CC BY
3
УДК 621.396:519.15
Методи опрацювання багатовизшрних сигнал!в у торощних системах координат
Пзник В. В.
Нацшиалышй ушворситот "Лызшська иолггохшка" Е-mai 1 : riw&pol-yneI..Iviv.ua
Розглядаються методи опрацюваппя багатовим1рпих сигпал1в у просторовому пол! коордипатшн систе-ми тора, яка побудовапа па мпожиш комбшацшпих сум базових вектор!в комбшаторшн копф1гурацп "з!ркового" типу. i па основ! використаппя ïï ушкалышх властивостей запропоповапо два теоретично обгруптоваш шдходи до формуваш1я тороцщих систем координат для оптимального кодуваппя i перетвореппя векторпих сигпал1в: мополтго-групових та пепадлишкових код!в. На копкретпих прикладах окреслепо переваги кожного методу кодуваш1я багатовим1рпих сигпал1в з паведешшм в1дпов1дпих теорем, розрахушав та шюстративпого матер!алу. Розширеппя класу "з!ркових" комбь паторпих копф!гурацш в!дкривае нов! можливост! застосуваппя метод!в оптим1зовапого кодуваш1я й опрацюваш1я багатовим1рпих сигпал1в у тороцщих системах координат, розроблеппя оптим1зовапих векторпих шформагцйпих техпологш. вдоскопалеппя радютехшчпих npncTpoÏB i систем зв'язку.
Клюноог слова: оптимальна тороцща система координат: багатовим1рпий сигнал: оптималышй вектор-пий мополтго-груповий код: пепадлишковий багатовим1рпий код: багатовим1рпий самокоректуваль-пий код: "з!ркова" багатовим1рпа копфцуращя: потужшсть методу кодуваппя: оптимальш векторш шформацшш технологи
DOI: 10.20535/RADAP.2019.77.5-12
Вступ
Стр1мкий розвиток шформащйних технолоий та глобальна коми'ютеризащя сусшльства вима-гае розроблеппя концептуально нових шдход1в до швидшсного опрацювання велнкнх масив1в даннх та надшного 1х переснлання каналами зв'язку. ви-користовуючи векторш дискретш сигнали. Таш си-гнали здебшыного е багатовтирними функщями просторових незалежних змшних. а керування ци-ми функщями здшсшоеться в иросторовш систем! координат. Шд координатами багатовтпрного сигналу розумпоть будь-яш аргумента. на числових осях яких фшсуеться динамша його змши. гцо дае змогу керувати одночасно двома й бшыним числом взаемоиов'язаних иараметр1в ф1зичного про-цесу. иоведшка кожнсм керовано! координата якого визначаеться не лише керуючим д1янням. а й уаяо сукупшстю цих д1янь у вигляд1 вектор1в керування та збурювань [1]. При цьому необхвдно враховувати взаемозалежшсть та взаемоиов'язашсть регульова-них параметр1в таких систем, складшсть керування якими зростае з1 збшыненням кшькоста параме-тр1в за квадратичною залежшстю.Тому опрацювання багатовтпрних сигнал1в в просторових системах координат набувае важливого значения в радюте-хшчних системах, шформащйних технолоиях. об-
числювалышх мережах, системах зв'язку. та шших галузях науки i техшки.
1 Огляд метод1в опрацювання багатовизшрних сигнал1в
Сучасш методи цифрового опрацювання сигна-«шв базуються здебшыного на використанш алго-piiTMÎB швидкого иеретворення Фур'с. клайв представления багатовтирних полшохйв i двовтпрних Н11-фшьтр1в иеретворення частоти [2]. Опрацювання сигнал1в за цнмн методами спираеться на машпуляцп. так1 як виб1рка. перетворення Фур'с на векторнш ociiobî й перетворення для стовичишв i рядшв Фур'с. фшьтращя тощо. Обчислювальна складшсть вищезгаданих метод1в зростас i3 числом BiiMipiOBaiib. У статтях [3] i [4] запропоноваш алго-ритми декомпозицп та реконструюваиня багатови-Mipinix сигнал1в на ociiobî використання шмпгармо-шчних всйвлет-силайшв. дискретизацп та згортки. Робота [5] присвячена дослщженшо мшливосп та npocTopoBo'i еволюцп юпмату на ociiobî багатовтпр-ного иросторово-часового анал1зу з розкладанням часових ряд1в у кожшй точщ координатно! cîtkii i настуиним об'сднанням часово! та просторово! еволющй MiimiiBOCTi кл1мату в природою роздше-
них часових масштабах. У статта [6] доатджую-ться фупкщ! подання для багатовтирних лшшних форм, а в [7] розглядаються деяш ключов1 мате-матичш обложения, яш полегшують досшджоння стосовно багатовихпрнсм виГярки 1 обробки сигнатв, нелпийну багатовтпрну фшьтрацпо та шдходи до нелшшного багатовтпрного моделювання. У стат-п [8] обговорюються алгоритмы опрацювання ба-гатовтпрних сигнатв, яш шдлягають кваитизащ! на рогулярних иерюдичних регштках спощально-го типу з вщиовщним фшьтруванням, обчислон-иям дискретного поротвороння Фур'е, прорщжува-нням та штерполядоето. Прооктування двовтирних лпшшо-фазових цифрових фшьтр1в з1 скшчонною 1мпульсною характеристикою 1з одновтирних обго-ворюсться у стати [9]. В робой [10] розглянуто приклади використання кардиналышх патгармош-чних сплайшв для багатовтпрного анатзу 1 показано. гцо вони можуть бути застосоваш у метода сумування для вщновлення великого класу фун-кцш експоненщального типу на множит вибярок цшочислових ронпток. У статта [11] розглядасться метод сумування сплайшв для вщновлення багато-втирних зонних обмежень функцш 1з дискретних ренптчастих виб1рок, який иередбачас використання шмпгармошчних сплайшв. Там же викладаеться тоорш таких сплайшв 1 розробляеться метод ре-конструкщ1, область застосування яких може рости до нсскшченность В [12] зроблено спробу пошири-ти сингулярний розклад матридо на багатовихйрш масиви. Сиочатку тривтпрний масив иеретворю-сться у двовтпрний, теля чого досягаеться розклад тривтпрного масиву на три втпри. Новий шдхщ до класифжащ! багатовтпрних часових рядов (МТБ) з двовихйрною виб1ркою заиропоновано у [13]. за яким для видшення ознак обчислюються власш вектори ковар1ацпших матриць рядка-рядка 1 стовиця-стовпця, теля чого використовуеться кла-сифшатор «один найближчий суйд».
Шдсумовуючи огляд, можна бачити, гцо методи опрацювання багатовтпрних сигнатв г'рунтуються здобшыного на застосуванш алгоритхпв швидко-го поротвороння Фур'е, двовтпрних П11-фшьтр1в поротвороння частоти, клайв рацюналыгого представления багатовтпрних полшохйв, використанш шмпгармошчних сплайшв, сингулярного роз кладу в багатовтпрних масивах, вейвлот-перотворень, та уживанш швидкодшних цифрових ЕОМ, гцо окре-слюс загальну тондендою, яка зараз складаеться у пауковому евт стосовно опрацювання багатовтпр-них сигнатв.
Ьшшй шдхвд базусться на використанш класи-чно1 теор11 комбшаторних кошргуращй [14], таких як блок-схоми [15], р1зницев1 множини [16,17], про-ективш плогцшш [18] та шгш. Метод, який перед-бачае використання розширених по„шв Галуа [19], полягае у иеретворенш множини уйх клайв лишив за модулем довольного полшома ] (х) степеш
в незввдного над ОР (р). Для побудови множини таких лишшв в иол1 СР (рв) необхщно знайти деякий незвщний над цим полом иолшом, визиачити його первшний елемент х з максимально можливим перь одом та обчислити степеш х0, х\,..., хг, (г = яш повинш поро~тчувати уа значения ненульових елементв СР (р13). За теоремою 31Шера [ ] гшер-илогцини геометр!! РС(я, д), де д стешнь простого числа р, як1 розглядаються як блоки, 1 точки як еломеити, утворюють циюпчну блок-схему, а точки у будь-якш г1перплогцин1 визначають (V, к, А) — р1зннцову множину у виглядо лшпш 11 еломент1в за модулем V. Багатовим1рне опрацювання сигпа-.шв [20] зручно зд1йсшовати у торемдних системах координат. Тооротичш досл1дження у дай област1 знань вимагають ознайомлення 1з математичними моделями оптимального розподшу слсмсппв у ба-гатовтирному простор! заданпх розм1р1в 1 розхпр-ност1. Пошукп загального пвдходу до синтезу дво-та багатовим1рних оптималышх комб1наторних систем та опрацювання методов 1х використання у систомотехшш зд1йснено у роботах [21 23].
У монограф11 [21] на основ1 загального теоретичного пвдходу (теор11 в'язанок) розглядаються методи оптимального синтезу, поротвороння, пере-лжу й умови 1снування багатовнм1рннх в'язанок 1з ланцюжковою 1 кшьцовою структурами. Вста-новлено теоротичний зв'язок м1ж обертовою си-метр1ею 5-го порядку та закодованою нею асиме-тршо у виглядо розбпття спметрпчного простору на п неоднаковпх частпн, кратнпх натуральному ряду [23]. Метод Грунтусться на використанш оптимально! вагово! системи п-позидойпого дв1йкового коду з ¿-вим1рними ваговими розрядами. Комбь нащ1 утворюються поелвдовним додаваиням бази-сиих вектор1в з урахуванням вадповадних моду.шв
То2,... ,т(, а множпна цпх комбшацш набувае впгляду вим1рно1 координатно! атки, яка покрп-вае поверхпю + 1)-вим1рного тору з розьйрами то\ х то2 х ... х Тог. Торо1дна модель [ ] поста-ла впаелвдок опрацювання вим1рних векторних кодових посладовностой у виглядо багатовим1рних ¡дсалышх к1льцевих в'язанок (1КВ) [21]. До кластеру 1КВ належать кшьцев1 п-посл1довност1 цшочи-слових ¿-кортеж1в, множпна значень яких, разом 1з миожииою зиачеиь уах кшьцевих (модуляриих) вектор-сум, утворених па цпх ¿-кортежах, покривае множину вузлових точок торо1дно1 координатно! сь тки [23].
Вокторш 1КВ знаходять також застосування для прооктування оптнм1зованнх антенннх систем з по-лшшошгаи яшеними показииками за роздшьною здатшетю та шшими параметрами [21]. Вдалим кро-ком у цьому иапрям1 е патент США [24] на спойб розмщоння олемонт1в липшю! антенн у вузлах р1в-ном1рно1 с1ткн, поелвдовшеть номер1в якнх утворюс цикл1чну р1зннцову множину [17]. Аналопчний результат можна отримати й на основ1 1КВ, гцо ви-
пливае i3 однозначно! ввдповвдносп мЬк циюпчною блок-схемою та 1KB [21]. Мотоди побудови моделей багатовихйрних систем на 1KB з прикладами i'x за-стосування для синтезу антенних рош1ток з низьким piBiiOM 6i4iioro випромпиовання, оиттизованих во-кторних кодов, шборчрзичних систем та ряду iiininx пристрсмв oniicani в [21 23]. Там же розглядаються мотоди побудови систем кодування багатовтпрних даних для i'x зручного представления та опрацю-вання у просторовому ncuii тороТдно! системи координат. На сьогодшшнш день ф1зики-тооротики в усьому CBiTi достджують питания багатовтирного простору-часу як природного серодовища закошв ф1зики [25]. Поруч з теоретичними достдженнями, icnye бозл1ч суто практичних застосувань Toopi'i ба-raTOBiiMipinix комбшаторних конфЬуращй у pi3iinx галузях пауки i техшки, у тому чист й для ефо-ктивного опрацювання багатовтпрних сигнатв.
2 Постановка задач1
Лопчним продовженням питания достдження багатовихйрних иростор1в е. постановка задач1 про шдвшцоння офоктивносп методов опрацювання ба-raTOBiraipimx сигнатв. Задача полягае у скорочснш кшькосп базових воктор1в для формування бага-TOBiraipimx сигнатв по числу фшсованих ознак у виглядо комбшацш цих воктор1в, миожииа яких пе-ро.шчуе миожииу вузлових точок торсмднсм систоми координат з ввдповвдннм числом осей та кшьш-стю точок ввдлшу. Матоматичне завдання в прямш i o6epiionifi постановках зводиться до встановлен-ня взаемно однозначного ввдображення множини иотр1бно1 кшькосп лшшних комбшацш ¿-вим1рних BeKTopiB. утвороних на мптпзованому na6opi базисных вектор1в, на координатнш атщ ¿-вим1рно1 поверхш тора.
3 Метод вир1шення завдання
Метод 1"рунтусться на використанш Toopi'i бага-TOBHMipiinx ¡дсалыпи кшьцових в'язанок (1KB) [21] для оптим1защ1 опрацювання багатовтпрних дис-кретних сигнатв. При цьому множит кшьцових сум, утворених на ¿-вим1рних векторах 1KB, ставиться у вщповвдшеть множина дискретних сташв t нозалежних змшних багатовтпрного сигналу у просторовому ncwii тороТдно! систоми координат [23]. Суть методу полягае у покритп координатного ci-ткою noBopxni тора визначених po3MipiB i pcmripiio-CTi множиною кшьцевнх вектор-сум за допомогою мпималыго1 кшькосп базових вектор1в. Вщлшення цього завдання пов'язуеться з розширенням можли-востей оптимального опрацювання багатовишрних сигнатв у просторовому пат тороТдно! систоми координат.
4 Модель опрацювання сигна-л1в у тороТдшй систем! координат
Розглянемо математичну модель опрацювання сигнал1в у ¿-вим1ршй тороТднш систем! координат, яка мае вигляд кшьцево! п-послвдовиоста ¿-кортеж1в ((к и, ки, ..., кц), к22,--- , k2t), ■■■, (кц, ki2,
..., kit),.. ■, (Ki, к„2,.. ■, knt)), де кп = ki (mod mi), ki2 = ki (mod m,2), ..., kit = ki (mod mt).
ТорсДцна система координат описуеться параметрами п, R, S, mi, т2, ■■■, mt, де п-число базненнх ¿-вим1риих вектор1в, Д-кшыйсть р1зиих cnoco6iB утвороиия однакових кшьцових вектор-сум па базисних векторах, S — порядок обертово! симе-Tpi'i координатно! йтки тора [ ], т1,т2,... ,mt — значения моду.шв, яш визначають розхйри торсиднсм системи координат.
На рис. 1 зображена граф1чна схема моде-jii ¿-вим1рпого сигналу у вигляд1 кшьцево! п-поспдовиосп ¿-кортеж1в ((кц, к12, ..., k1t), (к21, к22,..., k2t), ■■■■, (кц, ki2, ..., kit), ..., (кп1, кп2, ..., knt)), на якш зручно демонструвати метод опрацювання багатовтпрних дискретних сигнатв у торемдшй систем! координат.
(k21,k22,^,k2t) (kn,ki2,_,kit) (kn1,k n2, — ,k nt)
Рис. 1. Граф1чна схема модел1 ¿-вим1рного сигналу у вигляд1 кшьцево! п-посл1довност ¿-кортеж1в ((кц, к12, ■■■, ки), (к21, к22,.. ■, k2t), ■■■, (кц, ki2,..., kit), ..., (кп1, кп2,..., knt)) для опрацювання у торсядшй систем! координат
Модель передбачас покриття множиною кшьцевнх сум, утворених п базисными t-кортежами, множини вузлових координат ¿-вим1рно1 тороТдно! решики т1 х т2 х ... х mt = п(п — 1)/Д, або т1 х т2 х ... xmt = п(п— 1)/R+1 [ ]. Множина сум утворюеться додаванням в1дповвдних ¿-кортеж1в за комплексним модулем (т1, т,2,..., mt), прнчому координата К0ЖН01 вузлово! точки можна отримати piBHO R р1зними способами поепдовного додава-иня базисних вектор1в. Параметри модел1 взасмо-пов'язаш такою системою формул:
п(п — 1) < S < п(п — 1)2, (1)
де т1 • т2 •... • mt = п(п — 1)/^, або т1 • т2 •... • mt = п(п — 1)/R + 1.
В основу методу закладено принцип комбшатор-iio'i оптим1заш1 векторио! вагово! системи двШкового п-позицшного коду, розрядам якого присвоено значения цшочислових ¿-кортеж1в. Ваги обрат так,
(k1i,k12, — ,k1t)
щоб мпожшюю ycix векторних сум. утвороних ком-бшацшним додаваппям цих вагових розряд1в, ложна було покрити множину вузлових координат i^BHMipHo'i pemiTKH тора.
Напрнклад, на кщьцевш п-иоопдовносп i3 чоти-рьох (п=4) 2-кортеж1в (i=2) i3 ваговими розрядамн ((0,1), (1,0), (0,2), (2,2)) можна утворити п(п — 1) = 12 кщьцевнх вектор-сум за комплексним модулем (3,4):
(M)=((o,i)+(i,o)), (1,2)=((1,0)+(0,2), (2,0)=((0,2)+(2,2)), (2,3)=((2,2)+(0,1));
(0,0)=((1,0)+(0,2)+(2,2)), (0,3)=((2,2)+(0,1)+(1,0)), (1,3)=((0,1)+(1,0)+(0,2)), (2,1)=((0,2)+(2,2)+(0,1)).
У цьому приклада множила утвороних кшьцо-вих вектор-сум, разом з множиною вагових розрядав ((0,1), (1,0), (0,2), (2,2)) р1вночасно с множиною координат вузлових точок двовим1рно1 (¿=2) регштки то\ х то2 = 3 х 4, яка покривае поверхню тора з мо-жливктю перолшу цих координат р1вно по одному (К = 1) разу. 1з ( ) випливае, що для оитим1зованого опрацювання багатовтирних сигнал1в у фазовому простор! координатнсм системи тора немае теорети-чних обмежень гцодо вишрносп (кшькоста атрибуте), як 1 стосовно збшыноння потужносп методу кодування. Описаний метод дае змогу розв'язувати задач1 багатовтирно!' комбшаторно! опттпзащ! для розроблоння пристроТв перетворення форми шфор-мада! та проектування сучасних пристроТв та радю-електронних систем р1зного призначоння [21 23].
5 Властивоеп векторних моно-лггно-групових код1в
Оптималышй вокторний монолино-груповий код — це п-розрядний двшковпй код, який базуе-ться на теор11 багатовтпрних щоалышх кшьцових в'язанок (1КВ) [21]. Вш поредбачае формування комбшацш двшкового коду з ¿-вим1рпими вектор-ними ваговими розрядамн, множила уйх можливих комбшацшних сум яких взаемно однозначно вщпо-ввдае множит координат вузлових точок ¿-вгопрно! торо1дно1 йтки. Можна визначити два основш ме-тоди оптимального кодування у просторовому по„ш торо1дно1 системи координат. Перший метод г'рун-туеться на кодуванш ¿-вим1рних сигнал1в у кольцевому монолтго-груиовому код1 [21], де будь-яка дозволена кодова комбшащя складаеться не бшь-ше шж 1з двох блошв однойменних символ1в. Це дае змогу миттево виявляти иомилков1 комбша-Щ1 за вищезгаданою ознакою груиового розподшу однойменних символ1в, а код набувае самокоректу-валышх властивостей. Другий метод иередбачае но-надлишкове кодування. Монолтго-груиовий 1КВ-код охоплюе великий клас оитимальних виьйрних код1в з векторними ваговими розрядамн [21] у ви-
гляд1 i—виьйрних цикл1чних груп та груиових ансам-бл1в. До них наложить код "GlorytoUkrainoStar" [23], який дае змогу покривати комбшацшними сумами векторних значень цих розряд1в i—виьйрну поверхню тора р1зномаштними способами в1дтку воктор1в за координатного йткою ввдповвдних po3MipiB шд час взаемного переставляння вагових воктор1в.
Теорема 1. Будь-яке просте число р породжуе piBHO (р — 1)/2 векторних "з1ркових" ансамбл1в у вигляд1 иравильних р-кутнишв з центральною си-метр1ею р-го порядку.
Доведения. Напишемо на р-поопдовносп 1, 2,... ,р натуральных чисел (р — 1) впорядкованих посладовностей числових сум i3 двох (г=2), трьох (г=3), ... i т. д. впорядкованих за кшьцевою схемою числових ряд1в, де р- просте число, i = 1, 2,... ,р—1: 1) 1, 2, ...,Р;
2) 1+2, 2+3, ..., 2р-1,р+1;
3) 1+2+3, 1+2+3+4, ..., 2р, р+3; i т.д. ...
р-2) 1+2+...+р-2, 2+3+...+р-1,..., р+1+2+...+ р-3; р-1) l+2+...+p-l, 2+3+...+Р,..., р+1+2+...+ р-2.
Пари вписаних у рядки таблищ впорядкованих числових ряд1в, яш симетрично р1внов1дца-леш ввд i'l горизонтально! середньо! лпш, склада-ються i3 однаково впорядкованих у протиложних иапрямах чисел, а множина числових пар, роз-ташованих у кожному j'-му стовичику, де j € {1, 2,... ,р = 0 (mod р)} на р1вновцщалених ввд се-реднього стовичика таблищ ввдстанях, утворюють разом з множиною i'xiiix числових значень вщпо-ввдно прив'язаш до них числов1 пари симетрично р1внов1ддалоних ряд1в. 1з вшцозгаданих властивостей таблищ випливае, що записаш в не! числа утворюють двовтпрну центрально-снметрнчну систему шцидентносп у вигляд1 р-кутно! симетрично! з1рки, а множина числових значень впорядкованих пар (i,j) з ф1ксованим i е значениями вузлових координат, множина яких покривае поверхню тора координатного аткою з розьпрами р х (р — 1). Теорему 1 доведено.
На рис. 2 наведено вкйм BapiaiiTiB здвоених ан-самбл1в ¿-вим1рних з1ркових конф1гуращй сьомого (п = 7) порядку у вигляд1 зв'язпих граф1в.
Кожшй i3 семи (п=7) вершин a,b,... ,g вщповщ-ае один i3 ¿-кортеж1в, а кожпа пара ребер, яки-ми воршини сполучеш м1ж собою, визиачае м1сце обмшу t-кортеж1в п1д час реконструкщ! "з1рки" в1д одше! кшьцево! послщовносп до iiimoi' 3i збереже-нням i'l ун1калышх властнвостей. Обх1д вершин по колу графа вщповщае одшй i3 !'з1рок" здвоеного ансамблю, а по ребрах друг1й. У ворхньому ряду (рис. 2) розмщош 3ipKOBi ансамбл1 i3 центральною CHMCTpieio, а у нижн1х з осьовою. Для прикладу розглянемо кодування двовтпрного сигналу за графом (рис. 2, перший в другому ряду).
Пехай семи (п=7) вершинам (a,b, c,d, e,f, g) цього графа вщиовщають 2-кортеж1 послщовносп ((4,4), (1,2), (4,1), (4,5), (4,2), (4,3), (4,0)), де а (4,4),
Рис. 2. Грасрчш зображення "з1ркових" ансамбл1в сьомого (п=7) порядку
Табл. 1 Формування координатно! йтки 7x6 на поверхш тора, утворено! за двома схемами обходу !'з1ркового" ансамблю (рис. 2, перший в другому ряду)
№ з/п Координати 7x6 (а,Ь,с,(1,о, £, g) (а, (1, Ь, £ е)
((4,4),(1,2),(4,1),(4,5),(4,2),(4,3),(4,0)) ((4,4),(4,5),(1,2),(4,0),(4,1),(4,3),(4,2))
1 (0,0) (4,2) (4,3) (4,0) (4,4) (1,2) (4,1) (1^2) (4,0) (4,1) (4,3) (4,2) (4,4)
2 (0.1) (1^2) (4,1) (4,5) (4,2) (4,3) (4,0) (4,5) (1,2) (4,0) (4,1) (4,3) (4,2)
3 (0,2) (4,0) (4,4) (1,2) (4,1) (4,5) (4,2) (4,2) (4,4) (4,5) (1,2) (4,0) (4,1)
42 (6,5) (4,1) (4,5) (4,2) (4,3) (4,0) (4,5) (1,2) (4,0) (4,1)
b (1,2). с (4,1), d (4,5), о (4,2), f (4,3), g (4,0). Легко nepoBipiiTii, що множина вектор-сум, обчи-слених за mod (7,6), вичорпуе множину координат вузлових точок торо1дно1 с1тки з розм1рами п(п — 1) =7x6 (табл. , л1ва колонка). Такий же результат досягаеться шд час обходу цих вершин за схемою (a,d,b,g,c,f,е) (табл. 1, права колонка).
Кодування двовтирних сигнал1в у ncuii тороТ-x
м1зованому 7-розрядному дв1йковому код1 з ве-кторними ваговими розрядами, значениями яких с 2-кортож1 будь-яко! i3 вищенаведених постдовно-стей. Загальна чисолыисть двовтирних 1KB сьо-мого (п=7) порядку з параметрами ( ) становнть 180 pi3iinx BapiaiiTiB без урахування циюпчних перестановок, роворсування, дзеркалышх ввдображень i cnoco6iB виорядкування моду.шв, за якими обчислю-ються кшьцов1 вектор-сумн. До цього числа входить 78 !'з1ркових" 1KB, яш групуються за типом симо-Tpi'i (табл. 2). Зпдно (2), yci векторш 1KB сьомого порядку дають змогу побудувати тороТдну систему
x
2x21 i 3x14, або 2x3x7. Тому побудову спстемн координат з параметрами ( ), якщо R = 1 ( ), можна зд1йснити за кожним i3 цих формапв, що складае 4-78=312 "з1ркових", a ycix разом 4-180=720 BapiaiiTiB. Вокторний монол1тно-груповий 1КВ-код, завдяки самокоректувалышм властивостям, набу-вае статусу оптимального, оскшьки дае змогу зба-лансувати шформашйну, апаратну та структурну надм1ршсть системи, забезпечуючи завадоспйко коду вання та опрацюваиия сигнал1в.
За результатами теоретичних дослщжонь зд1й-сиено класифшашю векторних !'з1ркових" ансамбл1в за трупами симотрШ (табл. 2).
Табл. 2 Класифшащя векторних !'з1ркових" ансам-б«шв за трупами ciiMOTpifi
Порядок Розподш !'3ipOK,! по ансамблях за типом Кшьшсть
!'3ipKIl", п ciiMOTpi'i: кшьк1сть !'з1рок" х кшьк1сть ансамбл1в ycix !'3ipOK,!
Центральна Осьова
5 2x2 2x8 20
7 3x2 4x18 78
И 5x2 8x50 410
13 6x2 10x72 744
19 9x2 16x162 2610
23 11x2 20x242 4862
29 14x2 26x39 10220
Таблиця 2 шюструе розбЬкш томпи зростаиня кшькосп "з1ркових ансамбл1в" 3i збшынонням порядку п в1д 5 до 29, залежпо ввд типу симетр11. Ансамбл1 з осьовою ciiMOTpieio набувають зиачно бшьшо! чисолыгосп та р1зноман1тност1 просторо-вих форм у nopiBimiiiii i3 центрально-симетричними з1рками. Обчислення базуються на тоором1 1 та осо-бливостях просторово! ciiMOTpi'i циюпчних труп.
6 Розширення класу векторних "з1ркових" конф1гуращй
Обговоримо векторний "з1рковий" ансамбль t-вим1рних конфЬурацш 1КВ п-го порядку з р1зно-маштшш розмщонням один ввдносно другого и воктор1в. Максимальна кшьшеть шпзоморфних ва-р1анпв такого розмщоння дор1вшое числу взаемних иереставлянь Р(п) вектор1в 1КВ п-го порядку:
Р(п) = (п — 1)!/2. (2)
Наприклад, "з1рковий" ансамбль 1КВ четвертого (п=4) порядку визначае три Р(п) = 3 вар1анти пе-реставляиня воктор1в: (а, Ь, с, <1), (а, Ь, Л, с), (а, с, Ь, Л). Зокрема, векторний "з1рковий" ансамбль двовим1рно1 (¿=2) 1КВ четвертого (п=4) порядку а (1,2), Ь (2,4), с (1,3), Л (2,1) формуе таш мо-дульш вектор-суми То1=3, Ш2=5:
а+Ь=(1,2)+(2,4) = (0,1), Ь+с=(2,4)+(1,3) = (0,2), а+с=(1,2)+(1,3) = (2,0), Ь+с!=(2,4) + (2,1) = (1,0), а+сИ1,2)+(2,1) = (0,3), с+а=(1,3)+(2,1) = (0,4);
а+Ь+с=(1,2)+(2,4)+(1,3) = (1,4), Ь+с+а=(2,4)+(1,3)+(2,1) = (2,3), с+с1+а=(1,3)+(2,1)+(1,2) = (1,1), сН-а+Ь=(2,1)+(1,2)+(2,4) = (2,2), а+Ь+с+а=(1,2)+(2,4)+(1,3)+(2,1) = (0,0).
Множина вах знайдених за обраним вар1антом воктор1в вичорпуе значения координат вузлових точок двовим1рно1 атки т\ х Ш2 = 3 х 5 на поверхш тора. Легко перев1рити, що два шнп вар1анти фор-мування торо1дио1 системи координат на цьому "з1р-ковому" ансамбл1 покажуть р1вноцшш результати.
У наведеному приклад1 використаш уей можлив1 сиособи формування комбшащйних вектор-сум на множит двовтирних всктор1в "з1ркових" кош}нгу-ращй, що дае змогу розширити розхйри координа-тно1 йтки торо1дно1 системи координат до теоретично досяжних й вщиовщно д1аиазон иросторового поля для кодування даних та опрацювання багато-втирних сигнал1в.
Теорема 2. Множина N = |2"} натуральних чисел взаемно однозначно вщиовщае множит М вузлових точок, яш покривають ¿-вим1рну поверхию тора емкою координат Д раз Р(п) = (п —1)!/2 р1зни-ми способами 1х вщлшу з точшетю до 1зоморф1зму, де п - кшькшть натуральних чисел з основою 2, п>2.
Доведения. Перетворимо п чисел на множину М(п) ¿-кортеж1в, утворених на вс1х комб1нащй-них сумах цих чисел за комплексним модулем (т\, т,2,..., Ш(), множина яких иерел1чуе множину координат вузлових точок ¿-вим1рно1 поверхш тора з розм1рами т\ х т2 х ... х Згщно (1) шнуе р1вно Д ^^^^^^^в ^^того перел1ку, а також Р(п) =
(п — 1)!/2 перестановок цих кортеж1в, й вщиовщно так1й же кшькоста сиособ1в в1дл1ку ус1х вузлових точок на ¿-вим1рнш поверхн1 тора. Теорему 2 доведено.
1з теореми 2 випливае. що потужшсть методу оптимального кодування та опрацювання t-BiiMipunx сигнатв у торемдних просторових системах координат можна збшьшити не лише завдяки використанню n-розрядного векторного монештно-групового IKB-коду, але й ненадлишкового t-Biraipnoro двШкового коду, який дае змогу отри-мати Р (п) додаткових BapiamiB систем кодування ¿-вим1рних сигнал1в.
3i збшыненням кшькосп BiraipiB "з1ркових" кода вщиовщно зростае ыльысть i р1зномаштшсть утворюваних ними багатовтпрних тороТдних систем координат, що збагачуе можливосп i'x практичного застосування.
Висновки
Використання тороТдних систем координат для опрацювання багатовтирних сигнатв дае змогу оиттизувати процедури. пов'язаш з i'x кодуван-иям. поросиланням. збереженням. реконструкщяо тощо. Опттпзашя полягае у розширенш просто-рового поля торо1дно1 системи координат, завдяки використанню комбшацшних вектор-сум. утворюваних на множит с}лксовано1 кшькост базових вокто-piB. Множина Bcix дозволених двшкових комбшацш взаемно однозначно вщповщае множит координат ycix вузлових точок ¿-вим1рно1 тороТдно! системи вщлшу BCKTopiB, число яких зб1гаеться з кшьш-стю Bcix комбшацшних вектор-сум. утвороних на опттизованих наборах базових всктор1в типу !'3ip-кових" 1КВ-конф1гуращй. Опрацювання сигнатв у ШЙ 6a3i можо зд1йсшоватися завадоспйким само-короктувалышм монолтго-груиовим кодом, який автоматично виявляе i виправляе иомилков1 кодов1 сигнали за ознакою появи бшыне одше! монолтго1 послщовносп однойменних символ1в, або ненадли-шковим "з1рковим" вокторним кодом, що дае змогу збшьшити потужшсть методу кодування у розши-роному просторовому mwii тороТдно! системи координат. "3ipKOBi" коди виидно вщлзняються вщ класичиих за иотужшетю i багатомаштшетю ме-тод1в поретворония форми шформаш!. Розширення даного класу код1в розкривае iiOBi порсиективи для розвитку комбшаторних метод1в оиттизащ! багато-BiiMipmix систем опрацювання сигнатв в задачах радютехшки. зв'язку i комп'ютерннх технолопях.
References
[1] Zhuk K.D.,Tunik Л.Л. and Chynaiev 1M. (1973) Baliat.ouym.irni systemy avtomatychnoho keruvannia [Multidimensional systems of automatized control. Encyclopedia of cybernetics]. Vol. 1, Kyiv. pp. 140-142.
[2] Bose N.K. (2017) Multidimensional Sampling. Applied Multidimensional Systems Theory, pp. 57-80. DOl: 10.1007/978-3-319-46825-9_3
[3] Bacchelli B.. Bozzini M, Rabut C. and Varas M. (2005) Decomposition and reconstruction of multidimensional signals using polyharmonic pre-wavelets. Applied and Computational Harmonic Analysis, Vol. 18. Iss. 3, pp. 282-299. DOl: 10.1016/j.acha.2004.11.007
[41 Bacchelli B.. Bozzini M. and Rabut C. (2003) A fast, wavelet algorithm for multidimensional signal using polyharmonic splines, in: Cohen A.. Merrien .I.L.. Schumaker L.L. (Eds.) Curves and Surfaces Fitting: Saint-Malo 2002. Nashboro Press, pp. 21-30.
[51 Wu Z.. Feng .1., Qiao F. and Tan Z. (2016) Fast multidimensional ensemble empirical mode decomposition for the analysis of big spatio-temporal datasets. Philosophical 'transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 374. Iss. 2065. pp. 20150197. DOl: 10.1098/rsta.2015.0197
[61 Rué .1. (2013) On polynomial representation functions for multivariate linear forms. European .Journal of Combinatorics.. Vol. 34. Iss. 8. pp. 1429-1435. DOl: 10.1016/j.ojc.'2013.05.017
[71 Dudgeon D.E. and Mersereau R.M. (1983) Multidimensional Digital Signal Processing, Prentice-Hall. pp. 61. 112.
[81 Mersereau R. and Speake T. (1983) The processing of periodically sampled multidimensional signals. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. 31. Iss. 1. pp. 188-194. DOl: 10.1109/tassp.1983.1164018
[91 Mersereau R.. Mecklenbrauker W. and Quatieri T. (1976) McClellan transformations for two-dimensional digital liltering-Part 1: Design. IEEE 'l¥ansactions on Circuits and Systems, Vol. 23. Iss. 7. pp. 405-414. DOl: 10.1109/tcs.l976.1084236
[101 Madych W.R. (1990) Polyharmonic Splines. Multiscale Analysis, and Entire Functions. International Series of Numerical Mathematics / Internationale Schriftenreihe zur Numerischen Mat.hemat.ik / Série Internationale d'Analyse Numérique, pp. 205-216. DOl: 10.1007/978-3-0348-5685-0_15
[111 Madych W.R. (1999) Spline type summability for multivariate sampling. Analysis of Divergence, , pp. 477-512. DOl: 10.1007/978-1-4612-2236-1 _27
[12] Nikos E. Mastorakis N.E. (1996) Singular value decomposition in multidimensional arrays. International .Journal of Systems Science, Vol. 27. Iss. 7. pp. 647-650. DOl: 10.1080/00207729608929261
[131 Wong X. and Shon .1. (2008) Classification of multivariate time series using two-dimensional singular value decomposition. Knowledge-Based Systems, Vol. 21. Iss. 7. pp. 535-539. DOl: 10.1016/j.knosys.2008.03.014
[141 Hal1 M-'r- (1998) Combinatorial Theory, 2nd Edition, Wiley-lnterscience. 464 p.
[151 Hughes D.R.. Piper F.C. (1985) Design theory, Cambridge University Press. DOl: 10.1016/0012-365x(90)90123-y
[161 Mooro E.H. and Pollastek H.S. (2013) Difference Sets: Connecting Algebra, Combinatorics, and Geometry. AMS.
[171 Singer .1. (1966) Division of mathematics: perfect différence sets. Transactions of the New York Academy of Sciences, Vol. 28. Iss. 7 Series 11. pp. 883-888. DOl: lO.llll/j.2164-0947.1966. tb02392.x
[18] Vajda S.. Hughes D.R. and Piper F.C. (1974) Projective Planes.. .Journal of the Royal Statistical Society. Series A (General), Vol. 137. Iss. 2. pp. 269. DOl: 10.2307/2344563
[19] ttotman .1. (1998) Galois Extensions. Universilexl., pp. 79-82. DOl: 10.1007/978-l-4612-0617-0_15
[20] Woods .I.W. (2012) Multidimensional Signal, Image, and Video Processing and Coding, pp. 616. DOl: 10.1016/C2009-0-62200-5
[21] Riznyk V.V. (1989) Syntez optymalnykh kombinatomykh system [Synthesis of optimum combinatorial systems]. Lviv : Vyshcha shkola. 168 p.
[22] Riznyk V. (1998) Multi-dimensional systems based on perfect combinatorial models. ¡EE Colloquium on Multidimensional Systems: Problems and Solutions. DOl: 10.1049/ic: 19980164
[23] Riznyk V.V. (2015) Multidimensional Systems Optimization Developed from Perfect Torus Groups. International ■Journal of Applied Mathematics and Informatics, Vol. 9. pp.50-54.
[24] Leeper D.G. (1978) Thinned Aperiodic Antenna Arrays ■with Improved Peak Sidelobe Level Control. Pat. USA No 4071848.
[25] Michio Kaku (1995) Hyperspace: A Scientific Odyssey Through Parallel Universes, Time Warps, and the 10th Dimension, Oxford University Press.
Методы обработки многомерных сигналов в тороидных системах координат
Ризнык В. В.
Рассматриваются методы обработки многомерных сигналов в пространственном поле координатной системы тора, построенной па множестве комбинационных сумм базовых векторов комбинаторной конфигурации "звездного" типа, и па основе использования ее уникальных свойств предложено два теоретически обоснованных подхода к формированию тороидных систем координат для оптимального кодирования и преобразования векторных сигналов: мополитпо-групповых и безизбыточпых кодов. На конкретных примерах описаны преимущества каждого метода кодирования многомерных сигналов с приведением соответствующих теорем. расчетов и иллюстративного материала. Расширение класса "звездных" комбинаторных конфигураций открывает новые возможности применения методов оптимизированного кодирования и обработки многомерных сигналов в тороидпых системах координат, разработки оптимизированных векторных информационных технологий, радиотехнических устройств и систем свя-
Ключеоые слова: оптимальная тороидпая система координат: многомерный сигнал: оптимальный векторный монолитно-групповой код: оптимальный многомерный код: многомерный самокорректирующий код: многомерные "звездные" конфигурации: мощность метода кодирования: оптимальные векторные информационные технологии
Methods of multidimensional signal processing under toroidal coordinate systems
Riznyk V. V.
Methods of multidimensional signal processing under spatial toroidal coordinate systems configured on a set of combining sums over vector "Glory to Ukraine Star" combinatorial configurations. Base vectors are discussed, and the two theoretically grounded approaches to formation such coordinate systems in order for optimum encoding and conversion of vector signals using its unique properties, both optimum monolithic and group vector codes, and non-redundant, codes are proposed. On the particular examples described the benefits of each method of coding of multidimensional signals pointing to corresponding theorems, calculations and illustrative material. Extension of the "star" combinatorial configurations opens new possibilities for the application of methods of optimized coding and processing of multidimensional signals under toroidal coordinate systems for designing modern systems of communication and development of optimized vector information technologies. The remarkable technical merits of the vector configurations, which properties hold for the same set of an optimum encoded design in varieties permutations of its terms is demonstrated, and methods for processing of two- or multidimensional vector signals based on bot.li the optimum binary monolithic and non-redundant, codes are presented. Proposed methods of multidimensional signal processing under toroidal coordinate systems provide, essentially, a new approach to generalize t.hem to great, class of optimized problems in radio-telecommunications, navigation and information technology. Moreover, the optimization embedded in the underlying combinatorial configurations. The favorable qualities of the "stars" provide breakthrough opportunities to apply t.hem to numerous branches of science and advanced technology, with direct. applications to vector data telecommunications, vector encoded design, and optimal vector information technology.
Key words: optimum toroidal coordinate system: multidimensional signal: optimal vector monolithic and group code: non-redundant, multidimensional code: multidimensional self-checking code: "star" multidimensional configuration: code size: optimum vector information technologies
