МЕТОДИКА ДЕКОМПОЗИЦИИ МОДЕЛЕЙ МНОГОТЕМПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

И ПРОИЗВОДСТВАМИ

УДК 681.5.01

DOI: 10.24412/2071-6168-2023-12-3-4

МЕТОДИКА ДЕКОМПОЗИЦИИ МОДЕЛЕЙ МНОГОТЕМПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

О.М. Державин, Е.Ю. Сидорова

Рассматривается задача структурной декомпозиции моделей многотемповых линейных динамических систем. Предлагается методика решения задачи для модели общего вида, представленной системой обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши. Она предполагает разделение общей процедуры декомпозиции на два этапа: на первом решается вопрос принадлежности исследуемой модели классу многотемповых, на втором - реализуется методика декомпозиции исходной модели. Приведен алгоритм ее реализации.

Ключевые слова: многотемповая система, динамическая модель, структурная декомпозиция, упрощенная модель.

Введение. В общей классификационной таблице динамических систем многотемповые системы составляют самостоятельный класс, широко распространенный на практике [1-10]. Его отличительным признаком является возможность описания системы моделями различных порядков на разных интервалах наблюдения процессов [11-13]. В настоящее время отсутствуют строгие алгоритмы решения задачи структурной декомпозиции исходной модели общего вида, представленной в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, с целью получения упрощенных моделей пониженного порядка. В большинстве известных работ задача решается путем построения различных эвристических алгоритмов приближенного представления исходной модели в явной или неявной форме в виде сингулярно возмущенной модели, содержащей в качестве сомножителя малый параметр при производных в части уравнений системы Коши [14-17]. При этом нахождение оценок ожидаемой погрешности упрощенной модели и временного интервала ее справедливости представляют собой сложные задачи, обычно решаемые путем сравнения исходной и упрощенной моделей уже после завершения процедуры декомпозиции.

В настоящей работе предлагается методика декомпозиции модели общего вида линейной многотемповой динамической системы. Она основывается непосредственно на свойствах решений исходной модели в форме Коши без построения аппроксимирующих приближенных моделей и предполагает оценивание ожидаемых основных параметров упрощенной модели (погрешность, интервал справедливости) на этапе, предваряющем реализацию процедуры декомпозиции.

1. Общая постановка задачи. Пусть математическое описание динамической системы представлено системой обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши:

х' = ф(х, г), (1)

Т>П

где х, ф е К .

Оно соответствует получаемым обычно на практике результатам процедуры описания динамических систем в виде совокупности уравнений малых порядков.

Декомпозиция модели (1) с целью понижения ее порядка предполагает замену исходной системы (1) системой дифференциально-алгебраических уравнений вида

Г х' = ф (х,г X (а) (2)

|Ф(х, г) = 0, (Ь)

где X, ф е К; ф = [(р!,...,ф£ ]Т ; фе К к; X е К и упрощенная модель определяется подсистемой (2а).

Подсистема дифференциальных уравнений пониженного порядка (2а) получается путем исключения в (1) (п — к) переменных с учетом их голономных (недифференциальных) связей с другими переменными в соответ-

ствии с алгебраической подсистемой (2Ь). Очевидно, что решение х =

XI, / = 1, к

Т

системы (2а) не может

строго совпадать с соответствующими компонентами решения х в (1), что означало бы неадекватное описание исследуемого объекта моделью завышенного порядка. Поэтому постановка задачи декомпозиции исходной модели предполагает указание значения допустимой погрешности решения (2а) относительно (1), определяющего величину временного интервала применимости упрощенной модели (2а).

Рассмотрим постановку задачи более подробно.

Пусть исходная модель Мр определена на временном интервале t £ (0, Т] , а упрощенная модель Му

- на интервале t £ [Гу, Т], где Т - правая граница интервала наблюдения процессов, а Гу - левая граница интервала применимости упрощенной модели (2а). Пусть также задана максимальная допустимая погрешность модели Му - 50 . Сформируем критерий у оценивания результата декомпозиции исходной модели следующим образом:

у = (3)

Т

при выполнении условия: 5у ) < 5° .

Здесь 5у (^) - погрешность упрощенной модели Му .

Критерий может принимать значения в диапазоне от нуля, когда отсутствует интервал справедливости упрощенной модели при Гу = Т , до единицы, когда упрощенная модель справедлива на всем интервале наблюдения процессов при Гу = 0 . Таким образом, значение критерия у тем больше, чем больше относительный интервал справедливости упрощенной модели воспроизведения процессов с допустимой погрешностью.

При формализации критерия (3) модели Му относительно исходной модели предполагается, что ее решение х соответствует свободному движению системы при отсутствии внешнего воздействия или переходной составляющей процессов при ступенчатом воздействии. Кроме того, критерий (3) должен оценивать модель Му в

целом, то есть независимо от начальных условий решений системы (у).

2. Декомпозиция линейной модели общего вида. Исходные положения. Рассмотрим задачу декомпозиции линейной модели общего вида, представленной в нормальной форме Коши:

у'(0 = 4К0 + ги(0, у (+0) = уо (4)

Г>п 4 Г 1 г 1Т Г0, t < 0

где у £ К ; А = а- - матрица п X п; г = [,...,Гп ] ; и(^) = | - единичная ступенчатая функ-

Т

ция; у0 = [[7у0,...,Уп0] - значения у при t = +0 . Решение (4) может быть представлено как сумма общего

решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения [!8], описывающих свободную и вынужденную составляющие движения системы:

У() = х ^) + Увын^), (5)

где X и увын - свободное и вынужденное движения системы соответственно. В результате решения системы (4) соотношение (5) принимает вид:

у^) = Се + Ни^), (6)

- вещественная матрица размерности п X п ; Н = [[,..., ] - вектор установившихся значений

у^) при t ^го; е = [ву,..., еп ]Т - вектор модальных функций е- = S¡ , ■ = у, п, р- - собствен-

ные значения (с.з.) матрицы А , (С) = smюг■t, £г+у^) = COSЮг■t при р-,р-+у = а,- ± -Ю,- - для пары ком-

где С =

плексно-сопряженных с.з., Si (t) = t при р,+. = р-, V = 0, Г — у, - для с.з. кратности Г .

Описание свободного движения системы можно получить из уравнений (4) с учетом (5), (6):

х'^) = Ах(г), х(+0) = — Н + у0 . (7)

В результате декомпозиции модель (7) примет вид, состоящий из двух подсистем, соответственно, дифференциальных и алгебраических уравнений:

Г х'(0 = Ах(0, х- (+0) = Х0,, ■ = у, к, (8)

1 0 = Вх^),

где х £ К; А = Га,,- - матрица размерности к X к; а- = а- , ■ = у, к , - = у, к; В = [¿.к ]

матрица раз-

мерности (п — к) X п ; х £ К .

Конкретизируем критерий (3), выразив входящие в него параметры через характеристики системы (4). Оценка близости процессов упрощенной и исходной моделей. Прямая оценка основывается на непосредственном вычислении количественной оценки 5,- отличия процессов упрощенной модели х(^) относительно

исходной х^) , например, относительное стандартное отклонение процессов

5- =

£ (■) — х,)) , = -

у , ч „

или оценка вида

N ,=1 8/

1

1 N _

Е х (/у) - х (/у)

N

/ = 1, к.

* Е X (/У)

^у=1

Положительными сторонами прямых оценок являются их очевидная смысловая нагрузка, непосредственное использование оцениваемых данных, широкая распространенность в исследовательской практике. Однако в рассматриваемой задаче декомпозиции модели данные критерии обладают рядом недостатков. Главный из них заключается в том, что они дают оценки конкретного процесса, то есть при определенных начальных условиях, а не оценку модели в целом, инвариантную по отношению к ним. Распространение их на оценку модели в целом требует проведения большого объема вычислительных экспериментов с последующим обобщением всего массива полученных данных. При этом в каждом эксперименте необходимо устанавливать различные значения интервалов Т переходных процессов по каждой из переменных X/. Установление единого значения Т для всех компонентов решения

может приводить к необоснованному увеличению вычислительных затрат и даже понижению точности, учитывая сходимость к нулю свободного движения. Кроме того, применение прямых оценок препятствует проведению исследования в аналитической форме.

Можно предложить косвенную оценку точности приближенной модели, позволяющую избежать указанных трудностей. Обратимся к системе уравнений свободного движения (7). Ее решение определяется первым слагаемым в (6)

X = Се . (9)

Разрешим систему (9) относительно модальных функций е . Полагая, что det С Ф 0, и умножив левую

и правую части (9) слева на матрицу В = С

-1

, получим:

е = Вх,

(10)

где В =

.V

Ьу = А у А-1, A = det С, А у - алгебраическое дополнение элемента С;; матрицы С . Пред-

"Ч У ставим (10) в развернутом виде:

У

У

еу = Е Ккхк, * =1 П. (11)

к=1

Поскольку предполагается, что исходная модель (4) является устойчивой, то для решения (6) выполняются условия, что Re р/ < 0, / = 1, П. Отсюда следует, что линейные формы в правой части (11) стремятся к нулю при / ^го, принимая в пределе вид:

Е Ь,кхк = 0 V =1П,

к=1

(12)

соответствующий линейной зависимости компонент решения X [11-13].

Пусть при декомпозиции модели исходной системы голономные связи определяются соотношениями (12). Поскольку они выполняются строго только в предельных случаях при / ^го, то невыполнение их во все другие моменты времени является причиной возникновения погрешности приближенной модели. Будем оценивать погрешность приближенной модели по степени нарушения соотношения (12).

В соответствии с (11) изменение линейной формы переменных X во времени определяется модальными

функциями ev (V = 1, П ). Согласно (6) они обладают следующими свойствами:

-о,,/

е, = е

- при вещественных простых с.з.; -а,/

е,1 = е

-Р , -

при комплексно-сопряженных с.з.;

(13)

е, = / ,е-а,/

- при вещественных с.з. кратности Г и V = 0, Г - 1, где принято обозначение Reр, = -а,, а, > 0, и значение кратных с.з. равно р, .

Относительно модальной функции при кратных с.з. нетрудно показать, что она является непрерывной положительной одноэкстремальной, стремящейся к нулю при / ^го , с экстремумом величиной • (а • епри

-1

= , •а .

Будем количественно оценивать погрешность 8, реализации голономной связи (12) по мажоранте абсолютного значения соответствующей модальной функции (11) при условии ее прохождения через все экстремальные значения мажорируемой функции:

8,(/) > |е,(/)| и 8, (//)

5

= е

(14)

где t^ - моменты времени экстремумов функции |е. (^)|.

Из (у4) с учетом (!3) следует, что выражения для определения погрешности голономных связей через модальные функции представляется следующим образом:

Ге.^), при простых и кратных вещественных с.з. (15)

^) = Г -а.Г (у5)

[е . , при комплексно-сопряженных с.з.

Таким образом, как видно из (!5), количественная оценка погрешности упрощенной модели может проводиться непосредственно по самим модальным функциям, соответствующим вещественным простым и кратным с.з., и по экспоненциальной функции с параметром с.з., в случае их комплексно-сопряженного характера.

Определение временного интервала справедливости упрощенной модели. Под интервалом справедливости упрощенной модели будем понимать интервал на временной оси наблюдения процессов, на котором погрешность воспроизведения ею процессов исходной модели не превышает допустимого значения 50. Его левая граница определяется моментом времени, когда некоторая модальная функция с указанной погрешностью становится равной нулю. Найдем левые границы Г. (V = у, п ) всех интервалов голономных связей (уу) из условий:

5.(Г.) = 50, 5.(0 < 50 при t >Г.. (у6)

В явной форме значение Г. для простых вещественных и комплексно-сопряженных с.з. с учетом (!3) и

(16) имеет вид:

Г v =--llnS0- (17а)

av

v

Для кратных вещественных с.з. оно находится из уравнения

Г Ve"av Г v = 5°, (17б)

имеющего два решения, из которых выбирается значение Гv > t°v и отбрасывается второе решение, имеющее

обратный знак неравенства.

Установим индексацию полученных значений в соответствии с возрастанием их числовых значений: Гv > Гv-i. Рассмотрим случай понижения размерности модели на один порядок. Тогда левая граница интервала

справедливости упрощенной модели будет определяться наименьшим значением Гv , то есть

Г = Г1.

Правая граница интервала справедливости определяется временем переходного процесса T, под которым подразумевается время установления процессов с заданной точностью относительно их предельных значений.

Строгое выполнение равенств (12) для всех v = 1, П означает согласно (11) равенство нулю всех модальных функций ^v (t) , v = 1, П , то есть значение решения x исходной системы соответствует установившемуся режиму. Будем определять время переходного процесса T как момент, начиная с которого все модальные функции затухнут с

погрешностью не более, чем на величину 5°. Тогда значение T будет определяться наибольшим из найденных выше граничных значений, то есть

T = Г

1 1 П ■

При этом общий интервал справедливости упрощенной модели соответствует временному отрезку

t е[ГьГп].

Эффективность упрощенной модели. Полученные граничные значения интервала справедливости упрощенной модели позволяют конкретизировать общее выражение критерия эффективности упрощенной модели

(3):

Y = гп _Г1 = 1 _Ц. (18)

Г Г

i П i П

Если значения Г1 и Гп соответствуют модальным функциям с простыми вещественными или комплексно-сопряженными с.з., то с учетом (17а) критерий (18) примет следующий вид:

У = 1 _ . (19)

a1

Из (19) следует, что значения критерия тем больше приближаются к максимальному значению у тах = 1 , чем более разнесены собственные значения с максимальным и минимальным значениями их вещественных частей. При этом можно выделить два варианта достижения максимального значения критерия: а) Re Р1 ^ —сю и б)

Re Рп ^ 0. Можно отметить, что декомпозиция сингулярно возмущенных моделей основывается на их свойствах, соответствующих первому варианту.

Если границы Гц или Тп определяются модальными функциями с кратными вещественными с.з., то их значения находятся из уравнения (17б). При этом остаются справедливы сделанные выше выводы.

Примечание. Коридор установления процессов при определенном времени Т переходного процесса системы может быть назначен отличным от коридора допустимой погрешности 8°. Пусть он равен величине А° . Тогда в полной аналогии с рассмотренным выше находятся граничные значения Гу из уравнения

8у(Г у) = А°, V = 1П, _

и устанавливается их индексация в соответствии с увеличением числовых значений ГV . В качестве правой границы Т общего интервала выбирается значение с максимальным индексом, то есть

Т =Г

1 х п'

а упрощенная модель будет справедлива на интервале ^ (= [Г1, Гп J .

Методика декомпозиции модели. Рассмотрим последовательность действий, реализующих процедуру в целом декомпозиции модели.

1. Предполагается, что исходная модель системы задана системой дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши при ступенчатом входном воздействии (4) или описывающих свободное движение системы (4) при г = 0 .

2. Задаются допустимые погрешности упрощенной системы 8° и установления процессов А° .

3. Определяются собственные значения Pv , V = 1, п, системной матрицы А из характеристического

уравнения

|А - р1\ = 0,

где I - единичная диагональная матрица размерности п X п, и соответствующие им модальные функции ^, V = 1, п , (1°).

4. Для каждой модальной функции определяются граничные значения ГV по соотношениям (17а) или (17б) и производится их переиндексация согласно с возрастанием числовых значений: ГV > . Выбирается левая граница Г временной области определения упрощенной модели как значение ^ с наименьшим индексом:

Г = Г1.

5. При назначении в п. 2 А° = 8° правая граница Т выбирается из упорядоченной по индексу совокупности значений ^ пункта 4 как элемент с наибольшим индексом:

Т = Г' 1 1 п ■

6. Если параметр А° (п. 2) назначен отличным от значения 8° (А° Ф 8°), то определяются граничные

значения ГV согласно п. 4 с заменой в (17а) и (17б) ГV на ^ , 8° на А° .

Выбирается правая граница Т временной области определения упрощенной модели как значение с наибольшим индексом:

Т = Г'

п

7. По найденным в п.п. 4 - 6 границам временного интервала определения упрощенной модели вычисляется значение критерия ее эффективности (18), показывающего период времени возможного ее использования относительно общего периода наблюдения процессов.

8. Если найденное в п. 7 значение критерия признается удовлетворительным (то есть у > у°, где у°

назначается исследователем), то осуществляется дальнейшая процедура аналитического синтеза упрощенной модели системы.

В обоих вариантах задания исходной модели (п. 1) производится переход от системы (4) к системе (7) с _у(+°) = 0 при г Ф 0 и х(+°) = Х° при г = 0 .

9. С учетом найденных в п. 3 собственных значений матрицы А находится решение (9) системы (7)

х = Се.

1°. По системе уравнений (1°) определяются выражения (11) модальных функций е V = 1, п, через переменные Х исходной модели.

11. В системе (11) выбирается модальная функция с граничным значением Г = Г1, найденным в п. 4. Пусть это выполняется при V = 5 .

12. Из совокупности голономных связей (12) выбирается соотношение для V = 5 :

7

Ъл = 0. (20)

к=у

у3. Соотношение (20) разрешается относительно любой переменной Хк при условии, что ¿к ^ 0. Пусть это переменная Хп :

п—у__— —

Хп = Е Ькхк, где Ъ5к = — Ъ5к • ¿к . (2у)

к=у

у4. Из исходной системы (7) исключается переменная Хп согласно (2!). В результате упрощенная модель

пониженного, (р — 1) - го, порядка принимает вид:

где A =

aij

x (t) = Ax(t), Xi (Г1) = Xi (Г1), i = 1, П _ 1,

n_1

i,j =1П _1: aij = aij + ain • ; x e Я

Заключение. Приведенная методика декомпозиции динамической модели содержит два последовательных этапа реализации. На первом этапе определяются основные системные показатели предполагаемой упрощенной модели (точность, временной интервал справедливости) и, по введенному критерию, количественная оценка ее эффективности, на основании которых принимается решение о целесообразности построения упрощенной модели. Построение оценок на базе модальных функций определило их универсальный характер относительно исходной модели в целом независимо от начальных условий, то есть конкретного вида процессов.

Рассмотренная выше методика декомпозиции модели многотемповой динамической системы с понижением ее размерности на один порядок соответствует значению левой границы временной области достоверности упрощенной модели Г1 , полученному на основе модальной функции с простым вещественным собственным значением. Методика легко без принципиальных отличий распространяется на случай понижения размерности модели на несколько порядков - на два порядка, если значение Г1 определяется модальными функциями с комплексно-

сопряженными с.з.. и на Г порядков - если модальной функции соответствует с.з. кратности Г . Отличие заключается в появлении, соответственно, двух или Г голономных связей, описание которых извлекается из системы (12). Также приведенная методика остается справедливой при целесообразности формирования нескольких упрощенных моделей на различных интервалах наблюдения процессов. Например, на интервале ввода объекта в рабочий режим и интервале управления рабочим режимом. При этом помимо модели на интервале [Г1,Т ] аналогичным образом

строится вторая модель на интервале [Г 2,Т].

Список литературы

1. Юркевич В.Д. Синтез нелинейных нестационарных систем управления с разнотемповыми процессами. СПб.: Наука. 2000. 288 с.

2. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах: беспоисковые методы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1990. 296 с.

3. Геращенко Е.И., Геращенко С.М. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука». 1975. 296 с.

4. Гайцгори В. Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. 223 с.

5. Халил Х.К. Нелинейные системы. М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований. 2009. 832 с.

6. Kokotovic P.V., Khalil H.K., O'Reilly J. Singular perturbation methods in control: analysis and design. London-Orlando-San Diego-New York-Boston-Austin-Tokyo-Sydney-Toronto: Academic Press. 1986. Republished by SIAM. 1999. 371 p.

7. Naidu D.S., Calise A.J. Singular perturbations and time scales in guidance and control of aerospace systems: a survey // Journal of Guidance, Control and Dynamics. November-December 2001. Vol. 24. No. 6. P. 1057 - 1078.

8. Kokotovic P.V., O'Malley R.E., Jr., Sannuti P. Singular perturbations and order reduction in control theory -an overview // Automatica. 1976. V. 12. P. 123 - 132.

9. Saksena V.R., O'Reilly J., Kokotovic P.V. Singular perturbations and time-scale methods in control theory: survey 1976-1983 // Automatica. 1984. V. 20. P. 273 - 293.

10. Численные методы решения жестких систем / Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. М.: Наука, 1979. 208 с.

11. Derzhavin O., Sidorova E. Peculiarities of Decomposition of Two-Timescale Models of Nonlinear Dynamic Systems. 2019 International Russian Automation Conference (RusAutoCon), Sochi, Russia. 2019. P. 1 - 5.

12. Державин О.М., Сидорова Е.Ю., Вишняков Е.А. Декомпозиция неявного вида сингулярно возмущенной модели динамической системы // Естественные и технические науки. 2019. № 2 (128). С. 189 - 192.

13. Derzhavin O., Sidorova E., Vishnyakov E., Kudrina T. The Construction of Simplified Models of a Multi-Timescale System on the Basis of Processes Implementations.2020 V International Conference on Information Technologies in Engineering Education (Inforino). Moscow, Russia. 2020. P. 1 - 6.

14. Новожилов И.В. Фракционный анализ. М.: Издательство МГУ. 1991. 188 с.

15. Syrcos G.P., Sannuti P. Singular perturbation modelling of continuous and discrete physical systems / International Journal of Control. 1983. V. 37. No. 5. P. 1007 - 1022.

16. Naidu D.S. Analysis of non-dimensional forms of singular perturbation structures for hypersonic vehicles / Acta Astronautica. 2010. Vol. 66. P. 577 - 586.

17. Chow J.H., Kokotovic P.V. A decomposition of near-optimum regulators for systems with slow and fast modes / IEEE Transactions on Automatic Control. 1976. Vol. AC-21. P. 701 - 705.

18. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учеб. пособие для студ. вузов / С.А. Агафонов, Т.В. Муратова. М.: Издательский центр «Академия». 2008. 240 с.

Державин Отто Михайлович, д-р техн. наук, профессор, [email protected], Россия, Москва, Национальный исследовательский университет «МЭИ»,

Сидорова Елена Юрьевна, старший преподаватель, [email protected], Россия, Москва, Национальный исследовательский университет «МЭИ»

METHODOLOGY FOR DECOMPOSITION OF MULTI-TIMESCALE DYNAMIC SYSTEM MODELS

O.M. Derzhavin, E.Yu. Sidorova

The problem of structural decomposition of models of multi-timescale linear dynamic systems is considered. A methodology for solving the problem for a general model represented by a system of ordinary differential equations in the Cauchy normal form is proposed. It involves the division of the general decomposition procedure into two stages: at the first stage, the question of whether the model under study belongs to the class of multi-timescale models is solved, at the second stage, the methodology of decomposition of the original model is implemented. The algorithm for its implementation is given.

Key words: multi-timescale system, dynamic model, structural decomposition, simplified model.

Derzhavin Otto Mikhaylovich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Moscow, National Research University «Moscow Power Engineering Institute»,

Sidorova Elena Yurievna, senior lecturer, [email protected], Russia, Moscow, National Research University «Moscow Power Engineering Institute»

УДК 656.259.1

DOI: 1°.24412/2°71-6168-2°23-12-9-1°

АВТОМАТИЗАЦИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛИН ЗОН ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ШУНТИРОВАНИЯ

ТОНАЛЬНЫХ РЕЛЬСОВЫХ ЦЕПЕЙ

М.Э. Скоробогатов, В.А. Целищев

В среде БтЫТесЬ на имитационной схеме было проведено моделирование фрагмента тональной рельсовой цепи для определения зоны дополнительного шунтирования. Параметром, по которому оценивалась указанная длина выступал уровень напряжения на входе путевого приёмника. нормативное значение этого напряжения должно лежать в пределах от 0,4 до 1,1 В. По результатам моделирования был построен график для разных длин зоны дополнительного шунтирования по удалению, по которому было определено сопротивление рельсов и рассчитана её длина. Для валидации полученных результатов на основе метода контурных токов был проведён расчёт входного напряжения на путевом приёмнике по эквивалентной схеме замещения фрагмента рельсовой цепи. Отклонение рассчитанных значений от результатов моделирования составило менее 5%.

Ключевые слова: тональная рельсовая цепь, имитационное моделирование, зона дополнительного шунтирования, схема замещения, метод контурных токов.

Введение. Одним из устройств обеспечения условий безопасности движения поездов на отечественных железных дорогах является рельсовая цепь (РЦ), которая состоит из рельсовой линии, а также аппаратуры, подключаемой к питающему и релейному концу [1, 2]. РЦ выполняет роль стационарного датчика и реализует функции контроля состояния рельсовой линии и используется как телемеханический канал передачи данных [3]. С ростом скорости движения поездов и их веса РЦ эксплуатируются во всё более сложных условиях [4-9]. Для снижения электромагнитного влияния помех на работу РЦ были внедрены рельсовые цепи тональной частоты (ТРЦ), которые используют амплитудно-модулированный (АМ) сигнал в качестве сигнального тока, в связи с чем в конструкции ТРЦ отсутствуют изолирующие стыки. Их исключение приводит к появлению зон дополнительного шунтирования как перед точкой ввода АМ-сигнала, так и за ней, а длина указанной зоны влияет на место установки проходного светофора [1°].

Зона дополнительного шунтирования - это зона железнодорожного пути, где колеса поезда занимают две рельсовые цепи одновременно (рис. 1).

Различают зоны дополнительного шунтирования по приближению 1шп и зоны дополнительного шунтирования по удалению /шу.