CC BY
63
УДК 681.51
А.Н. Попов, Ал А. Колесников МЕТОД СИНЕРГЕТИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ГЕНЕРАТОРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Рассматривается применение принципов и методов синергетической теории управления для построения генераторов механических колебаний на основе электроприводов постоянного и переменного тока. Представлено несколько вариантов применения процедуры синергетического синтеза законов управления, обеспечивающих целенаправленную самоорганизацию управляемых систем и приводящих к рождению в их пространствах со-
« ». -ны компьютерным моделированием.
Электромеханические колебания; синергетический подход; электропривод.
A.N. Popov, Al.A. Kolesnikov THE METHOD OF SYNERGETIC SYNTHESIS OF NONLINEAR ELECTROMECHANICAL OSCILLATORS
This paper is devoted to application of synergetic control theory principles and methods for building of mechanical oscillators based on DC and AC electric drives. Some variants of control laws synergetic synthesis procedure for electric drives are presented. These control laws ensure a directed self-organization of controlled systems and produce the limit cycle attractors in their state space. Theoretical studies were supported by computer modeling.
Electromechanical oscillators; synergetic approach; electric drive.
.
и естественны для природных систем, но и играют в них доминирующую роль. С другой стороны, в современных системах искусственного происхождения существует
целый ряд технических задач, требующих организации цикличного изменения переменных (радиотехнические и акустические системы, грохота, абсорбирующие агрегаты и т.д.). Ярким примером подобного рода осциллирующих систем являются вибро-, -
нанса. Под действием вибрации - быстрых движений в таких нелинейных колебательных системах возникают новые эффекты: вибрационное перемещение; изменение физико-механических свойств тел; стабилизация или, наоборот, дестабилизация положе-; -
новешенных роторов, имеющая аналогию в поведении небесных тел, и т.д. В последнее время также разрабатываются виброреологтеские установки, служащие для оценки изменения реологических характеристик тел под действием вибрации. К таким характеристикам относятся эффекты псевдосжижения, изменение коэффициентов вязкости материалов, виброползучесть, возникновение виброкипящего слоя и т.д. Таким ,
является актуальной для многих областей техники и технологии.
Реализация механических колебательных процессов, как правило, обеспечивается соответствующей электромеханической системой (ЭМС) - электроприводом. При этом основную роль в организации колебательного режима играет именно механическая часть ЭМС, что, естественно, отражается на габаритах и стоимо-, . В этой связи наиболее перспективным направлением создания электромеханических осцилляторов является построение таких управляемых ЭМС, в которых колебательный характер механического движения организуется исключительно самим двигателем за счет соответствующего управления.
Рассмотрим применение методики синергетического синтеза [1,2] для реализации на базе электроприводов постоянного и переменного тока различных типов электромеханических осцилляторов.
В отличие от типовых задач стабилизации частоты вращения и позициони-, -ханических координат ЭМС - скорости и у гла поворота. С точки зрения обобщенной процедуры синергетического синтеза регуляторов ЭМС постоянного и переменного тока, описанной в [3,4] , естественным шагом для реализации подобного режима является приведение уравнений механического движения вала двигателя
к виду одной из известных автоколебательных систем второго порядка (Ван-дер-Поля, Рэлея, Пуанкаре и т.п.). Такая трансформация производится на последнем этапе динамической декомпозиции путем выбора соответствующих «внутренних» , (1) качестве составляющих электромагнитного момента. Далее, подставив найденные таким образом «внутренние» управления в полученные на ранних этапах процедуры выражения для «внешних» управлений, можно решить поставленную задачу синтеза электромеханических осцилляторов. В этом случае аттрактором замкнутой системы будет предельный цикл, расположенный в фазовом пространстве объекта на пересечении вводимых инвариантных многообразий.
Далее будут приведены примеры реализации электромеханических осцилляторов на базе управляемых ЭМС, которые проиллюстрируют кратко описанную .
1. Генераторы с электроприводом постоянного тока. Пример 1. Электромеханический осциллятор на базе электропривода постоянного тока (ЭППТ) с колебательным режимом Ван дер Поля.
Математическая модель ЭППТ с независимым возбуждением хорошо известна и имеет вид:
Здесь в относительных величинах обозначено:
Xl- угол поворота вала двигателя; X2 - угловая скорость двигателя; Х3 -ток якоря; X4 - магнитный поток одного полюса; Щ - напряжение на обмотке
якоре; Щ2 - напряжение на обмотке возбуждения; Мс (Х2)- момент сопротивления нагрузки на валу двигателя (в дальнейшем считается известной функцией угловой скорости); /1(х4) - функция, характеризующая процесс насыщения магнитной системы двигателя и обратная известной функции намагничивания; а,1 -
, -
.
Анализируя математическую модель ЭППТ, можно заметить, что управляющие воздействия Щ и и 2 входят в правые части дифференциальных уравнений,
в(г) = о; 6)(г) = М - Мс,
(1)
хс1(ґ) = х2; Х2(г) = (х3х4 - Мс(х2))а1; хг(ї) = (и1 - х4х2 - а2х3)а3; ) = (и2 - Л(х4))аА.
(2)
отражающих динамику изменения тока якоря Х3 и магнитного потока Х4 . Поэтому целесообразно выбрать параллельную совокупность инвариантных многообразий следующего общего вида:
/ = х3 + ф1( х1, х2) = 0;
(3)
/2 = х4 +ф2( х1, х2) = 0,
Таким образом, функции ф1(Х1,Х2)и ф2(Х1,Х2) есть «внутренние» , -го потока на пересечении инвариантных многообразий /1 = 0 и /2 = 0 .
[1]:
Т/г) +/1 = 0;
(4)
т2//2(г) + /2 = 0
(2),
, -
темы из произвольных начальных условий в некоторой допустимой области на пересечение /1 = 0 и /2 = 0 :
Ґ л \
1
Тха
3 У
1 ж 1
х3 + х2 х4 - — Ф1---------------------
1 !а3 а3
х2 +^г-(х4х3 - Мс (х2))аг охх ох2
(5)
и2 = Л(х4) - 1— (х4 +ф2 - — 12а4 а4
дф2 дф2
х2 + гг^(х4х3 - Мс )а1
В соответствии с основополагающим принципом синергетической концепции -
[1], -
ваться следующей системой дифференциальных уравнений:
Х (г) = х2 ;
1 2 (6) х2(г) = (ф1( х1, х2) ф2( х1, х2) - Мс (Х2))а1.
Уравнение
Х (г) - (£- х 2) Х (г) + х = 0, (7)
описывающее осцилляторы различной природы, известно как уравнение Ван-дер-Поля. Характерной особенностью данного дифференциального уравнения является возникновение при £ > 0 режима устойчивых автоколебаний. Условие приве-
(6) (7) :
(ф(х1,х2)ф2(х1,х2) = Мс(х2) + — ((£- х2)х2 - х1).
а14 '
(8)
Пусть Ф2 = — Х° (электромагнитный инвариант-стабилизация магнитного ),
1 1 2
ф =-----0(Мс(Х2) + — ((£ — Х1 )Х2 -Х1)).
х4 ах
Этим функциям соответствует следующий набор инвариантных многообразий:
1 1 2
/ = *3 —0(м с (*2)+ _ ((£ ~ *1) *2 - *1)) = 0;
х4 а1 (9)
у/2 = *4 - *4 = о,
а синтезированные законы управления, реализующие подобный электромеханический осциллятор, имеют следующий вид:
и1 = х2 х4 +
а0 --
1_
азТ1
Хз +-0Г хл а.
(х3х4 - Мс (х2))
л
хлаа
1 (2Х1х2 + 1)х2 - 1
л
х4 а3Т1
Мс (Х2) - — ( - Х12)Х2 - х)
(10)
и2 = Л(Х4)-1~(Х4 - Х4Л ).
а4Т2
Ниже приведены результаты моделирования замкнутой системы (2), (10) при
а1 = 0,5, а2 = 0,02, а3 = 10, а4 = 1,7, Т1 = Т2 = 0,5, *0 = 1,
Мс (*2) = 0,5*2, £ = 0,12. На рис. 1 представлен фазовый портрет замкнутой
системы в пространстве координат *1 *2*3. Более четко предельный цикл на пересечении инвариантных многообразий можно наблюдать в проекции на плоскость *1 *2 - Рис. 2. На рис. 3 показаны переходные процессы переменных состояния и управляющих воздействий ЭППТ.
Рис. 1. Фазовый портрет замкнутой системы -<ЭППТ - регулятор» в пространстве координат Х^ Х2, Х3
Пример 2. Электромеханический осциллятор на базе ЭППТ с колебательным режимом Рэлея:
Х(ї) -^(1 - Х2(ї))Х(ї) + Х = Л. (11)
Чтобы декомпозированная система (6) приняла вид (11), необходимо выполнение условия
ф1(Х1, Х2)02(Хр Х2) = Мс (Х2) + 0- ((1 - Х2 ) Х2 - Х1). (12)
Пусть ф2 —— X0 , тогда согласно (12):
Рис. 2. Предельный цикл в пространстве состояний замкнутой системы «ЭППТ - регулятор» (проекция на плоскость ХіХ2)
Рис. 3. Переходные процессы координат состояний и управляющих воздействий ЭППТ при значении управляющего параметра. Є — 0,12
Увеличение £ ведет к росту амплитуды и изменению формы колебаний. На рис. 4 приведены переходные процессы координат состояния ЭППТ и управляющих воздействий при тех же параметрах системы, той же нагрузке и £ — 0,7.
í - \
Ф 1 Ф =--------*
Х„
Мс (Х2) + — {т](1~ х] ) Х2 — Хі )
Обобщенные законы управления, реализующие такой осциллятор, имеют
:
и1 — х2 х4 +
азТ
Х3 + -Г
-(Хз Х4 — Мс (Хг))
а1 + л{1 — Зх2)
V V Х2 J
Х
+ -
Х°а3а1 Х°а3Т1
Мс (Хг) +—Х(1- Х]2) Х] — Хі)
(13)
и2 /1( Х4) т (Х4 Х4 ).
а4Т2
Рис. 4. Переходные прог{ессы координат состояний и управляющих воздействий ЭППТ при значении управляющего параметра £ = 0,7
Переходные процессы в замкнутой системе (2), (13) при Т1= 0,5, Т2 = 2, х0 = 1, Мс (Х2) = 0, 5х2 , Т = 4 приведены на рис. 5, а фазовый портрет замкнутой системы в пространстве Х1Х2Х3 - на рис.6. Вариация параметра Т] приводит к изменению формы колебаний. При больших значениях Т колебания становятся .
Рис. 5. Переходные прог{ессы координат состояний и управляющих воздействий ЭППТ
2. Генераторы с электроприводом переменного тока. Математическая модель АЭП с короткозамкнутым ротором во вращающейся системе координат, ориентированной по направлению вектора потокосцепления ротора, имеет вид:
Х1(ї) = х2;
... 3 р2“,2 р
Х2 = ~2Л^ ХзХ5~ 7Щ (Х2); (14)
^)=Х4 хз;
“2 “2
. г “і о ^ Г Г Хс г “
у і /■ і — _^__12_________________________________________________________1 2_ у І у V і І у і »і •
Л4У1' ~ г ( г г т2 \ 4^ Л2Л5 ^ т ^ т ( т т т2 \ 3 ^ 7 7 72
“2 (“і“ _ “і2) “2 Х3 “2 (“2 _ “і2) “і“і “22
Х (Г) = - Г2 “2 + Гі“2 Х . Х Х . Г2“12 Х4Х5 . “12 Х Х . “2 и
5^ Т (т Т - Т2 \ 5 Л2Л4 ^ т Х т т т2 Л3Л2 ^ “ -Т2 2-
“2\ “і“ “і2) “2 Х3 “і“2 “12 “і“2 “12
Здесь Хі и Х2 - угол поворота и угловая скорость вала двигателя; Х3 - потокос-
цепление ротора; Х4 и Х5 - проекции тока статора на оси вращающейся системы
координат; Щ и и ^- проекции напряжения статора; тх (Х2)- момент сопротивления нагрузки на валу двигателя, ЬрЬ2,Ь]2 - собственные и взаимная индуктивности обмоток, а Я1, Я2 - их активные сопротивления; р - число пар полюсов статора, ] - приведенный момент инерции АЭП.
Рис. 6. Фазовый портрет замкнутой системы «ЭППТ - регулятор» в пространстве координат Х^, Х2, Х3
Согласно стандартной процедуре метода АКАР [1, 2], зададим первую совокупность инвариантных многообразий:
/ = Д (Х4 - VI (Х, Х2, Хз)) + Д (Х5 - У2 (Х, Х2, Х3)) = 0; (15)
/2 = Д(Х4 - V1(Х1,Х2,Х3)) + Д(Х5 - V2(Х1,Х2,Х3)) = 0.
, (4), -
(14), , -
(15).
Движение вдоль этого пересечения описывается уравнениями декомпозиро-:
Х1(г) = х2;
... 3 р21Лг . . р . . (1б)
х2(0=^~д^2 x3v2( Ху, х2, х3) - ~т ( х2); Х3(0 = ГгЬ'2 v1(x1, х2, х3) - —х3.
Чтобы провести дальнейшую декомпозицию системы, введем еще одно инвариантное многообразие /3 = Х3 - х3 = 0, которое фактически представляет собой электромагнитный инвариант, связанный со стабилизацией потокосцепле-ния ротора [3, 4]. Решение функционального уравнения Т3/3 ) + /3 = 0 по-
зволяет определить «вну^еннее» управление ф1 ( Х1, Х2, Х3 ) .
На втором этапе динамической декомпозиции получаем систему второго порядка, описывающую динамику механических переменных АЭП:
Х^О = х2; Х2(0 = — Р Ц2 х3%2-—т1 (х2), (17)
2 JL2 J
которую соответствующим выбором функции У2 (, Х2, Xз И можно преобразовать к одной из известных автоколебательных систем. Так, например, функция 1; ( х х х ) = 2(^2(е-Х1) - /х! + рт (х2))^2
УЛ Х1Х2’ Лз) — 2 т О
3 ~р X—
трансформирует систему (17) в уравнение Ван-дер-Поля (7).
Определив функции VI ( (, Х2, X— ) и V2 ( Х1, Х2, X— И , можно найти теперь
закон управления АЭП Щ ((,..., Х5 И и Ы2 ((, *. *, Х5 И , гарантирующий формирование в пространстве состояний замкнутой системы аттрактора типа «предельный цикл» и, следовательно, обеспечивающие работу АЭП в режиме генерации механических колебаний.
На рис. 7 и 8 представлены результаты моделирования замкнутой системы, иллюстрирующие достижение требуемого эффекта осцилляции. Моделирование проводилось при следующих параметрах АЭП: гг = 0,03 Ом, Г2 = 0,0172Ом,
Ц_2 = 0,0154Гн, Ц = ¿2 = 0,0158Гн, ] = 0,968кг*м/с2, момент сопротивления нагрузки т1 (х2 И = 10 х2.
Рис. 7. Фазовый портрет замкнутой системы в пространстве
Рис. 8. Переходные процессы
Синтезируем теперь электромеханический осциллятор на базе АЭП, который обладает автоколебаниями, описываемыми моделью Ван-дер-Поля-Релея [5]:
X(5ах2 -0,5Дх2)х() + ю2х = 0,
/ + — [¿/(і - 0,5ох12 - 0,5/Зх\ )х2 — о2х1 ].
а21
(18)
(19)
Для этого в соответствии с уравнениями (18) и (19), определим внутренние :
гТ - Ь
'г 3
ГгЬтТ3
'хз +
ГгЬтТ3
хз;
рт1
3
+ ¡и{х-0,5ах^ -0,5^Рх\)х2 - о2х1.
(20)
(21)
Тогда, подставив У1 (20) и У2 (21) в выражения для макропеременных
= х4 -Уг
3 р2 Ь
г т
2 3Ь
х3 х5 - У2 ,
находим следующие законы векторного управления:
ЬЬ -Ь2
__ 5 г____т
ґ
/ + ГгТ3 ~ К
4 ГЬТ3
г т 3
/3 -*
(22)
2 3Ьь -Ь2 )
у 5 г т!
1 У
2 о 2 т
3 Р Ьтх3
2 Р3ЬтЬ/3 + х3/5) ■+ ¿/г ( - 0,5«х2 - 0,5Д*22) (23)
- ¿х2 (ах х2 + /,) о2 х2 - ^2-
2
(22) (23) :
/2 =
3 р 2Ь
.г т
2 3Ь
х3 х5
Рт/ •
------ 5
3
/4=-
Ьь2 + гЬ:2 )х4 + г Ь
\ г т 5 г ! 4 г;
Ь (ЬЬ - Ьт )
г у 5 г т !
г Ь
, х,
т 3
■ + х2 х5 +
2
г Ь х,
г т 5
Ьх,
Г _ г т у._______________________________.
7 3 ь л4 ь 3 ’
/5=-
тх2 х3
Ь (ьь -Ь2 )
г \ 5 г т /
■ + х2 х4 +
г гЬт х4х5
Ь х.
На рис. 9-16 представлены результаты моделирования замкнутой системы (14), и1 (22), и2 (23) с прежними параметрами АЭП и /л = 1; о = 5; С = ^ = 1. Эти результаты также подтверждают теоретические положения метода АКАР при синтезе электромеханических осцилляторов.
Рис. 9. Изменение х1
Рис. 10. Изменение
Рис. 11. Изменение х,
Рис. 12. Изменение хл
Рис. 13. Изменение х?
Рис. 14. Фазовый портрет
Рис. 15. Изменение и1
Рис. 16. Изменение Ып
В рассмотренных выше примерах эффект осцилляции проявлялся на пересечении инвариантных многообразий. Движение же изображающей точки замкнутой системы к этому пересечению соответствует решению системы основных функциональных уравнений метода АКАР и имеет асимптотически устойчивый характер.
3. Каскадные осцилляторы. В [1, 2] показано, что процедура синергетического синтеза допускает использование разнообразных функциональных (эволю-) ,
. -
ской осцилляции колебательный режим работы ЭМС может быть обеспечен за счет использования в качестве функциональных уравнений типовых уравнений автоколебательных систем (Ван-дер-Поля, Рэлея и т.д.). Так, на рис. 17 представлен фазовый портрет (проекция на пространство Х2Х3Х4) замкнутой системы с
,
«внешнего» предельного цикла. Иначе говоря, в качестве системы функциональных уравнений была выбрана система Ван-дер-Поля:
/ (г) = /; / (г) = (-/2)/2 -/ (24)
а в качестве инвариантных многообразий - поверхности стационарных значений
тока якоря и магнитного потока:
/ = х3 - х° = 0; у/2 = х4 - х° = 0. (25)
Рис. 17. Фазовый портрет замкнутой системы («внешний» предельный цикл)
,
точки замкнутой системы относительно пересечения инвариантных многообразий
и колебательное движение на этом пересечении. Для этого в процедуре синергети-
(24)
( « » ),
, -
(6) (17) (« » ).
Ниже приведены законы управления ЭППТ, позволяющие построить подобный каскадный осциллятор на базе уравнений Ван-дер-Поля. При этом в процеду-
(24) -
Щ = «31 х3 + х2 х4 + -
9т/ 1 / 2\ ч
а +—( - х1) Ьх4 - т/ х
V 0*2 «21 )
х0а
4 21
Щ2 = Л (х4 ) + ■
(2 х1 х2 +1) + х4 - х_°
1
'/ +-( - х2 )х2 - х1 ) ( - х40 )
(26)
т +—(- х2 )х2- х)
. 18 19
(2) (26).
Рис. 18. Фазовый портрет замкнутой системы (каскадный осциллятор)
Сочетание различных автоколебательных систем на внешнем и внутреннем этапах синтеза и варьирование их коэффициентов (например, £х и £2) дает возможность строить на базе электроприводов переменного и постоянного тока нелинейные осцилляторы принципиально нового класса, генерирующие механические колебания различной формы, частоты и амплитуды. Разумеется, предельные значения параметров колебаний будут определяться инерционностью объектов и ограничениями на координаты и управление.
. -нергетического синтеза для конструирования нелинейных электромеханических .
образом структурировать пространство состояний управляемых динамических
« », -тельного характера изменения переменных во времени. Полученные законы управления ЭМС постоянного и переменного тока могут служить основой для построения нового класса генераторов механических колебаний для различных тех.
БИБЛИОГРАФИЕСКИЙ СПИСОК
1. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. - М.: Энергоатомиздат, 1994. - 344 с.
2. Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управления / Под ред. А.А. Колесникова. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. Ч. II. - 559 с.
3. Коле сников А.А., Веселов Г.Е., Попов А. М., Колесников АлА., Кузьменко А А. Синергетическое управление нелинейными электромеханическими системами. - М.: Фирма "Ис-по-Сервис”, 2000. - 248 с.
4. Коле сников АА., Веселов Г.Е.,Попов AM., Колесников Лл.Л.Синергетическая теория управления нелинейными взаимосвязанными электромеханическими системами. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. - 182 с.
5. Колесников АлА. Управление нелинейными колебаниями: энергетические инварианты // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2009. - № 2. - C. 24-37.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор В.Л. Заковоротный.
Попов Андрей Николаевич
Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347900, . , . , 2.
Тел.: 88634318090.
Кафедра синергетики и процессов управления; заведующий кафедрой; к.т.н.; доцент.
Колесников Александр Анатольевич E-mail: [email protected].
Кафедра синергетики и процессов управления; заведующий кафедрой; к.т.н.; доцент. Popov Andrei Nickolaevitch
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
2, Chexova Street, Taganrog, 347900, Russia.
Phone: +78634318090.
The Department of Synergetics and Control; Head the Department; Cand. of Eng. Sc.; Associate Professor.
Kolesnikov Alexandr Anatol’evich
E-mail: [email protected].
The Department of Synergetics and Control; Head the Department; Cand. of Eng. Sc.; Associate Professor.
