве. Задание системы координат на плоскости и в пространстве позволяет строить алгебраические модели геометрических фигур. Чем проще фигура, тем проще ее алгебраическая модель. Поэтому естественно сначала обучить студентов приемам работы с алгебраическими моделями простейших фигур (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка), а затем на основе полученных знаний, умений и навыков формировать умение использовать их при орга-
низации самостоятельных исследований проблемных ситуаций. Одной из наиболее значимых проблем подобного рода является проблема разработки методики обучения будущих учителей математики приемам классификации линий и поверхностей второго порядка. В большей части учебников и учебных пособий достаточно подробно и доступно изложена методика приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Однако методика приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду требует существенного дополнения.
В существующих учебных пособиях по геометрии для педвузов (Базылев В. Т., Ду-ничев К. И., Иваницкая В. П. Геометрия. Ч. Т. - М. : Просвещение, 1978; Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. Ч. Т. - М. : Просвещение) эта проблема решается путем обучения студентов приемам приведения уравнения квадрики в л-мерном евклидовом пространстве к каноническому виду, а затем как частный случай дается классификация поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Однако, как показывает опыт, такой подход не всегда эффективен. Во-первых, между изучением поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям и теоремой классификации проходит большой период времени, за который студенты успевают забыть не только какие-то особенности каждой поверхности, но и их канонические уравнения. Во-вторых, прерывание процесса обучения студентов приемам приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду нарушает целостность обучения будущих учителей математики методам аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. В связи с этим мы предлагаем сделать процесс обучения студентов вузов педагогического профиля приемам приведения уравнения линии второго порядка и поверхности второго порядка к каноническому виду непрерывным. Это означает, что изучение данных тем необходимо объединить в один блок под названием «Приведение общего уравнения линии второго порядка на плоскости и поверхности второго порядка в пространстве к каноническому виду». На теоретическое изучение данной темы достаточно шести часов лекций: два часа лекций - приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду и 4 часа - приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Целесообразность выбора такой методики обучения обосновывается прежде всего тем, что в результате изучения метода приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду, освоения тонкостей его применения на практических занятиях в сознании наиболее продвинутой части студентов сформировалась потребность обобщения этого метода на случай приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. К сожалению, в рекомендуемых учебных пособиях по геометрии для педвузов этот вопрос не рассматривается. Можно найти только алгоритм решения этой задачи в конкретном случае. Но вопрос о том, почему мы должны так делать, остается открытым. Нет теоретического обоснования ни одного шага этого алгоритма. Рассмотрим методику изучения данной темы в вузах, ответственных за подготовку бакалавров педагогического образования, которая включает в себя цели, средства и методы обучения будущих учителей приемам классификации поверхностей второго порядка.
Итак, классическая постановка задачи такова. В пространстве задана ПДСК (прямоугольная декартова система координат) а ] к и поверхность Ф второго порядка, определяемая относительно заданной системы координат уравнением
а11 х2 + а22 у2 + а33 z2 + 2а12 ху + 2а13 хх + 2а23 ух + 2а10 х + 2а20 у + 2а30 z + а00 = о.
Необходимо найти такую ПДСК ОI 3 к , относительно которой данная поверхность определялась бы каноническим уравнением, т.е. уравнением, не содержащим попарных произведений текущих координат. Формулы преобразования координат точки
при переходе от одной ПДСК О1 3 к к другой О1 3 к имеют вид
х = х'008(1,1о + у'008(1, 3о + г'008(1, к), у = х'008(3, I') + у'008(3, 3') + х' 008(3, к-'), г = х' 008(к, I' ) + у' 008(к, 3' ) + г' 008(к, к').
(1)
Для того чтобы получить уравнение поверхности Ф в ПДСК О1 3 к заменим в данном уравнении текущие координаты х, у, х по формулам (1). В результате получим уравнение этой же поверхности, но в виде
где
а11 х '2 + а'22 у '2 + а'33 х '2 + 2а12 х'у'+2а13 х'х' + 2а'23 у'х' + 2а10 х' +
33 12 13
2а20 у'+2а'30 х'+а'00 = 0,
а11 = а110082 (1,1') + а22 0082 (3,1' ) + а33 0082 (к, I') + 2а12 008(1,1' ) 008(3,1' ) +
+ 2а13 008(1, Г)008(к, I') + 2а23 008(3,1 ')008(к, I');
а22 = аи 0082(!, 3') + а22 0082(3,3') + а33 0 0 82(к, 3') + 2а^ 008(1,3 ')008(3,3') + + 2а13 008(1,3 ')008(к, 3') + 2а23 008(3, 3')008(к, 3');
а33 = а110082(!, к' ) + а22 0082(3, к') + а33 0 0 82(к, к') + 2а12 008(1, к' )008( 3, к') + + 2а13 008(1, к ')008(3, к') + 2а23 008(3, к ')008(к, к');
а12 = а11008(1,1 ')008(!, 3') + а22 008(3,1')008(3,3') + а33 0 08(к, I ')008(к, 3') + + а12(008(1,1')008(3, 3') + 008(3,1 )ес8(1, 3')) +
+ а13(008(!, I')008(к, 3') + 008(к, I') 008(1, 3')) +
+ а23(008(3,1')008(к, 3') + 008(3,3')008(к, I'));
а13 = а11008(1,1 ')008(!, к') + а22 008(3, к ')008(3,1') + а33 0 08(к, I' )008(к, к') + + а12(008(!, I')008(3, к') + 008(3,1')008(!, к')) +
+ а13(008(1,1')008(к, к') + 008(к, I ')008(1, к')) +
+ а23(008(3, Г)008(к, к') + 008(3, к')008(к, I'));
а23 = а11008(1,3 ')008(!, к') + а22 008(3,3')008(3, к') + а33 0 08(к, 3 ')008(к, к') +
+ а12(008(1,3')008(3, к') + 008(3, 3')008( I, к-')) +
+ а13 (008(1,3') 008(к, к') + 008(к, 3') 008( I, к' )) +
+ а23(008(3, 3')008(к, к') + 008(3, к ')008(к, 3'));
а10 = а10 008( I, Г) + а20 008(3,!') + а30 008(к, Г));
а20 = аш 008(1,3') + а20 008(3,3') + а30 008(к, 3');
а30 = а10 008( I, к') + а20 008(3, к') + а30 008(к, к');
а00 = а00.
(2)
(3)
(4)
Наша задача заключается в упрощении уравнения данной поверхности. Поэтому мы потребуем, чтобы в уравнении (2) коэффициенты при попарных произведениях х'у', у'Х, хХ' переменных координат х', у', х были равны нулю.
Для этого необходимо, чтобы выполнялись соотношения а[2 = а13 = а'23 = о. Из этих соотношений с учетом равенств (3) получаем, что
а11 ео8(і, і ')ео8(і, _/') + а22 ео8( _/, І ')ео8( ], ]') + а33 ео8(к, І ')ео8(к, /) +
+ аі2(ео8( і , І ')ео8( _,_') + ео8( _, І ')ео8(і, _')) +
+ аі3(ео8(і, І')ео8(к, ]') + ео8(к, і')ео8(і, ]')) +
+ а23(ео8(, І')ео8(к,') + ео8(')ео8(к, і')) = о;
а11 ео8(і, І') ео8(і, к') + а22 ео8( ], к') ео8( ], І') + а33 ео8(к, і ') ео8(к, к') +
+ а12(ео8(і, І ')ео8( ], к') + ео8( ], І ')ео8(і, к')) +
< _ _ _ ________________ _ _ _ _____________
+ а13 (ео8(і, і ') ео8(к, к') + ео8(к, і ') ео8(і, к')) +
+ а23(ео8( ], І ')ео8(к, к') + ео8( ], к ')ео8(к, і')) = о;
а11 ео8(і, ] ')ео8(і, к') + а22 ео8( ], ] ')ео8( ], к') + а33 ео8(к, _/ ')ео8(к, к') +
+ а12(ео8( І , _ )ео8(_, к') + ео8(_, _')ео8(І, к')) +
+ а13(ео8(і, ] ')ео8(к, к') + ео8(к, _/ ')ео8(і, к')) +
+ а23(ео8(')ео8(к, к') + ео8(, к ')ео8(к,')) = о.
Преобразуя левую часть первого уравнения системы (4), получим уравнение вида (а11 ео8(і, І') + а12 ео8( ], І') + а13 ео8(к, і '))ео8(і, ]') +
+ (а12 ео8(і, І') + а22 ео8( ], І') + а23 ео8(к, і')) ео8( ], ]') +
+ (а13 ео8(і, і ') + а23 ео8( ], І') + а33 ео8(к, і')) ео8(к, _/') = о. (5)
Преобразуя левую часть второго уравнения системы (4), получим уравнение вида (а11 ео8(і, І') + а12 ео8( ], І') + а13 ео8(к, і '))ео8(і, к') +
+ (а12 ео8(і, І') + а22 ео8( ], І') + а23 ео8(к, і ')) ео8( ], к') +
+ (а13 ео8(і, І') + а23 ео8( ], І') + а33 ео8(к, і '))ео8(к, к') = о. (6)
Из равенств (5) и (6) следует, что вектор с координатами
ґ а11 ео8(і, І') + а12 ео8( ], І') + а13 ео8(к, і'); а12 ео8(і, І') + а22 ео8( ], І') +Л ^ + а23 ео8(к, і'); а13 ео8(і, І') + а23 ео8(], І') + а33 ео8(к, і')ео8(к, _/') ^
перпендикулярен вектору _/' и вектору к'. Значит, этот вектор коллинеарен вектору І'. Следовательно, их координаты пропорциональны, т.е. имеет место система уравнений
а11 ео8(і, І') + а12 ео8( ], І') + а13 ео8(к, і ') = X ео8(і, І'); а12 ео8(і, І') + а22 ео8( ], І' ) + а23 ео8(к, і') = X ео8( ], І' ); а13 ео8(і, І') + а23 ео8( ], І') + а33 ео8(к, і') = X ео8(к, і')
или
(а11 -А)ео8(і, і 0 + а12 соб( у, і 0 + а13 еоБ(к , і0 = о; а12 собО', і 0 + (а22 - А)соб( у, і') + а23 еоБ(к, і') = о; а13 єоб(і, і0 + а23 соб(у, і0 + (а33 -А)еоз(к, і0 = о.
(7)
Аналогичным образом, преобразуя левые части второго и третьего уравнений системы (4) и учитывая ортогональность векторов к', У и г', к', получаем системы уравнений
и
(ап - А) єобО', у0 + а12 соб(у,У0 + а^ еоз(к, У) = о; аХ2 еоз(і,у0 + (а22 - А) соб(у,у0 + а23 еоз(к,у') = о; а13 еоз(і,у 0 + а23 соб( у,у 0 + (а33 -А)еоз(к, у') = о
(а11 - А) собО', к0 + а12 соб(у, к0 + а13 еоз(к, к0 = о; а12 собО', к' ) + (а22 -А)соб( у, к 0 + а23 еоз(к, к 0 = о; а13 ео8(і, к 0 + а23 соб( у, к 0 + (а33 -А)еоБ(к, к 0 = о.
(8)
(9)
11-А а12 а13
а12 а ГО го - а го со = о
а13 а го со а33 А
Следует заметить, что каждая из систем является линейной однородной системой относительно направляющих косинусов, которая имеет ненулевое решение. Иначе мы
получим, что хотя бы один из координатных векторов г, У или к' будет нулевым, чего быть не может. Как известно, системы (7), (8), (9) линейных однородных уравнений имеют ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы каждой из них равен нулю:
(1о)
Решая характеристическое уравнение (1о), находим корни А1, А2 и А3. При А = А1 из системы уравнений (7) находим координаты единичного вектора і'; при А = А2 из системы уравнений (8) находим координаты единичного вектора У; при А = А3 из системы уравнений (9) находим координаты единичного вектора к'. Таким образом, в простран-
-У _*/
стве мы построили ПДСК Оі у к , относительно которой данная поверхность Ф второго порядка определяется уравнением вида
ап х + а22 У + а33 z + 2аш х + 2а2о У + 2а3о я + аоо = о.
Поскольку а11 + а'22 + а33 = а11 + а22 + а33 =А1 +А 2 + А 3, то а11 =А1, а'22 =А2, а33 =А3.
-У
Итак, уравнение поверхности Ф второго порядка относительно ПДСК Оі У к имеет
вид
А1 х '2 + А2 у '2 + А3 я '2 + 2а1о х' + 2а'2о у + 2а3о я + аоо = о.
В левой части полученного уравнения выделим полные квадраты. В результате приведем уравнение к виду
(
Л.
/2 ат х
X + 2 10 +
я.
2
V Л1
(
+ Л2
2
у2 + 2 а20у +
Л0
а2
V
V Л2 У
У
+ Л3
а
30
Л3
V 3 У
'2 '2 а 2
+ а00-^-^-------^ = 0
00 л л л
Л, Л2 Л3
или
Л,
( а ^2
х' + 10
V
Л
+ Л2
1 У
( а ^2
у + -20-
ЧУ Л2 У
+ Л3
Л
а 2 а 2 а' 2
+ а - а10 - а20 и30 = 0
Г и00 - - - и>
3 У
Перенесем начало О ПДСК Оі і к в точку О'
Л1 Л ГО Л СО
а10 / а20 / а30
Л1 ’ Л2’ Л 3
выражение
а0
аю а2 ы 20 а'2 и.30
Л1 Л го Л со
обозначим через а'00. Тогда уравнение
Л,
примет вид
х +-
а
2
Л
+ Л2
1 У
2
У +
Л
+ Л3
2 У
а.
z +-
' V
30
Л
а2
а.
3 У
+ а00-----------
00 л л
Л, Л2
30
Л3
= 0
Л, X,2 +Л2 у"2 +Л3 z''2 + а00 = 0.
(11)
Исследуя всевозможные значения, которые могут принимать Х1, Х2, Х3 и а'00, получаем, что все поверхности второго порядка в евклидовом пространстве исчерпываются следующими типами: эллипсоиды, мнимые эллипсоиды, однополостные и двуполостные гиперболоиды, конусы второго порядка, эллиптические и гиперболические параболоиды, эллиптические, гиперболические и параболические цилиндры, пары действительных или мнимых пересекающихся плоскостей, пары действительных или мнимых параллельных плоскостей, пары совпавших плоскостей. Теперь процесс усвоения студентами алгоритма приведения общего уравнения поверхности второго порядка стал более осознанным. Сейчас они знают не только что надо делать, но и, самое важное, почему это надо делать. Достаточно лишь упорядочить систему действий, связанных с упрощением уравнения поверхности второго порядка. Для этого изложим алгоритм приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.
Пример. Определить вид поверхности второго порядка, заданной относительно ПДСК Охуг уравнением
7х2 + 6у2 + 5z2 - 4ху - 4yz - 6х - 24у +18z + 30 = о .
Решение. Выпишем значения коэффициентов уравнения поверхности. Имеем
а11 = 7, а22 = 6, а33 = 5, а12 = _2, а13 = 0, а23 = _2, а10 = _3, а20 = _12, азо = 9, а00 = 3°.
Составим характеристическое уравнение
7 -А -2 о
-2 6 -А -2
о -2 5-А
= о.
Раскроем в левой части определитель третьего порядка. Получим уравнение вида
А3 - 18А2 + 99А -162 = о.
Делителями свободного члена, т.е. числа 162, являются следующие числа: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81. Нетрудно убедиться в том, что числа 3, 6, 9 являются корнями характеристического уравнения. Таким образом, имеем А1 = 3, А2 = 6, А3 = 9. Находим вектор, соответствующий корню А1 = 3. Для этого составим систему уравнений
(7 - 3) собСі, і 0 - 2 соб( j, І 0 + о соб(£, і 0 = о;
-2 соб(і, і 0 + (6 - 3) соб( j, і 0 - 2 СОБ(к, і 0 = о; о СОБ(і, і0 - 2 СОбС j, І0 + (5 - 3)СОБ(к, І0 = о
или
4cos(i, i')- 2cos( j, 10 = о;
-2cos(i, i 0 + 3 cos( j, i 0 - 2cos(k, i 0 = 0; -2cos( j, i 0 + 2 cos(k, i 0 = 0.
Отсюда c учетом того, что cos (i, i0 + cos (j, i') + cos (k, Г) = 1, получаем cos(i, i0 = —,
3
cos(j, О = 2, cos(k, О = 2. Итак, i' = [ —,2,2 |.
3 3 13 3 3)
Находим вектор, соответствующий корню А2 = 6. Для этого составим систему урав-
нений
(7 - 6) cos (i, j ') - 2 cos( j, j ') + о cos(k, jj = 0; -2 cos (i, j ') + (6 - 6) cos( j, j ') - 2 cos (k, j ') = о; оо^(ї', j ') - 2 cos( j, j ') + (5 - 6) cos(k, j ') = о
или
cos(i, j' ) - 2cos( j, j ') = о; -2cos(i, j) - 2 cos(k, j ') = о; -2cos(j, j ')- lcos(k, j ') = о.
Отсюда с учетом того, что cos2(i, j 0 + cos2( j, j 0 + cos2(k, j 0 = 1, получаем cos(i, j ') =—,
cos( j, j') = —, cos(k, j ') = - 2. Итак, j = I 2,-, - 2 |.
3 3 13 3 3.
Находим вектор, соответствующий корню = 9. Для этого составим систему урав-
нений
или
(7 - 9) соб(і, к ') - 2 соб( j, к') + о С0Б(к, к') = о;
-2 соб(і, к0 + (6 - 9)соб( j, к0 - 2 С0Б(к, к0 = о; о соб(і, к ') - 2 соб( j, к ') + (5 - 9) С0Б(к, к') = о
-2со8(і, к 0 - 2 соб( j, к 0 = о;
-2С08(І, к 0 - 3 соб( j, к 0 - 2С0Б(к, к 0 = о; -2соб( j, к 0 - 4соз(к, к 0 = о.
Отсюда с учетом того, что ео82(г, к') + ео82( ^, к') + еоз2(к, к') = 1, получаем еозСг, к ') =—,
3
еоз( /, к0 = 2, еоз(к, к0 = - —. Итак, к = I -2,2, - — I. Составим уравнение поверхности Ф 3 3 I 3 3 3)
относительно ПДСК Ох'у'г . Для этого необходимо найти значения коэффициентов а1о, а2о, а3о . Поскольку
а10 = а10 еоБ(1, Г) + а20 соб( j, I') + а30 еоБ(к, Г)); а2о = аш еоБ(1, j ') + а20 соб( j, j') + а30 еоБ(к, j'); а30 = а10 еоБ(1, к 0 + а20 соб( j, к 0 + а30 еоБ(к, к);
аоо а00,
то
аю = -3 •—12 —+9— = -3;
, 2 1 ( 2
Ого =-3 •—12—+9 'I — | = -12; 3 3 I 3.
а“=-3' I- 3 ]-12 'I+9{ '=-9;
аоо = 3о.
Итак, относительно ПДСК Оху х поверхность Ф определяется уравнением вида
3( х О2 + 6( у О2 + 9(г О2 - 6 х' - 24 у' -18 х + 30 = 0. В левой части этого уравнения выделим полные квадраты. В результате получим уравнение
3(х' -1)2 + 6( у' - 2)2 + 9(Х -1)2 - 3 - 24 - 9 + 30 = 0
или
3( х' -1)2 + 6( у' - 2)2 + 9( х' -1)2 = 6.
Перенесем начало О ПДСК Ох'у'г' в точку О'(1,2,1). Тогда относительно ПДСК О'х'у'г' данная поверхность определяется уравнением 3(х'')2 + 6(у'')2 + 9(г'')2 = 6 . Разде-
лим обе части этого уравнения на 6. В результате получим каноническое уравнение вида
+с уг + 3СП1=1.
2 2
Как мы уже знаем, это уравнение определяет в пространстве эллипсоид с полуося-
ми a
= л/£, b = 1,
Изучение вопросов подобного рода обусловливает у студентов с высоким уровнем развития математических способностей формирование высокой математической культуры, у студентов, проявляющих интерес к изучению математических методов, но не обладающих высокими математическими способностями, расширяет границы понимания естественной красоты в математике, формирует стремление и упорство не столько к запоминанию математических фактов, сколько к усвоению их математического смысла.
Список литературы
1. Дорофеев, С. Н. Координатный метод в обучении старшеклассников приемам распознавания геометрических образов / С. Н. Дорофеев, Н. В. Наземнова // Психодидактика высшего и среднего образования : материалы IX Междунар. науч.-практ. конф. (г. Барнаул, 10-12 апреля 2012 г.). - Барнаул, 2012. - С. 331-338.
2. Дорофеев, С. Н. Гуманитаризация как основа повышения качества математического образования студентов технических вузов / С. Н. Дорофеев // Геометрия многообразий и ее приложения : материалы науч. конф. с междунар. участием (г. Улан-Удэ, 20-23 июня 2012 г.) / Бурят. гос. ун-т. - Улан-Удэ, 2012. - С. 182-187.
3. Дорофеев, С. Н. Формирование творческой активности будущих учителей математики в контексте гуманизации образования / С. Н. Дорофеев // Образование XXI века: Инновационные технологии, диагностика и управление в условиях информатизации и гуманизации : материалы II Всерос. науч.-метод. конф. - Красноярск, 2000. - С. 37-38.
4. Дорофеев, С. Н. Основы подготовки будущих учителей математики к творческой деятельности : моногр. / С. Н. Дорофеев. - Пенза : Информационно-издательский центр ПГУ, 2002. - 218 с.
5. Дорофеев, С. Н. Алгебра и геометрия : учеб. пособие / С. Н. Дорофеев. - Арзамас : АГПИ, 2005. - 275 е.
6. Дорофеев, С. Н. Высшая математика. Курс лекций : учеб. пособие / С. Н. Дорофеев. - М. : Мир и образование, 2011. - 592 с.
Дорофеев Сергей Николаевич
доктор педагогических наук, профессор, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный университет E-mail: dorofeev@tl.ru
Dorofeev Sergey Nikolaevich
doctor of pedagogical sciences, professor, sub-department of mathematics and supercomputer simulations,
Penza State University
удк 371.31:51
Дорофеев, С. Н.
О путях реализации фузионистского подхода к геометрическому образованию бакалавров педагогического профиля / С. Н. Дорофеев // Вестник Пензенского государственного университета. - 2013. - № 2. -С. 13-23.
