CC BY
61
ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2017. № 4
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2017. № 4
УДК 621.3.011.7:519.612 DOI: 10.17213/0321-2653-2017-4-57-63
МЕТОД УСКОРЕННОГО АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСЛЕ СТРУКТУРНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ
© 2017г. Н.С. Савёлов, И.С. Лебедев, С.А. Гречаный
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия
THE FAST ANALYSIS METHOD OF ELECTRICAL CIRCUIT AFTER A STRUCTURE CHANGE
N.S. Savelov, I.S. Lebedev, S.A. Grechany
Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia
Савёлов Николай Семёнович - д-р техн. наук, профессор кафедра «Автоматика и телемеханика», Южно-Российский государственный политехнический университет имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: savelovn@mail.ru
Лебедев Иван Сергеевич - студент, кафедра «Автоматика и телемеханика», Южно-Российский государственный политехнический университет имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: LebedevBK@outlook.com
Гречаный Станислав Анатольевич - аспирант, Южно-Российский государственный политехнический университет имени М. И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: grechanysa@mail.ru
Savelov Nicholas Semenovich - Doctor of Technical Sciences, Professor of the department «Automation and Remote Control» Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Russia, Novocherkassk. E-mail: savelovn@mail.ru
Lebedev Ivan Sergeyevich - student of the department «Automation and Remote Control», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Russia, Novocherkassk. E-mail: LebedevBK@outlook. com
Grechany Stanislav Anatolyevich - Post-graduate student of the Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Russia, Novocherkassk. E-mail: grechanysa@mail.ru
Предложен метод ускоренного анализа электрических цепей, синтезируемых в результате объединения некоторого количества исходных цепей, причём объединение может выполняться неоднократно. Предполагается, что анализ исходных цепей уже выполнен. Метод обеспечивает многократное сокращение вычислительных затрат на анализ синтезированной цепи. Предельное сокращение числа арифметических операций имеет место при минимальном количестве вычисляемых токов и напряжений, но весьма значительно и при вычислении всех неизвестных величин. Предлагаемый подход основан на применении новой модификации метода исключения Гаусса. Он может быть использован при выполнении структурного синтеза электрических цепей и применим к линейным электрическим цепям в режиме постоянного или переменного тока.
Ключевые слова: электрические цепи; структурные изменения; анализ; синтез; сокращение вычислительных затрат.
In this article we proposed the fast analysis method of electrical circuits which come into begin after combine of several initial circuits. Combination initial circuits can occur many times. It is assumed that analysis of initial circuits was made. The method allows reduce machine time on analysis and synthesis of electrical circuits. The most reduce calculation cost occurs at minimal number of determinate current or voltage of electrical circuit. The method was based on a new modification of Gaussian elimination. That method can be used at structure synthesis of linear AC and DC electrical circuits.
Keywords: electrical circuits; structure change; analysis; synthesis; decrease machine time.
ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2017. № 4
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2017. № 4
Рассматривается задача ускоренного анализа линейных электрических цепей в режиме постоянного или переменного тока после подключения к исходной цепи дополнительных элементов или фрагментов, которые могут содержать значительное число элементов, а также после объединения нескольких цепей.
Пусть исходная цепь описывается системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида Лх=Ь, причём ЛеЯпхп в режиме постоянного тока и ЛеС в режиме переменного тока. Указанные дополнения цепи соответствуют увеличению порядка матрицы А и числа элементов столбца Ь.
Ранее были предложены алгоритмы ускоренного анализа цепей после изменения параметров отдельных элементов [1-14]. Метод, описываемый в настоящей работе, является развитием ранее предложенного подхода к сокращению вычислительных затрат, необходимых для анализа изменённой цепи. Этот подход основан на применении новой модификации метода исключения Гаусса для решения СЛАУ [1 - 15].
Указанная модификация предполагает, что решение СЛАУ выполняется при использовании
" Т7 ППХП
дополнительной матрицы рек для режима постоянного тока и РеС для режима переменного тока. Элементы столбца х разделяются на искомые, значения которых необходимы пользователю, и неискомые. Используем обозначения: Рт, /Г - соответственно матрица Р и её 1-я строка после т-го преобразования, т = 0, п, Р0 = Е ; а7 - 7-й столбец матрицы Л.
Опишем первоначальное решение СЛАУ: /т+1 = /т для г = т + 1 (при т = 0,п -1), а ^
также для г < т+1(при т = 1, п -1) и одновременно при условии, что х7 - неискомое' /Г' = /Г - (/Г ■ ®т+\ / (/¿+1 ■ «т+1)) ■ Г+1 для остальных 7 (предполагается, что /т+\ ■ ат+\ ^ 0, иначе выполняется пере- (( ) становка двух строк матрицы Рт); хг = (/пЪ) / (/Ра ) для каждого искомого х7, для которого также формируется названная образующей строка /о = (}/(/" а г ))/П , причём Х=1гоЬ.
Обратимся к повторному решению СЛАУ после замены столбца а7, соответствующего искомому неизвестному х7, столбцом а 7, в результате чего образуется матрица А' (/а = 0 ^ йег А' = 0) [2]. Пусть имеется
другое, кроме xi, искомое неизвестное Xj. При det A' Ф 0 новые значения искомых неизвестных определяются следующими выражениями:
fo = (1 /(/а • aj ))fo; x' = fob или
xj = (1 / ( floa[))x ; j = fja - (fja ■ a)f0; x'j = fjob или xj = xj - (fjoaj )Xj ■
Вопросы применения описанной модификации для анализа электрических цепей в режиме постоянного и переменного тока достаточно глубоко исследованы ранее и эти исследования доказали её высокую эффективность [1 - 15].
Отметим, в частности, эффективность модификации при анализе частотных свойств электрических цепей в режиме stepping [5, 6], а также при топологическом анализе [13]. Выполненные исследования позволили обнаружить явление квазистабилизации погрешности при практически неограниченном числе применений формул повторного решения [12, 14].
Рассматриваемая модификация послужила основой нового эффективного метода параметрического синтеза электрических цепей [8, 11].
Покажем, что модификация может быть обобщена на случаи сложных структурных изменений электрических цепей, в результате которых резко увеличиваются размеры матрицы A и столбца b.
Для конкретизации изложения обратимся к случаю объединения двух цепей в режиме постоянного тока.
Используем обозначения: A1-b1 - СЛАУ, описывающая первую цепь,
A1eRn1xn1, b1eRn1; A2-x=b2 - СЛАУ, описывающая вторую цепь,
A2eR"2x"2, b2eR"2; F1, F2 - матрицы, сформированные, соответственно, для первой и второй цепей по выражениям (1), в предположении, что для обеих цепей все неизвестные являются искомыми и матрицы F1 и F2 состоят из образующих строк F1eR"1xn1, F2eR"2x"2;
A3-x=b3 - СЛАУ, описывающая объединенную цепь.
Через a1i, a2i и a3i обозначаем i-е столбцы соответственно матриц A1, A2 и A3.
Для конкретизации изложения рассмотрим случай, соответствующий цепям, для которых A3eRkxk, где k = n1+n2+1. Ниже приведен пример объединения конкретных электрических цепей, соответствующий именно указанному значению k.
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2017. № 4
Обозначим через КЗ дополнительную матрицу, соответствующую объединенной цепи, К3еДкхк. Обозначим через К3т, /3™, соответственно, матрицу К и её 7-ю строку после т-го преобразования, т = 0, к.
Нетрудно заметить, что, используя матрицы А1 и А2 в качестве подматриц, можно получить различные структуры матрицы А3.
Используем конкретный вариант структуры матрицы АЗ (рис. 1).
A1 c 0
s
0 A2
_ _
Рис. 1. Структура матрицы A3 / Fig. 1. Structure of matrixA3
Через c обозначен столбец матрицы A3, ceRk, а через s - строка, sTe Rk, где T - знак транспонирования.
Изложим алгоритм ускоренного анализа объединённой электрической цепи.
1. Формируем матрицу F30 (матрицу F3 в исходном виде для объединённой цепи). Для сокращения вычислительных затрат матрицу F30 формируем на основе уже полученных матриц F1 и F2. При этом используем подход, ранее применённый при решении задачи формирования и переформирования уравнений состояния электрических цепей на основе описанной модификации метода исключения Гаусса [1, 2]. Для матрицы F1 применим операцию, названную удлинением строки, которая состоит в добавлении соответствующего числа нулевых элементов справа [1]. Для матрицы F2 используем операцию, названную сдвигом строки, состоящую в увеличении длины строки в результате добавления соответствующего числа нулевых элементов слева [1]. В результате образуется матрица F30, представленная на рис. 2.
f 3n1+1
f 3n1+1
0
Fl 0
0
0 0 1 0 0
0 0 F2
_ 0 _
Рис. 2. Структура матрицы F30/ Fig. 2. Structure of matrix F30
Дополнительная строка у3°1+1 и дополнительный столбец у3°1+1 являются строкой и столбцом единичной матрицы порядка к.
2. Обращаясь поочерёдно к столбцам матрицы АЗ, верхние части которых являются столбцами матрицы А1, выполним преобразование строки узт+1, т=0, п1 — 1 в соответствии с выражением
13и1+1 = / 3и1+1 — (/ 3и1+1 ' а3т+1 ) ' /3т+1
Можно заметить, что после этого преобразования строка /3П1+1 оказывается ортогональной к каждому из п1 первых столбцов матрицы А3.
3. Обращаясь поочерёдно к столбцам матрицы АЗ, нижние части которых являются столбцами матрицы А2, выполним преобразование строки у3т1+1, т=п1,п1 + п2 — 1 в соответствии с выражением
у3и1+1 = у3и1+1 — (у3и1+1 ' а3т+2 ) 'У3т+2,
после чего строка у3П1+П2 оказывается ортогональной к каждому из столбцов матрицы А3, кроме столбца с.
4. Обратимся к столбцу с матрицы АЗ и,
предполагая, что у3^+П2 ' с Ф 0, преобразуем
строку у3П1+П2 в образующую в соответствии с выражением
у 3п1+1,о = (1/(у 3^1+П2' с))' у С п2
5. Обращаясь к столбцу с, выполним преобразование каждой строки матрицы КЗ, кроме
строки у3п1+1 о , в соответствии с выражением
у3,1 = у3° — (у30 ' С)'у3п1+1,0, /=1Тк, г Ф п1 +1.
Можно заметить, что после этого преобразования каждая из строк матрицы КЗ, кроме
строки у3п1+1 о , оказывается ортогональной к
столбцу с, а матрица КЗ является обратной к А3.
Нетрудно заметить, что число арифметических операций, соответствующих предложенному алгоритму, уменьшается при:
- уменьшении числа искомых неизвестных, стремясь к минимуму при одном искомом неизвестном, что, в частности, соответствует расчёту частотных характеристик [5, 6];
ISSN0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2017. № 4
- уменьшении ненулевых элементов в строке 5, что характерно для задач объединения цепей.
Приведём пример использования предложенного алгоритма. Обратимся к цепям на рис. 3.
Цепь 1
Цепь 2
i1
R2 1k i2
R5 4k
Г.10Б i3
—У
i5 '
R3 2k
i4 R4 2k
R7 4k
i7
i6
R6 1k
1
i8
Рис. 3. Исходные электрические цепи / Fig. 3. Initial electrical circuits
СЛАУ, описывающая цепь 1, и матрица F1, полученная при использовании выражений
(1) (все неизвестные - искомые), имеют следующий вид:
"1 1
0 -1
0 0 11 0 R2 R3 0 0 0 -R3 R4
i1 0
i2 0
i3 10
i4 0
F1 =
1 0,5 -0,0005 -0,00025
0 -0,5 0,0005 0,00025
0 0,25 0,00025 -0,000125
0 0,25 0,00025 0,000375
СЛАУ, описывающая цепь 2, и матрица V! имеют следующий вид:
1 0 1 1 i5 0
-1 1 -1 0 i6 0
- R5 0 R7 0 i7 0
0 -R6 -R7 0 i8 -10
U8 10 Б
F 2 =
0 -0,1667 -0,0002083 -0,0001667
0 0,6667 -0,0001667 -0,0003333
0 -0,1667 4,1667е - 05 -0,0001667
1 0,333 0,0001667 0,0003333
На рис. 4 представлена цепь, полученная в результате объединения цепи 1 и цепи 2 с помощью двух ветвей (что характерно для реальных задач), причём одна из ветвей - источник напряжения и9 с нулевым напряжением (закоротка).
i1
С
U1
R2 1k
I
R3 2k
?
R4 2k
R5 4k
i2 U9 0 Б i9 ,--■, i5
о i6
R7 4k
i7
i8
Г
R6 1k
.. U8 '■,_Т_Л0 Б
Рис. 4. Объединённая электрическая цепь / Fig. 4. Combined electrical circuit
СЛАУ, описывающая объединённую цепь, имеет следующий вид:
1 1 0 0 0 0 0 0 0 i1 0
0 -1 1 1 -1 0 0 0 0 i 2 0
0 R2 R3 0 0 0 0 0 0 i3 10
0 0 - R3 R4 0 0 0 0 0 i 4 0
0 0 0 - R4 0 0 R6 0 0 i9 = 0
0 0 0 0 0 1 0 1 1 i5 0
0 0 0 0 1 -1 1 -1 0 i6 0
0 0 0 0 0 - R5 0 R7 0 i7 0
0 0 0 0 0 0 -R6 - R7 0 i8 -10
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2017. № 4
Приведём результаты работы предложенного алгоритма.
Пункт 1. Матрица К30, полученная в результате объединения матриц К1 и К2, имеет следующий вид:
1 0,5 -0,0005 -0,00025 0 0 0 0 0
0 -0,5 0,0005 0,00025 0 0 0 0 0
0 0,2 5 0,00025 -0,000125 0 0 0 0 0
0 0,25 0,00025 0,000375 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 -0,1667 -0,002083 -0,0001667
0 0 0 0 0 0 0,6667 -0,0001667 -0,000333
0 0 0 0 0 0 -0,1667 4,1667е - 05 -0,0001667
0 0 0 0 0 1 0,333 0,0001667 0,000333
Пункт 2. С целью упрощения обозначений ниже не используем цифру «3» и вместо верхних индексов используем штрихи (учитываем наличие только двух ненулевых элементов строки 5):
у= у — (у 'а4)'у4.
Пункт З: У'=у — (у'' ау)' /7. Пункт 4: у,о = (1/(У ' а5 )) - у". Пункт 5: у ' = у — у • а5)'у,0, где 7 =1,...,9; 7Ф5 .
После выполнения алгоритма матрица КЗ преобразуется в обратную к АЗ и имеет следующий
вид:
F 3 =
1 0,2857 -7,1429е 04 -5,7143е - 04 -4,2857е - 04 0 0, 2857 -7,1429е - 05 -1,4286е - 04
0 -0,2857 7,1429е - 04 5,7143е - 04 4,2857е - 04 0 -0,2587 7,1429е - 05 1,4286е - 04
0 0,1429 1,4286е - 04 -2,857е - 04 -2,1429е - 04 0 0,1429 -3,5714е - 05 -7,1429е - 04
0 0,1429 1,4286е - 04 2,1429е - 04 -2,1429е - 04 0 0,1429 -3,5714е - 05 -7,1429е - 04
0 -0,4286 -4,2857е 04 -6,4286е - 04 -8,5714е - 04 0 0,5714 -1,4286е - 04 -2,8571е - 04
0 -0,0714 -7,1429е 04 -1,0714е 04 -1,4286е - 04 0 -0,0714 -2,3214е - 04 -2,1429е - 04
0 0, 2857 0, 2857 4,2857е - 04 5,7143е - 04 0 0, 2857 -7,1429е - 05 -1,4286е - 04
0 -0,0714 -7,1429е 04 -1,0714е 04 -1,4286е - 04 0 -0,0714 1,7857е - 04 2,1429е - 04
0 0,1429 1,4286е - 04 2,1429е - 04 0,2857е - 04 1 0,1429 2,1429е - 04 4,2857е - 04
Программная система Ма1;1аЬ Я2014а, использованная для контроля, даёт такие же значения элементов матрицы.
Вычисленные на основе полученной матрицы КЗ токи цепи представлены в табл. 1.
Таблица 1 / Table 1
г 1, A г2, A г'3, A г4, A г9, A г5, A г6, A г7, A г8, A
-0,005714286 0,005714286 0,002142857 0,002142857 0,001428571 0,001428571 0,004285714 1,43E-03 -0,002857143
ISSN0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
Программная система MicroCap 11, использованная для контроля, даёт такие же значения токов.
Как легко заметить, предложенный алгоритм обеспечивает радикальное сокращение числа арифметических операций в сравнении с первоначальным анализом объединённой электрической цепи (c-O(n3) до O(n2)).
Предложенный метод ускоренного анализа электрических цепей легко распространяется на случаи объединения цепей с использованием практически неограниченного числа объединяющих ветвей. Метод, естественно, может применяться многократно, при последовательном объединении большого числа электрических цепей. Метод показал также высокую эффективность при топологическом анализе.
Существенным преимуществом предложенного метода является также получение после каждого очередного этапа объединения цепей такой матрицы F, которая обеспечивает как экономный многовариантный анализ электрической цепи (например, в режиме stepping) [5, 6], так и эффективный параметрический синтез [8, 11].
Вывод
Предложен метод ускоренного анализа электрических цепей после структурных изменений.
Метод обеспечивает экономное формирование дополнительной матрицы, которая непосредственно используется для выполнения эффективного многовариантного анализа и параметрического синтеза после каждого очередного этапа объединения цепей.
Литература
1. Савёлов Н.С. Новый подход к формированию уравнений состояния электронных схем // Изв. вузов. Электромеханика. 1986. № 9. С. 72 - 74.
2. Савёлов Н.С. Формирование уравнений состояния при изменениях в электрических цепях // Изв. вузов. Электромеханика. 1987. № 12. С. 13 - 18.
TECHNICAL SCIENCE. 2017. № 4
3. Савёлов Н.С., Ревин М.С. Программная реализация метода ускоренного анализа электрических цепей // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: тр. 50-й науч. конф. МФТИ / Моск. физ.-техн.инт (гос. ун-т). М.: Долгопрудный, 2007. Т. 2, ч. VII: Управление и прикладная математика. С. 137 - 138.
4. Савёлов Н.С., Ревин М.С. Алгоритм ускоренного повторного решения систем линейных алгебраических уравнений и его использование при математическом моделировании электронных устройств // Науч.-техн. вестн. Санкт-Петербургского гос. ун-та информационных технологий, механики и оптики. СПб.: Гос. ун-т информ. технологии, механики и оптики, 2010. Т. 66, № 2. C. 37 - 42.
5. Савёлов Н.С., Лыонг С.Т. Метод ускоренного расчёта частотных характеристик // Тр. 53-й науч. конф. МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». М.: МФТИ, 2010. ч. VII.: Управление и прикладная математика. Т. 3. С. 51 - 52.
6. Савёлов Н.С., Лыонг С.Т. Эффективный метод расчёта частотных характеристик электрических цепей // Изв. вузов. Электромеханика. 2010. № 5. C. 31 - 34.
7. Савёлов Н.С., Кочубей П.М. Ускоренный анализ электрический цепей при использовании многоядерных вычислительных систем // Изв. вузов. Электромеханика. 2012. № 5. С. 3 - 6.
8. Савёлов Н.С., Хлынцев С.Г. Эффективный метод параметрического синтеза электрических цепей // Изв. вузов. Электромеханика. 2013. № 5. С. 9 - 13.
9. Савёлов Н.С., Кочнев А.В. Анализ электрических цепей с экономным использованием машинной памяти // Изв. вузов. Электромеханика. 2013. № 4. С. 3 - 7.
10. Кочнев А.В., Савёлов Н.С. Быстрое обращение матрицы индуктивности // Изв. вузов. Электромеханика. 2015. № 1 (537). C. 5 - 11.
11. Савёлов Н.С., Хлынцев С.Г. Развитие метода синтеза электрических цепей // Изв. вузов. Электромеханика. 2015. №3 (539). С. 11 - 19.
12. Савёлов Н.С., Лебедев И.С. Явление квазистабилизации погрешности при повторных решениях систем линейный алгебраических уравнений // 58-я науч. конф. МФТИ: сб. тез. науч. конф., 23-28 ноября 2015. г. Долгопрудный / МФТИ. Долгопрудный, 2015. - Режим доступа: URL: http://conf58.mipt.ru/static/reports_pdf/201.pdf (дата обращения 15.05.2017)
13. Савёлов Н.С., Гречаный С.А. Метод топологического анализа электрических цепей с изменяющейся топологией // Изв. вузов. Электромеханика. 2016. № 1 (543). С. 5 - 11.
14. Савёлов Н.С., Лебедев И.С. Повторный многократный анализ электрических цепей без увеличения погрешности // Изв. вузов. Электромеханика. 2016. № 3 (545). С. 18 - 24.
15. Савёлов Н.С. Расчёт переходных процессов в предварительно упорядоченных электрических цепях // Изв. вузов. Электромеханика. 1985. № 4. C. 85 - 92.
References
1. Savelov N.S. Novyi podkhod k formirovaniyu uravnenii sostoyaniya elektronnykh skhem [A new approach to formation of the equations of state of electrical circuits]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics,
1986, no. 9, pp. 72-74. [In Russ.]
2. Savelov N.S. Formirovanie uravnenii sostoyaniya pri izmeneniyakh v elektricheskikh tsepyakh [Formation of the equations of state at changes in electrical circuits]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics,
1987, no. 12, pp. 13-18. [In Russ.]
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2017. № 4
3. Savelov N.S., Revin M.S. [Program realization of a method of the accelerated analysis of electric chains]. Sovremennye problemy fundamental'nykh iprikladnykh nauk: tr. 50-i nauch. konf. MFTI [Software implementation of the method of fast analysis of electrical circuits. 50 MIPT Scientific Conference].. Moscow, Mosk. fiz.-tekhn. in-t (gos. un-t), 2007. Vol. 2, Ch.VII: Upravlenie i prikladnaya matematika, pp. 137-138. [In Russ.]
4. Savelov N.S., Revin M.S. [Algorithm for fast re-solving of systems of linear equations and its use in mathematical modeling of electronic devices]. Nauchno-tekhnicheskii vestnik Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo universiteta informatsionnykh tekhnologii, mekhaniki i optiki, 2010, part 66, no. 2, pp. 37-42. [In Russ.]
5. Savelov N.S., Lyong S.T. [Method of accelerated calculation of frequency characteristics]. Trudy 53-i nauchnoi konferentsiiMFTI
"Sovremennye problemy fundamental'nykh i prikladnykh nauk" [53 MIPT Scientific Conference]. Moscow, MFTI, 2010. Ch.VII.: Upravlenie i prikladnaya matematika, pp. 51-52. [In Russ.]
6. Savelov N.S., Lyong S.T. Effektivnyi metod rascheta chastotnykh kharakteristik elektricheskikh tsepei [An efficient method for calculating the frequency characteristic of electrical circuits]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 2010, no. 5, pp. 31-34. [In Russ.]
7. Savelov N.S., Kochubei P.M. Uskorennyi analiz elektricheskii tsepei pri ispol'zovanii mnogoyadernykh vychislitel'nykh system [Rapid analysis of electrical circuits using multi-core computing system]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 2012, no. 5, pp. 3-6. [In Russ.]
8. Savelov N.S., Khlyntsev S.G. Effektivnyi metod parametricheskogo sinteza elektricheskikh tsepei [An efficient method for parametric synthesis of electrical circuits]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 2013, no. 5, pp. 9-13. [In Russ.]
9. Savelov N.S., Kochnev A.V. Analiz elektricheskikh tsepei s ekonomnym ispol'zovaniem mashinnoi pamyati [Analysis of electric circuits with economics use of computer memory]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 2013, no. 4, pp. 3-7. [In Russ.]
10. Kochnev A.V., Savelov N.S. Bystroe obrashchenie matritsy induktivnosti [Fast Inductance Matrix Inversion]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 2015, no. 1, pp. 5-11. [In Russ.]
11. Savelov N.S., Khlyntsev S.G. Razvitie metoda sinteza elektricheskikh tsepei [Further Results in Electrical Circuits Synthesis]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 2015, no. 3, pp. 11-19. [In Russ.]
12. Savelov N.S., Lebedev I.S. Yavlenie kvazistabilizatsii pogreshnosti pri povtornykh resheniyakh sistem lineinyi algebraicheskikh uravnenii [Phenomenon quasi-stabilization of error during resolution of system of linear equations]. 58-ya Nauch. konf. MFTI: sb. tez. nauch. konf. [58 MIPT Scientific Conference]. Dolgoprudny, 2015. Available at: http://conf58.mipt.ru/static/reports pdf /201.pdf (accessed 15.05.2017)
13. Savelov N.S., Grechanyi S.A., Metod topologicheskogo analiza elektricheskikh tsepei s izmenyayushcheisya topologiei [Method of topological analysis of electric circuits with variable topology]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 2016, no. 1, pp. 5-11. [In Russ.]
14. Savelov N.S., Lebedev I.S. Povtornyi mnogokratnyi analiz elektricheskikh tsepei bez uvelicheniya pogreshnosti [Re-analysis eletrical circuits without increase error is possible]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 2016, no. 3, pp. 18-24. [In Russ.]
15. Savelov N.S. Raschet perekhodnykh protsessov v predvaritel'no uporyadochennykh elektricheskikh tsepyakh [Calculation of transient processes in pre-regulated electrical circuit]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 1985, no. 4, pp. 85-92. [In Russ.]
Поступила в редакцию /Received 20 июня 2017 г. / June 20, 2017
