CC BY
54
ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2017. № 4
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 4
УДК 004.942: 51-37 DOI: 10.17213/0321-2653-2017-4-13-21
О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВИХРЕВЫХ ТОКОВ В ОБОЛОЧКАХ С РАЗРЕЗАМИ
© 2017 г. В.И. Астахов1, С.Н. Басан2, Э.М. Данилина3
1 Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия, 2Российский государственный гидрометеорологический университет (филиал), г. Туапсе, Россия, 3Южный научный центр Российской академии наук, г. Ростов-на-Дону, Россия
ABOUT MATHEMATICAL MODEL OF EDDY CURRENT IN THIN SHELL WITH A CUTS
V.I. Astakhov1, S.N. Basan2, E.M. Danilina3
1Platov South Russian State Polytechnical University (NPI), Novocherkassk, Russia, 2Russian state hydrometeorological University (branch), Tuapse, Russia, 3Southern Scientific Center RAS, Rostov-on-Don, Russia
Астахов Владимир Иванович - д-р техн. наук, профессор, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: v.astakhov@mail.ru
Басан Сергей Николаевич - д-р техн. наук, профессор, Российский государственный гидрометеорологический университет (филиал), г. Туапсе, Россия. E-mail: sbasan@mail.ru
Данилина Элеонора Михайловна - канд. техн. наук, науч. сотрудник лаборатории кристаллов и структур для твердотельной электроники, Южный научный центр Российской академии наук, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: el.m.danilina@gmail.com
Astakhov Vladimir Ivanovich - doctor of technical sciences, professor, Platov South Russian State Polytechnical University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: v.astakhov@mail.ru
Basan Sergey Nikolaevich - doctor of technical sciences, professor, the branch Russian state hydrometeorological University, Tuapse, Russia. E-mail: sbasan@mail.ru
Danilina Eleonora Mihajlovna - candidate of technical sciences, researcher, laboratory of crystals and structures for solid-state electronics, Southern Scientific Center RAS, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: el.m.danilina@gmail.com
Математическая теория вихревых токов геометрически тонких проводящих оболочек развита на оболочки с разрезами, а именно, для вихревых токов оболочек с разрезами обоснована корректность интегрального уравнения 2-го рода; выполнена модернизация программного пакета для электромагнитных расчетов, путем исключения столбцов и строк СЛАУ, соответствующих узлам дискретизации, лежащим на линиях разрезов.
Проведена серия расчетов, подтверждающих адекватность математической модели и работоспособность модернизированного пакета. Результаты проиллюстрированы картинами распределения вихревых токов на срединных поверхностях оболочек полусферического и цилиндрического типов с многолучевыми разрезами.
Ключевые слова: проводящая оболочка; разрез; вихревые токи; электромагнитное поле; математическая модель; компьютерное моделирование.
We developed the mathematical theory of eddy current of geometrical thin conductor shells on shells with cuts. Namely, we have proved the correctness of integral equation of 2-th kind for eddy current of the shell with cuts; we have modernized the software package for electromagnetic calculations by excluding the columns and rows of the system of linear equations corresponding to the discretization nodes lying on the cut lines.
We have carried out the series of calculations to confirm the adequacy of the mathematical model and the operability of the upgraded package. We have illustrated the results by the patterns of the distribution of eddy currents on the middle surfaces of shells of hemispherical and cylindrical types with multipath cuts.
Keywords: conducting shell; cut; eddy current; electromagnetic field; mathematical model; computer modeling.
ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2017. № 4
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 4
1. История вопроса
Первое систематическое исследование вихревых токов тонких оболочек и пластин выполнено А.Т. Прайсом [1, 2]. Областью его научного интереса был ряд геофизических проблем, связанных с влиянием вихревых токов морей, океанов и ионосферы на земной магнетизм.
Пользуясь дифференциальной постановкой задачи на основе уравнения Пуассона-Бельтрами, А.Т. Прайс проанализировал вихревые токи в неограниченных пластинах и сфере методом Фурье и сделал ряд полезных заключений о влиянии неоднородности и анизотропии проводника на магнитную реакцию и вихревые токи.
Л.А. Цейтлин изучил случай, когда магнитная реакция оболочки (собственное магнитное поле вихревых токов) ничтожно мала, и поэтому правая часть уравнения Пуассона-Бельтрами известна [3, 4]. Применительно к цилиндрическим оболочкам и пластинам простейшей конфигурации, помещенным в однородное магнитное поле, им предложены аналитические решения этого уравнения и формулы потерь на вихревые токи [4].
Отметим, что в общем случае для искривленных оболочек решение уравнения Пуассона-Бельтрами встречает принципиальные трудности, связанные с отличием внутренней геометрии их срединных поверхностей от геометрии плоскости, на которой развит необходимый математический аппарат. Кроме того, учет магнитной реакции резко усложняет задачу, но оказывается необходим, поскольку на практике вклад этой реакции нередко многократно превышает результирующее магнитное поле.
Можно, однако, выделить класс оболочек, называемых аналитическими (сфероидальная, круговая бесконечно длинная цилиндрическая оболочка, неограниченная пластина), для которых расчет вихревых токов и магнитной реакции может быть выполнен аналитически методом Фурье. Многочисленные примеры решения задач с аналитическими оболочками содержатся в работах С.М. Аполлонского [5], Г. Кадена [6], С.В. Васильева [7], Н.Б. Полонского [8], В. Смайта [9], И.Д. Маергойза [10], Я. Туровского [11] и многих других.
На практике всякую реальную оболочку стараются заменить аналитической, близкой по форме, что не всегда возможно. Это оправдано в
случае, когда поле изучается на значительном удалении от оболочки. Если же требуется расчет поля на поверхности оболочки или вычисление интегральных характеристик (джоулевые тепловыделения, электромагнитная сила, испытываемая оболочкой и т.д.), указанная замена может привести к недопустимым погрешностям. Расчет оболочек, не являющихся аналитическими, представляет собой сложную математическую задачу, эффективные решения которой известны лишь для узкого класса проводников.
Наличие края, разреза или щели (разрез не нулевой ширины) в оболочке создает особые трудности в расчете электромагнитного поля. Применительно к пластине (составному электропроводному экрану) Г.Г. Счастливым [12] предложен учет присутствия щели путем введения «источников влияния», однако никаких расчетов не приведено. Г.А. Шнеерсоном рассмотрены идеально проводящие пластины с отверстиями и щелями [13]. Задача сведена к решению интегрального уравнения первого рода для магнитной индукции на оси щели.
Для пластин с краем, имеющих конечную проводимость, в работах [14 - 17] получены интегральные уравнения II рода относительно скалярной функции вихревых токов. Позже эти результаты распространены на движущиеся в магнитном поле неоднородные анизотропные многосвязные оболочки, срединные поверхности которых отвечают условиям Римана и Липшица, а края - требованию кусочной гладкости [18, 19].
Подход, изложенный в [18], получил, как представляется, наиболее существенное развитие в [20], где была разработана и исследована модель вихревых токов в оболочках сложных геометрических форм с неоднородной и анизотропной проводимостью в условиях переходного и установившегося режимов. В работах [18, 20] задача расчета вихревых токов сведена к интегральному уравнению 2-го рода, обобщенная формулировка которого удобна для применения методов Гильберта-Шмидта, Ритца, Галеркина и, в частности, метода конечных элементов. Последний был реализован в виде программного пакета «СотрЕС [21], позволяющего рассчитывать вихревые токи в установившемся и переходном режимах, а также интегральные характеристики электромагнитного процесса оболочек сложных геометрических форм конечных размеров.
Кроме того, из оригинальных подходов к задаче о вихревых токах в оболочках выделим
ISSN G321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
TECHNICAL SCIENCE.
2G17. No 4
еще работы [19, 22 - 27]. В работе [19] предложено векторное интегральное уравнение, нагруженное задачей для скалярного электрического потенциала, решение которой с уменьшением толщины оболочки теряет устойчивость. В [22] показано, что если пренебречь нормальной к срединной поверхности оболочки составляющей тока, то интегральное уравнение преобразуется к скалярному даже при рассмотрении оболочки как массивного тела. Однако проблемы устойчивости при этом остаются.
Радикальный способ преодоления неустойчивости состоит в замене оболочки срединной поверхностью, наделенной некоторыми эквивалентными свойствами в отношении электромагнитного поля. Такой прием впервые предложен В.В. Жуковым [23] и развит В.Е. Шпицбергом [24].
Для замкнутой оболочки с неоднородной проводимостью И.П. Красновым предложено интегральное уравнение II рода с чрезвычайно сложным и громоздким по конструкции ядром [25]. Сведения о практической реализации этого уравнения в литературе отсутствуют.
Оригинальные подходы к расчету вихревых токов были предприняты также О.В. Гри-мальским [26] и А.Г. Калимовым [27].
Однако, несмотря на богатую историю вопроса и большой круг исследователей, известные программные пакеты, предназначенные для расчета электромагнитных полей (ANSYS, Maxwell, Flux 2D, 3D, Femm 3D, Elcut) в большинстве своем не способны решать задачи для оболочек с границами, не удовлетворяющими условиям Липшица. Все это делает актуальной разработку математической модели электромагнитного поля оболочки, имеющей разрезы.
2. Постановка задачи. Идеализации и допущения
Результаты, получившие, как нам представляется, существенное развитие, изложены в работах [18, 20]. Руководствуясь соображениями простоты и наглядности, обсудим их в условиях, когда немагнитная оболочка с удельной проводимостью у является однородной, изотропной и геометрически тонкой. Примерный вид срединной поверхности такой оболочки изображен на рис. 1, там же приведены некоторые используемые обозначения. Режим примем гармоническим и квазистационарным. Окружающую среду наделим свойствами вакуума ( у = 0 —1—,
Ом • м
Ц = Цо = 4п-10~7 Гн/м ). В этих условиях катуш-
ка, создающая первичное магнитное поле индукции В0, питается источником тока а точкой сверху помечены комплексные действующие значения.
Оболочку считаем геометрически тонкой в том смысле, что нормальная к срединной поверхности £ оболочки составляющая плотности вихревых токов пренебрежимо мала, в металле допустимо «приближение плоской волны» [11]
—— = усоцоуб, |и|<й/2 , дп
(п - координата вдоль нормали п к £), а при рассмотрении магнитного поля снаружи допустимо отождествить оболочку с ее срединной поверхностью, наделенной некоторыми эквивалентными свойствами в отношении электромагнитного поля. А именно, будем характеризовать проводящую поверхность £ линейной проводимостью
у = — ^^ (Р = V0 ) [28], а электрический ток - комплексной плотностью
V2 . о = | 5 (¡п.
-V 2
Переход от оболочки к проводящей поверхности подробно исследовался В.В. Жуковым [23].
Будем полагать, что £ - поверхность (рис. 1) топологического рода нуль [29], отвечающая условиям Римана [30], имеет кусочно-гладкие внешний 10 и внутренний 11 края, а также разрезы 12 - /6.
d
л
Рис. 1. Срединная поверхность оболочки с разрезами / Fig. 1. Middle surface of a shell with cuts
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
TECHNICAL SCIENCE.
2017. No 4
3. Модель вихревых токов в отсутствие разрезов
С учетом идеализаций задача для электромагнитного поля поверхности без разрезов в общепринятых обозначениях имеет вид [31]
rot^ É = - j(üBn1 rot Н = rot Н
diva = О У на S, divB = 0 [ вне S u S]
ó = yÉ В = |LX0H
1,
-jädl = -ja¡¡ÉndS, DivB = 0 на£и£1? (1) У h sx
án = О на£, RotH = ó
áv = 0 на / = 0Д, H(M) lól = 0 на &
00
1>
H (М)-задано,
Н" 0
- комплексная напряженность магнитного поля внешних источников. Под V понимается единичный вектор нормали к контуру 4 I = 0,1, лежащий в касательной к £ плоскости.
Задача (1) преобразуется к интегральному уравнению [18]
1|/ = Ж1}/ + 1|/0, (2)
в котором X = у'фуц0; У - функция тока, вводимая равенством
о = [§гас1\}//1]
и калибровкой у = 0 на 10 ; К=РБВ - оператор, являющийся композицией (произведением) операторов Р, В и Б, определенных равенствами
Щ ( M ) = rot и ff
.[grad ^ (N) n (N)]
4п'
dS
N,
rNM
М е 5 и Sl, Вп = Ф? Рф = ф - ^,
где функции ф и ^ - решения следующих краевых задач:
Дф = -п на 5, Д^ = 0 на 5,
Ф = 0 на 10, ^ = Ф на ¡о,
Ф = c1 на l1, c1 - const, h * s\
£ = ф-с1 на /1
dÄ// = 0. Jdv
В [18] установлена корректность уравнения (2) и ряд полезных свойств оператора К в
(л) - пространстве суммируемых с квадратом на £ с первыми соболевскими производными комплекснозначных функций, имеющих постоянные значения на ^ и ^ и нулевые значения на 10.
о
Пространство Ж 2(5) является подпространством гильбертова пространства Ж 2(л) со скалярным произведением и нормой вида
V V
($,лЬЯ^лdS + ^{лЛ, Н = ,^)1/2, (3)
л ¡0 ¡0
где V - дифференциальный оператор Гамильто-на-Бельтрами, производные понимаются в смысле Соболева [32], интегралы - в смысле Лебега [33], 5 - замкнутая поверхность, включающая в себя £ и £ьа знак V сверху означает комплексное сопряжение. Скалярное произведе-
о
ние и норма (3) для элементов л е Ж2(£) упрощаются к виду
V
(£,л) = Я^л, Ц^^Щ) ,
л
а обобщенная формулировка уравнения (2) в
о
пространстве Ж 2(л) выглядит как
{{ Уу(М) + —-=
5 471 Я Гмм
:-ушу JJ B°n(MMM)dSM\/^eW\(S).
(4)
Формулировка (4) удобна для решения задачи методом конечных элементов. Пример такого решения подробно описан в [20], а также реализован в виде универсального пакета прикладных программ CompEC 3d [21]. Наша цель -обобщить результаты [18, 20, 21] на оболочки с разрезами.
4. Модель вихревых токов оболочки с разрезами
Наличие разрезов приводит к дополнительным краевым условиям в задаче (1 ), поэтому вместо уравнения (2) будем иметь
\j/ = XK^ij/ + vj> ,
(5)
S
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
TECHNICAL SCIENCE.
2017. No 4
где К1=Р1К, а оператор Рх определяется равенствами
Px£=£ - 0 для V£ е W\{S) , 6
А© = 0 на £\L, L=U/,. ,
i=2
0 = £ на L \ l2 u l6, 0 = £ - c2 на l2,
(6)
Сл. \
ö0+ 00"
öv öv
dl = J
l
ÖV ÖV
0 = £ - c6 на /6,
С J- Л
Ö0+ Ö0"
l
ÖV ÖV
dl=J
l
Ö£+ Ö£-
ÖV ÖV
dl;
dl,
Ь = У - множество разрезов.
/=2
Итак, Рх - это оператор, вычитающий из функции £ гармоническую на £\Ь функцию 0, такую, что функция Рх£ принимает на линиях разрезов постоянные значения, равные нулю на всех линиях, имеющих общие точки с контуром /0. Неизвестные константы на остальных линиях разрезов калибруются равенством нулю на них скачка предельных значений нормальных производных функции Рх£.
Для установления свойств оператора Рх перенесем краевую задачу (6) для гармонической на £\Ь функции на плоскость, выполнив конформное отображение £ на некоторую часть £ плоскости Я2.
Образы всех объектов, переносимых данным отображением на плоскость, пометим звездочкой в верхнем индексе. Так, например, будем
иметь £*, Ь*, £*, 0*, V* и т.д. Конформное отображение для нашей римановой, т.е. локально конформно-плоской поверхности £, является
гладким, поэтому, если £ еЖ12(£), то £* будет
принадлежать Ж12(£ ) и наоборот. Что касается
гармонической функции 0, то ее интеграл Дирихле (а значит и норма в Ж12) при конформном отображении не меняется.
Рассмотрение задачи (6) на плоскости удобно в том смысле, что здесь она легко интерпретируется физически как задача о плоскопараллельном электростатическом поле в присутствии замкнутых и разомкнутых незаряженных
цилиндрических проводников, профиль сечения которых совпадает с линиями разрезов.
Ранее аналогичная задача на плоскости рассматривалась в [34], где она сводилась к интегральному уравнению первого рода, которое исследовалось вариационным методом.
Важный вывод, следующий из результатов [34], состоит в том, что в наших условиях
Р 1£ (=^2 (£ ) для У£ еЖ 2(£ ) и, следовательно, Р1£е^21(£), если £еЖ2(£). Далее легко проверяется
р 12=р 1.
о
означающее, что Рх - проектор в Жг2(£ ).
Можно также показать, что (£ — Р1£,£) = 0
для V£ е Ж1 (£) , т.е. Рх - ортопроектор в
Ж1 (£). Известно [35], что ортопроектор - самосопряженный оператор, а его норма равна 1, т. е.
11р1£|и А|£|Ж]'
22 (7)
(Р1£,С)ж21 =(£, Р^ж! для V£,Z еЖ 2(£)
Свойства (7) означают, что если рассмат-
о
ривать ^2(£) как область значений оператора
Рх в Ж12(£) , то все обоснованные в [18] свойства
оператора К уравнения (2) (линейность, положительность, самосопряженность, полная непрерывность) сохранят силу и для оператора Кх
уравнения (5) в ^2(£), если последнее понимать в новом смысле. А именно, добавим к ранее
указанным свойствам элементов ^2(£) условие
их обращения в константы на линиях разрезов Ь, причем равные нулю для разрезов, имеющих общие точки с внешней границей. Сохранит силу и обоснование корректности уравнения (5) в
С другой стороны, обобщенная формулировка (4) уравнения (2) есть развернутая запись равенства ^ \|/+АКл|/+\|/°, £ ) = 0 для каждой
£ е Ж1 (£). Поэтому, если учесть, что
(К^СЦ =(Км/,Р,^ =(Кчг,^1
для \/£<е^Г2(£), то станет ясно, что формулировка (4) сохранит силу для уравнения (5), но в
6
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
новом пространстве Ж12(¿>) . Последнее важно,
так как именно обобщенная формулировка (4) использована в программном пакете [21]. Для модернизации этого пакета применительно к нашим условиям (присутствию разрезов) достаточно учесть, что решение задачи и базисные (координатные) функции являются элемен-
«11 «12 • •• «lq • • «1n c1 /1° "
« 21 «22 • •• a2q • • « 2 n c2 /2°
a ql aq2 • •• aqq • • a qn C q = S . (9)
« „1 «„2 • •• a nq • • « nn _ C„ _ / _
TECHNICAL SCIENCE.
J0 на , i = 1 u3,5, [const на l2, l6,
2017. No 4
тами пространства Ж12(¿>) , понимаемого в новом
смысле. Как это выполнить, обсудим в следующем пункте.
5. Модификация программного пакета «CompEC 3Д» применительно к оболочкам с разрезами
Опираясь на обобщенную формулировку (4) и кусочно-полиномиальные финитные координатные функции ^ е Ж12(£), к = 1,2,..., приближенное решение можно найти методом Ритца в виде
у (м (п \м )=%ск £ к (м),
к=1
где неизвестные Ск находятся решением системы
п -а -
гкСк = /к\ / = 1,п, (8)
к=1
в которой а//с - коэффициенты, выраженные
через координатные функции; - элементы столбца свободных членов.
Формулы, по которым они вычисляются, приведены в [20]. В матричном виде система уравнений (8) выглядит как
где q - номер узла, лежащего на разрезе /, a const находятся отдельно из условий J 9 dl = 0, i = 2,6 .
h
Например, для случая разрезов, изображенных на рис. 1, для того чтобы СЛАУ (9) сохранила корректность, достаточно из матрицы коэффициентов исключить строки и столбцы, имеющие номера рассматриваемых узлов, а в матрицах-столбцах - соответствующие элементы. Применительно к одному узлу разреза упомянутые строки, столбцы и элементы выделены в (9) жирным шрифтом.
В рамках используемого подхода разрезание оболочки не приводит к необходимости пересчета всех элементов матриц СЛАУ (9), т.е. основная численная часть, выполненная для сплошной оболочки, может использоваться готовой и в задаче с разрезами.
Для иллюстрации работоспособности модифицированного программного пакета «CompEC 3d» выполнены расчеты для оболочек, которые до разрезания выглядели, как показано на рис. 2. Геометрические и электрофизические параметры для расчета взяты из [20].
h
В случае оболочек с разрезами будем считать, что линии разрезов проходят по внутренним узлам дискретизации. В этом случае, в силу
о
определения элементов пространства часть координат ск в (8) станет известной, а число расчетных уравнений сократится. Действительно, в нашем случае
б
Рис. 2. Геометрические конфигурации оболочек: а - полусферический тип; б - цилиндрический тип / Fig. 2. Geometrical configurations of shells: а - hemispherical type; б - cylindrical type
На рис. 3 представлено среднее за период распределение вихревых токов на срединной поверхности полусферической оболочки с разрезами, выполненной из алюминия с удельной
q
а
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 4
7 1
проводимостью УА1 = 3,7 -10 -, толщиной
Ом - м
Н=0,002 м, радиусом Я=1 м. Оболочка находится
¿0 п0
в однородном магнитном поле В = В ег, пульсирующем с частотой /=10 Гц. Триангуляция области состоит из 748 узлов и 1496 треугольников, время расчета 10 мин.
Ъ о
Рис. 3. Полусферическая оболочка с двулучевым разрезом в однородном магнитном поле / Fig. 3. Hemispherical shell with a double-beam cut in a homogeneous magnetic field
На рис. 4 представлено аналогичное распределение вихревых токов на срединной поверхности цилиндрической оболочки с разрезами, выполненной из меди с удельной
7 1
проводимостью yCu = 5,8 -10 -, толщиной
Ом - м
h = 0,001 м, радиусом R=0,3 м, длина образующей а = 1 м. Оболочка находится в однородном магнитном поле В0= ß0ez, колеблющемся с частотой/= 50 Гц. Триангуляция области состоит из 1682 узлов и 3364 треугольников, время расчета 25 мин.
Рис. 4. Цилиндрическая оболочка с Т-образным
разрезом в однородном магнитном поле / Fig. 4. Cylindrical shell with a T-shaped cut in a homogeneous magnetic field
Выводы
1. Выполнено обобщение математической модели вихревых токов в геометрически тонкой немагнитной оболочке на оболочки с разрезами в гармоническом квазистационарном режиме.
2. Свойства известного интегрального уравнения вихревых токов и его обобщенная формулировка в соболевском пространстве W](S) функций распространены соответственно на уравнение и его обобщенную формулировку для оболочки с разрезами.
3. Предложена модификация пакета прикладных программ «CompEC 3d», учитывающая разрезы, что привело к сокращению числа неизвестных приближенного решения.
4. Работоспособность модифицированного пакета проиллюстрирована картинами поля вихревых токов, рассчитанных для оболочек и разрезов разных геометрических форм.
Литература
1. Price A.T. The induction of electric currents in non-uniform thin sheets and shells // Q J Mechanics Appl Math. 1949. Vol. 2, no. 3. P. 283 - 310.
2. Price A.T., Ferris C.A.J. A resonance property of the ionosphere due to its anisotropic conductivity // Nature. 1962. no. 196. P. 258 - 260.
3. Цейтлин Л.А. Вихревые токи в тонких пластинах оболочках // Журн. техн. физики. 1969. Т. 39, № 10. С. 1733 -1741.
4. Цейтлин Л.А. Потери на вихревые токи в тонких пластинах // Электричество. 1969. № 3. С. 73 - 77.
5. Аполлонский С.М. Расчет электромагнитных экранирующих оболочек. Л.: Энергоиздат, 1982. 144 с.
6. Каден Г. Электромагнитные экраны в высокочастотной технике электросвязи. М.: Гостехиздат, 1957. 327 с.
7. Васильев С.В., Киенко А.И. Инженерная методика расчета левитационных характеристик систем ЭДП // Изв. вузов. Электромеханика. 1983. № 2. С. 16 - 20.
8. Полонский Н.Б. Конструирование электромагнитных экранов для радиоэлектронной аппаратуры. М.: Сов. радио, 1979. 216 с.
9. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: Изд-во иностр. литературы, 1954. 606 с.
10. Маергойз И.Д. Аналитическое решение задач о распределении вихревых токов в тонкой пластине и в проводящей сферической оболочке // Кибернетика и вычислительная техника. 1972. № 17. С. 78 - 82.
11. Туровский Я. Техническая электродинамика. М.: Энергия, 1974. 488 с.
12. Счастливый Г.Г., Титко А.И., Пыжов А.А. Электромагнитное поле составного электропроводного экрана // Проблемы техн. электродинамики. Киев, 1976. Вып. 58. С. 12 - 17.
13. Шнеерсон Г.А. К расчету распределения тока по поверхности плоских идеально проводящих листов с отверстиями и разрезами // Журн. техн. физики. 1993. Т. 63, № 8. С. 148 - 161.
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.
14. Маергойз И.Д. Расчет статических и квазистационарных электромагнитных полей в неоднородных и нелинейных средах: автореф. дис... д-ра техн. наук. Киев, 1975. 46 с.
15. МайергойзИ.Д., Романович С.С., Федучин Л.В. К расчету вихревых токов в проводящих пластинах // Электричество. 1975. № 6 С. 73 - 76.
16. Астахов В.И., Колесников Э.В., Пашковский В.И. Вихревые токи в проводящих пластинах // Изв. вузов. Электромеханика. 1972. № 8. С. 822 - 830.
17. Hurley D.G., Siew P.F. The EM response due to a plane sheet of arbitrary shape and conductivity profile // The Journal of the Australian Mathematical society. Series B. Applied Mathematics. 1995. Vol. 37. P. 267 - 278.
18. Астахов В.И. Квазистационарные электромагнитные поля в проводящих оболочках. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. 303 с.
19. Петрушенко Е.И. К расчету вихревых токов в проводниках сложной формы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1966. № 6. С. 59-70.
20. Кочубей Т.В. Математическое моделирование квазистационарных электромагнитных полей проводящих оболочек на основе интегро-дифференциального уравнения: дис. ...канд. физ.-мат. наук. Новочеркасск. 2010.
21. Программа для расчета вихревых токов в немагнитных проводящих оболочках с краем (CompEC 3D): свид-во. о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2010613480 / Т.В. Кочубей, В.И. Астахов - заявка № 2010611761; за-явл. 05.04.2010; Зарег. в реестре программ для ЭВМ 28.05.2010 г.
22. Чечурин В.Л. К расчету магнитного поля и вихревых токов пластин и оболочек // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1983. № 3. С. 151 - 154.
23. Жуков В.В. О граничных условиях для определения магнитных полей тонких металлических оболочек // Журн. техн. физики. 1969. Т. 39, № 7. С. 1149 - 1154.
TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 4
24. Шпицберг В.Е. К вопросу о граничных условиях электродинамики для тонких экранов // Журн. техн. физики. 1976. Т. 46, № 8. С. 1739 - 1742.
25. Краснов И.П. Об одной граничной задаче для уравнения Лапласа, встречающейся в теории вихревых токов // Сибирский мат. журн. 1978. Т. 19, № 4. С. 778 - 787.
26. Гримальский О.В. Метод граничных элементов для расчета квазистационарного электромагнитного поля, возбуждаемого телами с вырожденными геометрическими размерами: автореф. дис... д-ра техн. наук. Новочеркасск. 1997.
27. Калимов А.Г. Применение интегро-дифференциальных уравнений для расчета вихревых токов в многосвязных тонкостенных проводящих оболочках // Электричество. 2010. № 5 С. 63 - 69.
28. Астахов В.И., Бахвалов Ю.А., Вялцева Т.М., Кирсанова Г.А. Методы ускорения вычислительного процесса задачи о движении проводящей полосы в магнитном поле // Изв. вузов. Электромеханика. 1979. № 3. С. 187 - 196.
29. Васильев В.А. Введение в топологию. М.: Фазис, 1997. 144 с.
30. Клейн Ф.Х. Неевклидова геометрия. М.: ЛКИ, 2007. 356 с.
31. Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964. 773 с.
32. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.
33. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. М.: ГИФМЛ, 1959. 655 с.
34. Астахов В.И. Уравнения первого рода в задачах расчета статических и стационарных полей. Ч. 2 // Изв. вузов. Электромеханика. 2005. № 4. С. 3 - 17.
35. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.
References
1. Price A.T. The induction of electric currents in non-uniform thin sheets and shells // Q J Mechanics Appl Math. 1949. Vol. 2, no. 3. Pp. 283-310.
2. Price A.T., Ferris C.A. J. A resonance property of the ionosphere due to its anisotropic conductivity // Nature. 1962. no. 196. Pp. 258-260.
3. Tseitlin L.A. Vikhrevye toki v tonkikh plastinakh obolochkakh [Eddy current in thin plates and shells]. Zhurnal tekhnicheskoi fiziki = Technical Physics, 1969. Vol. XXXIX. 10, pp. 1733-1741. (In Russ.)
4. Tseitlin L.A. Poteri na vikhrevye toki v tonkikh plastinakh [Joul losses in thin plates]. Elektrichestvo = Electricity, 1969, no. 3, pp. 73-77. (In Russ.)
5. Apollonskii S.M. Raschet elektromagnitnykh ekraniruyushchikh obolochek [Calculation of the electromagnetic shielding covers]. Leningrad, Energoizdat, 1982, 144 p.
6. Kaden G. Elektromagnitnye ekrany v vysokochastotnoi tekhnike elektrosvyazi [Electromagnetic screens in high-frequency technology of telecommunication]. Moscow, Gostekhizdat, 1957, 327 p.
7. Vasil'ev S.V., Kienko A.I. Inzhenernaya metodika rascheta levitatsionnykh kharakteristik sistem EDP [Engineering method of calculation of levitation characteristics of the EDP systems]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 1983, no. 2, pp. 16-20.
8. Polonskii N.B. Konstruirovanie elektromagnitnykh ekranov dlya radioelektronnoi apparatury [Designing of electromagnetic screens for the radio-electronic equipment]. Moscow, Sov. radio Publ., 1979, 216 p.
9. Smait V. Elektrostatika i elektrodinamika [Electrostatics and electrodynamics]. Moscow, Izdatel'stvo inostrannoi literatury, 1954, 606 p.
10. Maergoiz I.D. Analiticheskoe reshenie zadach o raspredelenii vikhrevykh tokov v tonkoi plastine i v provodyashchei sfericheskoi obolochke [The analytical solution of tasks on distribution of vortex currents in a thin plate and in the carrying-out spherical cover]. Kibernetika i vychislitel'naya tekhnika, no. 17, pp. 78-82.
11. Turovskii Ya. Tekhnicheskaya elektrodinamika [Technical electrodynamics]. Moscow, Energiya Publ., 1974, 488 p.
12. Schastlivyi G.G., Titko A.I., Pyzhov A.A. Elektromagnitnoe pole sostavnogo elektroprovodnogo ekrana [Electromagnetic field of the compound electrowire screen]. Problemy tekhnicheskoi elektrodinamiki, 1976, Vyp. 58. pp. 12-17.
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2017. No 4
13. Shneerson G.A. K raschetu raspredeleniya toka po poverkhnosti ploskikh ideal'no provodyashchikh listov s otverstiyami i razrezami [Calculation of the current distribution over the surface of flat ideally conducting sheets with holes and cuts]. Zhurnal tekhnicheskoi fiziki = Technical Physics, 1993, 1993. vol. 63, no. 8, pp. 148-161. (In Russ.)
14. Maergoiz I.D. Raschet staticheskikh i kvazistatsionarnykh elektromagnitnykh polei v neodnorodnykh i nelineinykh sredakh. Diss. dokt. tekhn. nauk [Calculation of static and quasistationary electromagnetic fields in non-uniform and nonlinear environments. Dr. techn. sci. diss.]. Kiev, 1975, 46 p.
15. Maiergoiz I. D., Romanovich S. S., Feduchin L. V. K raschetu vikhrevykh tokov v provodyashchikh plastinakh [To calculation of eddy currents in conducting plates]. Elektrichestvo = Electricity, 1975, no. 6, pp. 73-76. (In Russ.)
16. Astakhov V. I., Kolesnikov E. V., Pashkovskii V. I. Vikhrevye toki v provodyashchikh plastinakh [Eddy currents in conducting plates]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 1972, no. 8, pp. 822-830. (In Russ.)
17. Hurley D.G., Siew P.F. The EM response due to a plane sheet of arbitrary shape and conductivity profile // The Journal of the Australian Mathematical society. Series B. Applied Mathematics. 1995. Vol. 37. Pp. 267 - 278.
18. Astakhov V.I. Kvazistatsionarnye elektromagnitnye polya v provodyashchikh obolochkakh [Quasistationary electromagnetic fields in the carrying-out covers]. Moscow, FIZMATLIT, 2013, 303 p.
19. Petrushenko E. I. K raschetu vikhrevykh tokov v provodnikakh slozhnoi formy [To calculation of vortex currents in conductors of irregular shape]. Izv. ANSSSR. Energetika i transport, 1966, no. 6, pp. 59-70.
20. Kochubei T.V. Matematicheskoe modelirovanie kvazistatsionarnykh elektromagnitnykh polei provodyashchikh obolochek na osnove integro-differentsial'nogo uravneniya. Diss. kand. fiz.-mat. nauk [Mathematical modeling of quasistationary electromagnetic fields of the carrying-out covers on the basis of the integro-differential equation. Cand. phys. and math. sci. diss.]. Novocherkassk, 2010.
21. Kochubei T.V., Astakhov V.I. Programma dlya rascheta vikhrevykh tokov v nemagnitnykh provodyashchikh obolochkakh s kraem (CompEC 3D) [The program for calculation of vortex currents in not magnetic carrying-out covers with edge (CompEC 3D)]. Svid-vo. o gos. registratsii programmy dlya EVM, no. 2010613480, 2010.
22. Chechurin V. L. K raschetu magnitnogo polya i vikhrevykh tokov plastin i obolochek [To calculation of magnetic field and vortex currents of plates and covers]. Izv. AN SSSR. Energetika i transport, 1983, no. 3, pp. 151-154.
23. Zhukov V.V. O granichnykh usloviyakh dlya opredeleniya magnitnykh polei tonkikh metallicheskikh obolochek [About boundary conditions for definition of magnetic fields of thin metal covers]. Zhurnal tekhnicheskoi fiziki = Journal of Applied Physics, 1969, vol. 39, no. 7, pp. 1149-1154. (In Russ.)
24. Shpitsberg V.E. K voprosu o granichnykh usloviyakh elektrodinamiki dlya tonkikh ekranov [To a question of boundary conditions of electrodynamics for thin screens]. Zhurnal tekhnicheskoi fiziki = Journal of Applied Physics, 1976, vol. 46, no. 8, pp. 1739-1742. (In Russ.)
25. Krasnov I.P. Ob odnoi granichnoi zadache dlya uravneniya Laplasa, vstrechayushcheisya v teorii vikhrevykh tokov [To a question of boundary conditions of electrodynamics for thin screens]. Sibirskii matematicheskii zhurnal, 1978, vol. XIX, no. 4, pp. 778-787. (In Russ.)
26. Grimal'skii O.V. Metod granichnykh elementov dlya rascheta kvazistatsionarnogo elektromagnitnogo polya, vozbuzhdaemogo telami s vyrozhdennymi geometricheskimi razmerami: avtoref. Diss. dokt. tekhn. nauk [Method of boundary elements for calculation of the quasistationary electromagnetic field excited by bodies with degenerate geometrical sizes. Dr. techn. sci. diss.]. Novocherkassk, 1997.
27. Kalimov A. G. Primenenie integro-differentsial'nykh uravnenii dlya rascheta vikhrevykh tokov v mnogosvyaznykh tonkostennykh provodyashchikh obolochkakh [Application of the integro-differential equations for calculation of vortex currents in the multicoherent thin-walled carrying-out covers]. Elektrichestvo = Electricity, 2010, no. 5, pp. 63 - 69. (In Russ.)
28. Astakhov V. I., Bakhvalov Yu. A., Vyaltseva T. M., Kirsanova G. A. Metody uskoreniya vychislitel'nogo protsessa zadachi o dvizhenii provodyashchei polosy v magnitnom pole [Methods of acceleration of computing process of a task about the movement of the carrying-out strip in magnetic field]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 1979, no. 3, pp. 187-196. (In Russ.)
29. Vasil'ev V.A. Vvedenie v topologiyu [Introduction to topology]. Moscow, Fazis Publ., 1997, 144 p.
30. Klein F.Kh. Neevklidovageometriya [Non-Euclidean geometry]. Moscow, LKI Publ., 2007, 356 p.
31. Shimoni K. Teoreticheskaya elektrotekhnika [Theoretical electrical equipment]. Moscow, Mir Publ., 1964, 773 p.
32. Sobolev S.L. Nekotorye primeneniya funktsional'nogo analiza v matematicheskoi fizike [Some applications of the functional analysis in mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1988, 336 p.
33. Smirnov V.I. Kurs vysshei matematiki. T.5 [Course of the higher mathematics Moscow Course of the higher mathematics]. Moscow, GIFML Publ., 1959, 655 p.
34. Astakhov V.I. Uravneniya pervogo roda v zadachakh rascheta staticheskikh i statsionarnykh polei. Chast' 2 [The equations of the first sort in problems of calculation of static and stationary fields. Part 2]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Russian Electromechanics, 2005, no. 4, pp. 3-17. (In Russ.)
35. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsii i funktsional'nogo analiza [Elements of the theory of functions and functional analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1976, 544 p.
Поступила в редакцию /Receive 10 августа 2017 г. /August 10, 2017
