Методика бездефектного допускового контроля функциональных систем ВС Текст научной статьи по специальности «Математика»

2009

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Эксплуатация воздушного транспорта. Безопасность полетов

№149

УДК 629.735.015

МЕТОДИКА БЕЗДЕФЕКТНОГО ДОПУСКОВОГО КОНТРОЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ ВС

М.В. АНДРОНОВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Зубковым Б.В.

В статье проведен анализ методики бездефектного допускового контроля .

Ключевые слова: контроль, качество, математическая модель, методика.

В статье рассмотрена процедура допускового контроля, которая позволяет исключить наличие дефекта допусков. При этом точность методики бездефектного контроля определяется только точностью представления гиперповерхности качества. Если принять, что гиперповерхность качества задается исходными данными абсолютно точно, то вероятности риска заказчика и риска изготовителя должны быть сведены к нулю. Метод бездефектного контроля по уравнению гиперповерхности качества представлен в виде уравнением второго порядка канонической формы уравнения гиперэллипсоида и имеет вил:

где а/ - величина й главной оси гиперэллипсоида или 1-е допустимое значение контрольного параметра. В процессе проведения контроля после измерения _/'-го контрольного параметра будет получено его конкретное значение^-. В этом случае можно записать:

При нахождении первого измеренного контрольного параметра в пределах допуска выполнится условие:

Если контрольный параметр Х/ не входит в установленный допуск, то условие (40) не выполнится. Затем измеряется (]+1) параметр и вся процедура выполняется повторно:

Повторяя эту процедуру п раз, можно проверить нахождение вектора контрольных параметров внутри гиперэллипсоида качества. Процедуру бездефектного допускового контроля можно реализовать для гиперповерхности качества любого порядка, если она представлена в канонической форме:

Приведенную выше методику можно реализовать также и для этой формулы. В том случае, если гиперповерхность качества представлена не в канонической форме, то путем поворота координатной системы ее можно свести к канонической, но в этом случае придется столкнуться с линейными формами контрольных параметров, работа с которыми связана со значительными вычислительными сложностями. При реализации этого подхода решение о годности объекта контроля может быть принято после измерения всех параметров, входящих в линейную форму, что не позволит выполнить достаточно распространенное требование о прекращении испытаний при выходе хотя бы одного из контрольных параметров за пределы допуска (предотвращение возможности возникновения аварийной ситуации в процессе контроля). Как пример можно привести уравнение следующего вида:

Для уравнений данного типа подстановка измеренных контрольных параметров х3,х2,х5 в любом порядке не позволяет применить рассмотренную выше процедуру. Перечень таких гиперповерхностей можно неограниченно продолжить. Кроме того, могут иметь место случаи, когда контрольные параметры входят в уравнение не сами по себе, а связаны какими-либо функциональными зависимостями, причем разрешение уравнения относительно какого-нибудь контрольного параметра не всегда может быть выполнено в общем виде или часто связано со значительными трудностями. Таким образом, применение тривиального подхода к уравнению гиперповерхности не во всех случаях позволяет полностью реализовать бездефектный контроль. В связи с трудностями реализации бездефектного контроля по уравнению гиперповерхности возникло предположение о возможности такого преобразования системы координат хх,х2.........хп, которое позволило

бы преобразовать гиперповерхность произвольной формы (в частности, представимой разложением в степенной ряд Тейлора) в гиперпараллелепипед в новой координатной системе В этом случае назначение допусков на контрольные параметры и контроль нахождения вектора контрольных параметров в пределах гиперповерхности качества следует проводить по гиперпараллелепипеду в новой координатной системе.

В общем случае зависимость показателя качества контролируемой системы от контролируемых параметров описывается выражением вида Яг(х1,х2,...,хп)>И'т. Геометрически гиперповерхность качества представляется выпуклой гиперповерхностью, имеющей точку экстремума (максимума), причем при правильном выборе номинальных значений эта точка лежит в начале координат. Если это не выполнено, то всегда достаточно просто обеспечить его выполнение простым плоскопараллельным переносом системы координат :

Х1 = ^1 — ^ I ном •

где отклонение контрольного параметра от номинального значения;

- - текущее значение контрольного параметра; хи,ом - номинальное значение контрольного параметра.

Далее задается требуемый показатель качества системы Wт, что геометрически соответствует сечению гиперповерхности гиперплоскостью, которое определяет область допустимых значений контрольных параметров в и-мерном пространстве. При нахождении вектора контрольных параметров в области допустимых значений система имеет показатель качества не хуже заданного.

Аналитическую зависимость ...О можно представить в виде ряда Тейлора, как

случай, наиболее распространенный в практических приложениях и совпадающий с видом характеристического полинома, применяемого в теории планирования эксперимента. Отличие за-

ключается в том, что ряд представляется в тензорной форме. Разложение в ряд Тейлора выполнено в точке экстремума функции:

где Ахп - контрвариантный вектор отклонения контрольного параметра от номинального значения; п - индекс тензорного исчисления; ьп - - тензор валентности 1, в котором каждый член является частной производной от показателя качества по контрольным параметрам, общее количество членов - п; Мпк -тензор валетности 2, общее количество членов п2 .

ЬпкЪ -тензор валетности 2, общее количество членов п3 .

/ \ к 4 ~ — т~ ... —

\8хг 8х2 дх3 дх" ,

' д21У д21У д2Я' д21У '

вх1дх1 дх2дх> дх*дх1 дхПдх*

е2И' д2И' д2(У э2иу

дх[дх2 дх2дх2 дх3дх2 дхЛдх2 '

д21У _д2И' _ д2И' 82Я'

чдх1дхп дх2дхп дх3дхп 8хядхп;

Тензор - представляется членами или совокупностью двухмерных матриц. Далее, с увеличением порядка членов ряда Тейлора, тензоры записываются аналогично' а3 у а3 у а3 у '

бдг'блг’Эд:* дхгдх^дхн дх^дх'дх11 дхп3х,дхк

д3У_________а3 У 53У д3У

дх'дхгдх'1 дх2дх2дхк дхгдхгдхь дх"дх7дх'1

а3 У а3 У 33У дг У

{дх1дхпдхк дх1дхпдх1' дх^дхп8х1' дх1,дх',дх1' )

где Ь - одно из фиксированных значений из области И е. Исходя из физической сути зада-

чи, величина ЛГУ является скалярной величиной и должна быть инвариантом относительно любого преобразования системы координат. В тензоре Ьпкъ члены расположены по главной диагонали трехмерной матрицы. Представление вектора контрольных параметров контра-вариантным вектором связано с его геометрической интерпретацией. Контравариантный вектор является математической абстракцией, т. к. реально существуют лишь его проекции на оси координат, т. е. в данном приложении, контрольные параметры системы. В векторном анализе существует противоположная ситуация - реален сам вектор, а его проекции на оси координат являются математическими абстракциями. Представленное разложение функции качества в тензорной форме является самым общим. Целесообразно первоначально рассмотреть частный случай, имеющий важное практическое значение, а затем вновь вернуться к рассмотрению общего случая.

Частный случай определяется следующими допущениями:

1. Точка экстремума функции показателя качества совпадает с началом координат.

2. Разложение в ряд выполнено с точностью до членов второго порядка малости.

3. Разложение в ряд выполнено в окрестности точки, являющейся экстремумом функции показателя качества.

1якк = У

В связи с тем, что разложение выполнено в окрестности точки экстремума, а точнее максимума функции качества, то все частные производные первого порядка равны нулю, а все частные производные второго порядка отрицательны, т.е

к„ =

( дЯ

эж = 0 ™ = 0 о II X = 0

дх1 ,<-о д*г *2=0 дх3\х3=0 дхп хп =0 >

А^и* =-~пкмІ-

д'УЇ

8хпдх*

гхпьхк.

хш =0 х* =0

В этом случае запишется в виде:

Из условия обеспечения необходимого: Окончательно можно записать:

Это уравнение представляет из себя уравнение кривой второго порядка, точнее, уравнение гиперэллипсоида, главные оси которого расположены под произвольными углами к осям координат. Здесь следует сделать еще одно важное допущение, заключающееся в том, что главные оси совпадают с направлением осей системы координат, т.к. выполнен поворот координат или эллипсоид имеет каноническую форму записи, тогда тензор будет представляться диагональной матрицей, поскольку все смешанные частные производные будут равны нулю, т.е.

Учитывая правило опускания суммы по верхним и нижним индексам, можно перейти от тензорной формы к обычной записи.

Г еометрически данное уравнение представляет собой каноническое представление гиперэллипсоида. Обычно применяется замена гиперэллипсоида гиперпараллепипедом по определенным правилам. Такой способ позволяет применить простой метод допускового контроля. Теперь рассмотрим формулу представления гиперпараллепипеда.

где ^1 '- текущее значение контрольного параметра в новой системе.

< - номинальное значение контрольного параметра в новой системе.

- половинное поле допуска контрольного параметра в новой системе.

Выражение - < и, - и(шш < А£/р, является решением неравенства.

и - и

Обозначив —________- у.) данное выражение представляется в следующем виде:

и,2 -150.

Условием нахождения контрольного параметра в поле допуска является условие нахождения контрольного параметра в области допустимых значений неравенств.

В том случае, когда условие работоспособности контролируемой системы определяется нахождением в области допустимых значений совокупности контрольных парметров, то оно определяется произведением выражений. В это произведение дополнительно вводится множитель(-1) "' для обеспечения знакопостоянстава произведения.

Условие работоспособности контролируемой системы определяется нахождением каждого контрольного параметра в области допустимых значений. При нахождении всех контрольных параметров в пределах допусков, область допустимых значений будет определяться гиперпарал-лепипедом. Все пространство контрольных параметров разбивается на квадраты и односторон-нии зоны, которые являются геометрической интерпритацией полной совокупности состояний, рассматриваемых методом получившим название ситуационной модели. Если область допустимых значений имеет вид гиперпараллепипеда, то назначение допусков может быть выполнено точно.

В связи с этим встает задача отображения поверхности качества на гиперпараллепипед. Есть два способа:

а) преобразование координат - «пассивная точка зрения»;

б) преобразование пространства-структуры - «активная точка зрения».

Нахождение отображающих функций: ^ ^

при подстановке которых в уравнение гиперповерхности качества

№(х1,х2,...,хп)> 1¥т указан-

т. е. в выражение для гиперпараллелепипеда.

При выполнении контроля информация о контролируемых параметрах поступает на обработку последовательно, т. е. в очередности проводимых измерений, которая обычно определяется программами, методиками и инструкциями на испытания. Для учета этого требования функции целесообразно представить совокупностью рекуррентных выражений, записанных в последовательности проведения опроса контрольных параметров:

В связи с этим необходимо найти требуемое преобразование координат из группы разрешенных преобразований, удовлетворяющее наложенным ограничениям. Для этого целесообразно составить тензорное уравнение и решить его относительно тензора преобразования, зная

уравнение качества системы в новой координатной системе с/1,и1,(У3,.,.,иП. Существование решения тензорного уравнения будет подтверждаться наличием решения или группы решений. В

исходной координатной системе а с осями х\х2,хг..........^"(верхний индекс не показатель степени,

а номер координаты) тензорное уравнение имеет вид:

(-іГп(у,2-і)їо.

ное уравнение гиперповерхности преобразовалось бы в выражение вида

х\ — /\(и\ X Х2 = /, (и1 >и2 )»

ЛаХа й 1, где Xа =(лх")П ;

Ад - геометрический объект, характеризующий контролируемую систему; та - показатель степени.

В уравнении (44) показатель степени та=2, но в данном случае для расширения общности решения примем его как та. Пусть существует тензор преобразования, описывающий соотношение между старыми а и новыми переменными а'

Подстановка этого выражения в тензорное уравнение позволяет записать следующее выражение:

По существующему определению только те геометрические объекты, формулы преобразования которых содержат С® столько С®., сколько они имеют индексов и не содержат дополнительных членов, называются тензорами, в противном случае нетензорными объектами. Предполагается, что при составлении тензоров компонента С%' не зависит от иа. Тогда можно записать:

Тензор преобразования имеет вид:

Ґ

После выполнения умножения матриц формула запишется :

а(лдг' У”1

е(с/‘1 Г

а(д^) Г

Г

^(Ддс1) Г1

э\и

сНД х“

£

о(да”Г'

С5

Ф2Т

к*-г-

г

(*)

Это уравнение не имеет единственного решения, а имеет сразу целую группу решений. Оно относится к классу, получившему название неполностью определенных уравнений.

Постоянные интегрирования определяются аналогично изложенному выше и С] = С2=0, правильность решения легко проверяется непосредственной подстановкой в уравнение (*). Уравнение в частных производных можно разделить следующим образом:

Далее переходя от частных производных к обычным производным и от системы индексации переменных, принятых в тензорном анализе к обычной, можно записать

Решение данной совокупности обыкновенных дифференцальных уравнений:

Пусть имеется уравнение эллипсоида качества в виде:

Ах2 + Ву1 + Сг1<\.

г

Тогда на основании формул (58) можно сделать замену переменных:

Подставляя эти выражения в уравнение эллипсоида:

У,2 -сфг -1 )+и1{и\ -ф,2 -1)<1, (с/,2 -1)-сф,2 - \)+и1[и\ -1^ - 1)й о (с/,2 -1^1 -е/| +г/|(с/|-1Ц^о,

Получено неравенство, ОДЗ которого представляет собой единичный параллелепипед. Для обоснования сделанного допущения о диагональности тензора преобразования целесообразно провести доказательства возможности таких преобразований для любого П. Для сокращения

объема доказательство проводится методом математической индукции. Как видно из этого примера и последующего, это верно для« = 2ии = 3.Допустим, что это верно ДЛЯп- к.

2>М-1ГП(?/,2Ч

(=1

!»1

Докажем, что это верно для п = к + 1

(**)

Полученные выше выражения (**) определяют рекуррентные формулы преобразования гиперповерхности качества в гиперпараллелепипед качества. Пусть порядок контрольных параметров х„х2,...,х„ совпадает с последовательностью их опроса, тем более, что это легко обеспечить.

В процессе проведения контроля контрольные параметры последовательно один за другим измеряются, т.е. их значения фиксируются - Дх(. Тогда

Далее решая каждое уравнение, учитывая, что 2 _ ] < о получаем:

Пусть уравнением качества контролируемой системы является единичная окружность х2 +у2 £1. Тогда, приметая методику бездефектного допускового контроля, можно перейти

к новой системе координат X2 х2 =-и\(и,2 -1).

Условия проведения бездефектного допускового контроля примут вид:

Uj“ = Axf < 1,

Пусть измеренные значения контрольных параметров составили

Тогда

Предлагаемая процедура бездефектного допускового контроля сохраняет все технические преимущества допускового контроля и позволяет исключить риск заказчика и риск изготовителя, порождаемые дефектом допусков. Данная процедура может быть применена в процессе контроля, особенно при применении систем контроля (АСК) на базе ЭВМ, так и после завершения процесса измерения всех параметров. В последнем случае это может быть достигнуто как обработкой по данной методике измерений контрольных параметров, так и проведением обычного допускового контроля с последующей оценкой по данной методике.

1. Донецкая Т.В. Инженерный метод определения вероятностей ошибок первого и второго рода при допуско-вом контроле параметров // Метрология. 1983, № 8.

2. Лебедев A.M. Разработка критерия качества для контроля бортовых систем воздушного судна // Сб. материалов Международной научно-технической конференции, посвященной 80-летию гражданской авиации России «Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества». 17-18 апреля 2003 г. - М., 2003.

3. Дунаев Б.Б. Обеспечение гарантированного допуска и определение допустимых систематических ошибок измерения. - Киев: Наукова думка, 1965.

4. Курилин Б.И. К определению допусков элементов по заданным допускам выходных характеристик контрольно-измерительных систем // Автометрия. 1969, № 4.

5. Касаткин А.С. Оценка эффективности автоматизированных систем контроля. - М.: Энергия, 1967.

6. Кожевников Ю.В. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Машиностроение, 2002.

7. Крон Г. Тензорный анализ сетей. - М.: Сов. радио, 1978.

ЛИТЕРАТУРА

THE ANALYSIS OF THE TECHNIQUE FAULTLESS ADMISSION THE CONTROL

Andronov M.V.

In article the analysis of a technique faultless the admission control is carried out.

Сведения об авторе

Андронов Михаил Владимирович, 1982 г.р., окончил МИРЭА (2006), аспирант МГТУ ГА, автор 2 научных работ, область научных интересов - организация безопасности полетов на ВС.