CC BY
30
УДК 629.735.015
ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТЕРИЯ КАЧЕСТВА БОРТОВОЙ СИСТЕМЫ, РЕАЛИЗУЮЩЕЙ МИНИМАЛЬНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА РЕАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
ИДЕАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
А.М. ЛЕБЕДЕВ
Рассматриваются вопросы разработки критерия качества бортовой системы, обеспечивающей минимальное отклонение переходного процесса реальной системы от переходного процесса идеальной системы.
Ключевые слова: бортовая система, критерий качества, трубка, гиперповерхность.
В теории контроля и испытаний введение Л.Г. Евлановым геометрического критерия качества в общем виде позволило значительно шире взглянуть на проблему, даже в таком абстрактном виде критерий сыграл огромную роль в развитии контроля и испытаний.
Критериев может быть предложено много и их надо исследовать и разрабатывать как средство постоянного увеличения качества и эффективности. Наибольший интерес представляют собой критерии, учитывающие функциональное назначение бортовых систем и воздушного судна в целом.
Для обеспечения требуемого качества бортовой системы целесообразно, с точки зрения трудоемкости, перейти от контроля функционирования системы в динамике к параметрическому или допусковому контролю. При проектировании системы автоматического управления в технических заданиях задаются следующие параметры: перерегулирование, длительность переходного процесса, статическая ошибка и т.д., которые определяют некоторую трубку, в которой должны находиться значения переходного процесса системы. В общем случае качество системы можно задать, определив трубку как полосу, окружающую переходный процесс идеальной системы.
Пусть нормальная система дифференциальных уравнений, описывающая систему, сведена к одному уравнению более высокого порядка. Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, имеющее решение ивых = ивых(¿, *1, Х2,...хп) .
Тогда можно записать \ивых(^) - ио (^)| < Д,
где ивых (¿, *1, *2,. хп ) - выходной сигнал системы; ио (^) - требуемое, оптимальное значение переходного процесса идеальной системы; I - время; Д - допустимое значение.
В данном случае в качестве критерия показателя качества Ж(*1,...,хп) принимается абсолютная величина отклонения выходного сигнала системы от заданного значения ио (^). Необходимо отметить, что выходной сигнал зависит от её технического состояния, характеризуемого контрольными параметрами. Таким образом
Ж (хь .. хп ) = \ивых хЬ х2,к хп ) - ио (0| £Д .
Это выражение является критерием качества системы, который представлен на рис. 1. Необходимо рассмотреть два случая:
а) ивых > ио, ивых — ио > 0 ^ \ивых — ио \ = ивых — ио .
На участке ивых > ио это выражение представляет собой прямую линию с положительным угловым коэффициентом;
б) ивых < ио , ивых — ио < 0 ^ \ивых — ио \ = ивых — ио .
Рис. 1. Трубка значений, наложенная на график переходного процесса, идеальной системы
Теперь необходимо исследовать некоторые свойства критерия качества, определенного формулой
Ж (Дхь Дх2,..., Дхп ) = \ивых (1, Дх2,кДхп ) - ио (0| .
Если переменные есть отклонения контрольных параметров, то можно записать
Ж(xl, . х, . хп) = -Ж(xl, . - х, . хп ).
Тогда
dAx,
Ax,
dAxi J _
Ах,
0, Sign
J Ах, = 0
dAx,
Ах, > 0
dAx,
Аналогично для второй производной
( dW ^
dAxb Ax,
( dWл
dAx? У _Ax,
Sign
( dV ^
VdAx/- J Ax, =0
( dV ^
dAXi J Ax, >0
( dV ^
dAx2 J"x,
= Sign
> 0.
( dV ^
dAXi J Ax, <0
Выполним то же самое для третьей производной критерия качества.
dAx,
J Ax,- > 0
dAx,
Sign
J Ax, <0
dAx,
■-Sign
JAx,- >0
dAx,
J Ax, <0
dAx,
0.
Ax, = 0
Известно, что производная от нечетной функции есть функция четная и наоборот. Разложение критерия качества в ряд Тейлора
\ивых (Г, х1, ., хп) - и 0^ )| < Д,
W (x1, . .. x, , ... xn ) и вых V
ивых ^, x1, k , xn ) _ U0(t) = U0(t) + E
i=1
dU
V d xi J
d x, d x j 1 J j
Axi + ~ EE
2!
i=1J=1
Ax, Axj +... _ U 0 (t) =
= E V a x-
i=1V d x-
d U
Axi + ~ EE
J0
2 i=1 j={d xid x
J J0
Ax, Axj + к
Если и в
■U0 > 0,
Uв
-U0 < A.
Все производные нечетного порядка в нулевой точке разложения равны нулю, а все четные производные в общем случае не равны нулю и положительны. Кроме того, ранее было введено
0
0
допущение о некоррелированности контрольных параметров между собой. Это выражается в том, что все перекрестные или смешанные производные равны нулю, т.е.
Э пЖ
Э 2Ж Э Хі Э х
= 0,
= 0 и т.д.
}
Э хтЭ хп
' ]
Если ограничиться членами второго порядка, то это будет гиперповерхность второго порядка, в частности, гиперэллипсоид. Существует теорема, которая утверждает, что для нормального закона утверждение о некоррелированности эквивалентно независимости переменных. Это выражается в том, что оси симметрии гиперэллипсоида (области, в которой критерий качества выполняется) параллельны осям координат. Это гиперэллипсоид, оси которого параллельны координатным осям переменных, являющихся отклонениями контрольных параметров. В этих осях расположение эллипсоида является каноническим; в осях контрольных параметров это будет фигура, смещенная переносом с осями симметрии, параллельным осям координат.
Неравенство определяет в п-мерном пространстве область контрольных параметров, при нахождении системы, внутри которой критерий качества будет более заданного, т.е. выходной сигнал системы будет лежать внутри заданной трубки. Если же перейти к высшим степеням, то это будет гиперповерхность типа гиперовалоида, как это будет показано ниже. В этом случае, уравнение поверхности будет иметь вид
С „ \ С . \ С. \
1
2!
I
і=і
Э 2Ж
Э х2
і уо
т 1 п
Ах2 + -1 і 4!І=і
Э 4Ж
Э х4
і у0
1 п
Ах4 + -1 і 6!І=і
Э 6Ж
Э х6
і у0
Ах6 к < А.
Коэффициенты в разложении не отрицательны.
Перейдем к исследованию гиперповерхности качества. Данная задача усложняется тем, что это п-мерная задача. Исходная функция Ж (хі,... Хі ,... хп ). Найдем первые частные производные и приравняем их к нулю.
Получим систему уравнений, решение которой будет определять точки возможных экстремумов
Э Ж Л Э Ж Л Э Ж
Э хі
= 0,
Э Х2
= 0,
Э хп
= 0.
Исследование на вид экстремума (максимум или минимум) выполняется с помощью матрицы Г ессе. Матрица Г ессе составляется из вторых производных исследуемой функции
Э 2Ж Э 2Ж Э 2Ж Э 2Ж
Э х? Э 2Ж Э Хі Э Х2 Э2Ж Э Хі Э х3 Э2Ж Э Хі Э хп Э2Ж
Э Х2 Э Хі Э х22 Э Х2 Э х3 Э Х2 Э хп
Э2Ж Э 2Ж Э 2Ж ЭпЖ
Э хп Э х
1
Э хп Э Х2
Э хп Э Х3
Э х’п
Все коэффициенты этой матрицы положительны, как это было показано выше. Если учесть допущение о некоррелированности контрольных параметров, то все смешанные производные будут равны нулю, и матрица Гессе примет диагональный вид
f aV
Э х? 0
0 0
Э ?W
Э х 22
00
Э nW
Э хП J
n Э ?W
ПЭ 2
І=1 Э Xi
> 0.
Геометрическая иллюстрация показана на рис. 2.
Рис. 2. Г еометрический вид критерия качества в трехмерном случае
Понятие выпуклой функции определено и для функции многих переменных. Так для дважды дифференцируемой функции условие выпуклости заключается в знакоопределенности ее второго дифференциала. Из приведенной выше формулы гиперповерхности качества легко вытекает условие знакопостоянства второго дифференциала.
Исследование поверхности проведено с помощью пакета прикладных программ SURFER from Windows, версия 5.0 (рис. 3).
0
0
0
0
Рис. 3. Г иперповерхность качества при различных приближениях
В результате получена функция критерия качества, представленная в виде ряда Тейлора. Этой функции соответствует гиперповерхность качества не в форме гиперэллипсоида, как это считалось ранее, а гиперовала, что уточняет теорию контроля и испытаний. Реализация этой гиперповерхности качества находится в области выбора контрольных параметров, имеющих определенную связь с критерием качества бортовой системы или в реализации ее на уровне программного обеспечения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Евланов Л.Г. Контроль динамических систем. - М.: Наука, і982.
2. Лебедев A.M. Разработка критерия качества для контроля бортовых систем воздушного судна / Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества: Международная научно-техническая конференция, посвященная 80-летию гражданской авиации России. 17-18 апреля 2003 г. - М.: МГТУ ГА, 2003.
STUDY OF CRITERION OF AN AIRBORNE SYSTEM QUALITY ACHIEVING MINIMUM DEVIATION OF A REAL SYSTEM TRANSITION PROCESS FROM THE TRANSITION PROCESS OF AN IDEAL SYSTEM
Lebedev A.M.
The aspects of working-out the criterion of an airborne system quality providing minimum deviation of a real system transition process from the transition process of an ideal system are considered.
Key words: board system, quality criterion tube, hypersurface.
Сведения об авторе
Лебедев Алексей Михайлович, 1947 г.р., окончил Казанский авиационный институт (1971), доктор технических наук, профессор кафедры естественно-научных дисциплин УВАУ ГА, автор более 120 научных работ, область научных интересов - безопасность полетов, математическое моделирование испытаний.
