Об итерационном методе решения линейной задачи океанологии / Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

Д. Б. Алибиев, А. Ш. Кажикенова

ОБ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНОИ ЗАДАЧИ

ОКЕАНОЛОГИИ

Пусть дана система уравнений линейной стационарной модели океана

5 V

+ !Av -V£ - I хv + / = О,

дх2

п

| й\ухйхъ

= О,

ду

дх

= О,

V

= О, 8 - граница области О = (0,1) х (0,1) х (0,1).

В области О ь аппроксимируем уравнения (1), (2)

+ !А I ^ + / = 0,

N-1 2 N-1

2 diVhVh =22 (v^ ) иикн = О,

к=1

а=1 к=1

V

= О, ^ = 1, Би - граница области О к .

Рассмотрим итерационный метод для численного решения задачи (4) - (6):

( \

у у =у + ! у"+ -V

т

£п -То^

+

+ т05Л h (vn+1 -уп)-1 ху"+1 + /,

;п+1 £П N-1

£п+1 гп

+ 2 ^ууп+1И = 0, а

п+1

к=1

= ° У =Vo, £° = £0, х 601

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

где вектор

а / п +1 п\ // п +1 п\ // п +1 п\ \ 0 ¡-0 к _ т=ч

Лк(у -у ) = ((у1 -V1)x1x1, ((у2 -V2)x2x2),V =V0, £ = £0, х бОк.

Разностная схема (4) - (6) имеет единственное решение. Для ее решения справедлива оценка

И 1 *с ОIIА 1(-1).

Данная схема имеет первый порядок аппроксимации и сходится со скоростью О(к).. Оценим скорость сходимости итерационного метода к решению задачи (4), (6). Введем следующие обозначения

п +1 п +1 п +1 п +1

V -V = а , п = £ -£,

где (V, £) - решения задачи (4) - (6). Тогда для а "+1, пп+1 получим однородные уравнения

^+1 = !л0апх+1 + Мкап+1 - V(пn - т0 2 divhаnh) +т0£Аh(ап+1 -ап) -1 х ап+1 (9)

т

пп+1 -пп N-1

N-1

2

к=1

+ 2 divhаn+1 h = О,

' О

. п+1

к=1

= 0, п =£° -£, а = V -V.

22^2 = 0 а

'=1 1=1

Из формулы (10) найдем пп, подставим найденное значение в (9), в результате получим

(10) (11)

И++1 п

а -а

= !о®"3+1, +! кап+1 -V h

( \ 2Ж уhаn+1 - Ж уhаn )hт0 +пп+1

+ т0ё\ h (ап+1 -ап).

4'

h

4

h

т

Умножим выражения (10), (12) на 2Ъ п" , 2к а" , просуммируем по точкам области Q,h соответственно, в результате этого будем иметь

п+1 2 п 2 п +1 m 2

а а + а -а

+ 2

п+1

а

2 div^1 - 2Sr0 2

к=1

а=1

а

= 2

а

f N-1

m +1

пт+1 + т0 2 (di vham+1 -di vham)h, к=1

+

^ n+1 ^ n

ааха -ааха

п

и+1

п

+

п+1 _п

п -п

N-1

+ 2| 2divh0m+l^пи+1

, к=1

= 0.

(13)

(14)

Преобразуем слагаемые

(N-1 N-1 N-1 Л

2т

2di vha h - 2di vh®mh, 2di v^^'h

V к=1 к=1 к=1 у

= —

V

N-1

2 divham+lh

к=1

N-1

2di vhamh

к=1

N-1

2 divh (am+1 -ап )h

к=1

2\

Учитывая (15), умножим (13), (14) на T и сложим их, в результате получим

Ln+i2-||ап||2 + ||ап+1 - а m II2 + — \\\п-1 -||п"|| + ||п'"1 -п'"|| | + .......... 11 —

+ 2т

а

п+1

22 1 +^—от2

а=1

п+1 2 п 2 п+1 п

ааха аоха + а ах а а ах а

N-1

2 divham+x h

к=1

N-1

2di vhamh

к=1

N-1

2 di vh (а m+1 -ап )h

к=1

2

(15)

(16)

Заметим, что существует положительная постоянная в0, не зависящая от шага сетки. Для него справедливо неравенство

во 2 k:1 -аа

аха аха

а=1

>

N-1 „ , ,

2 divh (an:1 -ап )h

к=1

т

т0

_п+1 п

п - п

= тт0

N-1

2 divha

к=1

п+1

(17)

(18)

Отбросим отрицательные слагаемые в правой части (16) и 8 возьмем так, чтобы (8 - в0 )>0. Тогда с учетом (17), (18) имеем

а

+ -

а

+

^ п+1 п

а -а

+ 2т

а

п +1 2 п

п п

+

L

{8-Роо )тот2

2 +8—от2

п +1 п \ааха - а аха

п +1 2 п

аоха аоха

2 Л

у 2

+

(19)

< 0.

Отсюда видно, что

а

^ 0 при " ^ <х>. Но из формулы (19) получить скорость сходимости

затруднительно. Для получения оценки скорости сходимости сделаем следующие преобразования: умножим (19) на любую сеточную функцию, которая обращается в ноль на границе, затем просуммируем по точкам области. В результате имеем:

1

Г

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

а=1

2

Г

2

а=1

Г " >> И оха 1 = (а ^ - ® ", И+ А®Г И ) +

V а=1 )

п

|]Г {< -а0_ И

а /

а=1 )

+ дттп\ > 1 -а!^)

Отсюда получаем следующую оценку

<

Л (к-1 + тт,

„I >> и£ук(а"+1 -аи)Шуи

к=1

т Бир

И1 =1

( 3 >

V а=1 )

(

< N

^ "+1 ^" а -а

+ т

а

+ дт0т

^ "+1 ^"

а ах а - а ах а ,

+ тт

> (®"+1 -а" )г

или

Бир

И1=1

|п"+1, >> Иа

V а=1

<ХП"

С учетом формулы (17) из формулы (20) получим

2

2 2 т X

п +1

п

< N2|||{а"+1 -а")

+ т

+ {д2т0т2 +в„т2т„2 )> (

а=1

2_2 1^1 „ и+1 „и ,а -а

а 2 ^

)

. и+1

+

(20)

(21)

(22)

Умножим неравенство (22) на положительное число а0, сложим его с формулой (19). Полагая, что 1 - а0 N2 > 0, получим

(1 - тК2а0) > 0, (д - в0 )дт0т -аN2 {¿2т02т2 + р0т2т1) > 0.

а

(

+

\

*• 2 2 — + а0Х т

Vтo

п

+ 2т

а

)

1 +дт0т>|

а

<

(23)

<дт0т>|

а

+

а

2т

+ —

т

п

Применяя неравенства

т

а

> С

а

а

1>т>

а

из формулы (23) получим ,"+1

а

2 С Л 2

(1 + ) + т(1 + дГ0) >

2 2 а=1

а

и+1

12 +(— + а0X т)т т0

п

и+1

<

<

а

2 т

+-

т0

п

2

+ дтт0 >

а=1

а

Последнее неравенство перепишем в виде

.и+1

а

2 С 1 2

(1 + ^) + (1 + }дт0т>

2 2дт0 а=1

2

а

.и+1

2 2 т + (1 + «0X т т) — т0

.и+1

п

<

2т

< аи + —

т0

Отсюда получаем

п

+ дтт0 >

а=1

а

2

2

1

2

2

2

а

а=1

2

2

а

а=1

Т

2

2

а

2

0

и+1

0

и+1

а=1

+—Пи+1\2 < я т11 11

(

0

+ 5тт0 ¿1

0

V

а=1

т 11

где

тС 1

Я = шт<!1 + —— ,1 + а0 х2т2т,\ +

2

2Т

Нами доказана следующая теорема

Теорема 1. Пусть выполнены условия (23). Тогда решение задачи (7) - (8) сходится к решению задачи (4) - (6) со скоростью геометрической прогрессии.

Лемма. Если ||/и|< с <ю, то разностная схема (4) - (6) имеет хотя бы одно решение и для решения имеет место оценка

Н1 < с| л| |И)+М) (24)

Доказательство. Умножим (4) на V, (6) на И3 и просуммируем по сеткам — и , используя (5), (7), получим

Н2 = {Р^1Нз )+{/и ,V). (25)

Правую часть (25) оцениваем по неравенству Гельдера

\{Р \ из )<||Р?|| И 1,

\{/и, и }<|| л|| (_1)-| и 1.

Отсюда легко получить оценку (24).

Из теоремы Брауэра [1] следует существование хотя бы одного решения задачи (4) - (6). Лемма доказана.

Таким образом, на основании выше изложенного, для линейной модели океана можно применить двухслойный итерационный метод. Многие гидродинамические модели [1-4] для решения определения качества воды океана и разных водоемов сводятся к решению гидростатических моделей атмосферы и океана. Особенность моделей заключается в том, что системы уравнений интегро-дифференциальные.

Для задачи (4) - (6) построим неявный итерационный процесс:

ВиИ+1 = И! +1 + /-{а!ХИИ+1 И)

а + в = 1, а)0, р>0и,

N-1

хГ1 +£Лии^ь = о, (41)— = о.

(26) (27)

к=1

Х,т - итерационные параметры, В - некоторый положительный оператор V :

Sl.

= 0.

(28)

V0 =И0, Г =£), X^—и, Vй

Устойчивость этих двухслойных разностных схем более улучшенная. Если X = 0, В = 0, то итерационный процесс сходится за одну итерацию. Непосредственное применение двухслойных итерационных методов для модели океана вызывает некоторые затруднения, так как запись итерационного метода (26) - (27) отличается от классической формы двухслойных итерационных методов:

Byt + Ау = р.

Исследуем теперь сходимость итерационных методов (26) - (28). Составим погрешности 0и+1 = ии+1 -V, Пи1 = С+1 - Тогда из (4) - (6) и (26) - (28) получим сеточную краевую задачу

и+1 _и+1

для0 и П

В0

и +1

V + М И0и +1 - V иП +1 - [а! Х 0и+1 + в! Х0и )

(29)

N-1 „ / \

хП + £ йИИ^ = 0, (пи+1,1)—и = 0,

к=1

0 и

0 =И0 - V, 0

^ = 0, П =4 -С, П01)—;

^ = 0.

2

2

2

2

2

Пусть D - симметричный сеточный неотрицательный оператор, определенный в L2 (Qh), тогда через ||uL обозначим полунорму (Du,u)= ||u|l • Положим В=В*>0, через ||u||2 обозначим

u

= (Bu, u) +

та0 и ц2

а1

Iii

где ао >0, а1 >1 - положительные постоянные.

* II II 2 || || 2

Теорема 2. Если B = B > х0 И > И , mo итерационный процесс сходится со скоростью

геометрической прогрессии при т

< то (ß),

и имеет место оценка

а

+ хТПп

2

< q(

а

2

+ Хт

п

), q < 1.

Доказательство. Умножим (26) на 2тИ+1h3, 2тИ2^п+ , просуммируем по сеткам области и в

результате сложения имеем равенство

а

а

+

^ п+1 ^п а -а

+ т2

а

+ хт\

п

п

+

+ тХ Предположим, что

_п+1 _п

п - п

+

2\ß(l хап ,ап+1 )= 0.

И в = (ви,и)<х| И11, X0IИ1B >И2-

Оценим последние слагаемые в равенстве (30):

\ß\(l хап ,ап+1 \<\ß(l хап ,ап+1 -ап \ = \ß\(l хап ,ап+1 -ат )

= \ß\(l х (ап - ап+1),(ап+1 -ап)) + \ß\(l х ап+1,а <т\\ап+1 ап+1 -ап )< т\VXTI

_______ п+1 п

а - а

п+1 п+1 п

-а I <

<

п +1

а

в

1

< — 4

п+1 п

а -а

2 + Т ßX0CQ B 2

а

п+1

Для оценки использовано неравенство Фридрихса

112 1

2 1

и+1

а

< C

Q

п +1

а

. Тогда

1 ||2 II ||2 1 м , ||2

„ п+1 U п . * п+1

а -а +—а

IIb II IIb 2 " "B

+ 2т(2 - Сйтх0\|ап+1|2 +

+х\ ||пп+Ч|2 - ||ппII21+т3Хкп+1Г < 0

п +1

Слагаемые V П в формуле (29) оценим в негативной норме, в результате получим

п

< N0 (а1 +

а

+ а

а

Следовательно

_п+1

п

а

, п+1

< 4 Nо( X

< 4N02 ((х

< 4 N 02 [х

а

п +1

+

а

п+1

а

п +1

+

а

п +1

а

п+1

+ а'

а

п +1

+ ß

+

а

\ап )

<

+ (а2 + 2ß2) ап+1 " + 2ß

п+1

п+1 п

а -а

<

+ (а2 + 2ß2)Q

а

п+1

+ 2\2хс

а

п +1

(30)

(31)

(32)

Умножим неравенство (32) на А0Г2Х, где Ад - некоторая положительная постоянная, сложим с неравенством (31), получим

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

B

B

2

2

2

2

2

2

B

2

2

2

2

2

2

Т

в

„ и+1 2 n

m — m

в

+ r2| I - 8ß2N2XoT2Xo - 4NOXoX^o

m

И+1

+

+ t(2 - CTXoß - 4No2 Vx(1 + (a2 + 2ß2))Cü)-+ XT(1 + Aor)| |п

m

2 и ||2 n ll2 и

n+1 , , 1 _n+1 ^ n+1 и

< m + t x\\n

Так как Лд > 0 - произвольное число, то выберем Л0 и т так , чтобы выполнялось неравенство

1 2

8N x0ß2X - 4No2xXo > o,

2 - CTß - 4No2AoX(1 + (a2 + 2ß2)Cü) > 2«o > o,

в результате получим

m

n+1

m

+ 2zar

m

n+1

Из полученного неравенства следует, что

(

1 + 0>

Л

X1

m

+ та г

m

1 +XT(1 +

2 +xt(1 + ÄoT)

п

п

n +1

<

<

m

m

+ XT

п

+ XT

п

Левую часть неравенства (33) оценим снизу

где a1 = min 1 +

тап

X

+ хАП'

1 + ЛпТ>> 1.

II +i 112 И II2 II || 2

+ rao||m || <\mn\B +хт||пп| ,

(33)

(34)

Разделим (34) на a1 и оценим правую часть сверху

mn+i + хт\\п II Нв II

Отсюда получим

и+1 ||2 , Tao

+ -

m

n+^|2 , ao

+ -

а

m

n+1

+ XT

п

2 ao + —o

a

m

а

n+1

Ik+f < -

11 11 а

m

Ii 2 Tao + —o

а

m

+ хАП'

f

< q'

m

2 ao + —o

a

m

+ XT

п

Л

где q=1/a1 .. Теорема доказана. Таким образом, доказана сходимость итерационного метода (26) - (28).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ладыженская О.А. О сходящихся разностных схемах для уравнения Навье - Стокса / Ладыженская О.А., Рившинд В.Я. //Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1971, т.3, с.55-73.

2. Кузнецов Б.Г. О разностных схемах с малым параметром, аппроксимирующих уравнения Навье -Стокса. / Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш.С. //Труды V Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой несжимаемой жидкости. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1975, с.109-122.

3 Кажикенова С.Ш. £ -аппроксимация температурной модели неоднородных жидкостей с учетом диссипации энергии // Вестник КазНУ. - Серия математика, механика, информатика. - 2oo2. - № 3(31). -С. 96-98

4 Кажикенова С. Ш. Аппроксимация стационарной модели неоднородной несжимаемой жидкости // Вестник Кузбасского государственного технического университета. - Кемерово, 2010. -№ 6. - С.113-116.

Авторы статьи

Алибиев Даулет Будешович, канд. физ.-мат. наук, доцент каф. «Прикладная математика и информатика» ( Карагандинский государственный университет) Тел. 8(7212)770395

Кажикенова Айгуль Шарапатовна, канд.техн. наук, доцент каф. «Прикладная математика и информатика» ( Карагандинский государственный университет) Email: [email protected]

в

2

2

2

2

2

2

в

в

в

2

2

2

2

в

2

2

в

2

2

в

2

2

2

в

в

Поступило в редакцию 10.11.2014