CC BY
64
УДК 519.6
МЕТОДИКА И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ. Часть 3. РАСЧЕТ РАМ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ В ПРОГРАММАХ MATHCAD, COMPASS
А
© Т.Л. Дмитриева1
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Продолжено рассмотрение методики и алгоритмов решения задач динамического анализа стержневых систем, реализованных в учебном процессе преподавания дисциплины «Строительная механика». На основе новых подходов приведен алгоритм расчета устойчивости рамы на вибрационную нагрузку. При этом использовались: вы -числительный аппарат программы MATHCA, программная система COMPASS. Ил. 5. Библиогр. 7 назв.
Ключевые слова: динамика; вибрационная нагрузка; задача на собственные значения; стержневые системы.
METHODS AND ALGORITHMS FOR SOLVING STRUCTURAL MECHANICS PROBLEMS USING SOFTWARE. PART 3. DYNAMIC FORCE ANALYSIS OF FRAMES IN MATHCAD AND COMPASS SOFTWARE T.L. Dmitrieva
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The article continues consideration of methods and algorithms for solving problems of bar system dynamic analysis implemented in the learning process by the discipline Structural Mechanics. The algorithm for calculating frame vibration resistance is given on the basis of new approaches and with the application of the computational tools of the Mathcad software and COMPASS software system. 5 figures. 7 sources.
Key words: dynamics; vibration load; eigenvalue problem; bar systems. Введение
В первых двух частях рассмотрены матричные алгоритмы расчета плоских стержневых систем (рамы и фермы) методом конечных элементов, а также их реализация в программе Mathcad. В данной статье рассмотрим матричные алгоритмы расчета рам на воздействие вибрационной нагрузки, где реализован спектральный подход. Вычислительная поддержка алгоритма выполнена с помощью программы Mathcad и программной системы COMPASS, разработанной сотрудниками кафедры сопротивления материалов ИрГТУ. 1. Решение задачи на собственные значения в Mathcad
В качестве основополагающего материала студентам предлагается ознакомиться с решением задачи на собственные значения в программе Mathcad. Предварительно даются основные понятия и определения из теории матриц [1-3].
Любой квадратной матрице [A] ставятся в соответствие собственные значения Л и собственные векторы {У}. Это такие числа и векторы, которые удовлетворяют соотношению
[А]{.у} = Л{.у}. (1)
В общем случае существует n отличных от нуля решений уравнения (1), где n - порядок матрицы [А]. Задачу определения всех собственных значений и векторов называют полной проблемой собственных значений. Если
матрица [А] симметрична, задача (1) называется симметричной проблемой собственных значений. В этом
случае существует n действительных значений отличных от нуля решений уравнения (1). В матричной форме решение полной проблемы собственных значений можно записать в виде
[А][Л] = ИЛ], (2)
где [Л] - диагональная матрица собственных значений; [У] - матрица, состоящая из собственных векторов, причем i-му собственному значению Л соответствует диагональный элемент Ли , а i-му собственному вектору -
i-й столбец {у,} матрицы [У]. Нетрудно заметить, что если {y} - решение задачи (1), то вектор p{y} также является решением, где р - произвольная константа.
1Дмитриева Татьяна Львовна, доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов и строительной механики, тел.: 3952405044, 89149136725, e-mail: dmital@istu.edu
Dmitrieva Tatyana, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Strength of Materials and Structural Mechanics, tel.: 3952405044, 89149136725, e-mail: dmital@istu.edu
Решение стандартной задачи на собственные значения (1) эквивалентно решению однородной системы линейных уравнений вида
([А МР ]){ У;} = 0 (3)
Известно, что нетривиальное решение такой системы существует только в том случае, если определитель матрицы коэффициентов при неизвестных равен нулю, т.е.
р(Л) = ёе1 ([А]-Л[1]) = 0 . (4)
Раскрывая определитель, получим полином п-й степени относительно л. Если известны все собственные значения, то этот определитель может быть представлен в мультипликативной форме:
р(Л) = (л - л)(л2 -л)^(л„-1 - л)(л„ - л).
Для положительно определенных матриц все корни полинома положительны, а его график имеет вид, показанный на рис. 1.
Рис. 1. Вид характеристического полинома
Проиллюстрируем алгоритм решения задачи на собственные значения в программе Mathcad [5, 7]. В качестве примера определим собственные значения и собственные векторы матрицы [ A] размерностью 3x3. Так как матрица симметрична и положительно определена, она имеет 3 собственных значения и 3 собственных вектора. Представлено несколько способов её решения: «ручной» путем раскрытия определителя матрицы и с использованием стандартных функций.
Определение собственные значений и собственных векторов матрицы А ORIGIN := 1 Стандартная задача на собственные значения
А;-
f 9. 2 -П Г1-» <Л
2 6 J I> 0 1 0
-1 J 5 J 0 b
Поскольку длина собственных векторов {у,} произвольна, то для удобства их чаще всего нормируют так, чтобы {у(. }Т {у(. | = 1. Тогда будет выполнено условие ортогональности нормированных векторов
[У]Т [У] = [У][У]Т = [I], из которого следует, что матрица [У] ортогональна, следовательно,
[У ]Т =[У I"1; <М ([У ]) = 1.
Любая матрица [А] может быть синтезирована по ее собственным значениям и векторам:
т
[А] = [У][Л][У] =^Л{У/}{У/} . Проиллюстрируем перечисленные выше положения в программе
I=1
2. Определение частот и форм колебаний стержневых систем с дискретными массами
т1 д тХГ) т<ГР_
шг* | | I ^
Рис. 2. Система с дискретными массами
Запишем уравнения свободных колебаний системы в матричной форме [3, 6]:
[¿][М]{7} + {7} = 0. (5) Эта системы однородных дифференциальных уравнений имеет частное решение_
708 ВЕСТНИК ИрГТУ №6 (89) 2014
yk(t) = yk sin(wjt+g), yk (t) = ~ca2yk (t).
Или в матричной форме
{у(0} = -[о2]{у(0}, (6)
где yk - амплитудное значение перемещения массы mk, а [$] - диагональная матрица размерностью nxn, i-й диагональный элемент которой равен а . Подставим выражение (6) и его вторую производную в (5) и сократим на sin(w,t+g). Получим следующие выражения:
-[¿][М][0]{Г} + {7} = 0 или ([¿][М][02]-[/]){7} = 0. (7)
Система уравнений (7) имеет нетривиальное решение, отличное от нуля для ук, лишь в случае равенства нулю её детерминанта:
ае([£][М ][02] -[ I ]) = 0 или ёе1([^][М ]-[Л]) = 0, (8)
1
где Л¡ =—-. Раскрывая этот детерминант, который называется уравнением частот или вековым уравнением,
а?
получим алгебраическое уравнение п-й степени для определения п частот свободных колебаний ш,.
Каждой из частот соответствует своя главная форма колебаний. Подставляя значения ш, в систему однородных линейных уравнений
(И[М ]-[ / ]л ) {^ } = 0, (9)
получим систему уравнений для определения амплитуд перемещений масс {У,} для /-й формы. Отметим, что это уравнение устанавливает лишь соотношения амплитуд вида ук/ уп
3. Вынужденные колебания от действия вибрационной нагрузки
Рис. 3. Дискретная система под действием вибрационной нагрузки
Рассмотрим случай действия на дискретную систему вибрационной нагрузки Р(()=Ро$1п&. Будем полагать, что при учете лишь установившихся вынужденных колебаний каждая масса совершает гармоническое колебание Ук(0 = УкТогда, по направлению движения каждой массы будут возникать силы инерции
Л-(О =Щ%-
С учетом выражения второй производной ук{() = сила инерции будет иметь вид
2
=-ткв у() или через амплитудные значения
* 2 ¿к = -ткв Ук,
где ¿к - амплитудное значение силы инерции массы тк. Отсюда
(
y(t) = -
J *
Л
V т°2 J
sinOt.
Перемещение от внешней нагрузки имеет вид
ЛкР(1) = Акр вШ,
где Акр - амплитудное значение перемещения массы тк от внешней нагрузки.
Подставив (10), (11), (12) в (2) и разделив все члены уравнений на $1пв1, получим
И-[M Г^ IJ * + {Л, } = 0 ■
(10)
(11) (12)
(13)
После определения амплитудных (максимальных) значений сил инерции Jk из решения системы уравнений (13) можно построить эпюру динамических изгибающих моментов путем сложения единичных эпюр от Jk = 1, умноженных на значения Jk, с эпюрой Мр0 от амплитудных значений вибрационной нагрузки:
п _ *
Мо = Мро
4. Динамический расчет рам
При динамическом расчете рамных систем решаются следующие задачи:
Определение частот собственных колебаний и главных форм свободных колебаний. Проверка системы на резонанс. Построение эпюр динамических моментов.
Пример динамического расчета рамы
Рис. 4. Рама с дискретными массами
Выполним пункты 1-3 динамического расчета для рамы, изображенной на рис. 3.
Решение в программной системе COMPASS [4]. _Число неизвестных - 24: Число загружений - 4.
(14)
КОСОСИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА КОЛЕБАНИИ (COMPASS)
1-й случай загружения
2-й случай загружения
M 2
-о, ил
Displacement Vector 1
Ux Vy Fz
1 0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000
2 0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000
7 4.28276259647562 0.303025655468594E-11 -0.151512827728479E-11
8 4.28276259645562 -0.303025655445322E-11 -0.151512827728479E-11
9 0.395448480200878E-10 0.102271158715886 0.227269241597592E-01
10 0.131816160063384E-09 -0.102271158725704 0.227269241619410E-01
11 4.28276259646562 0.116361451628266E-21 -0.151512827728479E-11
Displacement Vector 2
1 0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000
2 0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000
7 -0.204542317441590 -0.146022705074678E-10 0.730113525372315E-11
8 -0.204542317441590 0.146022705074248E-10 0.730113525372316E-11
9 -0.690338012268198E-11 -0.151811004645029 0.287642211867486E-01
10 -0.230112670750060E-10 0.151811004646841 0.287642211863459E-01
11 -0.204542317441590 -0.214840777065042E-22 0.730113525372316E-11
Здесь выделены перемещения масс, вызванные силами инерции и и2. Из этих значений формируем матрицу податливости, соответствующую кососимметричной форме колебаний [дез ].
СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА КОЛЕБАНИЙ (COMPASS)
3-й случай загружения
4-й случай загружения
Л*
M 3
0.51*
-О, -to 2
-0М50
QJOO
-0.1Ш
^O.ISO
M 4
Displacement Vector 3
Ux Vy Fz
1 2 0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000
10 11 -0.933333333145833E-22 -0.123028549083691E-21 -0.654166666662265E-11 -0.666666666696667 0.367592592590802E-11 0.134123521294171E-16
Displacement Vector 4
1 2 0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000
8 9 10 11 0.109430345471987E-10 -0.314104066158539E-21 0.787499999832463E-11 0.103805345471821E-10 -0.130833333332936E-10 -0.151171875008444 -0.151171875010256 -0.130833333332668E-10 -0.134222979083800E-22 0.289062499952162E-01 -0.289062499948135E-01 -0.134239134955139E-22
Из этих значений формируем матрицу податливости, соответствующую симметричной форме колебаний ]. Определим частоты и формы колебаний в программе Ма№сас(.
Часть 1. Определение частот и форм колебаний
Кососимметричная форма колебаний
'l О
без =
4J53 -OJO: -01205 0304
МСЭ -
О 0.6
Симметричная форма колебаний 6з -
( 0.667 0 1 fx оЛ
: Ms =
1 о 0302 ) U 0.6;
Способ 1. Решение через корни квадратного уравнения f(XX) :=
XX О О XX
£(ХХ) := | Acs Mes - f (XX) | XX~ - 4.4649531555555667 XX + 0_75512312540333334541
£(Xcs) = 0 solve, Xcs —»
4_2М9194435440532964 Л ^0.176063 723122613403 5 5 ) Способ 2. Решение через стандартные функции Ма№саб
Хсз := (eigenvals(Scs Mes)) =
4_259 1
0-176 J
Частоты при кососимметричных формах колебаний
Частоты при симметричных формах колебаний
ijXS :=
|ТУ _ (15.27^ Xcs ~ 1.75 364J
(jsj :=
EJ
Msiiísii
= 35.73
us; :=
EJ
Mst = 2-6S;72
= Т4_24б
Определение форм колебаний через стандартную функцию Mathcad
Ves := eigenvecs(6csMcs)
Уез =
f0.999 0.03 Л
'v_—0-03 1 J
м v (í>
ф1 > ICS
Вектор первой кососимметричной формы
Проверка ортогональности векторов
0.999Л
-0105 J
Вектор второй
кососимметричной
формы
<3> fo.03
ф2 := \cs
I
Усэ Мез Уез =
0.999 О
'1
I
УС5 (без Мсэ) ЛТС5 =
f
4.259 -3.502 X 10 0.055 0.175
-3
Определение сип инерции при действии вибрационной нагрузки
Формирование грузового вектора
,'"-3.063
Др1 := Scsi 2 Р0 Др^ := 5сзт т Р0 Др = :
V 4 554
Корректировка матрицы податливости
61 := Ses «j J := 6cSj .j--и _ Г»136 ЧиюЛ
Mesj _ j -в ^-0.20455 -0.m79j
Решение уравнения вынужденных колебаний
Вычислив амплитудные значения сил инерции У* У* (элементы вектора Jcs), строим эпюру динамических
;
моментов (14), рис. 5. Для этого используем программную систему ООМРАББ.
Рис. 5. Эпюра динамических моментов
Заключение
Как уже отмечалось, существенным преимуществом вычислений, выполненных в программе Mathcad, является их наглядность. Однако основным достоинством динамического расчета в Mathcad является возможность решения задачи на собственные значения при помощи стандартных функций. При этом надо учитывать, что применение этих функций должно сопровождаться пониманием основных операций, используемых при решении динамической задачи, а также осмыслением полученных результатов.
Статья поступила 14.04.2014 г.
Библиографический список
1. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов / пер. с англ. А.С. Алексеева и др.; под ред. А.Ф.Смирнова. М.: Стройиздат, 1882. 448 с.
2. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1978.
3. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979. 320 с.
4. Безделев В.В., Буклемишев А.В. Программная система COMPASS. Руководство пользователя. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2000. 120 с.
5. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad: практикум. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 752 с.
6. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика: учеб. для строит. специальностей вузов. Изд. 10 -е. СПб.: Лань, 2005. 655 с.
7. Макаров Е. Инженерные расчеты в Mathcad. СПб.: Питер, 2007. 592 с.
