CC BY
81
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Башарин А.В., Новиков В.А., Соколовский Г.Г. Управление электроприводами. - Л.: Энергоиздат, 1982.
2. Справочник по автоматизированному электроприводу/Под ред. В.А. Елисеева и А.В Шинянского. - М.: Энергоатомиздат, 1983.
3. Ключев В.И. Теория электропривода. - М.: Энергоатомиздат, 2001.
4. Белов М.П., Новиков В.А., Рассудов Л.Н. Автоматизированный электропривод типовых производственных механизмов и технологических комплексов. - М.: Издательский центр "Академия", 2004.
5. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. - М.: Энергоатомиздат, 1994.
6. Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управ-ления/Под ред. А.А. Колесникова. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. Ч. II.
7. Ильинский Н.Ф, Рожанковский Ю.В., Горнов А.О. Энергосбережение в электроприводе. - М.: Высшая школа, 1989.
Ал.А. Колесников
СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ГЕНЕРАТОРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ
КОЛЕБАНИЙ
Введение
В зарубежной и отечественной научно-технической литературе в течение многих десятилетий изучаются свойства трех основных, базовых моделей осцилляторов — генераторов нелинейных колебаний:
— модель Ван-дер-Поля
ж(£) — /XI (1 — а!1ж2)ж(£) + и>2х = 0; (1)
— модель Релея
у(г) - ц2(1 - а2у2)у((Ь) + и2у = 0; (2)
— модель Пуанкаре
х\(£) = — и1х2 + х\(А2 — х\ — х\);
Х2 (£) = + + Х2 (А2 — х\ — х\).
Исследованию и применению этих моделей, описывающих поведение широкого класса технических систем и устройств, посвящены десятки монографий и тысячи статей. Заметим, что модели Ван-дер-Поля и Релея тесно связаны между собой, так как если продефференцировать уравнение (2) по времени, а затем ввести новую переменную х = у(Ь), то в результате из (2) получим уравнение (1). Это означает, что поведение переменных х и х{Ь) из уравнения (1) имеет более «резкий» характер по сравнению с переменными у и у{Ь) из уравнения (2). Подчеркнем также, что в настоящее время известны только приближенные периодические решения уравнений (1) и (2), по которым в зависимости от значений пераметров /х* и 04 можно оценить амплитуду и частоту колебаний. При этом очевидно, что чем меньше /х*,
тем ближе колебания к гармоническим, и, наоборот, для больших /х* наблюдаются резкие релаксационные колебания. Что же касается уравнений Пуанкаре (3), то для них найдены точные аналитические решения. Действительно, введя полярные координаты х\ = гсовф и = гвтф и подставив их в (3), найдем
г(^) = т(А2 — г2) и ф(Ь)=ш. (4)
Решения уравнений (4) имеют следующий вид:
Г^=Л^Т(А -г2)е-2^; Ф(*)=“* + Фо- (5)
Из (4) и (5) следует, что в системе (3) с течением времени устанавливаются устойчивые гармонические колебания с амплитудой А и частотой си:
х1з(г) = Асов(сиг + ф0); х2з(^) = Авт(сиг + фо). (6)
Укажем теперь на одно отличительное свойство уравнений (3), почему-то редко подчеркиваемое в литературе. Для этого обозначим функцию
ф = А2 — х\ — х 2 (7)
как некоторую энергетическую макропеременную, где А — энергия колебаний. Тогда, если предположить, что ф = 0 (7), то из системы (3) получим уравнение
Ж 1^(2) + и2хрф = 0. (8)
Используя 'ф = 0 (7), можно уравнения (8) записать в свернутом виде:
Х1^{г) = ±^А2- ^2х21ф.
Это означает, что на многообразии ф = 0 поведение системы (3) описывается консервативной моделью (8), имеющей гармоническое решение типа (6). Между тем система (3) — это, вообще говоря, диссипативная система, что нетрудно показать, вычислив ее дивергенцию:
сИух(£) = !- + -г--- = 2(А — х? — Хп) — 2ж? — 2х\ < 0.
ох I ох 2
Дело в том, что на многообразии ф = 0 (7) устанавливается баланс между подводимой энергией и энергией рассеивания. Итак, все траектории системы (3) притягиваются к гармоническому аттрактору ф = 0 (7) — устойчивому предельному циклу на ее фазовой плоскости. К сожалению, такого рода аналитические выражения для предельных циклов у моделей Ван-дер-Поля (1) и Релея (2) выявить до сих пор не удалось.
В настоящее время в литературе имеются и некоторые другие виды уравнений автоколебательных систем, существенно уступающие по популярности моделям Ван-дер-Поля и Релея. Следует, однако, особо подчеркнуть, что в литературе отсутствуют регулярные методы аналитического синтеза автоколебательных систем. Обычно — это результат удачи и везения, требующий громоздких преобразований и не очень ясных рассуждений.
Покажем далее эффективность метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов — АКАР [1] для решения нелинейной проблемы синтеза разных автоколебательных систем с заранее заданными амплитудой и частотой гармонических колебаний.
1. Универсальный осциллятор Ван-дер-Поля — Релея — Дуффинга
Предположим, что имеется система
i,\(t)=X2, ±2{t)=u. (9)
Требуется синтезировать закон обратной связи и(х i, Ж2), обеспечивающий в фазовом пространстве замкнутой системы существование соответствующих гармонических аттракторов — устойчивых предельных циклов с желаемой амплитудой и частотой автоколебаний. Согласно методу АКАР, введем следующую макропеременную:
ф\ = А2 — F(x 1) — 0, 5x2 ■ (Ю)
Тогда, используя функциональное уравнение
Tiipi(t) +xl'tpi = 0,
в силу уравнений (9) и (10) найдем закон обратной связи
dF Х2 , , ч
щ = -а7, + т,*‘ (11)
Уравнение замкнутой системы (9), (11) принимает вид
хл(t) - [А2 - F(xi) - 0, 5i2]ii(t) + = 0- (12)
В зависимости от выбранной потенциальной функции F(x i) можно получить разные типы автоколебательных систем (12), которые имеют на многообразии ф\ = 0 (10) соответствующие типы движения, например:
а) гармонические
FT{xi) = 0,buj2x\] (13)
б) ПО Дуффингу Ых1) = 0) 5uj2x2 + рхА. (14)
в) по Тоду
г) солитонные
^т(х1) = еХ1 + XI] (15)
Рс{х\) = ах\ — рх\ (16)
и др.
Подставив соответствующие потенциальные функции (13) - (16) в (12), можно получить: генератор гармонических колебаний, генератор Дуффинга, генератор Тода или генератор солитоноподобных колебаний и др. Так, например, используя _Рд(ж1) (14), получим, согласно (12), уравнение универсального осциллятора Ван-дер-Поля - Релея - Дуффинга:
Х1(*) — — [А2 — 0, 5си2х2 — [Зх\ — 0, 5ж2(£)]ж1(£) + ю2х\ + 4/Зж^ = 0. (17)
1
На многообразии ф = 0 система (17) описывается уравнением Дуффинга
Х1ф(г) + ш2Х1ф +4/Зж^ = 0, (18)
обладающим в зависимости от соотношений между и /3 разными динамическими свойствами. При /3 = 0 из (18) имеем консервативное уравнение, совпадающее с (8), а уравнение (17) превращается в уравнение универсального осциллятора Ван-дер-Поля - Релея
х^) - [А2 — 0, Ьш2х\ -0, Ы21(г)\±1(г) +Ш2Х1 = 0, (19)
1
имеющее асимптотически устойчивый гармонический аттрактор — предельный цикл, к которому притягиваются траектории со всей фазовой плоскости. Иначе говоря,
выражение (19) — это генератор гармонических автоколебаний с заданными амплитудой А и частотой и. Он объединяет генераторы Ван-дер-Поля (1) и Релея (2) в универсальный нелинейный осциллятор нового класса.
Очевидно, что если и2 1, то член 0, Ъи2х\ будет иметь доминирующее влияние по сравнению с членом 0, Ъх\. В этом случае уравнение (19) по своим свойствам будет ближе к свойствам уравнения Ван-дер-Поля. И, наоборот, если и2 <С 1, доминировать будет член 0,5±1, и тогда уравнение (19) будет подобно уравнению Релея (2). На рис. 1-3 приведены результаты моделирования генератора (19) с параметрами А = 1; и = 1; Т = 0,5 и хю = 1; Х20 = 0, а на рис. 4 - 6 — с параметрами А = 1; и = 10; Т = 0,5. Эти результаты полностью подтверждают теоретические положения метода АКАР.
Рис. 1. Изменение ад(£)
Рис. 3. Фазовый портрет
Рис. 2. Изменение Х2 (£)
1.2
0.8
0.4
х^)
0 5 10 15
Рис. 4■ Изменение Х\{Ь)
Рис. 5. Изменение Х2 (£)
Рис. 6. Фазовый портрет
Таким образом, применение метода АКАР позволило аналитически синтезировать универсальную автоколебательную систему (19), объединяющую модели
Ван-дер-Поля и Релея и обладающую явными преимуществами по отношению к каждой из этих широко известных автоколебательных систем.
2. Эталонный осциллятор маятникового типа
Синтезируем теперь автоколебательную систему на основе макропеременной
■02 = ^-2 +/?со8 7Ж1 — 0, 5^2. (20)
Тогда, подставляя -02 в функциональное уравнение
Т2Ф2 (^) +^2^2 = 0, находим в силу уравнений (9) закон обратной связи
Х“2
«2 = -/37вШ7Ж1 + —ф2- (21)
-12
Запишем уравнение замкнутой системы (9), (21):
^1(^0 — ттг (^2 + /ЗС08 7Ж1 — ж!(£))ж2(£) + = 0. (22)
На многообразии -02 = 0 (20), являющемся интегралом движения, уравнение (22) вырождается в известное уравнение математического маятника
Ж1(£) + /З'увт'ух-^ф = 0.
На основе уравнения (22) можно построить разные виды автоколебательных систем. Так, например, приближенно представляя функции
73
8Ш7Ж1 = 7Ж1------—ж? и 0087x1 = 1 — 0, 572ж?, (23)
6
получаем из (22) уравнение
1 иР1 ^
^1^) “ 7+ /3 — о, 5с^2ж2 - ±1(г))±1(г) + с^2Ж1 - = 0, (24)
±2 Ь
структурно совпадающее с (17). В работе [2] уравнение маятникового типа
х\(1,) — ЦХ1 соърх\ + эшж! = 0 (25)
было названо эталонным. Это уравнение в колебательной области обладает предельными циклами, число которых равно (р — 1), где р ^ 1. Во вращательной области уравнения (25) предельные циклы отсутствуют. На основе (25), используя разложения (23), можно получить уравнение Ван-дер-Поля - Дуффинга
хМ) — /х(1 — 0, 5р2ж?)ж](£) + 7Ж1----—ж? = 0, (26)
6
являющееся частным случаем обобщенных уравнений (17) и (24).
В целом уравнение (22), синтезированное с помощью метода АКАР и обладающее более общими свойствами по сравнению с выражением (25), относится к
классу обобщенных эталонных уравнений маятникового типа. На основе (22) можно построить разные виды маятниковых систем.
3. Универсальный осциллятор типа Пуанкаре
Базовые модели осцилляторов Ван-дер-Поля (1) и Релея (2), а также синтезированные выше модели универсального осциллятора (17) и эталонного осциллятора
маятникового типа (22) имеют форму нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка „(<) _ /(^ ^ + ^ = 0 ^
Однако, помимо формы (27) в приложениях может оказаться более удобным представление осцилляторов в виде системы из двух симметричных нелинейных дифференциальных уравнений типа осциллятора Пуанкаре (3). В этой связи применим метод АКАР для синтеза такого рода симметричных осцилляторов, генерирующих автоколебания с заранее заданными амплитудой и частотой. Предположим, что имеется система дифференциальных уравнений
хЛЬ) =х2 + к\и\
(28)
хг(^) = — со х\ + к2и,
в правую часть которой входит некоторая функция координат и (ж 1,3:2). Требуется синтезировать и{х 1,2:2) таким образом, чтобы в системе (28) всегда возникали автоколебания желаемой амплитуды А и частоты из. В соответствии с методом АКАР введем следующую энергетическую макропеременную:
ф = А2 — 0, Ью2х\ — 0, Ьх\. (29)
Тогда, подставляя ф (29) в функциональное уравнение
Тф(Ь) + Р(х1,х2)ф = О,
в силу уравнений системы (28) найдем закон обратной связи
и(х 1, х2)(к1си2х1 + к2х2) = Х2^ф.
Выберем функцию Р(х 1, х2) = (к\и)2Х1 + к2х2)2 > 0, тогда будем иметь
(к\и>2Х1 + к2х2) и{х 1,х2) = ------—--------ф. (30)
Запишем теперь уравнения замкнутой системы (28), (30):
х\(і) =х2 + —(к\и)2хі + к2х2)(А2 — 0, Ъиз2х\ — 0, Ьх\)\ к2
Х2Іі) = — и>2х\ + —{к\иі2хі + к2х2)(А2 — 0, Ъиз2х\ — 0, Ъх\)
(31)
Полученная симметричная система (31) — это универсальный осциллятор типа Пуанкаре (3). На многообразии ф = 0 (29) функция и = 0 (30), а система (31) описывается вырожденными уравнениями
З'І'фії) Х2-ф , х2-ф (^ иЗ XI,
точно совпадающими с (8). Это означает, что через некоторое время, определяемое параметром Т, в системе (31) всегда возникают устойчивые гармонические колебания с заданными амплитудой и частотой. На рис. 7, 8 приведены результаты моделирования системы (31) с параметрами А = 1; из = 1; к\ = к2 = 1; Т = 0,5, а на рис. 9 и 10 — с параметрами А = 1; из = 10; к\ = 10; к2 = 1; Т = 0, 5. Эти результаты также подтверждают теоретические положения метода АКАР.
Очевидно, что в зависимости от соотношения между коэффициентами к\ и к2 система (31) будет подобна либо модели Пуанкаре (3), когда к\ ~ к2, либо модели осциллятора Ван-дер-Поля - Релея (19), когда к\ к2 или к2 к\. Так, например, если предположить, что к2 к\ или к\ = 0, то из (31) получаем
х2(г)
Рис. 1. Изменения Х\{1) и Х2^)
хг(^) хг(^)
Рис. 9. Изменения Х\{1) и Х2^)
Рис. 8. Фазовый портрет
Рис. 10. Фазовый портрет
х\{Ь) — — 0, Ъи2х\ — О, Ъх^)х\{Ь) + и2Х1 = 0. (32)
И, наоборот, если к± или /с2 = 0, аналогично имеем
к2
х2 (£) — (А2со2 — 0, 5со2х1 — 0, Бх^) ^2 (£) + ш2х2 = 0. (33)
Обе системы, как (32), так и (33), — это модели типа осциллятора (19).
В целом это означает, что синтезированный универсальный осциллятор (31) типа Пуанкаре включает в себя как частный случай также и модель осциллятора Ван-дер-Поля - Релея (19) и др.
4. Унифицированный генератор с инерционной нелинейностью
В литературе после работы К.Ф. Теодорчика [3] многие годы изучаются т.н. «генераторы с инерционной нелинейностью». Эти генераторы представляют собой автоколебательную систему, в которой генерация колебаний происходит за счет цепи обратной связи, реализующей инерционное взаимодействие между динамическими переменными [4-6]. Такого рода автоколебательные системы обычно описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений следующего вида [5]:
х(г) + ^1(ж,г,Д1,. ..цк)х(£) + ^2(ж,г,Д1, ...[1к)= о,
г(€) = ^з(ж,г,//1,.
где х — переменная, совершающая периодические колебания, — некоторые нелинейные функции, z — координата обратной связи. Требуется выбрать функцию таким образом, чтобы в системе возникали периодические колебания переменной ж(£) с желаемыми регулярными или хаотическими характеристиками [4-7].
Оказалось, что к структуре вида (34) может быть приведено подавляющее число известных нелинейных колебательных систем третьего порядка, в том числе и систем с хаотической динамикой типа Лоренца, Рёслера, Чуа и др. Исследованию систем вида (34) много внимания уделялось в работах B.C. Анищенко [5, 7].
В этой связи, следуя [5], рассмотрим важную задачу построения модифицированного генератора с инерционной нелинейностью. В безразмерных переменных модель такого рода генераторов описывается следующими уравнениями:
х(т) = гпх + у — xz — dx3; у(т) = —х; i(r) = Fs(x, z, jj,i,... (35)
где z — выходная переменная инерционного преобразователя, то — параметр возбу-
ждения. В работе [5] функция F3 представлена в виде
F3 = —Xz + АФ(ж), (36)
где А — параметр инерционности генератора. Динамические свойства генератора (35) существенно зависят от вида функции Ф(ж) в (36), формирующей характеристики инерционного преобразователя. Экспериментально и путем моделирования было показано [5], что генератор (35) обладает весьма разнообразными свойствами, включая хаотические и бифуркационные, если в (36) используется функция
0 I 1, если х > О,
Ф(х)=/(х)х2; 1{х)= ’ ’ (37)
I 0, если х ^ 0.
Модифицированный генератор (35) с функциями F3 (36), Ф(ж) (37) обладает богатой картиной поведения и получил в литературе название «генератор Анищенко— Астахова» [5, 7]. Он демонстрирует как регулярные колебания, так и детерминированный хаос. Исключив переменную у, запишем (35) с учетом (36) в виде (34), т.е.
x(t) — (m — z — 3 dx2)x(t) + [1 — Xz + АФ(ж)]ж = 0,
z(t) = — Xz + АФ(ж). ^ ^
При A —> 0, т.е. в случае сильной инерционности, система (38) вырождается в дву-
мерную х(т) - а( 1 - Ьх2)х(т) = 0, (39)
где а = то — zq; Ъ =-------; zq = -г(О). По своей форме (39) — это известная модель
ТО — ZQ
генератора Ван-дер-Поля (1), параметры которого не зависят от вида функции Ф(ж), но зависят от начальных условий переменной z(0) = zо- Другой предельный случай возникает, если А —> оо, что соответствует асимптотике безынерционного генератора. В этом случае из (36) следует, что z = Ф(ж), а уравнение генератора (35) принимает следующий вид: ^ ^ _ ед _ ^2]±{т) +х = ^ {щ
Очевидно, что положив в уравнении (40) функцию Ф(ж) = ж2, мы снова получаем известную модель Ван-дер-Поля (1). Разумеется, что в реальном генераторе (35) параметр инерционности А ограничен некоторым интервалом Ai ^ А ^ А2, который и определяет действительные свойства модифицированного генератора Анищенко -Астахова (35), тщательно исследованного в монографии [5].
Синтезируем теперь функцию F3 в (35), используя метод АКАР. Для этого запишем (35) в форме
х(т) — (то — z — Зс£е2)ж(т) + х + xz{t) =0,
z{t) = F3. (41)
Согласно методу АКАР, введем, например, следующую макропеременную:
ф = г — ф(х).
Тогда, подставляя ф (42) в функциональное уравнение
Тф(т) + ф = О,
(42)
(43)
находим функцию
(44)
Тогда на основе (41) и (44) можно построить уравнения унифицированного генератора с инерционной нелинейностью:
Изображающая точка системы (45), согласно (43), через время (3 4- А)Т из любых начальных условий жо, жо, го неизбежно попадает на инвариантное многообразие ф = 0 (42), движение вдоль которого описывается декомпозированным уравнением:
В зависимости от вида выбираемой функции ф(ж) уравнение (46) будет обладать различными динамическими свойствами. Положив, например,
получим, согласно (45), уравнения соответствующего конкретного генератора
Генератор (48) по своей структуре отличается от генератора (38), где Ф(ж) = ж2, наличием дополнительного члена 2аж • ж (г) в уравнении инерционной обратной связи. Это позволило однозначно гарантировать генерацию периодических колебаний. Действительно, на многообразии ф = 0 (42) генератор (47), согласно (46), преобразуется в типовой генератор Ван-дер-Поля:
свойства которого, в отличие от (40), не зависят от начальных условий го. Кроме того, в (49) без ограничения общности можно положить с1 = 0. Иначе говоря, генератор (48) обладает устойчивым предельным циклом, на котором неизбежно возникают устойчивые периодические колебания.
На рис. 11-13 приведены результаты моделирования генератора (48) с параметрами: то = 0,15; Т = 30; а = с1 = 1, а на рис. 14-16 — с параметрами: то = 1,5; Т = 3; а = й = 1. Эти результаты подтверждают эффективность метода АКАР для синтеза модифицированных генераторов с инерционной нелинейностью.
Разумеется, что выбрав, помимо (47), другие функции ф(ж), можно построить разные классы генераторов (45) с инерционной нелинейностью.
(45)
(46)
ф( ж) = аж2,
(47)
ж (г) — [то — г —
3(а + д)х2] х(т) + И +
а 9 \
----ж ж = 0,
Т I
(48)
(49)
Рис. 11. Изменение х{€)
Рис. 13. Фазовый портрет
Рис. 12. Изменение х{€)
Рис. Ц- Изменение х(і)
Рис. 15. Изменение х(і)
Рис. 16. Фазовый портрет
Таким образом, на основе метода АКАР синтезированы новые классы универсальных нелинейных осцилляторов, охватывающие, как частный случай, модели известных осцилляторов (1) - (3) и превосходящие их по своим динамическим свойствам. Другие виды механических и электромеханических автоколебательных систем, синтезированные методом АКАР, приведены в работе [8].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. - М.: Энергоатомиздат, 1994.
2. Морозов А.Д. и др. Инвариантные множества динамических систем в ЛУіпск^й. - М.: УРСС, 1998.
3. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. - М.: Гостехиздат, 1952.
4. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. -М.: Наука, 1987.
5. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. - М.: Наука, 1990.
6. Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны. - М.: Физматлит, 1997.
7. Анищенко B.C., Владивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы/Под ред. B.C. Анищенко. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999.
8. Колесников Ал.А. Синергетическое управление нелинейными колебаниями. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003.
В.Ф. Глазунов, А.А. Репин
АДАПТИВНО-СИНЕРГЕТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ БЕСКОНТАКТНЫМ СИНХРОННЫМ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕМ
Введение
Одной из задач, стоящих сегодня перед промышленностью, является переоснащение производства на основе его комплексной автоматизации. Приоритетным направлением в этой области уже на протяжении нескольких десятилетий остается развитие электрического привода (ЭП), составляющего основу многих сложных технических систем.
Современные автоматические системы ЭП строятся в подавляющем большинстве случаев на основе бесконтактных двигателей переменного тока [1]. Наибольшее распространение получили асинхронные двигатели с короткозамкнутым ротором (АДКР) и синхронные двигатели с возбуждением от постоянных магнитов (СДПМ).
Главным преимуществом АДКР является низкая стоимость их производства и простота конструкции. Однако в системах ЭП, где требуется постоянство угловой скорости вращения при изменении нагрузки на валу и величины напряжения сети, целесообразно применять СДПМ [1]. Такие двигатели, являясь, так же как и АДКР, бесконтактными, имеют большой воздушный зазор, что значительно повышает их надежность, энергетические и массогабаритные показатели, стабильность частоты вращения. К тому же, в последнее время существенно улучшились свойства материалов, используемых в качестве постоянных магнитов, что позволило снизить стоимость двигателя при значительном повышении его эксплуатационных характеристик [2]. Указанные достоинства позволяют создавать на базе СДПМ и транзисторных автономных инверторов высокоточные прецизионные ЭП с широким диапазоном регулирования скорости и момента.
Общеизвестна область применения СДПМ - это ЭП станков с числовым программным управлением, роботов, а также лентопротяжных механизмов бытовой и студийной аппаратуры для звуко-, видео- и магнитной записи, медицинских аппаратов, установок связи и телевидения [1].
Бурное развитие современных микропроцессорных средств открывает возможность программной реализации весьм а сложных законов управления ЭП с СДПМ, в частности законов многоканального (векторного) управления. Теория синтеза многоканального управления, снимающая практически все ограничения по раз-
