CC BY
29
Вычислительные технологии Том 11, № 4, 2006
ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ*
Л. Г. ЧикинА ЮГИНФО Ростовского государственного университета, Ростов-на-Дону, Россия e-mail: [email protected]
Two approaches, namely spectral and energy methods to investigation of two-parameter iterative methods are suggested. In both cases the sufficient conditions for convergence and the expressions for optimal parameters are obtained.
Ведение
Решение несимметричных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Ах = / (1)
с матрицами бездиагонального преобладания представляет практический и теоретический интерес.
Любой оператор А можно представить в виде суммы симметричной А0 и кососиммет-ричной А1 составляющих частей исходного оператора:
А = Ао + А1, Ао = 2(А + А* ) = А0, А1 = 2 (А - А* ) = -А1.
Если симметричная часть оператора положительно определена, то он называется дис-сипативным.
Для решения системы (1) рассмотрим одношаговый двухслойный стационарный итерационный метод, записанный в каноническом виде [1]:
ВХк+1 - Хк + Ахк = /, к = 0, 1, 2,..., (2)
т
с некоторым начальным вектором х0 и вещественным итерационным параметром т > 0. Будем считать, что А и В — невырожденные линейные операторы, действующие в конечномерном гильбертовом пространстве Н. Точность итерационного метода (2) характеризуется вектором погрешности Хк = Хк — х, где х — точное решение системы (1). Для
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 06-01-00038-е, № 05-01-00096-е).
© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2006.
исследования итерационного метода (2) рассмотрим однородное уравнение для векторов погрешностей
В^+1 - ¿к + Агк = 0, к = 0, 1, 2,..., ¿о = хо - х, т
или в разрешенной относительно ¿к+1 форме ¿к+1 = С^к, где
С = В-1(В - тА)
— оператор перехода итерационного метода (2).
Если оператор перехода С = С (т) зависит от одного итерационного параметра т, то метод (2) будем считать однопараметрическим итерационным методом, если же С = С(т, ш) зависит не только от параметра т, но и от некоторого второго параметра ш, то — двухпа-раметрическим.
Для получения условий сходимости итерационного метода (2) надо исследовать его
оператор перехода и оценить его спектр р (С) = тах |Ак (С)| < 1 или норму ||С|| < 1 [2].
к
Представим в (1) матрицу А в виде разложения
22
А = - В - - N, (3)
ш ш
где N и В — невырожденные линейные операторы, действующие в конечномерном гильбертовом пространстве Н; ш > 0 — второй итерационный параметр.
Рассмотрим двухпараметрический итерационный метод, записанный в канонической форме (2), в котором оператор метода В получен из разложения (3) и зависит от второго параметра ш:
В (ш) = N + 0.5шА,
а итерационные параметры ш и т — пока произвольные положительные числа. Оператор перехода двухпараметрического итерационного метода (2), (3) имеет вид
С (т, ш) = (Ж + 0.5шА)-1 (Ж + 0.5шА - тА). (4)
Сделаем в (4) следующие тождественные преобразования:
С (т, ш) = (Е + 0.5шЖ-1А)-1 (Е + (0.5ш - т) N-1А) .
Таким образом, оператор перехода двухпараметрического итерационного метода представили в виде
С (т, ш) = (Е + 0.5шЕ)-1 (Е + (0.5ш - т) Е) , (5)
где Е = N-1А.
1. Спектральный подход исследования 1.1. Условия сходимости
Докажем критерий сходимости итерационного метода (2), (3) решения системы (1) пока без каких-либо ограничений на свойства невырожденных операторов системы и метода.
Пусть Лк (Е) — собственные числа оператора Е. Найдем связь между собственными числами оператора перехода (5) и оператора Е, используя определение собственных чисел и коммутативность операторов (Е + 0.5иЕ)-1 и (Е + (0.5и — т) Е):
Л (С ( )) 1 + (0.5и — т) Лк (Е) Лк (С (Т'"))= 1 + 0.5иЛ* (Е) •
Запишем квадрат модуля собственных чисел для оператора перехода (5) через действительные ИеЛ^ (Е) и мнимые ТшЛ^ (Е) части собственных чисел оператора Е:
Л (С (т,и))|2 =
1 + (0.5и — т) И,еЛк (Е) + г (0.5и — т) 1шЛк (Е) 2
1 + 0.5иИ,еЛк (Е) + ¿0.5и!шЛк (Е)
Используя правила вычисления модуля комплексного числа и опуская выкладки, получим, что для сходимости итерационного метода необходимо и достаточно ограничения на спектр его оператора перехода в виде
(С (т,и))|2 =(1 + (0.5^ — т) КеЛ> »2 + ((«.5и — т) 1шЛ2к ))2 < 1. (6)
Теорема 1 (критерий сходимости двухпараметрического итерационного метода). Для сходнмост,н двухпараметрического итерационного метода (2), (3) необходимо и достаточно выполнение условий
0 < т < и + ИеЛк (Е-1) , (7)
где Е = N-1А.
Доказательство. Необходимость. Пусть для оператора перехода (5) выполнено условие (6), которое эквивалентно неравенству
,, (г( „л Л 2ИеЛк (Е) — (т — и) ((И,еЛк (Е))2 + (1шЛк (Е))2)
|Лк (С (т,и))| =1 — т--—2-2-- < 1,
(1 + 0.5иИеЛк (Е))2 + (0.5и1шЛк (Е))2
отсюда следует, что
2ИеЛк (Е) — (т — и) ((ИеЛк (Е))2 + (1шЛ* (Е))2) п
т-^-^- > 0. (8)
(1 + 0.5иИ,еЛк (Е))2 + (0.5и1шЛк (Е))2
Так как итерационный параметр т > 0 и знаменатель
(1 + 0.5иИ,еЛк (Е))2 + (0.5и1шЛк (Е))2 > 0, получаем, что неравенство (8) эквивалентно неравенству
2ИеЛк (Е) — (т — и) ((ИеЛк (Е))2 + (1шЛ* (Е))2) > 0.
Разрешая это неравенство относительно положительного итерационного параметра т > 0, имеем
ИеЛк (Е)
0 < т < и + 2-
(ИеЛк (Е))2 + (1шЛк (Е))2'
А так как
) _та„Л ^-1
(ИеЛк (Е))2 + (1шЛк (Е))2
ШЛ (Е"
имеет место неравенство (7).
Достаточность. Преобразуем неравенство (7)
т > 0,
0 < и — т +
2ReAfc (F)
(ReAfc (F))2 + (ImAfc (F))
2 •
Рассмотрим второе неравенство системы. Умножим его на положительное выражение т ((ReAfc (F))2 + (ImAfc (F))2) > 0 и разделим на положительное выражение
(1 + 0.5wReAfc (F))2 + (0.5wImAfc (F))2 .
После этого получим неравенство (8), к которому после умножения на —1 добавим с обеих сторон по единице и в итоге получим выражение (6). □
Следствие 1. Если спектр оператора F = N-1A лежит в правой полуплоскости, то для сходимости двухпараметрического итерационного метода (2), (3) достаточно, чтобы
0 < т < и. (9)
Доказательство. Если спектр оператора F лежит в правой полуплоскости, то и спектр оператора F-1 лежит в правой полуплоскости и ReAk (F-1) > 0. □
Утверждение 1. Если один из операторов A или B диссипативен, а другой положительно определен, то спектр оператора AB расположен в правой полуплоскости [3].
Утверждение 2. Спектр диссипативного оператора расположен в правой полуплоскости.
Это утверждение является следствием теоремы Хирша. Доказательство утверждения 2 основано на том, что спектр оператора A лежит в прямоугольнике с вершинами (Amin (Ao) , iAmin (Ai)), (Amin (Ao) ,iA max (A1)), (A max (A0) , iAmin (A1)), (A max (Ao) ,iA max (Ai)) [4].
Замечание 1. В общем случае обратное утверждение для утверждения 2 не верно. Из того, что спектр оператора A лежит в правой полуплоскости, не следует диссипативность оператора A.
Следствие 2. Если один из операторов в операторе F = N-1A диссипативен, а другой — положительно определен, то для сходимости итерационного метода (2), (3) достаточно ограничения (9) на итерационные параметры.
Доказательство. По утверждению 1 имеет место следующая сводная схема для оператора F = N-1A:
Неравенства 0 < т < ш получаются из утверждения 1 и следствия 1. □
Следствие 3. При значении ш = т для сходимости однопараметрического итерационного метода (2), (3) необходимо и достаточно, чтобы спектр оператора ^ = N-1А лежал в правой полуплоскости.
Доказательство. Двойное неравенство (7) эквивалентно системе неравенств
т > 0,
0 < ш - т + ИеА* -1) .
При условии, что и = т, имеем
' т > 0,
ИеЛк (Г-1) > 0
□
Следствие 4. Для сходимости итерационного метода (2), (3) при значении и = т достаточно, чтобы один из операторов в операторе Г = N-1А был диссипативен, а другой — положительно определен.
1.2. Нахождение оптимального параметра (спектральный подход)
При оптимизации двухпараметрического итерационного метода (2), (3) будем предполагать, что спектр оператора Г = N-1А лежит в правой полуплоскости, т. е. для сходимости достаточно выполнения неравенства (9).
Исследуем квадрат модуля спектра оператора перехода
2И,еЛк (Г) + (и - т) Л (Г)|2 1 + иИ,еЛк (Г) + 0.25и2 |Лк (Г)|'
|Лк (С (т,и))| =1 - т~-^ л . „ ^ 2 ,л /ПМ2 , (10)
предполагая, что для оператора Г = N 1А выполняются неравенства
0 < тл71 < К^еЛ^ (Г) тл < Л (Г)|2 < МлКеЛ,к (Г) < Мл72- (11)
Оценим |Л& (С (т, и))|2, используя неравенства (11). Знаменатель в (10)
1 + иКеЛк (Г) + 0.25и2 Л (Г)|2 < 1 + иКеЛк (Г) + 0.25и2МлКеЛк (Г). Числитель в дроби из (10) при условии (11)
2КеЛк (Г) + (и - т) |Лк (Г)|2 > 2КеЛк (Г) + (и - т) тлКеЛк (Г).
Тогда
,л (С ( )) ,2 . (2+(и - т) тл) КеЛк (Г)
Л (С (т,и))| < 1 - т:
1 + (и + 0.25и2Мл) КеЛк (Г)' Функция
КеЛк (Г)
2л (КеЛк (Г)) = т (2 +(и - т) тл)
1 + (и + 0.25и2Мл) КеЛк (Г)
положительного аргумента КеЛ^ (Г) > 0 монотонно возрастает при положительных коэффициентах т > 0, 2 + (и - т) тл > 0, и + 0.25и2Мл > 0, удовлетворяющих достаточным условиям сходимости двухпараметрического итерационного метода (2), (3). Поэтому меньшему значению аргумента КеЛ^ (Г) > 71 > 0 из (11) соответствует меньшее значение функции
|Лк (С (т, и))|2 < 1 - 71 т ((2 + (и - т2) тл) .
1 1 ' " д 1 + (и + 0.25и2Мл) 71
С целью приближенной оптимизации итерационного метода надо минимизировать функцию двух переменных — правую часть оценки |А&(С(т, и))|2 :
Д (Г, и) = 1 - 71
т (2 +(и - т) тл)
(12)
Теперь наша цель — найти
1 + (и + 0.25и2Мл) 71'
т (2 + (и - т) тл) N 1 + (и + 0.25и2Мл) 7^ '
Исследуем функцию /л (т, и) на локальный экстремум. Для нахождения критических точек функции /л (т, и) надо найти первые частные производные и решить систему
шт I 1 — 71
д/л (т, и) 2ттл — итл — 2
""дТ" = 71-
д/л (т, и)
0,
1 + и71 + 0.25и2Мл71 0.25и2Млтл71 - ттл71 (1 + 0.5иМл) + иМл71 + 271 - тл
0.
^ = 72 ди (1+ и71 + 0.25и2 Мл71)2
Эта система равносильна совокупности двух систем:
2ттл - итл - 2 = 0, т = 0,
2ттл - итл - 2 = 0,
0.25и2Млтл71 - ттл71 (1 + 0.5иМл) + и Мл 71 + 271 - тл = 0.
Решение первой системы совокупности не подлежит исследованию, так как по определению итерационного метода т = 0. Для решения второй системы рассматриваемой совокупности подставим значение
то
0.5и + —, тл
полученное из первого уравнения системы, во второе равенство и запишем уравнение и71 (Мл - тл) + 2 (71 - тл) = 0, решением которого является
ио
2 (тл - 71) (Мл - тл) 71'
Таким образом, получаем следующую систему:
то
ио =
+ (тл - 71) тл (Мл - т) 71 2 (тл - 71) (Мл - тл) 71'
тл - 71 > 0.
Условие тл - 71 > 0 обеспечивает положительность параметра и0 и принадлежность т0 интервалу сходимости. Если оператор ^ симметричен, то (т0,и0) не является критической точкой функции /л (т,и), так как при этом тл = 71 и и0 = 0, т.е. нарушается предположение, что и > 0.
Пусть оператор ^ несимметричен. Для того чтобы выяснить, является ли критическая точка (то,.о) точкой экстремума, необходимо определить знак выражения
2
(/а)т2 (т0,^о) (/А)ш2 (то,^о) — ((/А)тш (т0,^о)) Вычислим вторые производные:
( £ ( \__271^А_
(/а)Т2 (Т,^) = 1 + + 0.25^2мА71 ,
'' (шА + 0.25шАмА^271 — 2тшА71 — т.шАмА71 + 271 + .мА71)
(/а)Т. (т,-) = —71-^-:
2
(/а)^2 (Т'^ = (1+ .71 + 0.25.?мА71)3 Х х (Э.шАмА — 0.25^3шАм271 — тшАмА + Эт.шАмА71 + 2мА — —6.МА71 — 1, 5.2М?71 + 4тша71 — 871 + 4ша + 0, 75т.2шам?71) . Подставим критическую точку (то,.о), где
0.5.ша + 1 2 (ша — 71)
То = -, .о =
шА ' (мА — шА ) 71'
в получившиеся выражения для вторых производных. Для этого вычислим
» (0.25^2мА71 + .71 + 1)
(/А)Т, , (т0, .) = —71шА-?,
^ Д А(1 + .71 + 0.25^2мА71)2
' ' \2 72
(/А)ТЩ ^ =(1+ .71 + 0.25^2мА71)4 Х х (0, 0625.4шАМ?7? + 0.5.3шАМА71 + 0.25.2 (2шАМА71 + 4шА7?) + 2.шА71 + шА) " 271 0, 0625.4шАмл272 + 0,125.3 (6шАмА7? — 2шАм272)
(/А ^ (То,^) = ША ^ +
+ 271 0.25.2 (5шАмА71 + 4шА7? — ЭМ?72) + шА (1 + .71 + 0.25.2мА71)4
271 0.5. (6шамА71 + 4шА71 — 6мА7?) + мА71 — 472 + 4шА71
ша (1 + .71 + 0.25.2ма71)4
Далее определим
" " / " \2
(/аЬ (то,.) (/а)т2 (то,.) — ((/а)™ (то,.)) = = 20,125.3 (2ш Ама72 — 2шам272) + 0.25.2 (ЭшАма71 — ЭМ272) = 71 (1 + .71 + 0.25.2ма71)4
0.5. (6шАмА71 — 6мА712) + (мА71 — шА — 47? + 4шА71) (1+ .71 + 0.25.2мА71)4 .
В получившееся выражение подставим и0 = 7—(—л—. Приведем подобные и сгруп-
(Мл - тл) 71
пируем
(/л)ш2 (т0,и0) (/л)1-2 (т0,и0) - ((/л)1-ш (т0,и0))
2 = 7? (Мл - 71) ((Мл - 2тл) 71 + —л)2 (1 + и71 + 0.25и2Мл71)4 "
Согласно предположению (11) 71—л > 0, поэтому
\"( \ 271—л ^ п
(/л)т2 (т,и) = 1 + и71 + 0.25и2Мл71 > 0,
и для того чтобы в точке (т0,и0) был минимум, достаточно, чтобы выполнялось неравенств /^2 (т0, и0) /Т/2 (т0, и0) - (/™ (т0,и0))2 > ° т.е.
72 (Мл - 71) ((Мл - 2тл) 71 + —л)2 > 0 (1+ и71 + 0.25и2 Мл71)4 .
Это неравенство будет выполняться, если Мл > 71. По предположению (11) у нас —л > 71, а так как Мл > тл, то Мл > 71. Вычислим значение
г ( ч л (2 + —Л (и0 - т0)) 71
Р1 = /л (т0,и0) = 1 - т0-
1 + (и0 + 0.25Мли0) 71
где
п, , 1 2(тл - 71) т0 = 0.5и0 +--, и0 —
—л' (Мл - —л) 71'
После простых преобразований запишем
(Мл - —л) (—л - 71)
Р1 = /л (т0,и0)
(Мл - 71) —л
Теорема 2. Пусть спектр оператора ^ = лежит в правой полуплоскости,
выполнено условие (11) и тл > 71. Тогда двухпараметрический итерационный метод (2), (3) сходится и оптимальные параметры определяются по формулам
—л Ы - 71 Ы
и0
(Мл (и0) -—л М) 71 (и0) т0 = 0.5и0 +
—л (и0)'
Для погрешности справедлива оценка
||хк - х|| < рк ||х0 - х|| , к = 0, 1, ... (Мл - —л) (—л - 71)
где р1 =
(Мл - 71) —л
Докажем теорему оптимизации для однопараметрического итерационного метода (2), (3).
Теорема 3. Пусть спектр оператора Е = N-1A лежит в правой полуплоскости, выполнено условие (11) и ш = т. Тогда однопараметрический итерационный метод (2), (3) сходится и оптимальный параметр находится из формулы
_ 2
х/тИтОР^УМл^тОРО'
а для погрешности справедлива оценка
||хк - х|| < рк ||х0 - х|| , к = 0, 1, где _
1 V Мл
Р2 = —
Мл
Здесь Мл,71 удовлетворяют условию (11) и 71 < Мл.
Число итераций, достаточных для достижения заданной точности е, оценивается числом
Ч?
п(е) = —-гу-1п ( — р2
Доказательство. С целью нахождения оптимального итерационного параметра метода, необходимо в функцию (12) подставить
, ( ч , т (2+(ш - т) шл)
/л (т, ш) = 1 - 71^—, п ок 2Д, ч—, 1 + (ш + 0.25ш2Мл) 71
ш = т, и исследовать на экстремум функцию одного переменного
/2 (т) = 1 - 71 2т
1 + (т + 0.25Млт2) 71'
которая оценивает квадрат модуля спектра оператора перехода (10).
Поскольку /2 (0) = /2 (+го) = 1, а при т € (0, функция бесконечно дифференцируема и 0 < /2 (т) < 1, то значение т = тор^ минимизирующее /2 (т), является решением уравнения
1 - 0.25М71т2 (1 + (т + 0.25Млт2) 71)'
откуда
1 - 0.2571 Мл^ = 0 ^ тг
( \ о 1 - 0.25М71' п /2 (т) = -271-2 = 0,
_2 п _2 4
71 Мл
Так как по условию итерационный параметр т > 0, получаем
2
тopt
•\/71Мл'
Оптимальный параметр Topt минимизирует величину
/2 (г) = 1 - 7i 1 + (т + 0.25МЛг2) Yi' Вычислим значения /2 (Topt):
i —»/-
i < ^ V МЛ ,,
Р2 = /2 (Topt) = -, Yi < Мл.
Итак, спектр оператора перехода (5) мы оценили функцией /2 (т) и нашли ее минимальное значение р2:
A (G (т,^))|2 <р2 =-.
□
Покажем на примере метода простой итерации
Xfc+1 - + Axfc = /, k = 0, 1, 2,'.',
т
что такая методика для симметричной положительно определенной матрицы А имеет место. Достаточное условие сходимости метода простой итерации имеет вид E — 0.5тА > 0 [1].
В операторе Fp = N-1А = (E — 0.5тА)-1 А для метода простой итерации операторы N-1 = (E — 0.5тА) 1 и А симметричны, положительно определены и коммутативны. Поэтому спектр оператора Fp действителен и положительно определен [5]. Так как Fp = Fj > 0, то в (11) Мл = Amax (Fp) , Y1 = Amin (Fp).
Запишем функцию собственных чисел оператора Fp через собственные числа оператора А
Ak №) = Ak ((E — 0-5тАГ' -А)- 1 — 0.5TAk (А) *
Функция Afc (Fp) является возрастающей относительно A& (А), поэтому
Amin (Fp) = 1 0Al5in(A)(A) = Y1, Amax (Fp) = . 0maXA(A)(A) = МЛ' (13)
1 — 0'5TAmin (A) 1 — 0'5TAmax (A)
,-1 ^ Afc (A)
Найдем Topt из выражения
To-
V Y1 (Topt ) Мл ( Topt)
С учетом (13) получаем
_ 2^(1 — 0'5ToptAmin (А)) (1 — 0'5ToptAmax (А))
Topt =
или
лД min (A) A max (А) Topt Amin (A) Amax (А) =4(1 — 0'5ToptAmin (А)) (1 — 0-5ToptAmax (А)) -
2
Откуда тор = --т-р----—тт-, что является известным результатом для метода про-
Лтт (А) + Лтах (А)
стой итерации.
2
2. Энергетический подход исследования 2.1. Условия сходимости
Для сходимости итерационного метода достаточно [1], чтобы норма оператора перехода (5) была меньше единицы:
||G (r,w)|| = ||(E + 0.5wF)-1 (E + (0.5w - т) F)|| < 1, (14)
где F = N-1A.
Докажем лемму, которая является некоторым обобщением леммы Келлога и основной для оценки (14).
Рассмотрим оператор T = (E + a A)-1 (E - в A).
Лемма 1 [6]. Пусть A — невырожденный оператор и а, в — действительные числа, причем a > 0 и a + в > 0. Тогда условие
-а < в < a + 2Amin (A-1)0 , (15)
A-i + A-t
где (A-1)0 =-2- является достаточным для выполнения оценки
Ц(£ + aA)-1 (E - в A)1 < 1. (16)
Доказательство. Оценим норму оператора
T = (E + aA)-1 (E - в A).
По определению нормы
2 ||Tv||2 ((E + a A)-1 (E - в A) v, (E + a A)-1 (E - в A) v)
||t || = sup-^ = sup ---г--.
v=0 ||v|| v=0 (v,v)
Так как операторы (E + a A) 1 и (E + в A) коммутативны,
2 ((E - в A) (E + a A)-1 v, (E - в A) (E + a A)-1 v)
v=0
(v, v)
Пусть х = (Е + аА) 1 V, тогда для выражения
2 = ((Е - вА) х, (Е - вА) х) 11 11 50 ((Е + аА) х, (Е + аА) х)
возможны следующие преобразования:
||Т= 1 - щ£(а + в) 2(Ах,х) + (а - в)(Ах,Ах)
x=0 (x, x) + 2a (Ax, ж) + a2 (Ax, Ax)
Условие
R = (a + в) 2(Ax,x) + (a - ЖЛг.Аг) > Q
(x, x) + 2a (Ax, x) + a2 (Ax, Ax)
является достаточным для выполнения оценки (16) в силу того, что при R > 0 выполняются неравенства 0 < ||T||2 < 1 — inf R < 1. Так как предполагается, что существует
(E + aA)-1, в выражении R знаменатель ((E + aA) x, (E + aA) ж) = (x, ж) + 2a (Ax, ж) + a2 (Ax, Ax) > 0 для всех x = 0 и a > 0.
В выражении R сумма a + ß > 0, поэтому достаточно рассмотреть всевозможные соотношения параметров a и ß, обеспечивающие неотрицательность выражения 2 (Ax, x) + (a — ß) (Ax, Ax).
Так как оператор A невырожден, (Ax, Ax) > 0, последнее выражение можно разделить на (Ax, Ax) и преобразовать следующим образом:
a + ß > 0,
2(Ш)+<«—ß) >0 *
ß > —a,
=> ^ ^ (Ax, x)
4 ß < a + 2 min ■ ' ;
x=o (Ax, Ax)'
Во втором неравенстве этой системы преобразуем min /.x^). . Пусть y = Ax, тогда
x=o (Ax,Ax)
/ A-1 + A-T
. (Ax, x) . (A-1y, y) . V 2 У,Уу A ( ,-i
min -¡-.-—- = min —---— = min —-----— = Amin (A
x=o (Ax,Ax) y=o (y,y) y=o (y,y)
A-i + A-t
где -2-= (A-1)o. В итоге получим неравенство (15). □
Замечание 1. Пусть в лемме a + ß < 0, тогда для выполнения неравенства (16) достаточно выполнение следующих условий:
2Amax (A-1 )o + a < ß < —a,
0 < a < —Amax (A-1)o , (17)
Amax (A-1)o < 0,
которые сужают область применения леммы.
Следствие 4. Пусть A — диссипативный оператор и a,ß — действительные числа, причем a > 0 и a + ß > 0. Тогда условие
|ß|< a
достаточно для выполнения оценки (16).
Доказательство. Если A — диссипативный оператор, то (A-1)o — диссипативный оператор и Amin (A-1)o > 0. □
Замечание 2. Если в следствии 4 a + ß < 0, то множество решений (17) пусто. Следствие 5. Пусть A — диссипативный оператор. Если a = ß > 0, то основная лемма 1 является леммой Келлога.
Теорема 4 (достаточное условие сходимости двухпараметрического итерационного метода). Для сходимостиi двухпараметрического итерационного метода (2), (3) достаточно выполнение условий
т-1
0 < т < и + 2Amin ((F-1)o) , где F = N-1A.
Доказательство. Оператор G (т, w) = (E + 0.5wF)-1 (E — (т — 0.5w) F) в соотношении (14) имеет тот же вид, что и оператор T = (E + a A) 1 (E — ß A) (16) в лемме 1 при значениях a = 0.5w и ß = т — 0.5w. Подставим значения a = 0.5w и ß = т — 0.5w в неравенства (15). После разрешения этих неравенств относительно положительных параметров т и w получаем доказательство теоремы. □
Следствие 6. Если оператор F = N-1A диссипативен, то для сходимости двухпараметрического итерационного метода (2), (3) достаточно, чтобы выполнялось неравенство (9)
0 < т < w.
Доказательство. Если оператор F = N-1A диссипативен, то диссипативен его обратный оператор и Amin ((F-1)0) > 0. □ Следствие 7. При значении w = т для сходимости однопараметрического итерационного метода (2), (3) достаточно диссипативности оператора F = N-1A.
2.2. Нахождение оптимального параметра (энергетический подход)
При оптимизации двухпараметрического итерационного метода (2), (3) энергетическим подходом будем предполагать, что оператор F = N-1A диссипативен, т. е. для сходимости достаточно выполнения неравенства (9).
Рассмотрим норму оператора перехода двухпараметрического итерационного метода
(2), (3)
II G (т,*)Г = 1 — т inf 2(Fy,y) +(w — т)(Fy,Fy)
у=о (y, y) + w (Fy, y) + 0.25w2 (Fy, Fy) Наша цель — найти величину
. Л . f 2 (Fy, y) + (w — т) (Fy, Fy) p3 = min max 1 — т ml
y=0 у y=0 (y,y)+ w (Fy,y) + 0.25w2 (Fy, Fy)
При оценке нормы ||G (т, w) || используем предположение, что для любого y = 0 выполняются ограничения на (Fy, Fy) [7] и (Fy,y) = (F0y,y) [1] следующего вида:
0 < ma1 (y, y) < m (Fy, y) < (Fy, Fy) < M (Fy, y) < M«2 (y, y), (18)
где a1 = Amin (Fo) > 0, a2 = Amax (Fo). Исследуем выражение
Q = 2 (Fy, y) + (w — т) (Fy, Fy)
(у,у)+ и (Еу,у) + 0.25и2 (Еу,Еу)"
С учетом (Еу, Еу) < М (Еу,у) из (15) знаменатель ^ можно оценить как
(у, у) + и (Еу, у) + 0.25и2 (Еу, Еу) < (у, у) + и (Еу, у) + 0.25Ми2 (Еу, у).
Так как оператор Е диссипативен и и - т > 0 из (10), все слагаемые в числителе Q положительны. Используя оценку — (Еу,у) < (Еу,Еу) из (18), для числителя Q получим
2 (Еу, у) + (и - т) (Еу, Еу) > 2 (Еу, у) + — (и - т) (Еу, у).
Полученные оценки для числителя и знаменателя выражения Q позволяют записать оценку нормы оператора перехода ||С (т, ш)|| в виде
(т,ш)||2 < 1 - т ш£ 2(Еу,у)+ ш (ш - т)(Еу,у)
y=0 (у, у) + w (Fy, y) + 0.25Mw2 (Fy, y)' Произведя замену z = y/||y||, получим
||G Cr,w)||2 < 1 - т inf (2 + m (w - T))(FZ'Z)
||z||=i 1 + (w + 0.25Mw2) (Fz, z)' Рассмотрим функцию
(2 + m (w - т))(Fz,z)
q (Fz, z)
1 + (w + Mw2) (Fz, z) '
стоящую под знаком inf. В силу диссипативности оператора F эта функция является монотонно возрастающей функцией положительного аргумента и меньшему значению аргумента (Fz,z) > ai из (18) соответствует меньшее значение функции
inf (2 + m (w - т)) (Fz, z) = (2 + m (w - т)) ai
(Fz,z)>ai 1 + (w + 0.25Mw2) (Fz, z) 1 + (w + 0.25Mw2) ai' Таким образом, получили
||G (^w)||2 < 1 - т- (2 + m (w - т)) ai
1 + (w + 0.25Mw2) a1'
Теперь наша цель — найти
. (2 + m (w - т)) ai
min 1 — т
1 + (ш + 0.25Мш2) а1
Обратим внимание, что функция, стоящая под знаком шт, совпадает с функцией (12) с различием в обозначениях констант. Итак, доказательство следующих теорем совпадает с доказательством теорем в пунктах для спектрального подхода.
Теорема 5. Пусть оператор Е = N-1А диссипативен, выполнено условие (18) и ш > а1. Тогда двухпараметрический итерационный метод (2), (3) сходится и оптимальные параметры находятся по формулам
ш (шо) - а (шо)
шо -
(M (wo) - m (wo)) ai (wo): то = 0.5wo +
m (wo)'
Для погрешности справедлива оценка
||xk - x|| < pk ||xo - x\\ , k = 0, 1 (M - m) (m - ai )
где рз =
(M - ai) m
Приведем теорему оптимизации для однопараметрического итерационного метода (2), (3).
Теорема 6. Пусть оператор Е = N-1А диссипативен, выполнено условие (15) и ш = т. Тогда однопараметрический итерационный метод (2), (3) сходится и оптимальный параметр находится из формулы
_ 2
Topt
\Ja1 (Topt) M (Topt) и для погрешности справедлива оценка
||xk - x|| < pk ||x0 - x|| , k = 0, 1,
где
P4
a1
1 ^ M
1+^! Vm
а М, а1 удовлетворяют условию (18) и а1 < М.
Число итераций, достаточных для достижения заданной точности е, оценивается числом
1п е
п(е) = ;-•
1п р4
Список литературы
[1] Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987.
[2] Young D.M. Iterative Solution of Large Linear Iterative Systems. N.Y.: Acad. Press, 1971.
[3] Taussky O. Positive-definite matrices and their role in the study of the characteristic roots of general matrices // Adv. Math. 1968. Vol. 2. P. 175-186.
[4] Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричным неравенствам. М.: Наука, 1972.
[5] Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. СПб.: Лань, 2002. 736 с.
[6] ЧикинА Л.Г. Двухпараметрический треугольный кососимметрический итерационный метод // Сб. тр. Всерос. конф. "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности". Абрау-Дюрсо. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 2000. С. 230-237.
[7] Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1973.
Поступила в редакцию 7 февраля 2006 г., в переработанном виде —17 апреля 2006 г.
