Применение ветвей общего вида при расчете электрических цепей, состоящих из нелинейных резисторов с пассивными вольтамперными характеристиками Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2017. № 4

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 4

УДК 621.3 DOI: 10.17213/0321-2653-2017-4-48-52

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕТВЕЙ ОБЩЕГО ВИДА ПРИ РАСЧЕТЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ, СОСТОЯЩИХ ИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗИСТОРОВ С ПАССИВНЫМИ ВОЛЬТАМПЕРНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

© 2017 г. В.И. Астахов1, С.Н. Басан2, Э.М. Данилина3, В.В. Пивнев4

1 Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия, 2Российский государственный гидрометеорологический университет (филиал), г. Туапсе, Россия, 3Южный научный центр Российской академии наук, г. Ростов-на-Дону, Россия, 4Южный федеральный университет, г. Таганрог, Россия

THE USE OF BRANCHES COMMON SPECIES IN THE CALCULATION OF ELECTRICAL CIRCUITS CONSISTING OF NONLINEAR RESISTORS WITH PASSIVE CURRENT-VOLTAGE

CHARACTERISTICS

V.I. Astakhov1, S.N. Basan2, E.M. Danilina3, V.V. Pivnev4

1Platov South Russian State Polytechnical University (NPI), Novocherkassk, Russia, 2Russian state hydrometeorological University (branch), Tuapse, Russia, 3Southern Scientific Center RAS, Rostov-on-Don, Russia, 4Southern Federal University, Taganrog, Russia

Астахов Владимир Иванович - д-р техн. наук, профессор, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: [email protected]

Басан Сергей Николаевич - д-р техн. наук, профессор, Российский государственный гидрометеорологический университет (филиал), г. Туапсе, Россия. E-mail: [email protected]

Данилина Элеонора Михайловна - канд. техн. наук, науч. сотрудник лаборатории кристаллов и структур для твердотельной электроники, Южный научный центр Российской академии наук, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: [email protected]

Пивнев Виталий Викторович - канд. техн. наук, доцент, Инженерно-технологическая академия Южного федерального университета, г. Таганрог, Россия. E-mail: [email protected]

Astakhov Vladimir Ivanovich - Doctor of Technical Sciences, professor, Platov South Russian State Polytechnical University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: [email protected]

Basan Sergey Nikolaevich - Doctor of Technical Sciences, professor, the branch Russian state hydrometeorological University, Tuapse, Russia. E-mail: [email protected]

Danilina Eleonora Mihajlovna - Candidate of Technical Sciences, researcher, laboratory of crystals and structures for solid-state electronics, Southern Scientific Center RAS, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: [email protected]

Pivnev Vitaliy Viktorovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, Engineering and Technology Academy of Southern Federal University, Taganrog, Russia. E-mail: [email protected]

Рассмотрены вопросы применения функций Хевисайда для анализа процессов в нелинейных рези-стивных схемах замещения. Ступенчатая аппроксимация характеристик даёт возможность моделировать нелинейные резистивные цепи сочетанием специально введённых ветвей общего вида. Рассмотрен порядок определения параметров ветвей общего вида. Показана возможность расчёта токов и напряжений в цепях с ветвями общего вида методом эквивалентных преобразований.

Ключевые слова: электрическая цепь; нелинейный резистор; идеальный диод; ветвь общего вида; эквивалентность.

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 4

The article discusses the use of Heaviside functions for the analysis of processes in nonlinear resistive circuits. Stepped approximation of characteristics gives the possibility to simulate non-linear resistive circuit by a combination of specially designed branches of the common species. Learn how to define the parameters of the branches of the common species. Demonstrates the ability to calculate currents and voltages in circuits with branches, the General form of the method of equivalent transformation.

Keywords: electrical circuit; anon-linear resistor; ideal diode; branch General views; equivalence.

Нелинейные резистивные электрические цепи являются неотъемлемой частью многих устройств радиотехники, электроники, систем автоматического управления. Уравнения, описывающие электромагнитные процессы в таких электрических цепях, представляют собой набор полюсных уравнений нелинейных элементов и уравнений, основанных на законах Кирхгофа. Они принадлежат к классу нелинейных алгебраических уравнений. Для сложных электрических цепей число таких уравнений может достигать больших значений, поэтому анализ процессов, связанных с решением систем нелинейных алгебраических уравнений, является довольно сложной инженерной задачей. В настоящей работе рассмотрена возможность применения метода эквивалентной трансформации [1, 2 - 4] для расчета процессов в нелинейных резистивных электрических цепях. Преимуществом метода эквивалентных преобразований является получение численных значений токов и напряжений в ветвях схемы путем выполнения последовательности простых операций, ведущих к устранению внутренних контуров и узлов [5, 6]. На наш взгляд, такой подход является актуальным, так как получение решения не связано с необходимостью решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Эквивалентные преобразования позволяют не только рассчитать значения токов и напряжений в ветвях, но и получить множество альтернативных схем, которые эквивалентны исходной.

В настоящей работе рассмотрено применение метода эквивалентных преобразований на основе моделирования нелинейных резистивных элементов сочетанием ветвей общего вида (ВОВ) [1]. Предполагается, что исходная схема состоит из нелинейных резисторов, вольтамперные характеристики которых расположены в первом и третьем квадрантах плоскости и, г и являются не убывающими.

Целью данной работы является описание процедуры определения параметров ветвей общего вида, моделирующих заданные вольтамперные характеристики нелинейных элементов и расчёта схем замещения, состоя-

щих из ВОВ, методом эквивалентных преобразований.

Вольтамперная характеристика ВОВ описывается функцией Хевисайда [7]. Схема замещения ВОВ [1] показана на рис. 1. На этом рисунке: Е - ЭДС источника постоянного напряжения; J - ток источника постоянного тока; У1, У2 - идеальные диоды; и, г - напряжение и ток ВОВ соответственно.

Полюсное уравнение ветви, представленной на рис. 1 , имеет следующий вид:

г = 3 Л(ы - Е) .

Очевидно, что использование параллельного соединения ветвей общего вида имеет ступенчатую эквивалентную вольтамперную характеристику.

Ч>1—е-

Е

Рис. 1 / Fig. 1

В дальнейшем, для удобства, ВОВ будем обозначать так, как показано на рис. 2.

E

Рис. 2 / Fig. 2

Предположим, что функциональные области для вольтамперной характеристики каждого нелинейного резистора известны. Под функциональной областью здесь понимается область на плоскости u, i, в которой может располагаться аппроксимирующая вольтамперная характеристика. Определение функциональных областей нелинейных элементов подробно описано в [1] и выполняется для двухполюсников произвольной сложности в следующей последовательности:

u

J

J

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.

TECHNICAL SCIENCE.

2017. No 4

- выбрать одно из возможных деревьев для заданной схемы замещения;

- задать максимально возможное отклонение по напряжению для эквивалентной вольтам-перной характеристики заданного двухполюсника А^тах;

- вычислить значения возможных отклонений характеристик ветвей дерева по напряжению

Аи^

5uk =-

у max

N

(1)

а

здесь N - количество ветвей дерева;

- выполнить преобразования источников напряжения в узле вдоль ветвей дерева, оставляя источник Ъик в каждой ветви дерева. Отклонение аппроксимирующих вольтамперных характеристик по напряжению определяется как алгебраическая сумма ЭДС источников напряжения находящихся в данной ветви;

- полученные значения суммарных напряжений источников напряжения в каждой ветви определяют верхнюю и нижнюю границы функциональной области для каждого нелинейного элемента.

В качестве примера схемы замещения ре-зистивного двухполюсника, состоящего из ВОВ, рассмотрим схему на рис. 3.

u1

Таким образом, в рабочей области аппроксимирующая характеристика должна удовлетворять следующему неравенству:

и(ij) < ü(i) < ü(i) , здесь ü(ij) - нижняя граница функциональной области; ü(/j) - верхняя граница функциональной области.

Границы функциональной области входной характеристики определяются следующим образом:

ÍM(z1) = M(z1) + Ai7max; [ü(i1) = u(i1)-AUma3L.

Дерево графа для схемы на рис. 3 имеет две ветви. Таким образом, для определения границ функциональных областей достаточно (согласно (1)) для каждого нелинейного элемента выбрать:

5j =S2 =53 = 0,25 В.

В результате система уравнений для расчета параметров ВОВ при моделировании каждого нелинейного элемента сочетанием ВОВ в схеме на рис. 3 будет иметь вид:

(щ ) - 0,025) < щ ) < их (ix) + 0,025;

(г42 (z2) - 0,025) < ü2 (z2) < и2 (z2) + 0,025;

(z/3 (z3) - 0,025) < щ (z3) < и3 (z3) + 0,025.

Координаты точек излома характеристик вдоль оси токов, в соответствии с полюсными уравнениями элементов, могут быть найдены по следующим формулам:

Рис. 3 / Fig. 3

Пусть вольтамперные характеристики элементов и их рабочие области известны и определяются следующими уравнениями [8]:

u1 = z\ , В;

1 >z'1> 0, А;

u2 = sin z2, В;

1 > z2 > 0, А;

u3 = zfsign z3, В;

1 > z3 > 0, А.

Пусть абсолютная погрешность эквивалентной вольтамперной характеристики известна:

A Umax = 0,05 В.

| »1 = 3 ui + 28„; [h =л/»1 -28«; С¡2 - arcsin(w2 + 28и); |/2 =arcsin(M2-28J;

\h = +л/"з+26 и; \13 = ~ 28м.

Рассчитанные параметры ВОВ приведены в табл. 1 - 3 соответственно

Таблица 1 / Table 1

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Eik 0,025 0,075 0,125 0,175 0,225 0,275 0,325 0,375 0,425

AJik 0,368 0,096 0,067 0,0538 0,045 0,0394 0,0357 0,0328 0,323

u

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.

Таблица 2 / Table 2

к 1 2 3 4 5 6 7 8 9

E2k 0,025 0,075 0,125 0,175 0,225 0,275 0,325 0,375 0,425

0,05 0,05 0,05 0,051 0,052 0,052 0,053 0,054 0,055

TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 4

eQ] = 0,025 В; AI(1 = 0,368 А ;

E(1) = 0,025 В; AI(1) = 0,05 А ; E(1 = 0,025 В; A/(Ц = 0,224 А.

(2)

E,

(i)

ai:

(i)

Таблица 3 / Table 3

к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 u 1: b D e

E3k 0,025 0,075 0,125 0,175 0,225 0,275 0,325 0,375 0,425

Jk 0,224 0,092 0,071 0,06 0,053 0,048 0,044 0,04 0,039

Схема замещения, состоящая из ВОВ для схемы на рис. 3, показана на рис. 4.

Рис. 5 / Fig. 5

Из схемы на рис. 5 и соотношений (2) вид-

В качестве примера рассмотрим расчет то- но, что между узлами а и Ь есть два равных по ков и напряжений в цепи на рис. 4 методом эк- напряжению пути, проходящих по ветвям 1, 2 и

3. В соответствии с правилами выполнения эквивалентных преобразований схем замещения с ВОВ получаем схему замещения на рис. 6.

вивалентных преобразований [9, 10].

Е1.10

Е1.2 AJ12 -►-

Е1.1 AJ1 -►-

Е2.1

AJ2.1

E,

(i)

A Э1

Е,

AJ2.

i3

Е2.

AJ2

i

-М-

Е3.1

Е-

AJ3.1

3.2

V

AJ3.2

Е3.

AJ3.

b

о

E,

AI,

Рис. 4 / Fig. 4

Рис. 6 / Fig. 6 На этом рисунке:

AIi = inf(AI(1; (А1{(Ц + AI(1)) = 0,274 А; AI« = AI^l - AI« - А1Э1з) = 0,094 А;

Е = Е^ + Е^1,) = 0,05 В.

При вычислении параметров первого кратчайшего пути параллельное соединение ВОВ Для определения параметров второго можно заменить одной ВОВ, напряжения источ- кратчайшего пути между узлами а и Ь, в соответ-ников ЭДС в которых вычисляется следующим ствии со схемой замещения на рис. 4, получим

образом:

схему замещения на рис. 7.

ЕЭ) = infEi, к);

еЭ2 = inf(E2,к);

еЭ1)) = inf(E3,k ),

где Л = 1 ^ 10.

В результате эквивалентная схема примет вид, показанный на рис. 5. Параметры ветвей общего вида на рис. 5 будут равны:

Рис. 7 / Fig. 7

a

a

a

e

b

u

b

ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.

= ш^Еи ) = 0,075 В; Е(2) = тйЕэ,* ) = 0,075 В.

Здесь к = 2^10.

Из рис. 7 видно, что параметры второго пути будут равны:

Е2 = Ед + Е(2) = Е(11) + Е(32) = 0,025 + 0,075 = 0,1 В; Л/2 = тДЛ/^; Л(2) + А/(3)) = 0,094 В.

Описанная процедура выполняется до тех пор, пока не будут исчерпаны все возможные пути между узлами а и Ь. В результате получится эквивалентная схема замещения исходного двухполюсника, представляющая собой параллельное соединение ВОВ. Каждая ветвь этой схемы соответствует определенному кратчайшему пути.

Литература

1. Басан С.Н. Электрические цепи с нелинейными сопротивлениями. Ростов н/Д.: Изд-во Рост. ун-та. 1984. 200 с.

TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 4

2. Филиппов Е. Нелинейная электротехника. М.: Энергия, 1968. 503 с.

3. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи. М.: Высшая школа, 1986. 352 с.

4. Данилов Л.В., Матханов П.Н., Филиппов Е.С. Теория нелинейных электрических цепей. Л.: Энергоатомиздат. 1990. 252 с.

5. Данилов Л.В. Электрические цепи с нелинейными R элементами. М.: Связь, 1974. 135 с.

6. Хьюз В. Нелинейные электрические цепи. М.: Энергия, 1967. 335 с.

7. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1967. 779 с.

8. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т. 1. Л.: Энергоиздат, 1981. 533 с.

9. Басан С.Н. Эквивалентные преобразования диодных цепей // Изв. ЛЭТИ, № 98, Л. 1971.

10. Вакуленко О.М., Величко В.А., Басан С.Н., Пивнев В.В. Решение транспортных задач методом эквивалентных преобразований схем замещения // Материалы VII Открытой международной молодежной научно-практической конференции, посвященной 70-летию основания Краснодарского регионального отделения Русского географического общества и 20-летию основания Филиала РГГМУ в г. Туапсе. Краснодар: Издательский Дом - Юг, 2017. С. 223 - 238.

References

1. Basan S.N. Elektricheskie tsepi s nelineinymi soprotivleniyami [Electric circuits with nonlinear resistances]. Rostov-on-Don, 1984, 200 p.

2. Filippov E. Nelineinaya elektrotekhnika [Nonlinear electrical engineering]. Moscow, «Energiya» Publ., 1968. 503 p.

3. Matkhanov P.N. Osnovy analiza elektricheskikh tsepei. Nelineinye tsepi [Fundamentals of the analysis of electrical circuits. Nonlinear circuits]. Moscow, «VYSShAYa ShKOLA»,1986, 352 p.

4. Danilov L.V., Matkhanov P.N., Filippov E.S. Teoriya nelineinykh elektricheskikh tsepei [Theory of nonlinear electrical circuits]. Leningrad, «Energoatomizdat», 1990, 252 p.

5. Danilov L.V. Elektricheskie tsepi s nelineinymi R elementami [Electrical circuits with nonlinear R elements]. Moscow, «Svyaz'» Publ., 1974, 135 p.

6. Kh'yuz V. Nelineinye elektricheskie tsepi [Non-linear electrical circuits]. Moscow, Energiya Publ., 1967, 335 p.

7. Andre Ango. Matematika dlya elektro- i radioinzhenerov [Mathematics for electro and radio engineers]. Moscow, Nauka Publ., 1967, 779 p.

8. Neiman L.R., Demirchyan K.S. Teoreticheskie osnovy elektrotekhniki [Theoretical Foundations of Electrical]. Leningrad, Energoizdat, 1981, 533 p.

9. Basan S.N. Ekvivalentnye preobrazovaniya diodnykh tsepei [Equivalent transformations of diode circuits]. Izv. LETI, 1971, no. 98.

10. Vakulenko O.M., Velichko V.A., Basan S.N., Pivnev V.V. [The Solution of Transport Problems by the Method of Equivalent Transformations of Replacement Schemes]. Materialy VII Otkrytoi mezhdunarodnoi molodezhnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii, posvyashchennoi 70-letiyu osnovaniya Krasnodarskogo regional'nogo otdeleniya Russkogo geograficheskogo obshchestva i 20-letiyu osnovaniya Filiala RGGMU v g. Tuapse [Proceedings of the VII Open International Youth Scientific and Practical Conference dedicated to the 70th anniversary of the foundation of the Krasnodar Regional Branch of the Russian Geographical Society and the 20th anniversary of the foundation of the RSHU Branch in Tuapse]. Krasnodar, «Izdatel'skii Dom -Yug», 2017, pp. 223-238. (In Russ.)

Поступила в редакцию /Receive 10 августа 2017 г. /August 10, 2017