CC BY
24
УДК 681.5
В.Б. Будников, асп., 8-910-154-45-55, втш_87@ша11. т (Россия, Тула, ТулГУ)
МЕТОДИКА АНАЛИТИЧЕСКОГО КОНСТРУИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО ТОЧНОСТИ РЕГУЛЯТОРОВ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
На примере нелинейной системы четвертого порядка приводится методика АКОР по критерию точности для электромеханических систем. Предлагаемая методика АКОР позволяет получить оптимальное по точности управление в виде линейных обратных связей по координатам объекта.
Ключевые слова: аналитическое конструирование, оптимальная точность, устойчивость, функциональное уравнение, структурная схема.
Из концепции возмущенно-невозмущенного движения А.М. Ляпунова вытекает, что синтез регулятора - это задача поиска законов обратных связей, обеспечивающих наилучшее гашение возмущенного движения в соответствии с некоторым выбранным критерием качества переходных процессов. Тогда задача синтеза регулятора состоит в определении таких управлений, которые совместно с объектом образуют асимптотически устойчивую систему и обеспечивают на траекториях ее движения минимум критерия качества. Закон управления представляет собой уравнение регулятора - некоторую совокупность обратных связей, вводимых по координатам состояния объекта. В зависимости от выбранных весовых коэффициентов в системе дифференциальных уравнений объекта управления, замкнутой оптимальным регулятором, протекают соответствующие устойчивые переходные процессы гашения возмущенного движения.
Для объекта управления, описываемого уравнениями
Х = А ■ X + В ■ и, (1)
закон оптимального по точности управления, удовлетворяющий критерию точности
(к
3 =| 5 (X , (2)
записывается в следующей форме [3]:
и = -ит ■ )], (3)
где \у(х) - функция переключения оптимального регулятора.
Таким образом, задача отыскания закона оптимального управления сводится к задаче отыскания функции переключения у(х). Для определения структуры регулятора предложено функцию переключения определять как сумму всех координат объекта [3]:
щ(х) = х1 + Р1 ■ х2 + Р2 ■ х3 + Р3 ■ х4, (4)
где Р1, Р2, Р3 - весовые коэффициенты, некоторые положительные числа.
Однако при таком подходе трудно выполнить условие устойчиво-
сти. Для решения этой проблемы предлагается использовать функцию переключения для оценки устойчивости замкнутой системы управления.
Рассмотрим объект четвертого порядка - щит тоннелепроходческо-го комплекса, осуществляющий движение по заданной траектории [2]:
Х — ^2
Х2 — К1 ' Рт ' Х3 Х3 — Х4
(5)
где К1 —
1
К 2 —
1
Х4 — К2 • и
- коэффициенты, определяемые параметрами
2 • т т • Б
щита; х1 - координаты состояния; Рт, и - амплитуда и функция управляющего воздействия соответственно.
Найдем условия устойчивости системы (5) с предполагаемым управлением (3) - (4), используя метод Гурвица [1]. Управление (3) - (4) обязательно переводит объект на поверхность переключения и последующее движение вдоль поверхности переключения происходит в скользящем режиме с бесконечным коэффициентом усиления К при условии устойчивости системы [4]. Запишем для данного режима общую передаточную функцию системы (3) - (5):
& ( Р) — --1-1-1-1-5-. (6)
Р
1
+ р
Р
Р>
+ Р
+ р • Р1 +1
К • К1 • К2 • Р. К1 • Р. К1 • Р. Из (6) при К ^ ад следует, что характеристическое уравнение системы имеет вид
Р
Р>
р3--^ + р2--+ р • р +1 — 0. (7)
К1 • Рт К1 • Рт
Если в функцию переключения (4) подставить уравнения объекта (5), записать производные в операторном виде и приравнять нулю, то можно получить точно такое же характеристическое уравнение (7). Запишем характеристическое уравнение в следующем виде:
3 2
ао • р + «1 • р + а,2 • р + аз — 0, (8)
где
Р3 Р2
ао
, «1
а2 — Р1, а3 — 1 .
К1 • Рт К1 • Рт
Применяя критерий Гурвица, имеем
Р1 > 0, Р2 > 0, Р3 > 0, Р1 • Р2 > Р3 .
(9)
<
На графиках (рисунок) представлены переходные процессы оптимальной по точности системы управления щитом тоннелепроходческого комплекса при коэффициентах функции переключения
р1 — 1, р2 — 1, р3 — 0,1.
1
0.5
0.5 -1
2Ь 1
0.8
0.6
Ч, 2
■0.4
0.2
0.08
0.06 Ч, 3 0.04 0.02
0.1
0.05
Ч, 4
0.05
10
10
20 30
Ч ■ 1
20 30
Ч, 1
40
40
50
50
1
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5
Ч, 1
0.6
0.4
, 5 0.2
0.2
0 ' 1 0 2 0 3 0 4 0 5
Ч, 1
Переходные процессы в системе оптимального по точности управления при ХЪад — 1, р — 1, Р2 — 1, Ръ — 0,1
1
0
0
Таким образом, для определения коэффициентов функции переключения можно использовать критерий устойчивости, применяя его к уравнению \у = 0 с учетом уравнений объекта управления.
Список литературы
1. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975, 768 с.
2. Будников В.Б. Математическое описание динамики щита тонне-лепроходческого комплекса. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012.
3. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В., Сурков В.В. Оптимальное управление электротехническими объектами. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004, 152 с.
4. Сухинин Б.В., Евстигнеев Е.Т. Синтез электрических следящих приводов, оптимальных по точности. Тула: Изд-во ТулГУ, 1992, 111 с.
V.B. Budnikov
METHOD OF ANALYTICAL DESIGN OF ELECTRO-MECHANICAL SYSTEMS OPTIMAL PRECISION CONTROLLERS
The article tells about the method of ADOC by precision criterion for electromechanical systems by the example of a nonlinear system of the fourth order. The proposed method of ADOC allows receive the optimum accuracy control in the form of linear feedback to the coordinates of the object.
Key words: analytical design, optimal precision, stability, functional equation, block
diagram.
Получено 17.10.12
УДК 681.5
В.Б. Будников, асп., 8-910-154-45-55, втш_87@ша11. ги (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИКИ ЩИТА ТОННЕЛЕПРОХОДЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА
Рассматривается процесс проходки тоннеля. На основе анализа динамики щитового комплекса составляется математическое описание его исполнительного органа.
Ключевые слова: щитовой тоннелепроходческий комплекс, исполнительный орган, математическая модель.
Наиболее перспективным и экономичным является закрытый метод прокладки тоннелей, требующий лишь минимального вскрытия земной поверхности. Дальнейшая прокладка осуществляется специальным проходческим оборудованием. Щитовая проходческая техника способна безопасно прокладывать тоннели на большие расстояния под горными массивами, морскими заливами и реками. Анализ литературы показывает, что
