CC BY
91
А.Н. Попов СИНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ ПОСТОЯННОГО ТОКА: СТАБИЛИЗАЦИЯ, ПОЗИЦИОНИРОВАНИЕ, СЛЕЖЕНИЕ, ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЕ
Введение
Электрические приводы постоянного тока (ЭППТ) являются ключевыми элементами большого числа современных производственных и транспортных систем. Несмотря на известные недостатки коллекторных машин и наметившуюся тенденцию к использованию более дешевых и надежных асинхронных двигателей с короткозамкнутым ротором, нетрудно предположить, что в ближайшем будущем ЭППТ будут модернизироваться и эксплуатироваться в широких масштабах и, следовательно, сохранят свою значимость. В связи с этим проблема проектирования наиболее эффективных систем управления ЭППТ остается достаточно актуальной.
Среди систем автоматического управления ЭППТ наибольшее распространение получили системы подчиненного и модального регулирования [1-4]. При этом в процедуре синтеза автоматических регуляторов используются линеаризованные математические модели ЭППТ, а управление осуществляется по одному каналу или по двум каналам попеременно (так называемая системы двухзонного регулирования). В наибольшей степени процедуры синтеза линейных регуляторов формализованы для электропривода с двигателем постоянного тока (ДПТ) независимого возбуждения при управлении по каналу цепи якоря. Это неудивительно, так как в этом случае (при постоянном потоке возбуждения) математическая модель ЭППТ линеаризуется «естественным» образом, и появляется возможность достаточно успешно применять стандартные методики каскадной настройки контуров регулирования. Однако и здесь зачастую возникают определенные трудности, связанные с компенсацией естественной обратной связи по ЭДС двигателя, которая при синтезе контуров регулирования фактически игнорируется. При синтезе регуляторов для второй зоны, когда управление двигателем производится путем изменения магнитного потока при постоянстве напряжения якоря, используют модели ЭППТ, линеаризованные в малой окрестности определенного стационарного режима, что, очевидно, ограничивает диапазон эффективного регулирования.
В данной статье будет продемонстрировано применение принципов и методов синергетической теории управления [5, 6] для синтеза систем управления ЭППТ. Использование наиболее адекватных нелинейных математических моделей в процедурах синтеза регуляторов и векторного (многоканального) принципа управления не только позволяет естественным образом преодолеть указанные выше трудности, но и предоставляет новые возможности для повышения энергетической эффективности процессов в электроприводе и организации разнообразных вариантов механического движения.
1. Математическая модель электропривода
Силовой канал электропривода в общем случае включает в себя электрический, электромеханический и механический преобразователи энергии [1—4]. Совре-
менный ЭППТ, как правило, строится по принципу «управляемый выпрямитель напряжения - двигатель», когда электрическая энергия подается на обмотки двигателя через управляемые тиристорные преобразователи, позволяющие в широком диапазоне изменять напряжения на обмотке якоря и обмотке возбуждения двигателя. Учитывая высокую скорость протекания электрических процессов в тиристорных преобразователях по сравнению с остальными частями электропривода (ЭИ), в дальнейшем будем считать эти преобразователи безынерционными элементами. Необходимость учета динамических свойств электрических преобразователей приведет к увеличению размерности математической модели ЭППТ, что, однако, не имеет принципиального значения для используемых ниже методов синергетического синтеза векторных регуляторов.
Механическая часть ЭП представляет собой совокупность различных передаточных и трансмиссионных механизмов, которые предназначены для количественного и качественного преобразования вращательного движения вала двигателя в соответствии с задачами, решаемыми ЭП в конкретном технологическом процессе. В общем случае механическую часть ЭП можно представить как набор вращающихся масс, соединенных упругими связями. В тех распространенных на практике случаях, когда упругостью механических связей можно пренебречь, влияние механической части ЭП и обслуживаемой технологической машины допустимо представить в виде суммарного момента сопротивления нагрузки М%, приведенного к валу двигателя. В дальнейшем будем считать, что складывается из момента, являющегося известной функцией угловой скорости вала двигателя Mc(lu) (например, момент трения, «вентиляторный» момент и т.д.) и неизвестного возмущающего момента Mf(t).
На основании принятых выше допущений можно записать систему дифференциальных уравнений, описывающую динамику электромеханических процессов в ЭППТ:
9{t) = ш;
Juj(t) = сФ*я - Мс{ш) - Mf(t); ия = *яГя + LJx(t) + cuj Ф; ив = fi(&)re + 2ртвФ(г),
где в и lu — соответственно угол поворота и угловая скорость привода; гя — ток в обмотке якоря; Ф — магнитный поток одного полюса; ия и ив — напряжения на обмотках якоря и возбуждения; /i(Ф) — функция, характеризующая процесс насыщения магнитной системы двигателя и обратная известной функции намагничивания; гя и г в — активные сопротивления цепей якоря и возбуждения; Ья — индуктивность цепи якоря; J — приведенный момент инерции электропривода; we — число витков на полюс обмотки возбуждения; с и р — конструктивная постоянная и число пар полюсов двигателя соответственно.
Система (1) записана относительно четырех независимых переменных: в, ш, *я и Ф, динамика которых, в свою очередь, зависит от внешних воздействий: управляющих — ия, ив и возмущающего — Значение Mf(t) в любой момент времени
априори неизвестно, и его игнорирование может привести к ухудшению качества регулирования в динамических и стационарных режимах функционирования электропривода. Таким образом, эффективное управление электроприводом должно отвечать требованиям инвариантности, т.е. система должна обладать способностью
прогнозировать возможные возмущения и компенсировать их нежелательное действие. В синергетической теории управления [5, 6] для решения задач инвариантности и адаптации применяются подходы, основанные на построении динамических наблюдателей переменных, параметров, возмущений или использовании принципов астатического регулирования, когда в структуру закона управления вводятся дополнительные динамические составляющие. При этом в процедуре синтеза используется модель расширенной системы — «.модель синергетического синтеза», которая описывает не только динамику управляемого объекта, но и предполагаемый класс возмущений, параметров, задающих воздействий и т.д.
В рассматриваемом случае в модель ЭППТ (1) вместо возмущающего воздействия Mf(t) вводится переменная zi(t), и на основании априорных знаний о возможном характере изменения неизмеряемого возмущения во времени и конкретных целей управления записываются дополнительные дифференциальные уравнения
¿i(t) =hi(9, ш, гя, Ф, zi,... zr);
.......... (2)
¿r(t) hr(9, uj, iл, Ф, z\:... zr).
Здесь z\,... ,zr — координаты информационной модели возмущающих воздействий. Аналогичным образом поступают при необходимости учитывать флюктуацию параметров, изменение во времени задающих воздействий, отсутствие средств измерения некоторых переменных и другие особенности, возникающие в реальных условиях эксплуатации электропривода [3].
2. Особенности процедуры синергетического синтеза законов векторного управления ЭППТ
В общем случае задача синтеза законов векторного управления сводится к поиску аналитической зависимости управляющих воздействий от координат состояния объекта, т.е. совокупности соответствующих обратных связей, которые обеспечивают перевод объекта из произвольного начального состояния (в некоторой допустимой области) в желаемое конечное состояние.
Постановка же задачи синергетического синтеза принципиально отличается от представленной выше тем, что все траектории движения в пространстве состояний замкнутой системы «объект -регулятор» должны асимптотически устремляться к соответствующему аттрактору, находящемуся на пересечении инвариантных многообразий (ИМ) Ф = 0, а желаемому состоянию соответствует определенный набор инвариантов [5, 6].
В соответствии с числом независимых каналов управления для ЭППТ может быть назначено два инварианта, при этом один из них, как правило, технологический (например, стабилизация угловой скорости, позиционирование в заданное положение и т.д.). Этот инвариант отражает определенную задачу по организации желаемого механического движения, решаемую приводом в составе конкретной технологической установки. Второй инвариант — энергетический или электромагнитный
— формируется, исходя из дополнительных требований, связанных со спецификой процессов электромеханического преобразования энергии в данной электрической машине. В нашем случае задание дополнительного инварианта соответствует необходимости гибкого и целенаправленного управления магнитным потоком двигателя.
(3)
Анализируя математическую модель ЭППТ (1), можно заметить, что управляющие воздействия ия и ив входят в дифференциальные уравнения, отражающие динамику изменения тока якоря и магнитного потока. Поэтому целесообразно выбрать параллельную совокупность ИМ следующего общего вида:
ГФ1 = - ¥>1(0, и, *1) = 0;
1р2 = ф - ¥>2(0, 21) = 0.
Таким образом, функции 951(0, 21) и 952(0, 21) будут соответственно опре-
делять характер изменения тока якоря и магнитного потока на пересечении ИМ ■ф\ = 0 и Ф2 = 0.
Решив систему функциональных уравнений метода АКАР
ТгШ +^1=0;
Т2Ф2 (^) +^2=0
в силу модели синтеза (1), (2) можно найти обобщенный векторный закон управления ЭППТ:
аз*я + а^Ф + —-----(у>1 - гя)+
(4)
Tia4
(а1*яФ-Мс-21)а2+-—Ьл ив оси uz\
1
1
а4
а5/l(^) + 777—(^2 - Ф) + 1
(5)
Гг««
CLQ
д, д^”2 < • л лж ^ , д^”2 и
~be~^ ~duj^ai% ~Zl^a ~dz^
где ai = с; а2 = 1/J; аз = а4 = 1/^я; а5 = Де; аб = 1/(2ргув). Этот закон при Ti>0hT2 >0 обеспечивает асимптотически устойчивое движение изображающей точки замкнутой системы из произвольных начальных условий (в некоторой допустимой области) к пересечению ИМ = 0 и Ф2 = 0.
В соответствии с основным принципом синергетической теории управления — принципом сжатия пространства состояний управляемых систем — динамика замкнутой системы (1), (2), (5) на пересечении ИМ будет описываться декомпозированной моделью:
9{t) =ш;
uj(t) =(aiy>iy>2 - Мс(ш) - 2i)a2;
¿1 (t) =fi(0,uj,ip1,ip2,z1,...zr);
¿г&) =/г(0,ш,<р ь 922, 2Ь . .. 2Г).
Первые два уравнения системы (6) фактически характеризуют изменение механических переменных ЭППТ во времени. Следовательно, определив должным образом функции <£>1(0, ш, 21) и 952(0, 21), можно организовать необходимые режимы
механического движения электропривода. Как правило, функция 952(0, 21) задает-
ся в выражении (3) явным образом, тогда многообразие ^2 = 0 будет тождественно выбранному электромагнитному или энергетическому инварианту. Например, если (р2 (0, ш, 21) = Ф* и гф2 = Ф — Ф*, то электромагнитным инвариантом управляемой системы является стабилизация магнитного потока двигателя в значении Ф*. Функция
ср\{в,си,г\) формируется в ходе анализа декомпозированной системы (6) в соответствии с решаемой задачей управляемого механического движения электропривода и отражает тот или иной технологический инвариант.
Доопределив функции ср и 992(0,^,21), можно придать закону век-
торного управления ЭППТ (5) конкретный вид и, следовательно, решить поставленную задачу синтеза. Рассмотрим ряд характерных примеров, которые позволят продемонстрировать применение изложенной методики.
3. Примеры синтеза векторных законов управления ЭППТ
3.1. Стабилизация угловой скорости
Задача управления угловой скоростью, к которой относятся такие типовые режимы работы, как разгон, торможение, реверс, выход на новое установившееся значение скорости, является наиболее характерной задачей управления электроприводом. В этом случае первое уравнение системы (2) несущественно, а технологическим инвариантом синтезируемой системы является соотношение си = си* = const. Будем считать, что возмущающее воздействие имеет кусочно-постоянный характер изменения во времени: Mf(t) = const. Тогда в процедуре синергетического синтеза целесообразно использовать следующую модель расширенной системы:
cu(t) = (а.1*яФ - Мс(ш) - 2i)a2;
*я(^) (^я а^Фси ^з^л)(24,
Ф(г) = (ив - a5/i($))a6;
¿1 (t) = ¡3(си - си*),
где 2i = Mf(t) — оценка возмущающего воздействия.
Поставим задачу синтезировать закон векторного управления ия(си, гя, Ф, 21), ив(си, ix, Ф, 21), обеспечивающий стабилизацию угловой скорости си = си* и магнитного потока двигателя Ф = Ф*, а также обладающий свойством инвариантности к действию неизвестного кусочно-постоянного возмущающего момента. В соответствии с изложенной методикой и заданными инвариантами системы введем следующую совокупность ИМ:
Ф\ = *Я - 4>i{u,z{) = 0;
ф2 = ф - ф* = 0. U
Динамика замкнутой системы на пересечении этих многообразий описывается декомпозированной моделью
cu(t) = (aiy>i(w, 21 )Ф* - Мс(ш) - 2i)a2;
£1(t)=f3(cu-cu*). U
Остается доопределить вид функции (pi(cu, 21) в соответствии с технологическим инвариантом. Очевидно, что при
<Р!(си, 21) = —jj- (мс(и) + 21 - ~ UJ*)^j (10)
первое уравнение системы (9) преобразуется в уравнение
uu(t) = —Ъ\(ии — си*),
обладающее при Ъ\ > 0 свойством асимптотической устойчивости относительно заданного стационарного состояния и) = и>*. Эти рассуждения справедливы для модели синтеза (7), которая отличается от реальной модели (1) введением вместо возмущающего момента Mf(t) координаты z\. Согласно методу АКАР, поставленная задача стабилизации угловой скорости решается и для реальной модели, что можно показать, анализируя динамику замкнутой системы на пересечении ИМ. Действительно, при ф\ = 0 и ip2 = 0 величина тока якоря определяется из выражения (10), а магнитный поток стабилизирован в заданном значении, т.е. Ф = Ф* и
гя = —— ^Мс(и>) + z\-------(и; — w*)^ . Здесь z\ — внутренняя переменная регулято-
ра, вычисляемая как интеграл отклонения скорости от своего заданного значения: z\ = /3 §(ю — uj*)dt. С учетом сказанного, второе дифференциальное уравнение системы (1), описывающее динамику изменения скорости ЭИИТ на пересечении ИМ, принимает следующий вид:
uu(t) = —Ъ\(и; — и;*) + ci2/3 J (ш — uj*)dt — a,2Mf(t).
Продифференцировав это уравнение по времени, получим
u>(t) = —b\uj(t) + a,2f3u>(t) — a2[3uj* — a2Mf(t). (11)
Из равенства (11) следует, что замкнутая система будет инвариантна к различным видам возмущений. Так, например, Mf(t) =0 при Mf(t) = const. В этом случае при b 1 >0и|?<0и)->ш*, т.е. декомпозированная система обладает свойством асимптотической устойчивости относительно заданного стационарного состояния. Аналогично можно обеспечить условия инвариантности и для других классов внешних возмущений Mf(t).
Искомый базовый закон векторного управления ЭППТ находится из обобщенного закона (5) при функции Lp\(uj,zi), определяемой выражением (10), Lf2(uj,zi) = Ф*, h\{в, из, гя, Ф, z\,... zr) = /3(uj — uj*) и для системы стабилизации угловой скорости принимает вид
= “=*'+¿7 (¿F -!") ( (bl-“2^7) х
х (а1гяФ-Мс)-(3(си - cu*)j+—^ (±-+ь1-а2^) j(ш-ш*)<М+а1шФ; (12) ue = abf 1(ф)-_!_(ф-ф*).
J-20,6
Ha рис. 1 показан, полученный в результате компьютерного моделирования фазовый портрет замкнутой системы (1), (12), который демонстрирует асимптотически устойчивое движение траекторий системы к пересечению ИМ ф\ = 0 и Ф2 = 0.
На рис. 2-4 представлены графики изменения электромагнитных и механических переменных ЭППТ и управляющих воздействий во времени. Имитировался режим разгона привода до номинальной скорости и последующего резкого изменения момента сопротивления нагрузки. Здесь и далее использовались технические данные двигателя ПИ-290: Ргкол* = 46,5 кВт,', toHOM = 160 рад/с; Фном = 15 мВб; гя = 0,035 Ом; ге = 59 Ом; Ья = 0,0017 Гн; с = 88,49; р = 2; we = 1250; J = 1,2 кг ■ м2.
\|/|=0
Рис. 1. Фазовый портрет замкнутой системы (1), (12)
Рис. 2. Переходные процессы механических переменных ЭППТ
Рис. 3. Переходные процессы напряжения и тока якоря
Рис. 4■ Переходые процессы напряжения возбуждения и магнитного потока
Следует заметить, что присутствие в законе векторного управления ЭППТ (12) интегральной составляющей позволяет не только компенсировать статическую ошибку по скорости при действии кусочно-постоянного возмущения, но и придает замкнутой системе свойство параметрической робастности, т.е. малой чувствительности к возможному изменению параметров во время эксплуатации электропривода. На рис. 5 представлены результаты компьютерного моделирования замкнутой системы (1), (12), демонстрирующие указанный факт. При моделировании в определенные моменты времени (£ = 5,10,15, 20 с) имитировалось неконтролируемое изменение активного сопротивления цепи якоря в номинальном режиме работы ЭППТ: гя = гя + 5гя.
Проведем сравнительный анализ динамических и статических свойств синтезированной системы и традиционных систем стабилизации скорости ЭППТ. В совре-
Рис. 5. Переходные процессы ЭППТ при г я. = ґиаг
менной практике управления ЭППТ наибольшее распространение получили системы подчиненного регулирования, представляющие собой многоконтурные системы с каскадным включением регуляторов, реализующие принцип последовательной коррекции координат [1—4]. К основным достоинствам таких систем следует, прежде всего, отнести использование в них простейших типовых регуляторов и независимую настройку контуров регулирования.
Применительно к задаче стабилизации скорости ЭППТ система подчиненного регулирования представляет собой одноканальную двухконтурную систему, т.е. управление электроприводом осуществляется по схеме «тиристорный преобразователь —двигатель» путем изменения напряжения на обмотке якоря при стабилизированном магнитном потоке. В этом случае математическая модель ЭППТ становится линейной и допускает представление в виде структурной схемы, образованной стандартными динамическими звеньями (рис. 6).
Рис. 6. Структурная схема силового канала ЭППТ
Преобразователь и якорная цепь описываются инерционными звеньями с коэффициентами усиления кп, кя = 1/Дя и постоянными времени Тп, Тя = Ья/Ня, а механическая часть - интегрирующим звеном с постоянной времени Тм = ■]!сФном. Действие на привод внешнего момента Ме считается возмущением, а влиянием естественной обратной связи по ЭДС двигателя ед пренебрегают. Тогда силовой канал ЭППТ представляет собой совокупность трех последовательно включенных динамических звеньев. Именно для подобного класса объектов формализована процедура настройки контуров подчиненного регулирования, которая в данном случае заключается в следующем.
Посредством обратных связей образуются два контура: «внутренний» контур тока и «внешний» контур скорости (рис. 7).
Рис. 7. Структурная схема системы подчиненного регулирования
В состав контура тока входит преобразователь, цепь якоря двигателя и регулятор тока (РТ). Этот контур вложен в контур скорости, который также содержит механическую часть привода и регулятор скорости (РС).
Синтез систем подчиненного регулирования, собственно говоря, заключается в выборе регулятора для каждого контура и его настройки. Регуляторы выбираются и настраиваются таким образом, чтобы замкнутый контур обладал заданными свойствами, т.е. его динамика была подобна динамике некоторого эталонного звена. Задание требуемых динамических свойств замкнутого контура принято называть настройкой контура на оптимум. В настоящее время в основном используют два варианта настройки: настройка на технический оптимум (оптимум по модулю) и настройка на симметричный оптимум. Оставляя за рамками изложения особенности настройки контуров подчиненного регулирования, которая подробно рассмотрена во множестве книг и учебников, представим конечный результат и оценим свойства замкнутых систем.
При настройке на технический оптимум в контуре тока используется пропорцио-нально-интегральный (ПИ) регулятор с передаточной функцией
И/рт(й) = крт + —----,
1 рт$
где крт = * ; Трт = 2Тпкякп.
п^я^п
Регулятор скорости представляет собой пропорциональное звено \¥рс(з) =
Тм
крс с коэффициентом усиления крс = "ГТТГ- На рис. 8 и 9 представлены результаты
П
моделирования системы подчиненного регулирования ЭППТ с настройкой контуров на технический оптимум. Имитировался режим разгона привода до номинальной скорости на холостом ходу и дальнейшее изменение внешнего момента.
Рис. 8. Угловая скорость и суммарный момент (настройка на технический оптимум)
Рис. 9. Ток и напряжение якоря (настройка на технический оптимум)
Отклонение динамических свойств замкнутой системы от эталона (пунктирная линия на рис. 8) объясняется влиянием ЭДС двигателя, ограничением управляющего напряжения и ошибками, обусловленными аппроксимационным характером самой процедуры настройки контуров. Кроме того, наблюдается статическая ошибка по скорости, величина которой зависит от внешнего момента:
А МЯ
1----'Ж-
КрссФ
Для устранения статической ошибки в контуре скорости используют ПИ - ре-
1
а сам контур настраивают на симметричный оптимум.
гулятор \¥рс = крс + гг,
Трсв
Коэффициенты регулятора вычисляются следующим образом:
7 ТМ „ 32
крт = Щ; Трс = ~-
Системы, настроенные на симметричный оптимум, обладают астатизмом первого порядка, однако наблюдается ухудшение их динамических свойств (увеличение колебательности и максимального значения управляемой переменной). На рис. 10,
11 представлены результаты моделирования системы подчиненного регулирования с ПИ - регулятором в контуре скорости.
4000
3000
2000
1000
о
-1000
-2000-
І, СІ
Рис. 10. Угловая скорость и момент (настройка на симметричный оптимум)
Рис. 11. Ток и напряжение якоря (настройка на симметричный оптимум )
Сравнивая свойства систем подчиненного регулирования ЭППТ и замкнутой системы (1), (12), синтезированной с помощью методов синергетической теории управления, можно отметить следующее. Закон управления (12), содержащий только одну интегральную составляющую, обеспечивает инвариантность замкнутой системы к действию кусочно-постоянных внешних возмущений и апериодический характер переходных процессов, тем самым сочетая преимущества обоих типов настройки контуров в системах подчиненного регулирования.
Выбор электромагнитного инварианта в виде Ф = Ф* наиболее прост, и при задании номинального магнитного потока Ф* = Фном синтезированный закон управления фактически является своего рода векторным нелинейным аналогом традиционной системы управления ЭППТ при регулировании скорости «вниз» от номинального значения. При необходимости изменять скорость ЭППТ в более широком диапазоне используются так называемые системы двухзонного регулирования, построенные по следующему принципу. Регулирование скорости в первой зоне (при ш* ^ шпом) осуществляется путем изменения напряжения на якоре двигателя при номинальном магнитном потоке. Во второй зоне (при ш* > шном) напряжение на якоре стабилизируется в номинальном значении, а увеличение скорости достигается посредством ослабления магнитного потока двигателя. При этом, как правило, изменение магнитного потока производится обратно пропорционально скорости в соответствии с условием постоянства ЭДС двигателя: ед = сиоФ.
Рассмотрим применение изложенной методики для синтеза законов векторного управления ЭППТ, с помощью которых реализуется схема двухзонного регулирования скорости. В рамках используемого синергетического подхода проблема
построения универсального и гибкого закона управления ЭППТ решается путем формирования соответствующего электромагнитного инварианта. Действительно, выполнение стандартной стратегии двухзонного регулирования, описанной выше, может быть достигнуто в результате целенаправленного управления магнитным потоком двигателя согласно следующей логической схеме:
{Фном, при Н ^ ином]
^ЯНОМ ~ ^ЯНОмХл | | (13)
--------:---------, при \и\>ином.
СМ
Выражение, определяющее значение магнитного потока при регулировании во второй зоне, получено из уравнения электрического равновесия для цепи якоря и условия постоянства ЭДС двигателя. Использование модуля скорости в (13) связано с желанием изменять поток в области его положительных значений, т.е. при таком выборе возможный реверс привода производится путем изменения полярности напряжения якоря. Логическую схему (13) можно представить в виде одного уравнения с помощью весовых функций:
Ф/ \х . / \ И Я НОМ ^ЯНОМ^Я /1 А\
= д1{и)Фном + д2(ш)----------п--------• (14)
СМ
Весовые функции д\(ш) и ^2(^)3 графики которых представлены на рис. 12, можно записать аналитически:
_ 1 + SІgn(u^мoлt - Н)
91{и) —----------- ---------;
(15)
1-sign(u^мoлt - И)
02 М = ----------- ---------•
1 1 к
СО
~&>ном 0 СОном
g2(a>)
—Whom О
СОном
СО
Рис. 12. Графики весовых функций для схемы двухзонного регулирования скорости ЭППТ
Выражения (14) и (15) описывают желаемый характер изменения магнитного потока в схеме двухзонного регулирования скорости и, следовательно, могут использоваться в качестве электромагнитного инварианта в процедуре синергетического синтеза закона векторного управления скоростью ЭППТ. При этом функцию sign в gi(cu) и д2 (со) целесообразно аппроксимировать непрерывно дифференцируемой функцией типа «тангенс гиперболический», а вместо текущего значения скорости вводить ее желаемое установившееся значение со*. Приведенные рассуждения обуславливают введение следующей совокупности инвариантных многообразий:
Фх = гя - <¿>1(0;, ¿1) = 0;
ф2 = ф - С(и>*) = 0, ^ '
*\ 1 “Ь Щином и) ) 1 ЬЪ.(ином и) ) иЯНОм Ъяном^З 1
где <3(и;*) = -------------------Фмо.м +--------1--------------------Нй----------функция,
0*\ 100 |
характеризующая процесс гибкого управления магнитным потоком двигателя в зависимости от заданного значения угловой скорости ЭППТ.
Дальнейшая процедура, которая заключается в определении функции (со, г{) в ходе анализа динамики замкнутой системы на пересечении инвариантных многообразий и решении функциональных уравнений (4), проводится так же, как и в предыдущем случае. Искомый закон векторного управления ЭППТ, обеспечивающий реализацию стандартной схемы двухзонного регулирования, получается из закона (12) путем замены Ф* <->• (2(и;*) . На рис. 13 и 14 представлены результаты моделирования замкнутой системы, демонстрирующие эффективность синтезированного закона векторного управления ЭППТ в широком диапазоне изменения угловой скорости.
Рис. 13. Переходные процессы скорости Рис. Ц- Переходные процессы
и потока ЭППТ при двухзонном управляющих воздействий при
регулировании двухзонном регулировании
На графиках показано изменение управляемых переменных и управляющих воздействий во времени. При моделировании была имитирована следующая последовательность в изменении заданного значения скорости:
1) пуск и разгон до номинальной скорости (и>* = шном);
2) реверс (ш* = -с0НОМ)]
3) разгон до скорости ио* = 1, Ъшном\
4) рекуперативное торможение до скорости ио* = 0, Ъшном\
5) разгон до скорости и* = 2ином.
Следует заметить, что в отличие от традиционных способов построения систем двухзонного регулирования, практикующих использование различных моделей ЭППТ для первой и второй зон и встречающих значительные затруднения при согласованной настройке контуров, применение принципов и методов синергетического синтеза позволило решить рассматриваемую задачу на основе единой нелинейной модели в рамках простой аналитической процедуры.
Помимо решения основных задач обеспечения целенаправленного электромеханического преобразования энергии, на системы управления современным ЭППТ возлагается ряд дополнительных функций, прежде всего, предназначенных для исключения аварийных режимов работы силового оборудования и создания благоприятных условий для выработки им своего технологического ресурса. Здесь, в первую
очередь, следует выделить необходимость ограничения физических переменных по уровню, т.е. учета допустимого диапазона их изменения в реальных условиях эксплуатации. В ЭППТ к таким переменным, безусловно, следует отнести токи в обмотках якоря и возбуждения.
Рассмотрим особенности процедуры синергетического синтеза закона векторного управления ЭППТ, обеспечивающего стабилизацию угловой скорости и магнитного потока, а также ограничение тока якоря (|*я| ^ гятах). В этом случае в структуру инвариантного многообразия ф\ = 0 должна входить ограничивающая функция типа «насыщение». Сформируем это многообразие следующим образом:
Ф1 Ъ.я ^ятах -|- C2Z\) 0. (1*0
Вид многообразия ф2 = 0 задается как в предыдущих примерах, т.е. в соответствии с выражением (8) или (16). В дальнейшем будем считать, что электромагнитным инвариантом является выражения Ф = Фнам, а Ф2 = Ф — Ф Ном- Тогда на пересечении ИМ динамика угловой скорости ЭППТ в условиях действия кусочнопостоянного возмущения описывается уравнением
u(t) = {аф,ятах th(ciw + с2г1)Фном - Мс(ш) - Mf(t)) а2. (18)
Здесь, как и ранее, z\ = [3 J(cj — cj*)dt.
Продифференцировав уравнение (18) по времени, после некоторых преобразований получим
idMc{ui) diiятахФномс\ \
= + (19)
^1^ятах^номРс2 / *\ , „V ~
“ Т27------;-----~ ш ) + 02м/(^ = °-
ch (ciw + c2z1)
Очевидно, стационарным состоянием уравнения (19) при Mf(t) = const будет точка lu = lu* , соответствующая заданному технологическому инварианту. Параметры ЭППТ а*, величины Фном и равно как и значения функции ch2(ciw + c2-2i),
всегда положительны. Момент сопротивления обычно возрастает с увеличением ско-дМс(ш) о ^
рости, т.е. —------ ^ 0 . Теперь нетрудно определить условия асимптотической
OUJ
устойчивости декомпозированной системы: с\ < 0 и (Зс2 < 0.
Искомый закон векторного управления ЭППТ, как и прежде, ищется из решения системы функциональных уравнений (4) в силу уравнений модели синтеза
(7):
ия =-----гЛтГ, \\ I (а1гяФ-Мс(и;)-/3 [(uj-iv*)dt)a2c1+c2/3(uj-uj*
а.4 ch (o'(w)) \ J
+ ^Ш^М+а1.Ф+^-—^
ив = а5/ і(ф)--^(ф-ф*),
-12 «6
где сг(и>) = С\ІО + С2/3 / (ш — Ш*)(М).
На рис. 15 и рис. 16 показаны полученные в результате моделирования замкнутой системы (1), (20) графики переходных процессов переменных состояния и управляющих воздействий. При этом считалось, что максимально допустимый ток якоря
двигателя не должен превышать его номинального значения: гЯГПах = Ъяном- В ходе моделирования исследовались следующие динамические режимы работы ЭППТ:
1) быстрый разгон привода до номинальной скорости;
2) резкое неконтролируемое увеличение нагрузки AMf = 140 Нм;
3) резкое торможение до скорости Ü0* = 0, Ъионом.
Рис. 15. Переходные процессы переменных ЭППТ при ограничении тока якоря
Рис. 16. Переходные процессы управляющих воздействий при ограничении тока якоря
Результаты моделирования демонстрируют эффективность синтезированного закона управления ЭППТ с точки зрения решаемой задач стабилизации угловой скорости, магнитного потока и ограничения тока якоря.
3.2. Позиционирование
Другой распространенной задачей управления ЭП является позиционирование, т.е. отработка заданного углового положения исполнительного органа ЭП 0 = 0*= const. Поставим задачу синергетического синтеза закона векторного управления, обеспечивающего позиционирование ЭППТ (технологический инвариант
0 = 0*) и стабилизацию магнитного потока двигателя (электромагнитный инвариант Ф = Ф*). Как и в предыдущих случаях, будем считать, что на электропривод со стороны нагрузки действует неизвестное кусочно-постоянное возмущающее воздействие Mf(t) = const. Тогда в процедуре синтеза используется следующая модель расширенной системы:
0(t) = cv;
u(t) = (аггяФ - Мс(ш) - zi)a2;
iH(t) = (ия - сцФи - а3*я)а4; (21)
Ф(£) = (ив - а5/1(Ф))а6;
z1{t)=(3{0-0*).
В соответствии с изложенной методикой и выбранным электромагнитным инвариантом введем совокупность ИМ:
фг =i*~<Pi(0,w,z1) = 0;
ф2 = ф - ф* = 0. ^
Закон векторного управления ЭППТ, найденный как решение системы функциональных уравнений (4) в силу модели (21), обеспечивает асимптотическое притягивание траекторий замкнутой систем к пересечению ИМ (22). На этом пересечении
наблюдается эффект динамической декомпозиции исходной системы, а ее дальнейшее движение описывается следующими дифференциальными уравнениями:
9(t) = из;
Lü(t) = (aiy>i(0, из, Zi)$* - Мс{из) - z1)a2; (23)
¿i(t) =/3(9-9*).
Функцию y>i(0, из, zi) в декомпозированной системе (23) можно рассматривать как «внутреннее» управление и, согласно идее поэтапной декомпозиции, вновь поставить задачу синергетического синтеза. «Внутреннее» ИМ формируется в соответствии с заданным технологическим инвариантом следующим образом:
фз = из + Ъ\{6 — 9*) = 0.
Тогда на многообразии фз = 0 реализуется динамическая связь из = —Ъ\{9 — 9*), т.е. происходит дальнейшая редукция степеней свободы управляемой системы, а ее поведение на финишном этапе движения описывается уравнениями:
0(t) = -b1(9-9*)]
z1(t)=/3(9-9*).
Очевидно, что при > 0 справедливо: 9 —> 9* и ¿i(t) —> 0. Таким образом, все траектории замкнутой системы со временем стягиваются к аттрактору, расположенному на пересечении введенных ИМ ф\ = 0, ф2 = 0, фз = 0 и соответствующему заданному стационарному режиму при 9 = 9* и Ф = Ф*.
Рассмотренная выше процедура является примером конструирования ИМ (в данном случае ф\ = 0) в ходе динамической декомпозиции системы и формирования финишных этапов движения к целевому аттрактору. «Внутреннее» управление
<pi(9,u3, zi)=——^ ^Mc(uj)+zi — —p^-((Tsbi+l)uj+bi(9—9*))^, (25)
найденное из функционального уравнения
Тзфз^) +фз = 0,
позволяет доопределить структуру ИМ ф\ = 0 и конкретизировать искомый закон векторного управления ЭППТ для задачи позиционирования:
«я = аз*я+ —— Га1ф* (мс--^-^({ТзЬ1+1)из+Ъ1(9-9*)) \ -гЛ -
iwF Gâr- ('‘■•»‘»-ВД-ДО-п) 4
^ ^1 + П (а2^ - ТзЪ^+1)) [{9 - 9*)dt + а1ШФ;
(26)
a,4ai&*Ti у у диз Тз
ug = a5f 1(Ф)--^(Ф-Ф*).
J-20,6
Теперь, как и при решении задачи стабилизации скорости, можно провести анализ устойчивости замкнутой системы на пересечении инвариантных многообразий ф\ = 0 и ф2 = 0 в условиях действия неизмеряемого возмущения. Подставив синтезированное «внутреннее»управление (25) в уравнения декомпозированной системы (23) и осуществив замену z\ Mf(t), после некоторых преобразований получим дифференциальное уравнение третьего порядка, описывающее динамику углового положения ЭППТ:
в (t) + (bi + + jrOit) ~ а2^ + а2Mf(t) = -а2[3в*.
Это уравнение обладает свойством асимптотической устойчивости относительно стационарного состояния 9 = 9* при Mf(t) = const, b\ + — > 0 и /3 < 0.
J-з
На рис. 17 и 18 представлены полученные в результате моделирования замкнутой системы (1), (26) графики изменения переменных привода и управляющих воздействий во времени при позиционировании ЭППТ в заданное положение 9* = 407Г. Во время динамического режима было имитировано действие внешнего возмущения, выраженное в скачкообразном изменении момента сопротивления нагрузки.
Рис. 17. Переходные процессы переменных ЭППТ
Рис. 18. Переходные процессы управляющих воздействий
Результаты моделирования подтверждают все теоретические выкладки и демонстрируют асимптотическую устойчивость замкнутой системы при выполнении задачи позиционирования привода в условиях действия внешних неконтролируемых возмущений.
3.3. Следящий электропривод
В рассмотренных выше примерах система управления ЭППТ решала технологическую задачу стабилизацию переменных, характеризующих механическое движение исполнительного органа, а соответствующий технологический инвариант имел статический характер: lo = и* = const или 9 = 9* = const. С другой стороны, для различных промышленных установок необходимо организовать изменение положения исполнительных органов по заданному временному закону 9 = 9*(t). Указанный вид движения обычно осуществляется следящим электроприводом или системами программного управления. Желаемое изменение углового положения во времени, как правило, носит линейный или периодический характер и в общем случае выражается функцией
9*(t) = A\t + Атах sin(wii). (27)
Рассмотрим решение задачи синергетического синтеза закона векторного управления ЭППТ, обеспечивающего движение исполнительного органа в соответствии с заданной функцией времени (27). В качестве электромагнитного инварианта выберем стабилизацию магнитного потока двигателя Ф = Ф*. Также будем считать, что на привод действует кусочно-постоянный возмущающий момент Mf(t) = const.
Специфика поставленной задачи управления ЭППТ выражается в том, что заданное значение управляемой переменной (задающее воздействие) не является постоянной величиной, а должно изменяться во времени. Согласно базовым принципам синергетической теории управления, все внешние по отношению к объекту воздействия — задающие, управляющие и возмущающие — рассматриваются как внутренние переменные новой расширенной системы, в которой их предполагаемое изменение во времени учитывается в виде дополнительных динамических звеньев. Именно такой подход использовался ранее при описании внешних возмущений. В рассматриваемом случае можно поступить аналогичным образом. Для этого введем новые переменные у\ = A\t и у2 = Атах sin(wit). Очевидно, что yi(t) = Ai. Для описания периодически изменяющейся во времени переменной у2 можно воспользоваться моделями известных нелинейных автоколебательных систем, имеющих в своем пространстве состояния аттрактор типа «предельный цикл». Наиболее подходящей с точки зрения воспроизведения переменной, синусоидально изменяющейся во времени с заданными значениями амплитуды и частоты, является система Пуанкаре
2/2 (Î) = (А
max -у\ -Уз)У2 +U1V3]
2/3(Î) = (А2тах -у1~ у\)уз ~ ит-
Тогда можно записать модель расширенной системы:
è(t) = ш;
iü{t) = {алгяФ - Мс(ш) - Zi)a2;
^я(^) (^я ^3^я)^4:
Ф(г) = (ив -а5/1(Ф))а6;
yi{t) = Aî;
m{t) = (А2тах -у22 -у1)у2 +^1Уз;
y3(t) = (А2тах -у22- у1)уз ~ ^\У2-¿1 (t) = (3(в-у1 у2 ) •
Последовательность этапов процедуры синергетического синтеза в рассматриваемом случае аналогична случаю позиционирования, поэтому ограничимся лишь ее кратким изложением. «Внешние» ИМ задаются подобно выражениям (22):
■ф\ = *Я - Vi{d,uj,yi,y2,y3,zi) = 0;
ф2 = ф - ф* = 0. ^
Уравнения декомпозированной системы на пересечении ИМ имеют вид: è(t) = и>;
Lü(t) = (а11р1(в,и},у1,у2,уз,г1)Ф* - Мс(ш) - zi)a2\ ÿ lit) = Ai;
(30)
Îj2it) (Атах у2 Уз)У2 ^\УЗ}
2/з(i) = (А2тах - у\ - у\)уз - и1У2]
¿i(t) = /3(6» — 2/1 — г/2).
«Внутреннее» ИМ, вводимое на следующем этапе динамической декомпозиции, должно отражать специфику конкретной технологической задачи. Поэтому введем:
фз = и; + 6i(0 - 2/1 - 2/2) = 0. (31)
Финишная динамика замкнутой системы в соответствии с (30) и (31) описывается моделью
9{t) = -6i(0 — 2/1 -2/2);
yi(t) = Ai;
2/2 (i) = (A2max — 2/2 — 2/3 )2/2 + ^12/3; (32)
2/3 (i) = (-4
max — 2/2 — 2/3) 2/3 - ^12/2;
¿i(t) =/3(0-yi -2/2).
Завершающий этап процедуры заключается в последовательном нахождении «внутреннего» и «внешних» управляющих воздействий как функций координат состояния расширенной системы при решении функциональных уравнений вида
Tii>i(t) + фг = 0, г = 1,
Искомый закон управления ЭППТ, обеспечивающий воспроизведение заданного движения исполнительного органа, стабилизацию магнитного потока двигателя и компенсацию внешнего неизмеряемого возмущения имеет вид
ия = а3*я+а1^Ф—- f {0-yi-y2)dt+jp-A1
а4 V дв dzi J дух
_ (а^яф - Мс- /3(0 - 2/1 - 2/2))-
СЦ OUJ
-----_ 2/2 _ 2/з)2/2 + ^12/з)- (33)
а4 <72/2
-----— 2/2 — 2/з)2/3 + W12/2)---------------^г(*я + ¥>l);
0,4 оуз a^i 1
г4в = а5/1(Ф)-^-(Ф-Ф*),
1-20,6
Где<й = («<.+*,
ременные zi, 2/1, 2/2, 2/3 в выражении (33) являются внутренними переменными регулятора, выполняющими операции оценивания величины возмущающего воздействия и генерации заданных функций времени.
На рис. 19 и 20 представлены графики переходных процессов положения и скорости ЭППТ, напряжения и тока якоря, полученные в результате моделирования замкнутой системы (1), (33). При этом полагалось, что А\ = 0, 5, А2 = 3, = 1.
После выхода в заданный режим имитировалось внезапное увеличение и уменьшение момента сопротивления нагрузки.
На рис. 21 и 22 показаны результаты моделирования замкнутой системы, демонстрирующие реализацию режима гармонических колебаний исполнительного органа ЭППТ относительно исходного состояния (Ai = 0). В процессе моделирования изменялись заданные значения амплитуды и частоты механических колебаний.
Проведенные численные исследования позволяют сделать вывод, что синтезированный базовый закон управления ЭППТ (33) обладает высокой степенью универсальности и может служить основой для построения различных вариантов следящих систем управления, реализующих желаемое движение приводимых механизмов.
Рис. 19. Переходные процессы скорости и положения ЭППТ при в* (г) = АіЬ + Атах зіп(^іі)
5
ШШШНШ о>,рад/с 3’Р,ад ШІІІІ ІІІІ!
-5 ■
О 20 40 60 80 100 120
Рис. 21. Переходные процессы скорости и положения ЭППТ при 6*{Ь) = Атах 8т(ш1<), = уаг,
Атах = УЭХ
Рис. 20. Переходные процессы напряжения и тока якоря ЭППТ при
в* (г) = УМ + Атах
Рис. 22. Переходные процессы напряжения и тока якоря ЭППТ при 6*{t) = Атах sin(wii), Ш1 = УйГ, Атах = Var
4. Энергосберегающее управление ЭППТ
В последнее время значительная часть усилий научно-технической общественности — ученых, конструкторов и разработчиков технических систем — направлена на поиск путей экономии энергии и развитие энергосберегающих технологий. При этом энергосберегающие решения предлагаются на стадии конструирования технических объектов (использование менее энергоемких материалов, совершенствование конструкции и т.д.), на стадии проектирования технических систем (например, выбор оптимальной с энергетической точки зрения структуры системы) и на стадии эксплуатации (адекватная загрузка технологического оборудования, рациональная организация технологического процесса и использование энергосберегающих способов и алгоритмов управления).
Самым универсальным видом энергии является электрическая энергия, что связано с существованием достаточно эффективных и технологически отработанных способов ее получения, передачей на большие расстояния и преобразованием в другие виды энергии. Основная доля электрической энергии (около 60%) преобразуется в механическое движение посредством ЭП. Поэтому проблема максимально эффективного электромеханического преобразования энергии актуальна и имеет несомненную практическую значимость. Поиск путей энергосбережения в ЭП ведется уже давно, и определенные успехи достигнуты за счет совершенствования кон-
струкции силовых элементов ЭИ — электронных преобразователей и электрических машин, а также в результате использования преимуществ автоматически управляемых систем. Применение принципов автоматического управления позволяет более гибко и рационально организовывать процессы в ЭП, что и приводит к определенному энергетическому выигрышу. Однако здесь источник энергосбережения далеко не исчерпан. Мало просто использовать законы (алгоритмы) автоматического управления ЭП. Резервы повышения эффективности электромеханического преобразования энергии следует искать в совершенствовании самих законов управления.
Большинство традиционных систем автоматического управления представляют собой системы стабилизации, работающие по принципу компенсации отклонения управляемой переменной от требуемого значения за счет соответствующей обратной связи. В случае ЭП единственными управляемыми переменными являются выходные механические переменные — скорость, момент, положение, что вполне резонно с точки зрения конкретной технологической задачи. Однако, с другой стороны, внутренние электромагнитные переменные фактически остаются как бы «вне компетенции» системы управления, т.е. игнорируются естественные свойства самой управляемой системы, ее физическая сущность.
Любым реальным процессам и явлениям свойственна диссипация энергии. В технических системах диссипируемая энергия эквивалентна энергетическим потерям, поскольку целенаправленно не используется. Уровень диссипации зависит от «внутренних» свойств самой системы. Тогда очевидно, что для оптимизации энергетических процессов в ЭП, помимо управления выходными (технологическими) переменными, необходимо соответствующим образом воздействовать и на «внутренние» электромагнитные переменные.
Интересно, что возможности снижения уровня потерь энергии в ЭП за счет управления электромагнитными переменными обнаружены несколько десятилетий назад. Возникает естественный вопрос: почему же не были получены законы энергосберегающего управления ЭП и почему энергосберегающие регуляторы не участвуют в «благородной миссии» экономии энергии? Дело в том, что при поиске законов энергосберегающего управления ЭП в виде определенного аналитического выражения необходимо оперировать нелинейными моделями, а само управление должно быть векторным (многоканальным). При использовании методов классической теории управления нелинейность и многоканальность обычно являются непреодолимым препятствием.
Появление новых направлений в теории управления позволяет взглянуть на целый ряд задач, не решенных традиционными методами, с оптимистической точки зрения. Одним из таких направлений является синергетическая теория управления, базирующаяся на принципах направленной самоорганизации и динамической декомпозиции нелинейных систем [5, 6]. Методы синергетического синтеза позволяют получать в аналитическом виде законы управления как совокупность обратных связей, которые обеспечивают выполнение заданных инвариантов, т.е. задач управления. Инварианты, в той или иной степени связанные с оптимизацией энергетических режимов, принято называть энергетическими.
Очевидно, что наиболее эффективным с энергетической точки зрения является режим работы ЭП, при котором потери энергии в его силовых каналах минимальны. Поэтому в дальнейшем под энергетическими инвариантами ЭП будем подразумевать некоторые соотношения, определенным образом связывающие физические переменные системы и характеризующие режим минимальных потерь энер-
гии. Отметим, что при формировании энергетических инвариантов необходимо оперировать переменными той математической модели, которая будет в дальнейшем использоваться при синтезе регулятора.
Как известно, энергия, подводимая к ЭП от источника и используемая, в конечном счете, для выполнения некоторой механической работы, проходит в его силовом канале стадии электрического, электромеханического и механического преобразований. При этом часть этой энергии неизбежно теряется, выделяясь в виде теплоты. Но если потери в преобразователях электрической энергии (выпрямителях, конверторах, инверторах и т.д.) и механических преобразователях определяются, прежде всего, их конструктивными особенностями, то в электромеханических преобразователях (электродвигателях) существует возможность изменять в определенных пределах уровень мощности потерь, не меняя ни их конструкцию, ни режим работы. Потенциальная возможность оптимизации энергетических режимов ЭП выявлена в монографии [7] на основе анализа изменения составляющих потерь в зависимости от режима их работы, и получены соотношения, которые можно отнести к энергетическим инвариантам ЭП. Методика получения энергетических инвариантов заключается в следующем. Записывается выражение для суммарных потерь в двигателе как функция электромагнитных и механических переменных. Затем ищется
экстремум этой функции по какой-либо из переменных —-—— = 0. В результате
ОХ
получается выражение, характеризующее оптимальное с точки зрения минимума потерь энергии значение выбранной переменной.
Несколько слов о выборе оптимизируемой переменной. Электромагнитные и механические переменные двигателя, согласно известным физическим законам, находятся в процессе динамического взаимодействия, которое отражено в соответствующей математической модели. Часть из этих переменных являются управляемыми, т.е. они должны изменяться заданным образом в соответствии с целями функционирования всей системы. ЭП предназначены для генерации требуемого механического движения. Следовательно, одна из управляемых переменных всегда будет величиной, характеризующей это движение — положение, скорость, момент. Управление механической переменной с точки зрения принятой терминологии происходит в соответствии с заданным технологическим инвариантом. Тогда понятно, что оптимизируемую переменную нужно выбирать из числа электромагнитных переменных. Также очевидно, что должна существовать возможность воздействовать на уровень этой переменной, т.е. должен быть предусмотрен независимый канал управления. Из приведенных рассуждений следует важный вывод: энергосберегающее управление ЭП должно быть, как минимум, двухканальным. По одному из каналов обеспечивается реализация требуемой технологической задачи, а по другому осуществляется минимизация потерь энергии.
Суммарные потери энергии в любой электрической машине складываются из потерь в стали сердечников, потерь в меди обмоток, механических потерь и дополнительных потерь. Согласно принятому выше принципу выбора оптимизируемых переменных, энергосберегающее управление заключается в целенаправленном изменении электромагнитных переменных. Тогда механические и дополнительные потери не будут учитываться в ходе дальнейших рассуждений.
Запишем выражение для суммарных потерь в электрических и магнитных цепях двигателя постоянного тока (ДПТ):
АРЭМ = АРэ + АРст = г\гя + г2вгв + АРст.н , (34)
где ДРст.к, Фн - значения потерь в стали и потока в номинальном режиме работы двигателя; / - частота перемагничивания магнитной системы; /3 - коэффициент, зависящий от марки стали.
Сделаем выбор оптимизируемой электромагнитной переменной. Значение тока якоря ДПТ пропорционально величине электромагнитного момента, который, в свою очередь, зависит от характеристик приводимого механизма, т.е. от некоторых внешних факторов. Таким образом, в нашем распоряжении остаются ток возбуждения и магнитный поток одного полюса. Эти величины в ДПТ являются взаимозависимыми. Эта зависимость зачастую считается статической и выражается характеристикой намагничивания Ф(*в). Поэтому в моделях ДПТ в качестве переменной состояния выступает либо ток возбуждения, либо магнитный поток. Заметим, что в ДПТ предусмотрена возможность автономного управления величиной тока возбуждения и, следовательно, магнитного потока путем изменения напряжения на обмотке возбуждения. Приведенные рассуждения позволяют сделать вывод, что в качестве оптимизируемой переменной может выступать ток возбуждения или магнитный поток. Выбор зависит от того, какая из этих переменных присутствует в используемой модели двигателя.
Пусть этой переменной будет магнитный поток. Представим выражение (34) как функцию оптимизируемой переменной. При этом будем считать, что магнитная система ненасыщенна и гв = /г$Ф. Частота перемагничивания сердечников ДПТ пропорциональна скорости вращения ротора, а ток якоря можно выразить через
момент сопротивления и магнитный поток: гя =----. Тогда
сФ
Д^Л,(Ф) = ^|? + <4*4 + (щ)'5 (щ
Найдем экстремум этой функции:
дАРэм М^гя О ДРст ж
= 0 -<=>---+ к1фго + ол Та12 ф = °-
<9Ф с2 Ф3 314рФ2
После элементарных математических преобразований нетрудно получить выражение, определяющее оптимальное с точки зрения минимума потерь энергии значение магнитного потока:
1 1
Фопт = м* (^тЫ4 • (35)
Значения коэффициентов в выражении (35) зависят от номинальных данных двигателя и характеристик его электромагнитных цепей:
к1 = Гф к2= гвк%; *з = ^¿ф2- (36)
Энергетический инвариант (35) представляет собой статическое соотношение между магнитным потоком, частотой вращения ротора и моментом на валу двигателя. Момент и частота вращения являются величинами технологически «навязываемыми» двигателю и зависят от решаемой задачи механического движения и характеристик обслуживаемого технологического процесса. Тогда энергосберегающее управление ЭППТ будет фактически заключаться в целенаправленном изменении магнитного потока, исходя из текущих значений момента и частоты вращения двигателя, в соответствии с выражением (35).
Специфика синергетического синтеза базовых законов управления ЭППТ была подробно изложена в предыдущих разделах настоящей статьи. При синтезе законов энергосберегающего управления возникает ряд особенностей, которые хотя и не вносят принципиальных изменений в ход самой процедуры, но должны быть оговорены отдельно. Первая особенность достаточно очевидна: одним из инвариантов системы должен быть энергетический инвариант вида (35). Кроме того, здесь неприменим рассмотренный выше прием подавления внешнего возмущающего момента за счет соответствующих динамических звеньев регулятора. Это связано с тем, что суммарный момент сопротивления нагрузки входит в структуру энергетического инварианта. Следовательно, любые последствия, вызванные его внезапным изменением, должны быть не подавлены, а оценены. Это приведет не только к исключению статической ошибки по скорости, но и к коррекции оптимального значения управляемой электромагнитной переменной.
Рассмотрим процедуру синергетического синтеза законов управления ЭППТ, гарантирующего стабилизацию скорости вращения и минимизацию потерь энергии. В этом случае инвариантами системы будут:
• со = со* — технологический инвариант;
/ ; \ 0,25
«-0,5 ( м
• Ф = МЕ’ ^ — энергетический инвариант.
Данный набор инвариантов определяет выбор их многообразий:
. а2М%-Ъ1и; + Ъ1и;* о 5 ^_о,25 п
ф1=гя-----------------------МЕ А(ш) ’ = 0;
а\а2 (37)
ф2 = ф _ М°’5АН0’25 = 0,
где А(ш) =
к2 + '
Решая систему функциональных уравнений метода АКАР (4) в силу математической модели (1) можно найти закон энергосберегающего управления ЭППТ:
Ме°’5А
- ьм^-ь^)(М+2
Й104 1 \-ZWe
х (а1гяФ-МЕ)+а1Ф,;+азгя-4г а^~Ь^+Ь^* М^А^
а±1\ \ а\а<і
= а5/1(Ф)+^ ^0, 5М^0,5А0,25 — А1,25^ (а1іяФ-МЕ)-
Ф-М°’5А0’25
(38)
и_
Синтезированный закон содержит иррациональные элементы, которые в определенных режимах (например, при реверсе двигателя) приводят к комплексному или разрывному решению. Чтобы исключить такие случаи, достаточно и правомерно с физической точки зрения при синтезе использовать энергетический инвариант (35), в котором вместо момента сопротивления нагрузки и скорости присутствуют их абсолютные значения:
, 0,25
|Ме|0’5 (*2+*зН^
0,02
0,01
о
-0,01
-0,02
-200
Ф, Вб
¥2 = О
1Я, А 200
300
„ -100 -200
9ПП 100
200 со, рад/с
Рис. 23. Фазовый портрет системы
Эффективность полученного закона управления можно оценить путем компьютерного моделирования. Моделирование проводилось для двигателя ПН-290. При этом считалось, что магнитная система машины ненасыщенна и работа двигателя происходит на линейном участке кривой намагничивания: Д(Ф) = кфъв. На рис. 23 представлен полученный в результате моделирования фазовый портрет замкнутой системы, который демонстрирует ее асимптотическую устойчивость относительно заданного состояния на пересечении ИМ = 0 и = 0.
Анализ энергетической эффективности полученных законов управления проводился следующим образом. Фиксировалось заданное значение скорости ио* = соном, а момент сопротивления нагрузки менялся в допустимом диапазоне М£ = var. Соответствующие графики переходных процессов электромагнитных переменных, скорости двигателя, потребляемой и полезной мощностей представлены на рис. 24 — 30. Кривые 1-4 соответствуют различным значениям момента сопротивления нагрузки: 1-0, 25Мном] 2-0, 5Мном] 3-0, 75Мном; 4 - Мном. В качестве критерия энергетической эффективности использовался тривиальный КПД как отношение полезной мощности к потребляемой. На рис. 31 представлена сравнительная диаграмма КПД при энергосберегающем управлении с оптимальным потоком (светлые колонки) и управлении с номинальным потоком (черные колонки), по оси абсцисс отложено относительное к номинальному значение момента сопротивления.
160
120
ю,рад/с
Рис. 24- Скорость двигателя
250
200
и , В
0 5 10 f, с
Рис. 27. Напряжение якоря
и , В
О 5 10 г, с
Рис. 28. Напряжение возбуждения
Р2,хЮ4 Вт
Рис. 30. Полезная мощность
РьхЮ4 Вт
0 5 10 с
Рис. 29. Потребляемая мощность
ш номинальный поток □ оптимальный поток
0,25 0,5
Рис. 31. Сравнительная диаграмма КПД при ш = и}Ном, Мт, = уаг
Из теории электрических машин известно, что максимальный КПД двигателя достигается при таком моменте на валу двигателя, когда постоянные потери (потери, не зависящие от механической нагрузки) равны переменным потерям (потерям, которые меняются при изменении нагрузки). Проведенные исследования показали, что энергосберегающее управление позволяет поддерживать постоянный максимальный КПД во всем допустимом диапазоне нагрузки и, следовательно, значительно повышает эффективность электромеханического преобразования энергии по сравнению со стандартной схемой управления при номинальном потоке.
В предыдущем примере момент на валу ЭППТ считался величиной известной. Подобная ситуация является идеализированной и не всегда отражает реальное положение дел в процессе эксплуатации. Требования к рациональному использованию энергии и адаптивности замкнутой системы абсолютно совместимы в рамках рассматриваемого подхода к управлению ЭП. Задача синтеза законов энергосберегающего управления ЭП, обладающих свойством инвариантности к неконтролируемому изменению момента сопротивления нагрузки, решается путем построения соответствующих асимптотических наблюдателей. Обобщенная процедура синергетического синтеза нелинейных динамических регуляторов с асимптотическими наблюдателями подробно изложена в работе [6]. Поэтому, оставляя за рамками статьи теоретические аспекты данной процедуры, рассмотрим основные этапы и особенности ее применение с точки зрения решения конкретной задачи энергосберегающего управления ЭППТ.
Первоначально в соответствии с принципом «расширения - сжатия» формируется модель синергетического синтеза, состоящая из исходной модели объекта и информационной модели, которая описывает влияние на объект некоторых внешних факторов. В дальнейшем будем считать, что на ЭППТ действует неизвестный кусочно-постоянный возмущающий момент. В этом случае в ходе процедуры синтеза используется следующая модель расширенной системы:
Û(t) = (а^яФ - Mc{lü) - Zi)a2;
^я(^) (^я 0'3^я)^'4: /оп\
(39)
Ф(г) = (ив - a5/i($))a6;
¿i(t) = О,
где z\ = Mf(t) — оценка возмущающего воздействия.
Далее производится процедура синтеза закона энергосберегающего управления ЭППТ, которая аналогична процедуре, описанной выше. Единственным отличием синтезированного закона управления от выражения (38) будет присутствие в нем вместо суммарного момента суммы известного момента и оценки возмущающего момента: Мс{из) + z\.
Для вычисления оценки ненаблюдаемой переменной синтезируется асимптотический наблюдатель. Применение процедуры синергетического синтеза асимптотических наблюдателей [6] для модели (39) позволило получить следующее уравнение наблюдателя:
ÿ(t) = hyi-----и + h{aiiЯФ - Мс(ш)), (40)
а 2
где у\ — внутренняя переменная наблюдателя, а 1\ <0 — его параметр.
Оценка ненаблюдаемой переменной (в нашем случае возмущающего момента) находится из выражения ^
z\ = Mf(t) = —и; -у. (41)
а 2
Работу энергосберегающего регулятора ЭППТ с асимптотическим наблюдателем возмущающего момента можно описать следующим образом. На основании текущих значений измеряемых переменных и уравнений (40), (41) вычисляется оценка возмущающего момента, которая затем подставляется в синтезированный закон управления. Это позволяет скорректировать текущие значения управляющих воздействий и тем самым исключить появление скоростной ошибки и адекватно определить оптимальное значение магнитного потока в условиях действия внешних возмущений.
На рис. 32 — 37 представлены результаты моделирования замкнутой системы, демонстрирующие эффективность синтезированного закона управления с точки зрения решаемых задач стабилизации скорости, энергосбережения и адаптации. В ходе моделирования был имитирован режим разгона привода до скорости из = из* при Mf = 0 и Мс = 0, 99w. Затем оценивалось влияние на систему кусочно-постоянного возмущающего момента.
Заключение
В настоящей статье продемонстрировано применение синергетического подхода для решения задач синтеза законов управления ЭППТ. Представленные законы
250 ^
Рис. 32. Скорость двигателя и поток
Рис. 34■ Напряжение на обмотках двигателя
Рис. 36. Полезная и потребляемая мощность
250т
Рис. 33. Суммарный момент и ток якоря
Рис. 35. Возмущающий момент и его оценка
А Л
Г 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 І І, С 1 і і .у
О 10 20 30 40
Рис. 37. КПД двигателя
управления носят базовый характер и составляют структурное ядро для построения различных вариантов векторных регуляторов систем стабилизации скорости, позиционирования и слежения. Учет естественных нелинейных свойств управляемых объектов, мобилизация всех предусмотренных каналов управления, дополнительные возможности адаптации и энергосбережения относятся к характерным особенностям синтезированных базовых законов управления ЭППТ. Очевидно, что указанные особенности являются резервом для повышения эффективности функционирования как самого электропривода, так и приводимой им машины. Таким образом, методы синергетического синтеза являются действенным инструментом для проектирования нового поколения управляемых ЭППТ, способных успешно решать задачи генерации механического движения в современных и перспективных технических системах.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Башарин A.B., Новиков В.А., Соколовский Г.Г. Управление электроприводами. - Л.: Энергоиздат, 1982.
2. Справочник по автоматизированному электроприводу/Под ред. В.А. Елисеева и А.В Шинянского. - М.: Энергоатомиздат, 1983.
3. Ключев В.И. Теория электропривода. - М.: Энергоатомиздат, 2001.
4. Белов М.П., Новиков В.А., Рассудов Л.Н. Автоматизированный электропривод типовых производственных механизмов и технологических комплексов. - М.: Издательский центр "Академия", 2004.
5. Колесников A.A. Синергетическая теория управления. - М.: Энергоатомиздат, 1994.
6. Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управ-ления/Под ред. A.A. Колесникова. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. Ч. II.
7. Ильинский Н.Ф, Рожанковский Ю.В., Горнов А.О. Энергосбережение в электроприводе. - М.: Высшая школа, 1989.
Ал.А. Колесников
СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ГЕНЕРАТОРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ
КОЛЕБАНИЙ
Введение
В зарубежной и отечественной научно-технической литературе в течение многих десятилетий изучаются свойства трех основных, базовых моделей осцилляторов — генераторов нелинейных колебаний:
— модель Ван-дер-Поля
ж(£) — ¡л х(1 — а.1х2)х(ь) + и>2х = 0; (1)
— модель Релея
у(г) - Ц2(1 - а2у2)у(г) + и>2у = 0] (2)
— модель Пуанкаре
¿1 (£) = — их 2 + х\(А2 — х\ — х\);
¿2 (¿) = + шх\ + х2 (А2 — х\ — х\).
Исследованию и применению этих моделей, описывающих поведение широкого класса технических систем и устройств, посвящены десятки монографий и тысячи статей. Заметим, что модели Ван-дер-Поля и Релея тесно связаны между собой, так как если продефференцировать уравнение (2) по времени, а затем ввести новую переменную х = у(Ь), то в результате из (2) получим уравнение (1). Это означает, что поведение переменных х и х{Ь) из уравнения (1) имеет более «резкий» характер
по сравнению с переменными у и у{Ь) из уравнения (2). Подчеркнем также, что в
настоящее время известны только приближенные периодические решения уравнений (1) и (2), по которым в зависимости от значений пераметров и 04 можно
оценить амплитуду и частоту колебаний. При этом очевидно, что чем меньше /х*,
