CC BY
48
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Pecora L.M., Caroll T.L., Jonnson G.A., Mar D.J., Heagy J.F. Fundamentals of synchronization in chaotic systems. Concepts and applications // Caos. - 1997. - Vol. 7, № 4. - P. 520-543.
2. Peng J.H., Ding E.J., Ding M., Yang W. Synchronizing hiperchaos with a scalar transmitted signal // Phys. Rev. Lett. - 1996. - Vol. 76, № 6. - P. 904-907.
3. Taanaka K., Jkeda T., Wang H.O. Unified Approach to Controlling Chaos via an LMI-Based Fuzzy Control Systems Desing // IEEE Trans. Circuits Syst. J. - 1998. - Vol. 45, № 10.
- P. 1021-1040.
4. Андриевский B.P., Фрадков АЛ. Управление хаосом: методы и приложения. I. Методы // Автоматика и телемеханика. - 2003. - № 5.
5. Колесников АЛ. Синергетическая теория управления. - М.: Энергоатомиздат, 1994.
6. . . - : , 2002.
7. . ., . . . - .:
УРСС, 2004.
8. . . .
- СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004.
9. Зубов И.В. Методы анализа динамики управляемых систем. - М.: Физматлит, 2003.
10. Неймарк ЮМ., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. - М.: Наука, 1987.
11. . ., . ., . ., . . структуры и диффузионный хаос. - М.: Наука, 1992.
12. . . -мам. - М.: Мир,1991.
13. ., . . - .: , 1990.
14. ., ., . . - .: ,1991.
15. . ., . . .
- М.: Наука, 1989.
16. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова. - М.: Мир, 1981.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор ИМ. Першин.
Колесников Анатолий Аркадьевич - Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге; e-mail: [email protected]; 347928, г. Таганрог, ул. Чехова, 2; тел.: 88634360707; кафедра синергетики и процессов управления; заведующий кафедрой; д.т.н.; профессор.
Kolesnikov Anatoliy Arkad’evich - Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: [email protected]; 2, Chekhov street, Taganrog, 347928, Russia; phone: +78634360707; the department of synergetics and control; head the department; dr. of eng. sc.; professor.
УДК 681.51
А.Н. Попов
СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ ЗАДАЧ ГЕНЕРАЦИИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Колебательные процессы необычайно широко распространены как в неорганическом мире, так и в живых организмах, а следовательно, могут рассматриваться как архетип зависящего от времени режима поведения динамических систем различной природы. В промышленную эпоху осцилляторы находят многочисленное приложение в механике, электротехнике, акустике и становятся одним из основных компонентов многих создан-
ных человеком машин и устройств. В статье предложена методика синергетического синтеза законов управления техническими системами, которые приводят к возникновению режимов регулярных и хаотических колебаний управляемых переменных.
Регулярные и хаотические колебания; управление техническими системами; синтез ; ; ;
.
A.N. Popov
SYNERGETIC CONTROL SYNTHESIS FOR GENERATION OF OSCILLATIONS IN ENGINEERING SYSTEM
Oscillations have a wide distribution in abiocoen and in living organisms and may be considered as archetype of time mode for various dynamic systems. Regular oscillators are widely used in mechanics, electrical engineering, acoustics etc. and become a one of most important parts of artificial machines and devices. In a paper a synergetic method of control algorithms synthesis for engineering systems is proposed. These algorithms are nonlinear feedbacks, guaranteed a regular or chaotic modes appearing.
Regular and chaotic oscillation; engineering systems control; feedback synthesis; synergetic control theory; circle and strange attractors
Введение. Подавляющее большинство автоматических регуляторов, используемых в современных технических системах, решают задачу удержания управляемых переменных в заданном значении, т.е. задачу стабилизации. Эта задача решается путем конструирования соответствующих компенсирующих обратных связей. С другой стороны, существует целый ряд технологических процессов, требующих организации периодического изменения переменных во времени (радиотехнические и акустические системы, абсорбирующие агрегаты, виброустановки и т.д.). Кроме того, замечено, что интенсивность и продуктивность некоторых процессов значительно возрастает при возникновении режимов нерегулярных (хаоти-) . задач кодирования и защиты информации.
Обычно генерация колебательных режимов в технических системах обеспечивается путем разработки соответствующей конструкции технологического агрегата, использования дополнительных преобразовательных устройств, что в конечном итоге приводит к увеличению материальных затрат. В связи с этим особый интерес вызывает возможность организации режимов регулярных и хаотических колебаний в технической системе «кибернетическим» способом, т.е. путем соот-
.
, , принципах и методах синергетической теории управления [1-2].
.
идее формирования в пространстве состояния динамической системы искусствен, -темы. Это формирование обеспечивается путем конструирования соответствующих обратных связей. Аналитическое конструирование обратных связей эквивалентно решению задачи синтеза алгоритмов управления.
, -ветствует аттрактор определенного типа. В случае стабилизации управляемых переменных такой аттрактор имеет топологию точки. Геометрическим образом режимов периодических и хаотических колебаний являются аттрактор типа «предельный цикл» и «странный» аттрактор соответственно. Отсюда следует очевидная идея: чтобы в технической системе возникали регулярные или хаотические колебания в ее пространстве состояний в результате действия управления должен возникать аттрактор определенного типа. Приведенные соображения определяют ход процедуры синергетического синтеза и выбор формируемых инвариантных
.
многообразий. В работе [3] эта идея продемонстрирована при решении задачи синтеза электромеханических осцилляторов - электромеханических систем, работающих в режиме генерации периодических колебаний механического положения . -, , уравнениями механического движения, соответствовали уравнениям известных автоколебательных систем (Ван дер Поля, Рэллея), т.е. систем 2-го порядка с аттрактором «предельный цикл». Тогда замкнутая система «объект-регулятор» приобретает свойства автоколебательной системы, не требующей включения в ее структуру дополнительных генераторов колебаний. Сама система за счет соответствующих обратных связей демонстрирует желаемый режим поведения. Следует, , , , -ность синтеза алгоритмов управления как функции координат самой системы напрямую зависит от структуры ее математической модели.
Указанные трудности могут быть успешно преодолены при включении в структуру системы дополнительного генератора колебаний и использовании основного принципа синергетической теории управления - принципа расширения-сжатия пространства состояний управляемых систем.
В этом случае при синтезе алгоритмов управления используется математическая модель расширенной системы, состоящая из уравнений самой технической системы и уравнений эталонного осциллятора:
x = f(x,u);
y = g(yX
где x - вектор состояния системы, u - вектор управляющих воздействий, y - вектор переменных модели эталонного осциллятора.
В качестве модели эталонного осциллятора используются модели известных автоколебательных систем (Пуанкаре, Ван дер Поля, Релея и др.) или систем с детерминированным хаосом (Лоренца, Ресслера, Чуа и др.). Одна из переменных
модели эталонного осциллятора рассматривается как эталонная переменная - y(s),
которая изменяется во времени желаемым образом. В то же время одна из пере-
•_« (c)
менных технической системы - x ’ является управляемо и с точки зрения решаемой технологической задачи - генерации регулярных и хаотических колебаний.
Тогда задача синтеза может быть сформулирована следующим образом: требуется найти закон управления u(x,y) как функцию координат состояния расши-
(1),
(c) (s)
эталоннои переменных: x ; ^ y .
Для решения этой задачи используется метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов [1, 2]. В начале процедуры синтеза вводится совокупность инвариантных многообразий
/(x,y) = 0, i = 1,...,m, m = dimu.
Эти многообразия формируются исходя из целей управления (инвариантов ) -
.
:
+/; = a i = m .
В случае многомерных и многосвязных динамических систем, когда сложно сразу сформировать многообразия нужным образом, используется идея поэтапной динамической декомпозиции. Многообразия содержат неизвестные функции, которые доопределяются в ходе анализа модели декомпозированной системы, описывающей динамику на их пересечении.
В качестве примеров, демонстрирующих применение изложенного выше подхода, рассмотрим решение задач синтеза алгоритмов управления, обеспечивающих генерацию режимов периодических или хаотических колебаний углового положения ротора двигателя постоянного тока (ДПТ).
.
имеет следующий вид:
xi = x2;
Х2 = (3 Х4 - Mc );
x3 = (1 - a2 x3
X4 = (2 - a4x4
где x1 и x2 - угловое положение и угловая скорость ротора двигателя, х3 - ток в обмотке якоря, х4 - магнитный поток одного полюса, и1 и и2 - напряжения на обмотках якоря и возбуждения, Mc - момент сопротивления нагрузки со стороны приводимой машины, c, a¡ - постоянные коэффициенты, связанные с параметрами электромагнитных цепей обмоток и инерционными свойствами ротора.
Управление ДПТ осуществляется путем изменения напряжения на обмотках якоря и возбуждения. По каналу возбуждения обычно производится стабилизация
x 4 , -
мый характер изменения механических переменных х1 и x2. Любой двигатель является генератором механического движения, которое передается приводимой машине. Поэтому с точки зрения технологической задачи управляемыми переменными являются именно угловая скорость и угловое положение ротора.
Режим регулярных колебаний. В процедуре синтеза используется следующая модель расширенной системы:
X1 = x2;
X2 = (3 x4 - Mc ); x3 = (1 - a2x3 - cx2x4 );
• ( ) (3)
x4 = (2 - a4x4 );
y1=(Am- У12 - У2) У1 -mo У2;
222 У2 = (Am - У1 - У2 ) У2 + ®0 У2.
В качестве модели эталонного осциллятора используется известная система Пуанкаре. Характерными свойствами этой системы являются: существование в ее пространстве состояний предельного цикла в виде идеальной окружности, синусоидальная форма функций y1(t) и y2(í), а также возможность независимого изменения частоты ю0 и амплитуды колебаний Am.
: , -зацию магнитного потока (x4 = x4) и регулярные колебания углового положения ротора (x1 ^ y1). На первом этапе процедуры синтеза вводится совокупность ин-
:
w1 = x3-^1( x1, x2, У1, У2) = 0;
* (4)
у/2 = x4 - x4 = 0.
На пересечении этих многообразий реализуются динамические связи
*
x3 =%_(xbx2,У1,У2) и x4 = x4, а динамика декомпозированной системы описывается следующими уравнениями:
- cx2 x4 a;
)a5,
X =
х2 = (ещх* - Мс )а1;
2 2 2
у1 = (Ап - у1 - у2 )у1 -ю0у2;
2 2 2
у2 = (Ап - у1 - у2)у2 +®0у2.
(5)
Функцию р можно рассматривать как «внутреннее» управление для декомпозированной системы (5) и поставить задачу синергетического синтеза вновь. То есть ввести инвариантное многообразие («внутреннее»):
щ = *2 + /(Х1 - Л) = 0.
На инвариантном многообразии щ = 0 первое уравнение системы (5) преобразуется в уравнение ху =-/(ху - уу), которое при положительном значении параметра / обладает свойством асимптотической устойчивости относительно значения уу. Но так как уу является не постоянным числом, а эталонным временным
сигналом, будет наблюдаться асимптотическое схождение управляемой и эталон.
Функция ру ищется из решения функционального уравнения Т3щ3 + щ = 0 в силу модели (5):
Т3 (Х2 + /(ху - уу)) + х2 + /(х - уу) = 0 =>
=> Т3 ((Х* - Мс ) + /(Х2 - (А1 - Уу2 - у22) Уу -®0 У2) )+ х2 + /(х1 - У1)= 0=>
г , \л
1
сх„
М -
1
V
1
Р( х2- (Апп- - у2 ) у- ®о У2)+—{х2+^( х1- У1))
Найдя эту функцию, можно определить окончательную структуру многообразия щ = 0 и завершить процедуру, определив иу = ^^у) и и2 = и2(х4) из решения системы уравнений
Тщ + Щ = 0, Т2Щ2 + Щ = 0 (3).
На рис. 1-4 представлены результаты компьютерного моделирования замк-.
дальнейшее изменение частоты и амплитуды.
Рис. 1. Угловое положение ротора
Рис. 2. Угловая скорость ротора
Рис. 3. Ток и напряжение якоря
Рис. 4. Эталонная переменная
Режим хаотических колебаний. В качестве модели эталонного осциллятора используется известная система Лоренца:
у1 = а( у2 - у1); у2 = - у у3+руу- у2;
у3 = у у2 -ьу3.
Процедура синергетического синтеза аналогична процедуре, описанной в . р1 -
:
1
= —* схЛ
Мс -
1
1
Р(Х2 - СГ(У2 - У1)) + — (х2 + Р(Х1 - У1))
. 5-8
характерных значениях параметров модели Лоренца а = 10, Ь = 8/3, р = 27.
Рис. 5. Угловое положение ротора
Рис. 6. Угловая скорость ротора
, -
менение эталонной переменной абсолютно точно, хотя и имеет схожую тенденцию. Это вполне естественно и объясняется тем, что технический объект имеет
, -
мый диапазон изменения переменных.
а
3
150
0 10 20 30 40 50 60 70 80 "о ю 20 30 40 50 60 70 80
с t, С
Рис. 7. Ток и напряжение якоря Рис. 8. Эталонная переменная
Заключение. Результаты моделирования подтверждают обоснованность изложенного в статье подхода и справедливость теоретических выкладок. Таким образом, разработанная методика синтеза может получить широкое применение при построении алгоритмов управления различными техническими системами для генерации режимов регулярных и хаотических колебаний управляемых переменных.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Колесников АЛ. Синергетические методы управления сложными системами: теория системного синтеза. - М.: КомКнига, 2006. - 240 с.
2. Современная прикладная теория управления: Ч.П. Синергетический подход в теории управления / Под ред. А.А. Колесникова. - М.-Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.
3. Попов AM., Колесников АлЛ. Синергетический синтез генераторов нелинейных электромеханических колебаний // Нелинейный мир. - 2004. - Т. 2, № 4. - С. 278-284.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор ИМ. Першин.
Попов Андрей Николаевич - Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге; e-mail: [email protected]; 347928, г. Таганрог, ул. Чехова, 2; тел.: 88634360707; кафедра синергетики и процессов управления; к.т.н.; доцент.
Popov Andrey Nickolaevitch - Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: [email protected]; 2, Chekhov street, Taganrog, 347928, Russia; phone: +78634360707; the department of synergetics and control; cand. of eng. sc.; associate professor.
УДК 004.056.55
С.И. Колесникова
ПРИМЕНЕНИЕ УПРАВЛЯЕМОЙ МОДЕЛИ ФЕЙГЕНБАУМА В КОДИРОВАНИИ ИНФОРМАЦИИ
Рассматривается проблема нежелательного влияния метода хранения данных на основе математики с плавающей запятой на характер хаотичности нелинейных систем. Представление числи с плавающей запятой для хранения действительных чисел в битовой строке с некоторой конечной точностью приводит к усилению влияния ошибки округления
