CC BY
35
относящихся к образовательной деятельности [3]. В решении этого вопроса, прежде всего, следует правильно понимать и различать внешний и внутренний диалоги.
Внешний диалог, как уже говорилось, - это форма устной речи, разговор двух или нескольких лиц. Это так называемый «слышимый» диалог. Для него характерна внешняя, разговорная речь. Внешняя речь представляет собой общение при помощи языковых средств, воспринимаемых на слух. Имеют значение и паралингвистические средства общения: интонация, мимика, жесты. Внутренний диалог определяется как речевая форма взаимодействия различных точек зрения (т.е. выраженных в слове смысловых позиций), развиваемых одним и тем же индивидом. Иными словами, внутренний диалог образуется речью одного индивида, приобретающей в ходе этого диалога форму тех или иных взаимодействующих голосов, точек зрения и т.п. [4, с. 47]. Такой диалог рассматривают и как «самообще-ние», и как «аутокоммуникацию», и как «внутреннюю дискуссию» (Ж. Пиаже). По мнению известного американского педаго-га-математика Д. Пойа, он исключительно необходим при обучении учащихся поиску решения математических задач [5].
В системе принципов диалогизации обучения Е.Е. Семёнова выделен в качестве самостоятельного принцип связи внешнего и внутреннего диалога. Автор считает, что внешний диалог всегда сопровождается диалогом внутренним, а это означает, что преподаватель, разумно организующий внешний диалог, развивает способность учащихся к внутреннему диалогу. Более того, Е.Е. Семёнов полагает, что «интенсивный внутренний диалог может переливаться в диалог внешний, звучащий не тотчас, а со значительным опозданием. Одной из причин такой задержки может быть робость и опасение быть неправильно понятым, высмеянным, выглядеть «странномыслящим». Задача преподавателя - постоянно снимать такого рода опасения» [6].
Особую диалоговую конструкцию представляет и диалог учащегося с компьютером. Это своеобразная сфера человеческой деятельности, характеризующаяся, с одной стороны, более бедной по сравнению с естественным диалогом духовной составляющей, но, с другой стороны, более богатыми информационно-познавательными возможностями. Основное отличие компьютерного общения от естественного состоит в том, что оно технически опосредовано. Виртуальная реальность есть, по сути, новый тип опосредования, когда медиатор (посредник) приобретает в ряде случаев возможность автономного поведения, а второй участник общения - разработчик программы -находится настолько далеко за кулисами разворачивающегося взаимодействия, что его позицией вполне можно пренебречь.
Различать диалоговые обучающие конструкции можно и по их функциональной направленности. В этом ракурсе исследования авторами выделяются обучающие, развивающие, корректирующие, диагностирующие, воспитывающие и т.п. диалоги, организуемые в учебном процессе.
Большое значение для обучения школьников имеет характер мыслительных процессов, происходящих в процессе учебного диалога. В зависимости от них различают репродуктивные, эвристические, творческие учебные диалоги.
Синтезируя видовое многообразие учебных диалогов по различным основаниям: субъектной направленности, составу участников, функциональной направленности, характеру мыслительных процессов, можно получить их систематику в виде своеобразного «диалогического древа» (схема 3).
Мы далеки от мысли считать полученную систематику окончательной. Напротив, она является открытой и вполне может быть пополнена новыми видами диалогов как по вертикали, так и по каждой из горизонталей полученного «древа».
Библиографический список
1. Бахтин, М.М. Эстетика словесного творчества. - М., 1986.
2. Ожегов, С.И. Словарь русского языка: 70 000 слов / под ред. Н.Ю. Шведовой / С.И. Ожегов. - М., 1991.
3. Хрестоматия по методике математики. Методы обучения / сост. М.И. Зайкин, С.В. Арюткина. - Арзамас, 2008. - Т.2.
4. Кучинский, Г.М. Психология внутреннего диалога: дис. ... д-ра психол. наук / Г.М. Кучинский. - М., 1991.
5. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения. - М., 1975.
6. Семёнов, Е.Е. Актуализировать диалог в преподавании // Математика в школе. - 1999. - № 2.
Bibliography
1. Bakhtin, M.M. Ehstetika slovesnogo tvorchestva. - M., 1986.
2. Ozhegov, S.I. Slovarj russkogo yazihka: 70 000 slov / pod red. N.Yu. Shvedovoyj / S.I. Ozhegov. - M., 1991.
3. Khrestomatiya po metodike matematiki. Metodih obucheniya / sost. M.I. Zayjkin, S.V. Aryutkina. - Arzamas, 2008. - T.2.
4. Kuchinskiyj, G.M. Psikhologiya vnutrennego dialoga: dis. ... d-ra psikhol. nauk / G.M. Kuchinskiyj. M., 1991.
5. Poyja, D. Matematika i pravdopodobnihe rassuzhdeniya. - M., 1975.
6. Semyonov, E.E. Aktualizirovatj dialog v prepodavanii // Matematika v shkole. - 1999. - № 2.
Статья поступила в редакцию 31.08.11
УДК 512 (075.5)
Emelin A.V., Zaykin M.I. METHODICAL MODEL OF VISUALISATION OF IRRATIONALITIES IN THE SCHOOL COURSE OF ALGEBRA. Article is devoted a problem of visualisation of the irrationalities studied in a school course of algebra. The prospective decision of a problem is considered from positions of increase of presentation of a teaching material and resulted in the form of model of methodical system of visualisation of irrationalities.
Key words: visualisation, irrationalities of a school course of algebra, methodical system, visualisation model.
А.В. Емелин, аспирант Арзамасского государственного педагогического института им. А. П. Гайдара, г. Арзамас, E-mail: emelinalexandr@yandex.ru; М.И. Зайкин, д-р пед. наук, проф. Арзамасского государственного педагогического института им. А. П. Гайдара, г. Арзамас, E-mail: mzaykin@yandex.ru
МЕТОДИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ
Статья посвящена проблеме визуализации иррациональностей, изучаемых в школьном курсе алгебры. Предполагаемое решение проблемы рассматривается с позиций повышения наглядности учебного материала и приводится в виде модели методической системы визуализации иррациональностей.
Ключевые слова: визуализация, иррациональности школьного курса алгебры, методическая система, модель визуализации.
Проблема изучения иррациональностей в школьном курсе многие удачные решения, некоторые ее вопросы все еще нуж-
алгебры не является новой для методической науки. Она нахо- даются в научном обосновании. Корень методических проблем
дит свое отражение в книгах по теории обучения математике, уходит в само понятие иррационального числа, которое отли-
пособиях для учителей и школьных учебниках. Несмотря на
чается высокой степенью абстрактности, трудностью восприятия, сложностью символической записи.
Действительно, понятие иррационального числа в современном школьном курсе математики вводится с использованием бесконечных непериодических десятичных дробей. В раскрытии содержания этого понятия задействованы, как видим, другие, весьма сложные для понимания, категории конечного и бесконечного, периодичности и непериодичности, каждую из которых осознать, представить и использовать в рассуждениях ученику совсем не просто. Отсюда ожидания полноценного, сознательного усвоения школьниками понятия иррационального числа, очевидно, проблематичны.
Следует иметь в виду и логический аспект изучения материала об иррациональностях: работа школьника с иррациональностями не должна происходить до того, как сам термин иррационального числа еще не введен, что, к сожалению, не всегда соблюдается. Например, иррациональные уравнения вводятся раньше постижения детьми сущности самого иррационально числа. Опять, как видим, формальное опережает содержательное, что может негативно отразиться на формирующихся представлениях.
Важно учитывать также, что далеко не все множества иррациональных чисел в должной мере представлены в содержании школьного курса математики. Это, в частности, касается иррациональных значений показательных, логарифмических и тригонометрических функций. Это чревато тем, что иррациональные числа ассоциируются школьниками лишь с корнями различных степеней.
Преодоление названных выше трудностей в изучении иррациональностей мы связываем с расширением образной базы этого учебного материала, которая явно недостаточна для полноценного усвоения столь абстрактного математического поня-
тия. С этой целью целесообразно изучение иррациональностей сопровождать визуализацией учебного материала.
С понятием визуализации в тесной связи находятся также понятия визуального мышления и наглядности. Визуализация, как известно, - это способ представления знания в наглядной форме. С другой стороны, под визуализацией можно понимать и наглядную составляющую знания.
Благодаря визуализации становится возможным перевести знание в область визуального мышления, т.е. тем самым обеспечить его более простое и естественное усвоение, поскольку «визуальная информация более точно соответствует реально существующим в природе материальным объектам, процессам и явлениям, что особенно важно при изучении дисциплин естественно-математического цикла» [1, с. 44].
Однако визуализацией отдельных иррациональностей решить проблему расширения образной базы учащихся и повышения на этой основе качества их знаний не представляется возможным. В методическом плане решение проблемы визуализации иррациональностей в школьном курсе алгебры может быть достигнуто созданием целостной методической системы.
Известные ученые-естественники (Н.И. Вернадский, К.Л. фон Берталанфи, Б. Раушенбах и др.), психологи (Л.Н. Леонтьев, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина и др.) и педагоги-математики (Ю.М. Колягин, А.М. Пышкало, В.И. Крупич, А.А. Столяр и др.) рекомендуют в таких случаях использовать системный подход. Сущность системного подхода в методике обучения тому или иному предмету заключается в рассмотрении педагогических объектов как целостной системы. Под системой понимают «совокупность элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, которая образует определенную целостность, единство» [2, с. 610].
Зачем визуализировать иррациональности ШКА?
Содержательный Перцептивный
компонент компонент
Какие иррациональности ШКА необходимо визуализировать?
В какой форме визуализировать иррациональности ШКА?
Семантический Процессуальный
компонент компонент
Каков механизм Как визуализиро-
визуализации ирра- вать иррациональ-
циональностей ности ШКА?
ШКА?
Рис. 1. Модель методической системы визуализации иррациональностей школьного курса алгебры
В методических исследованиях широкое распространение получила модель методической системы обучения А.М. Пышкало [3, с. 3]. Для решения нашей проблемы будем строить модель методической системы визуализации иррациональностей (рис. 1) по аналогии с данной моделью.
Ведущим компонентом предлагаемой модели методической системы является целевой компонент, который в данном случае призван ответить на вопрос: зачем визуализировать иррациональности в школьном курсе алгебры?
Ответ на этот вопрос в схематическом виде может быть таким: визуализация может быть использована при изучении иррациональностей для того, чтобы
- обогатить образную составляющую изучаемого знания;
- облегчить восприятие изучаемого материала и обеспечить процесс его усвоения;
- сделать видимыми скрытые зависимости и отношения, которые свойственны изучаемому материалу;
- заинтересовать и увлечь школьников изучением материала и математики в целом.
Другим компонентом предлагаемой методической системы визуализации иррациональностей является содержательный компонент, призванный ответить на вопрос: что из учебного материала, связанного с иррациональностями, подлежит визуализации?
Очевидно, объектами визуализации иррациональностей школьного курса алгебры могут быть:
- иррациональные числа (л/2, л/3, 42 и т.п.);
- значения иррациональных выражений и функций
(л/2 +л/з, 8тП, 1с^23 и др.);
- иррациональные неравенства, уравнения и их системы;
- определения и свойства иррациональных чисел и прочих иррациональностей;
- различные множества иррациональных чисел.
Каждый из объектов визуализации иррациональностей должен быть представлен в форме зрительных образов, а потому следующий компонент предлагаемой методической модели визуализации, отражающей данные качества, может быть назван перцептивным. Он ориентирован на вопрос: в какой форме визуализировать иррациональности?
Визуализация может быть осуществлена по доминирующему способу представления визуализируемой информации, а, следовательно, можно говорить о таких ее ведущих формах, как геометрическая, графическая и символьная.
Каждая из названных форм визуализации обусловлена существованием системы образов соответствующей природы, образующих в результате визуальные модели. «В общегносеологическом смысле под образом понимают любой дискретный (отдельный) элемент знания, несущий содержательную информацию о некотором классе объектов» [4, с. 16].
Кроме отмеченных форм, визуализация может осуществляться с помощью различного рода схем и таблиц [5]. Содержание визуальных моделей, основанных на схемах и таблицах, может быть геометрическим, графическим, символьным, текстовым, а также комплексным.
Еще одним важным компонентом модели методической системы визуализации иррациональностей школьного курса алгебры является ее семантический компонент, который позволяет ответить на вопрос: каким образом происходит визуализация иррациональностей, каков ее механизм?
Охарактеризуем основные механизмы визуализации иррациональностей.
Во-первых, отличительной особенностью визуализации иррациональностей является использование визуальных моделей, основанных на замене иррациональностей рациональными отношениями путем различных математических преобразований.
Во-вторых, во многих случаях визуализация иррациональностей становится возможной благодаря использованию и демонстрации связи бесконечных числовых множеств с конечными множествами и наоборот. При этом часто осуществляются переходы между непрерывными и дискретными величинам, а также свернутыми и развернутыми формами записи.
В-третьих, визуализация иррациональностей может осуществляться благодаря использованию конкретных объектов взамен абстрактных, вследствие чего абстрактное знание становится предметным и более наглядным.
Библиографический список
Например, для того чтобы показать, что сумма двух иррациональных чисел может быть иррациональным числом, можно
воспользоваться числами 42 , л/3 и 42 + 43, отдельно доказывая иррациональность каждого из них. При этом в значительной мере теряется визуальная составляющая самого процесса сложения чисел.
Если же взять, к примеру, иррациональные числа 1,121221222122221... и 0,303003000300003..., то можно наглядно показать, что их сумма также иррациональна:
1,121221222122221...
+
0,303003000300003...
1,424224222422224...
Наконец, еще одним важным компонентом методической системы визуализации иррациональностей является ее процессуальный компонент, который отвечает на вопрос: как следует осуществлять визуализацию иррациональностей? Этот компонент определяет методы и приемы визуализации, которые условно можно разделить по различным формам визуализации, для которых они наиболее употребительны:
а) приемы и методы геометрической визуализации:
- прием сопоставления отрезков рациональной и иррациональной длины;
- метод приближения иррациональных чисел рациональными отрезками и др.
б) приемы и методы графической визуализации:
- прием сопоставления графических интерпретаций верных и неверных решений иррациональных уравнений (неравенств) в зависимости от учета их области определения;
- приемы и методы приближения иррациональных чисел значениями рациональных функций (в частности, метод линеаризации) и др.
в) приемы и методы символьной визуализации:
- метод самоподобия иррациональных выражений;
- прием использования иррациональных чисел, десятичные записи которых могут быть представлены конечным набором символов и др.
Функционирование предложенной модели должно соответствовать целям образовательного процесса и определяться теми объектами изучения, визуализация которых способствует достижению этих целей и становится возможной благодаря существованию соответствующих механизмов, методов и приемов ее представления в различных формах.
Процесс визуализации иррациональностей можно представить связью упорядоченной совокупности компонентов методической системы: целевого ^ содержательного ^ семантического ^ процессуального ^ перцептивного. Практически это означает, что для визуализации той или иной иррациональности сначала определяются механизмы визуализации, которые позволяют сделать знания об объекте изучения более наглядными; затем с помощью методов и приемов визуализации данные механизмы задействуются в формах визуализации, образуя как отдельные визуальные образы, так и целостные визуальные модели.
1. Барышкин, А.Г. Основные параметры визуализации учебной информации / А.Г. Барышкин, Н.А. Резник // Компьютерные инструменты в образовании. - 2005. - № 3.
2. Философский энциклопедический словарь. - М., 1983.
3. Пышкало, А.М. Средства обучения - один из важнейших компонентов методики обучения математики // Средства обучения математике:
сб. ст. - М., 1980.
4. Славин, А.В. Наглядный образ в структуре познания. - М., 1971.
5. Хрестоматия по методике математике. Методы обучения / сост. М.И. Зайкин, С.В. Арюткина. - Арзамас, 2008. - Т. 2.
Bibliography
1. Barihshkin, A.G. Osnovnihe parametrih vizualizacii uchebnoyj informacii / A.G. Barihshkin, N.A. Reznik // Kompjyuternihe instrumentih v obrazovanii. - 2005. - № 3.
2. Filosofskiyj ehnciklopedicheskiyj slovarj. - M., 1983.
3. Pihshkalo, A.M. Sredstva obucheniya - odin iz vazhneyjshikh komponentov metodiki obucheniya matematiki // Sredstva obucheniya matematike: sb. st. - M., 1980.
4. Slavin, A.V. Naglyadnihyj obraz v strukture poznaniya. - M., 1971.
5. Khrestomatiya po metodike matematike. Metodih obucheniya / sost. M.I. Zayjkin, S.V. Aryutkina. - Arzamas, 2008. - T. 2.
Статья поступила в редакцию 30.08.11
