Исследование достоверности допускового контроля Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

2005 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА 86(4)

серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники. Безопасность полетов

УДК 629.735.015

ИССЛЕДОВАНИЕ ДОСТОВЕРНОСТИ ДОПУСКОВОГО КОНТРОЛЯ

А.М. ЛЕБЕДЕВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Зубковым Б.В.

Исследуются результаты применения допускового контроля при приемосдаточных испытаниях и причины пропуска негодных изделий

Процедура проведения допускового контроля основана на сравнении измеренной величины с наперед заданным допуском, который является постоянной величиной. В действительности назначение допуска выполняется приближенно, т.к. в самом способе назначения допуска существует методическая погрешность. Наличие этой методической погрешности проявляется при проведении контроля в том, что при определенных условиях неисправное изделие может быть признано исправным (риск заказчика) или наоборот, исправное неисправным (риск изготовителя). Данная ситуация, обусловленная методической погрешностью назначения допусков, в теории контроля получила название дефекта допусков. Термин дефект допусков означает возможность недостоверного выявления неисправности из-за методического несовершенства назначения допусков.

Пусть какая-либо динамическая система имеет показатель качества и существует аналитическая зависимость этого показателя качества от контрольных параметров Ж = Ж(*1,Х2,...,хп). Из физических соображений ясно, что система всегда имеет экстремум показателя качества. Г еометрически зависимость показателя качества контрольных параметров представляется гиперповерхностью, имеющей точку экстремума (максимума), что и изображено на рис. 1, а. При проектировании систем должно выполняться условие того, что наилучший режим работы обеспечивается при равенстве контрольных параметров своим номинальным значениям, т.е. экстремум показателя качества лежит в точке, соответствующей номинальным значениям контрольных параметров. Поскольку система имеет в общем случае п-контрольных параметров, то их математической моделью является п-мерное пространство. В то же время аналитическая зависимость показателя качества является гиперповерхностью, лежащей в (п+1)-мерном пространстве, т.к. п-контрольных параметров являются аргументами этой функции, а сама функция является (п+1) координатой.

При проектировании систем обычно задается ряд условий, которым должна соответствовать проектируемая система и, в частности, нормируется критерий или показатель качества, который должен быть не ниже какой-то определенной величины Жт . Из этого вытекает неравенство, которое должно всегда выполняться у правильно функционирующей системы Ж(*1,*2,..., хп)- Жт . Геометрически это означает то, что гиперплоскость Ж(*1,*2,...,хп ) = Жт рассекает гиперповерхность качества на две части, из которых только та, которая находится выше гиперплоскости, удовлетворяет этому условию.

В монографии Л.Г. Евланова показано, что в первом приближении зависимость показателя качества от контрольных параметров имеет вид гиперповерхности типа гиперпараболоида, условие Ж = Жт геометрически описывается гиперплоскостью, а выполнение условия Ж(*1,*2,..., хп)-Жт геометрически интерпретируется пересечением гиперповерхности качества с гиперплоскостью. Известно, что этим пересечением является гиперэллипсоид, получивший название гиперэллипсоида качества.

В том случае , когда показатель качества системы выше наперед заданной величины Жт , все значения контрольных параметров находятся внутри области, ограниченной гиперэллипсоидом качества; при этом совокупность контрольных параметров представляется точкой в п-мерном пространстве, координаты которой равны значениям контрольных параметров.

Х2 '

( ^ N

\ _ ^ Х

б)

Рис.1. Геометрическая интерпретация гиперповерхности качества: а) назначение допусков для случая трехмерного пространства; б) W =

В общем случае гиперповерхность качества может иметь различную форму, которая в первом приближении представляет собой гиперэллипсоид. В этой ситуации невозможно назначить допуски на контрольные параметры таким же образом, как для идеального гиперпараллелепипеда.

Допусковый контроль достаточно давно получил широкое распространение, что объясняется простотой его технической реализации и сравнительно невысокими затратами трудоемкости на его проведение. Развитие теории контроля динамических систем показало невозможность точного назначения допусков. С другой стороны, практическая целесообразность требовала сохранить этот подход. Решение было найдено в приближенной замене гиперэллипсоида гиперпараллелепипедом, грани которого параллельны осям координат (рис. 1б). Это достигается вписыванием или описыванием гиперпараллелепипедом гиперповерхности качества или заменой гиперпараллелепипедом, занимающим промежуточное положение между вписанным и описанным гиперпараллелепипедом. Графическая иллюстрация этих вариантов для случая 3-х мерного пространства приведена на рис. 2.

На рис. 2, а изображен случай описания гиперпараллелепипедом допусков гиперповерхности качества. Если п-мерная точка, представляющая собой состояние системы, находится в области, заключенной внутри гиперпараллелепипеда и вне гиперповерхности качества, то объект признается годным при его неисправном в действительности состоянии. Эта область называется областью риска заказчика. На рис. 2, б изображен случай вписания гиперпараллелепипеда в гиперповерхность качества. При нахождении п-мерной точки, характеризующей состояние совокупности контрольных параметров, внутри гиперповерхности качества, но вне гиперпараллеле-

пипеда, исправный объект контроля признается негодным. Эта область получила название области риска изготовителя. На рис 2, в и г показаны случаи одновременного существования рисков изготовителя и заказчика.

В качестве математической модели принимается пространство контрольных параметров системы. Указанное пространство является конечномерным линейным пространством, называемым и-мерным евклидовым пространством, с заданным ортогональным базисом, определяющим систему координат контрольных параметров. Совокупность контрольных параметров принимается некоррелированной.

а)

б)

Рис. 2. Различные варианты расположения гиперпараллелепипеда и гиперэллипсоида качества

Исследование выполнено для наиболее общего случая - распределения контрольных параметров по и-мерному нормальному закону. В качестве гиперповерхности качества принимается гиперэллипсоид, представляемый гиперэллипсоидом равной плотности. В этом случае вероят-

ность попадания случайной величины х^, Х2,хп, являющейся совокупностью контрольных параметров и определяющей вероятность исправности системы, может быть записана:

Р[(*ьХ2,...,хпвп] =

1

_ 1 П^х[_ п о ^ 2 {{...|е 1=1аі dxl ..Лхп

Р2 П^і і=1

Интегрирование данного выражения выполнено путем перехода к п-мерным сферическим координатам г,л,ф2,-",фп_1, введения соответствующего якобиана преобразования, а также применения принципа Кавальери.

Далее проводилось п-кратное интегрирование по частям, которое позволило получить окончательно:

Р[(г,9і,.9п _1 вп _1 ] =

____1_

п_1 I 22 Г

1 2

----Г

к г ----1гп_1е 2 dг =

'2}0

2 Л

1 _ е 2

кп _2 кп _4 к2 (п _ 2)...2 + (п _ 4). 2 + ■" + 2

2 , п > О,

п - четное, к - число средних квадратических отклонений.

При п - нечетном, интеграл может быть выражен в элементарных функциях и выражается интегралом Эйлера-Пуассона Ф(к).

Получение аналитического выражения для вероятности попадания вектора контрольных параметров позволяет получить значение вероятности риска заказчика как разность вероятности попадания вектора контрольных параметров в гиперпараллелепипед допусков и в гиперэллипсоид качества:

р[ь] = р[(х1 ^.^ Хп&п]_р[(г,Ф1,Ф2, . ,Фп_1)^ вп]:

[2Ф(к)_ 1]п _

л Л

1 _ е 2

+

кп_2 кп_4 к2

(п _ 2). 2 + (п _ 4). 2 + ■" + 2

2

п>0, п - нечетное.

Однако приведенный пример описывает только одно положение во взаимном расположении гиперпараллелепипеда допусков и гиперэллипсоида качества. В практике встречаются различные варианты их расположения, которые приведены на рис. 2. Формулы для всех случаев взаимного расположения не приводятся в связи с ограничением объема статьи.

Проведено исследование получения формул риска заказчика и изготовителя в зависимости от числа контрольных параметров. В связи с тем, что полученные функции по своей сути являются функциями целочисленного аргумента, применение обычных методов дифференциального исчисления (производная от п не существует по определению) невозможно. Поэтому исследование выполнено методами конечных разностей т.е. А / = / [п]- / [п +1] и показано, что во всем интервале п конечная разность всегда или положительна, или отрицательна, что говорит о монотонности этих зависимостей.

Проведен анализ достоверности допускового контроля и уточнена существующая в настоящее время формула допускового контроля.

2

к

е

2

к

е

Общая достоверность контроля определяется через произведение инструментальной достоверности и достоверности по дефекту допусков:

^= =(1 - а -р) (1 - а- Рд),

где: Ds - общая достоверность контроля; Du - инструментальная достоверность контроля; а - инструментальная составляющая риска изготовителя; Р - инструментальная составляющая риска заказчика.

Поверхность, описывающая общую достоверность контроля, имеет сложный характер, качественный вид которой представлен на рис. 3. Для обеспечения требуемых характеристик общей достоверности контроля можно поставить ряд оптимизационных задач, но с практической точки зрения наиболее целесообразно разработать методику допускового контроля, которая позволила бы учесть и исключить наличие дефекта допусков. Разработка данной методики была выполнена автором.

Рис. 3. Вид функции дефекта допусков в зависимости от числа контрольных параметров и размеров допуска

Решение данной задачи выполнено двумя способами. Первый способ основан на применении метода сечений, применяемого в аналитической геометрии.

В качестве основного метода выбран метод преобразования пространства параметров совместно с гиперповерхностью качества таким образом, чтобы преобразовать исходную гиперповерхность качества (типа гиперэллипсоида) в идеальный гиперпараллелепипед, по которому можно провести назначение контрольных допусков и осуществить допусковый контроль, свободный от дефекта допусков, т.е от риска заказчика и риска изготовителя.

Причем новая гиперповерхность качества, являющаяся гиперпараллелепипедом качества, задается в новой системе координат. Этими координатами являются некоторые функции от контрольных параметров.

ЛИТЕРАТУРА

1. Евланов Л.Г. Контроль динамических систем. М.: Наука, 1982 - 423 с.

2. Лебедев А.М., Романов B.П., Коптев А.Н. К вопросу разработки метода бездефектного допускового контроля. Семинар "Состояние и перспективы развития автоматизированного технологического оборудования в области контроля и испытания бортовых систем" (5-7 сентября 1984 г.). Тез. докл. НИИ организации производства. М.: НИАТ, 1984.

3. Лебедев A.M. Разработка метода бездефектного допускового контроля. Материалы отраслевого совещания «Состояние и перспективы развития производства автоматизированного технологического оборудования для контроля и испытаний бортовых систем», НИАТ, ДСП. М., 1987. С. 30-36.

THE STUDY OF TOLERANCE TEST RELIABILITY

Lebedev A.M.

The results of an tolerance test implementation during acceptance trials and reasons rejecting faulty devices.

Сведения об авторе

Лебедев Алексей Михайлович, 1947 г.р., окончил КАИ (1971), кандидат технических наук, доцент кафедры естественно-научных дисциплин УВАУ ГА, автор более 50 научных работ, область научных интересов - безопасность полетов, математическое моделирование испытаний.