Метод селективного численного анализа спектра оператора, компактного в гильбертовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 9, № 3, 2004

МЕТОД СЕЛЕКТИВНОГО ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА СПЕКТРА ОПЕРАТОРА, КОМПАКТНОГО В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

И. В. Никифоров, В. И. ТАРАКАНОВ Сургутский государственный университет, Россия e-mail: igoni@stsland.ru

A method of selective numerical analysis of spectrum of compact in Hilbert space operator, is considered in the case, when the eigenvalues, which are the nearest to some given number, are being found. Vibration eigenfrequencies of the rope, which is loaded by the various longitudinal forces, are obtained using the suggested method.

Введение

Рассматривается процедура селективного численного анализа спектра оператора, компактного в гильбертовом пространстве, когда ищется собственное число, ближайшее к некоторому заданному числу.

Пусть дан компактный в гильбертовом пространстве H оператор A : H ^ D С E С H. Предполагается, что оператор A симметричен на некотором множестве E С H и его ядерное пространство на этом множестве нулевое

(u, Av) = (v, Au) Vu,v G E, Ker A = 0. (0.1)

Кроме того, предполагается, что оператор A знакопостоянен, причем, не теряя общности, можно считать его положительным

(u,Au) > 0 Vu G E. (0.2)

Спектральные свойства такого оператора известны, в частном случае E = H они получены еще в классических трудах Гильберта, Шмидта [1] и излагаются в [2-4]. Для случая, когда E G H не совпадает с H, соответствующие результаты приведены в [5].

Под селективным анализом спектра такого оператора понимается следующая задача. Требуется найти значение спектрального параметра Am спектрального уравнения

Afcyk = Ayfc, k =1, 2, 3..., (0.3)

которое находится на ближайшем расстоянии от некоторого заданного числа a G (0, то), т. е. найти Am по условию

|a - Am| = min|a - Ak(0.4)

кем

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2004.

Следует заметить, что задачу (0.4) формально можно решать перебором, начиная с максимального собственного числа А1, по порядку уменьшения собственных чисел, пока не получится собственное число Ат. Такая процедура возможна на основе использования вариационного принципа Рэлея для собственных чисел [6, 7] либо на основе использования итерационных методов [3, 5]. Однако такой способ достаточно громоздкий в реализации и, кроме того, связан с накоплением численных ошибок, что приводит к его низкой эффективности, если т >> 1.

Поэтому понятие селективного анализа можно уточнить следующим образом. Это решение задачи (0.4) сразу без перебора собственных чисел, начиная с максимального.

Необходимо отметить, что задача (0.4) отличается от задачи нахождения собственного числа Ап оператора А с заданным номером п, которая решается на основе минимаксного принципа Куранта [6, 7].

Проблема селективного анализа спектра имеет много приложений, в качестве которых можно привести три задачи.

Задача 1. Определить резонанс механической или физической системы под действием внешней периодической нагрузки с заданной частотой П. Для исследования резонанса необходимо найти частоту собственных колебаний системы находящуюся на ближайшем расстоянии от заданной частоты П.

Задача 2. Дан линейный, компактный, симметричный, положительный оператор А в гильбертовом пространстве, нелинейно зависящий от некоторого параметра а. Требуется найти значение этого параметра а из спектрального уравнения

у = А (а) у. (0.5)

Уравнению (0.5) сопоставляется спектральное уравнение

А (а) у = А (а) у. (0.6)

Уравнение (0.6) эквивалентно уравнению (0.5), когда А (а) = 1, именно эти значения параметра а будут спектральными параметрами уравнения (0.5).

Задача (0.6) для фиксированного а решается как задача селективного анализа собственных чисел оператора А, т.е. нахождения собственного числа Ат (а), ближайшего к единице. При решении этой задачи последовательно для разных значений а находится зависимость Ат = Ат (а), из которой определяются те значения а, для которых Ат (а) = 1.

Задача 3. Рассматривается операторное уравнение

у = Ау + /, / е Я, (0.7)

где А — компактный, симметричный, положительный оператор в гильбертовом пространстве Я.

Вопрос о существовании решения уравнения (0.7) связан с необходимостью нахождения собственного числа Ат оператора А, ближайшего к единице. Если Ат = 1, уравнение (0.7) всегда разрешимо при любом элементе /. Если Ат = 1, то для разрешимости уравнения (0.7) необходимо выполнение условия (/, ут) = 0.

В практических задачах а задается с некоторой погрешностью, поэтому задача (0.4) рассматривается с позиции строгой математической постановки в дополнительном предположении

а = 1(Ак + Ак+1), к = 1, 2, 3..., (0.8)

которое при численном решении не является обременительным. Задание а, точно удовлетворяющее условию а =1/2 (А& + Ад;+1) для некоторого к, маловероятно, а чтобы уменьшить эту вероятность, расчеты можно дублировать, задавая достаточно близкое к а значение а1 .

1. Схема селективного анализа

Селективный анализ спектральных параметров оператора проводится в два этапа. На первом этапе ищется максимальное собственное число Ai на основе итерационной схемы [5]

Tfc+izfc+i = Azk, k = 1, 2, 3..., zi = Ah, (1.1)

Tfc+i = ||Azfc ||/||zfc II, lim Tfc+i = Ai, lim zfc = Ai^i = A^b

k^x k^x

где элемент h G H задается произвольно с дополнительным условием || Ah|| = 0, (^i, Ah) = 0.

Если заданное число а в селективном анализе удовлетворяет неравенству а > Ai, то, очевидно, выполняется условие

Am = Ai- (1.2)

Если выполняется неравенство

0 < а < Ai, (1.3)

то используется итерационная схема

Tk+iZk+i = Gzk, k =1, 2, 3...; (1.4)

zi = Ah, h G H, ||GAh|| = 0, Ah) = 0; (1.5)

G = A?/ - (а/ - A)2 = (A? - а2) / + 2aA - A2; (1.6)

Tk+i = ||Gzk||/||zk ||, (1.7)

где / — единичный оператор, h G H задается произвольно.

Условия (<^i, Ah) = 0, (<^m, Ah) = 0 априори проверить нельзя, однако при численных расчетах это не создает какую-то серьезную проблему, так как при произвольном задании h точное выполнение условий (^i, Ah) = 0, (<^m, Ah) = 0 маловероятно, а чтобы уменьшить эту вероятность, расчеты можно дублировать, задавая другое выражение h. В приведенных здесь численных расчетах именно такое дублирование и выполнялось.

Не рассматривая тривиальный случай Ah = <^m, можно сформулировать следующий результат.

Теорема 1. Итерационный процесс (1.4) сходится, параметр Tk, монотонно увеличиваясь на итерациях, стремится к величине ß

lim Tk = ß, Tk+i > Tk. (1.8)

k^x

Величина ß связана с собственным числом Am оператора A соотношением

ß = Ai - (а - Am)2, (1.9)

Am^m = A^m, lim ||Zk - Cm^m|| = 0, (1.10)

k^x

а собственное число Am удовлетворяет условию (0-4)-

Доказательство. Из соотношений (1.4), (1.6) следуют условие zk £ E, k = 1, 2, 3... и условие симметричности оператора G на множестве (z&}. Скалярно умножая левые и правые части (1.4) сами на себя с учетом (1.7), получим

||zfc+i|| = ||zfc II = ... = ||Ah||. (1.11)

Записывая (1.4) для индексов k и k+1

Tfc+1zfc+1 = Gzfc, Tfc+2zfc+2 = Gzfc+b (1.12)

умножая скалярно первое уравнение на второе — на и вычитая эти равенства,

можно записать

(zfc+2, zfc) - ||zk+1|2 = (Tfc"+12 - т-+\) (zfc+b Gzfc) . (1ЛЗ)

Кроме того, из (1.4) следует

||zk+1|2 = Т-+1 (zfc+1,Gzfc). (1.14)

Из (1.1З), (1.14) с учетом (1.11) получается

||zfc ||2 + ||Zfc+2 ||2 - 2 (zfc+2,zfc) = 2 (l - Т^) ||zfc ||2,

(1.15)

|^+2 - zk II2 = 2(1 - Тй) II2.

Отсюда и из соотношения (1.7) следует

1 - ^ > 0, Тк+1 <Тк+2. (1.16)

Так как оператор А компактный и, значит, ограниченный, справедливо неравенство || < ||, с > 0, но тогда ограниченным будет и оператор С: || < с^^||, С1 > 0, а из соотношения (1.7) следует ограниченность монотонно возрастающей последовательности

тк : тк < С1 < то. (1.17)

Поэтому существует предел (1.8).

Так как Zfc £ Е, то в силу свойств оператора А [5] все элементы Zfc разлагаются в ряд по собственным элементам ^ оператора А:

^ = 5^а ^ ^ ^ = 1 (1Л8)

^=1

||zk||2 = Е а? (k) = ||Ah||2. (1.19)

j=1

Из итерационной схемы (1.4) следует

Y1 а(k +1) =Y1 а(k) [A1- (а - Aj)2] rfc+11^j. j=1 j=1

00

эо

эо

Отсюда получается

а,- (к + 1) = а,- (k) [A? - (а - A,)2]т-Д. (1.20)

В силу соотношения (1.19) и монотонного возрастания параметра тк+1 к пределу ^ следует

[А? - (а - А,-)2] < 1 У; € N. (1.21)

Если бы условие (1.21) не выполнялось для какого-нибудь индекса ;, то тогда || ^ то, что противоречит равенству (1.19).

Обозначим через Ат значение А,, если оно существует, для которого соотношение (1.21) переходит в равенство.

В силу монотонного возрастания тк к пределу неравенства (1.21), неравенства а > 0, дискретности спектра А, и наличия точки сгущения спектра только в нуле существует такой номер к0, что при к > к0 будет выполняться

т-Л [А? - (а - А,)2] < Ь < 1, А, = Ат. (1.22) А из условия тк+1 < ^ следует

[А1 - (а - А,)2] < Ь < 1, А, = Ат. (1.23) Рассмотрим ряд £ а2 (к). В силу соотношений (1.20), (1.22) выполняется

,=1,,=т

x x x

а2 (к) < а2 (ko)bk-ko < а2

j=i,j=m j=i,j=m j=i,j=m

Поэтому в соответствии с признаком равномерной сходимости Вейерштрасса ряд

x

У] а^ (k) сходится равномерно относительно параметра k, так как он мажорируется

j=i,j=m

x 2 2

абсолютно сходящимся рядом а2 (k0) < ||Ah|| и этот ряд допускает замену поряд-

j=i,j=m

ка предельного перехода по параметру k и суммирования

x x x

lim У а2 (k)= У lim а2 (k) < V lim а2 (ko) bk-ko = 0. (1.24)

k^x z—' j z—' k^x j z—' k^x j

j=i,j=m j=i,j=m j=i,j=m

Из соотношения (1.24) следует, что значение Am действительно существует, так как в противном случае из (1.19), (1.24) получилось бы равенство ||Ah|| = 0, что противоречит условию (1.5). А из (0.8) следует, что значение Am может быть только одно. По этой же причине должно выполняться

lim am (k) = cm = 0. (1.25)

k^x

Таким образом, существует Am, для которого выполняется

ß-i [A2 - (а - Am)2] =1. (1.26)

А из (1.18), (1.24), (1.25) следует

lim ||Zk - Cm^m|| = 0. (1.27)

k^x

Поэтому условия (1.9), (1.10) теоремы выполняются.

Сравнивая (1.26) и (1.23), получим (а — Ат)2 < (а — А,)2, ] = т, что доказывает выполнение условия (0.4).

Замечание 1. Результаты теоремы дают возможность на основе итерационного процесса (1.4) решать задачу селективного анализа спектра, когда выполняется условие 0 < а < А1.

Замечание 2. Из теоремы следует, что при изменении параметра а в пределах 0 < а < А1 функция у (а) = [Ат (1/а)] 1 будет кусочно-постоянной, неубывающей функцией параметра 1/а.

Действительно, пусть А,+1 < а < А,, тогда при А,+1 < а < 0.5 (А, + 1) итерационный процесс (1.4) будет сходиться к величине А^+1, а при 0.5 (А, + А^+1) < а < А, — и к величине А,. При значении а = 0.5 (А, + А,+1) функция у (а) терпит разрыв.

Замечание 3. На первый взгляд кажется, что выбор вспомогательного оператора С

С = (А1 - а2) / + 2аА - А2 = Л?1 - (а/ - А)2

достаточно тривиален и якобы может основываться на следующих простых рассуждениях. Если ( — собственный элемент оператора А

А( = А(,

то ( будет и собственным элементом оператора С: С( = При этом между собственными значениями А существует связь

^ = (А1 - а2) + 2аА - А2 = А2 - (а - А)2.

Поэтому для нахождения А, ближайшего к заданному числу а, и соответствующего собственного элемента ( необходимо, чтобы значение ^ было максимальным, что и реализуется в известной итерационной схеме. Приведенные рассуждения фактически несостоятельны по следующей причине. Любой собственный элемент оператора А является и собственным элементом оператора С, но обратное утверждение неверно. Можно доказать даже большее: если /тА бесконечномерен, то существует бесконечное множество параметров а : 0 < а < А1, удовлетворяющих условию (0.8), для которых оператор С имеет собственные значения ^ (а) и собственные элементы : Сфа = но эти собственные элементы не являются собственными элементами оператора А : Афа = Афа.

Пусть (, — произвольные собственные элементы оператора А, причем их собственные числа Аг, А, различны: Аг = А,, ] = г + 1. Возьмем в качестве параметра а значение

а = ^^А,, 0 <а<А1, 3 = г + 1. (1.28)

Очевидно, что таких значений существует бесконечно много.

С параметром а связывается собственный элемент оператора С : который выбирается следующим образом: = + , а = 0. Так как выполняется

С( = [А2 - а2 + 2аАг - А2](г, С( = [А2 - а2 + 2аА, - А2](-,

то в силу условия (1.28) получается

Л^ — а2 + 2aAi — А2 = Ai — а2 + 2aAj — А2 = ß, а из этого условия следует

Сфа = ^фа.

Однако фа не является собственным элементом оператора A, так как получается

A + a^j) = Ai+ aAj^j = Ai (^i + a<^j).

Все сказанное справедливо, конечно, и для случая, когда оператор G рассматривается в конечномерном пространстве, при этом множество значений а, которым будут соответствовать кратные собственные значения оператора G, будет конечным. Так как для практических целей необходимо нахождение не только собственных значений оператора A, удовлетворяющих условию (0.4), но и соответствующих собственных элементов, то отсюда следует, что выбор оператора G и обоснование итерационной схемы (1.4) нуждаются в корректном доказательстве, что и выполнено для теоремы 1.

Замечание 4. Если снять условие (0.2) в теореме 1 и предположить лишь, что оператор A имеет двухстороннюю точку сгущения спектра в нуле, т.е. для Ve > 0 в интервале (—e,e) существует бесконечное множество как положительных, так и отрицательных собственных чисел, то тогда второй этап селективного анализа спектра, когда необходимо найти собственное число Am, ближайшее к произвольно заданному числу а

/л II I Л I / Afc + Afc+i / Aj + Aj+i

0 < |а| < |Ai|, а =-, а = 2 , (1.29)

где Afc, Aj — соответственно положительные и отрицательные собственные числа, удовлетворяющие условию Afc+1 < Afc, |Aj+i| < |Aj |, сводится к следующей итерационной схеме:

Tfc+izfc+i = Gizfc, k = 2, 3, 4...; (1.30)

z1 = Ah, h e H;

Gi = 4A21 — (а/ — A)2 = (4A? — а2) / + 2аА — A2, (1.31)

Tfc+i = ||GiZfc ||/||zfc ||.

При этом аналогично доказательству теоремы 1 можно доказать следующий результат.

Теорема 2. Итерационный процесс (1.30) сходится, параметр Tk, монотонно увеличиваясь на итерациях, стремится к величине ßi:

lim rfc = ßi, Tfc+i > rfc.

fc^x

Величина ßi связана с собственным числом Am оператора A соотношением

ßi = 4Ai — (а — Am)2 ,

lim Zfc = ^m, Am^m = A^m,

fc^x

где собственное число Am удовлетворяет условию (0.4), а заданное число а находится в интервале (1.29).

2. Численная апробация схемы селективного анализа

Численная апробация схемы проводилась на исследовании резонанса при колебаниях троса, нагруженного продольным усилием при действии возмущающей поперечной нагрузки с заданной частотой колебаний.

Исходная система уравнений и краевых условий имеет вид [8]

(Ж (х) W¡x)>x = pW.it, 0 < х < /, N (х) > 0; (2.1)

W = 0, х = 0, W = 0, х = /, N (х) € С1(0, /), (2.2)

где W = W (х, Ь) — поперечное смещение троса; х — продольная координата по оси троса; Ь — время; р — погонная плотность; N(х) — продольное усилие. Решение ищется в виде

W (х, Ь) = и (х) г = У-Г, (2.3)

где П — собственная частота колебаний троса, и(х) — собственная форма колебаний. Для функции и(х) получается спектральная задача в дифференциальной форме

(Ж (х) и,х)>х + рП2и = 0, 0 < х < /, и (0) = и (/) = 0.

Введением безразмерной координаты £ = х/1, безразмерной частоты ш2 = р/2П2 (Ж0)-1, безразмерного усилия ^ (£) = N (£)/Ж0, где N — значение N (£) в некоторой точке £0, задача приводится к виду

(р (£) ил )л + ш2и = 0, 0 <£< Г, и (0) = и (Г) = 0. (2.4)

Спектральной задаче (2.4) сопоставляется спектральная задача в операторной форме с компактным оператором В в гильбертовом пространстве Н

Ву = Ау, А2 = ш-2. (2.5)

Пространство Н состоит из двухкомпонентных векторов

у = {У1,Ы, Н = {у = {У1,ы|у € ¿2 (0, Г)}.

В Н задаются скалярное произведение и норма

1

(и, г>) = У (^и1^1 + и2г>2) ||и||2 = (и,и). (2.6)

0

Вводится множество Е С Н:

Е = \ У = {У1,У2}

РУ1 € С(0, Г), у2 € С(0, Г), У у1 ^ = 0 )>. (2.7)

Оператор В имеет две компоненты —

И. В. Никифоров, В. И. Тараканов В1, В2, которые задаются следующим образом:

В!у = - £ ^0 + с Ы^ , В2у = у

(2.8)

с (У2) = - (/ 7) (/ £ (/ У2^1-

Выбор скалярного произведения в Н и множества Е предполагает, что функция ^ (£) должна удовлетворять условию ^ (£) > 0 и принадлежать множеству кусочно-непрерывных функций.

Оператор В обладает следующими свойствами:

1. Оператор В — компактный. Свойство компактности проверяется по условию компактности М. Рисса в Ь2 (0,1) [7], а так как в оператор В входят интегральные операторы, это условие выполняется.

2. Оператор В отображает Н ^ Е0 С Е С Н. Это свойство проверяется выполнением соотношений ^В1у € С (0,1) , В2у € С (0,1) , /0! В^£ = 0.

3. Оператор В — симметричен в Е, но не в Н. Это свойство проверяется интегрированием по частям в скалярном произведении (м,В^) , и, V € Е.

4. На множестве Е выполняется условие Кег В = 0, что проверяется дифференцированием по £ соотношения Ву0 = 0.

5. Оператор В имеет симметричный спектр, при котором каждому собственному числу Л и собственному элементу соответствуют собственное число —Л и собственный элемент — ^2}. Это непосредственно проверяется на основе соотношений (2.8). Следовательно, оператор В имеет двухстороннюю точку сгущения спектра в нуле.

6. Если положить

е

и = У у^£, Л2 = ц-2, (2.9)

о

то тогда спектральная задача (2.5) оказывается эквивалентной спектральной задаче (2.4). Проверка этого утверждения сводится к дифференцированию соотношения (2.5) по £ и подстановке соотношения (2.9).

Перечисленные свойства оператора В позволяют заменить селективный анализ уравнения (2.4) на селективный анализ уравнения (2.5) и, учитывая свойство 5 оператора В, использовать теорему 2 для нахождения спектрального параметра Лт, ближайшего к некоторому заданному числу а:

0 < |а| < |Л11 |Лт — а| = шт|Л^ — а|. (2.10)

Заданное число а связано с заданной частотой колебаний внешней силы П0 соотношением а2 = ц-2, Ц = р/2П0 (N0) 1. В этом случае резонанс получается при условии Лт = а. В силу симметричности спектра оператора В достаточно рассмотреть только положительные значения а : 0 < а < |Л1|.

Таким образом, в соответствии с результатами разд. 2 процедура нахождения собственного числа Лт при заданном а распадается на два этапа.

е

е

На первом этапе ищется |Ai| по итерационной схеме:

тк+iy (k + 1) = BBy (k), y (k) G E, k =1, 2, 3..., (2.11)

y (1) = h, h G H; Tfc+i = ||BBy (k)||-||y (k)||-1, lim rfc+i = A?. (2.12)

к^те

В (2.11) рассматривается не оператор B, который не является знакоопределенным, а оператор BB, который является положительным. Индекс в скобках для величин y (k) является номером итерации. Если а > | A? |, то Am, удовлетворяющее условию (2.12), имеет значение Am = |A?|.

Если а < |A?|, то производится переход ко второму этапу анализа и величина Am находится на основе итерационного процесса

^fc+?y (k + 1) = G?y (k), k = 1, 2, 3..., (2.13)

y (1) = Bh, h G H, G? = (4A? - а2) I + 2аВ - B2; (2.14)

lim = ^ = 4A? - (Am - а)2 . (2.15)

к^те

Величина Am из (2.15) находится по следующему алгоритму:

Am = Aa, П1 < П2, Am = Ab, П1 > П2,

Аа = а + у 4А2 - Аь = а - у 4А2 -

П1 = ||Ву (к) - Аау (к) ||, П2 = ||Ву (к) - Аьу (к) ||.

Для численной реализации селективного анализа спектра составлена программа расчетов, предусматривающая задание произвольной кусочно-непрерывной функции ^ (£).

Программа тестировалась для частного случая задания функции ^ (£) : ^ (£) = Г. В этом случае спектр задачи (2.4) находится аналитически, а безразмерные собственные частоты имеют вид

шк = кп, к = Г, 2, 3... (2.16)

Результаты тестирования приведены на рис. 1 и в табл. 1. Для удобства результаты расчетов показаны не в виде зависимости Ат = Ат (а), а в виде зависимости

/Г 8А2\ 1/2

Шт = Шт (?) , Шт = А^,1, ? = ( —^ ] . (2.17)

Полученная частота шт сравнивалась с частотой (2.16), проверялось существование кусочно-постоянной зависимости Ат = Ат (а) или, что то же самое, кусочно-постоянной зависимости шт = шт (?) для подтверждения теоретических результатов (замечание 2).

Представленная на рис. 1 зависимость шт = шт (?) имеет четко выраженный характер неубывающей кусочно-постоянной функции. Для более точной качественной оценки эти же результаты представлены в табл. 1. Участки постоянного значения функции шт = шт (?) соответствуют частоте собственных колебаний. Эти значения можно сравнить с точными значениями (2.16), совпадение результатов до тринадцатой частоты оказывается достаточно хорошим.

Рис. 1. Зависимость частоты собственных колебаний от параметра, связанного с задаваемым числом а для тестовых расчетов.

Рис. 2. Зависимость частоты собственных колебаний от параметра, связанного с задаваемым числом а, когда продольное усилие переменно по длине.

Т аб л и ц а 1

9

0.800 3.14

0.820 3.14

0.870 3.14

0.880 6.28

0.900 6.28

1.150 6.28

1.160 9.42

1.350 9.42

1.400 9.42

1.410 12.57

1.420 12.57

1.560 12.57

1.570 15.71

1.600 15.72

1.760 15.71

1.770 18.90

1.780 18.87

1.830 18.85

1.840 21.99

1.850 21.99

2.070 22.02

2.080 25.27

2.090 25.21

2.120 25.05

2.130 28.39

2.150 28.28

2.330 28.29

2.340 31.63

2.350 31.76

2.380 31.64

2.390 34.77

2.400 34.78

2.570 34.73

2.580 38.05

2.600 38.31

2.610 38.15

2.620 41.09

2.630 41.04

2.800 41.44

Таблица2

9 ^т

0.800 2.87

0.830 2.87

0.900 2.87

0.910 5.57

0.920 5.57

1.210 5.57

1.220 8.54

1.250 8.54

1.450 8.54

1.460 11.20

1.470 11.20

1.640 11.20

1.650 14.12

1.660 14.15

1.830 14.13

1.840 16.91

1.850 16.91

1.980 16.90

1.990 19.68

2.000 19.74

2.140 19.69

2.150 22.69

2.160 22.67

2.250 22.58

2.260 24.64

2.270 25.13

2.410 25.27

2.420 28.37

2.470 28.68

2.480 29.00

2.490 29.58

2.500 30.27

2.510 30.63

2.660 30.98

2.670 34.13

2.680 34.16

2.710 34.36

2.720 36.66

2.730 36.65

2.780 36.84

Следует заметить, что погрешность расчетов увеличивается при затрате одинаковых вычислительных ресурсов (количества итераций, количества узлов интегрирования при вычислении операторов), когда параметр а стремится к нулю и соответственно выполняется д ^ то. Это объясняется тем, что спектр оператора В имеет точку сгущения в нуле,

Рис. 3. Формы колебаний, когда продольное усилие является переменным по длине.

поэтому при а ^ 0 расстояние между соседними собственными числами уменьшается и для получения нужной точности результатов, повышения "разрешающей способности" численного метода необходимо затрачивать больше вычислительных ресурсов. В табл. 1 используется неравномерный шаг по параметру д, чтобы лучше иллюстрировать поведение функции шт = шт (д) в точках разрыва.

На рис. 2, 3 и в табл. 2 представлены результаты расчетов, когда ^ (£) = 1. Соответствующая зависимость бралась в виде

а + Ь£, 0 < £ < р, а + Ь£ + с£2, р < £ < 1.

Параметры а, Ь, с, р для расчетов, представленных на рис. 2, 3 и в табл. 2, имели значения а = 0.5, Ь = 0.4, с = 0.6, р = 0.5.

На рис. 2 дана зависимость шт = шт (д), а на рис. 3 изображены первые пять нормированных собственных функций (ж) , к = 1, 2, ...5. В табл. 2 приведены расчетные значения зависимости шт = шт (д), которые также подтверждают монотонный, кусочно-постоянный рост функции шт = шт (д).

В целом необходимо отметить, что проведенные расчеты подтверждают практическую работоспособность метода селективного анализа спектра.

^ (£ )= а+Ь£' л<2 (2.18)

Список литературы

[1] ГИЛЬБЕРТ Д. Избранные труды. Анализ. Физика. Проблемы. Т. II. М.: Факториал, 1998.

[2] Краснов М.И. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975.

[3] Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1989.

[4] САдовничий В.А. Теория операторов. М.: Изд-во МГУ, 1986.

[5] Тараканов В.И. О спектральных свойствах оператора, компактного в гильбертовом пространстве и симметричного в некотором его подпространстве // Сб. научных тр. СурГУ. № 5. Сер. физ.-матем. и техн. науки. Сургут: Изд-во СурГУ, 2000. С. 179-186.

[6] КоллАтц А. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968.

[7] Функциональный анализ: Справочник / Под ред. С.Г. Крейна М.: Наука, 1972.

[8] РАБотнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.

Поступила в редакцию 5 января 2004 г., в переработанном виде — 20 февраля 2004 г.