CC BY
12
УДК 519.6+624.04
D01:10.30838/J.BPSACEA.2312.261119.18.583
МЕТОД РОЮ ЧАСТИНОК ДЛЯ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ НЕЛ1НШНО1 ОПТИМ1ЗАЩ1
ДАШШЕВСКИЙ В. В.1, д. т. н, проф., ГАЙДАР А. М2*, ст. викладач
1 Кафедра будгвельно! мехашки та опору матерiалiв, Державний вищий навчальний заклад «Придтпровська державна акадетя будiвництва та архгтектури», вул. Чернишевського, 24-а, 49600, Днiпро, Укра!на, тел. +38 (056) 756-33-13, e-mail: vladyslav.danishevskyy@pgasa.dp.ua, ORCID ID: 0000-0002-3049-4721
2 Кафедра технологи будгвельного виробництва, Державний вищий навчальний заклад «Придтпровська державна академш будiвництва та архгтектури», вул. Чернишевського, 24-а, 49600, Дншро, Укра!на, тел. +38 (0562) 47-02-98, e-mail: nastuel gaidar@ukr.net
Анотащя. Мета. Оптимальне проектування будгвель та споруд потребуе виршення низки важливих проблем, пов'язаних з визначенням найкращо! топологи i геометрично! форми конструкцiй, фiзичних властивостей елементгв, зв'язкiв елементiв мiж собою тощо. При цьому необхдао враховувати вплив багатьох чинникiв: розподiл статичних i динамiчних навантажень, корозiйнi процеси, характер умов експлуатацп, вимоги до надшност та довговiчностi об'екту. Складтсть розв'язання таких задач пов'язана з тим, що у бiльшостi випадкгв цiльовi функци е нелiнiйними, залежать вщ велико! кiлькостi параметрiв, а також можуть мати багато локальних екстремумгв. Метою роботи е розвиток нових методiв для розв'язання задач нелгншно! оптимiзацil. Методика. У роботi використовуеться метод рою частинок, який iмiтуе поведгнку децентралiзованих бiологiчних систем та належить до методгв штучного колективного гнтелекту. Результати. Запропонована нова програмна реалiзацiя методу рою частинок у систем комп'ютерно! алгебри з в^ритим кодом Maxima. На прикладах тестових функцiй Розенброка та Растрiгiна, показана висока обчислювальна ефективнiсть методу та доолджено вплив його параметрiв на швидюсть практично! збiжностi. Наукова новизна. У поргвнянт з класичними алгоритмами, метод рою частинок може бути особливо ефективним для знаходження екстремумiв нелiнiйних мультимодальних функцiй, а також для розв'язання задач високо! розмiрностi. Практичне значення. Розвинутий метод може бути застосований для розв'язання задач оптимального проектування будiвель та споруд.
Kro40Bi слова: оптимальне проектування; нелттна оптимiзацiя; колективний ттелект; метод рою частинок; функцiя Розенброка; функщя Растртна
МЕТОД РОЯ ЧАСТИЦ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
ДАШИШЕВСКИЙ В. В.1, д. т. н, проф.,
2*
ГАЙДАР А. Ш. , ст. преподаватель
1 Кафедра строительной механики и сопротивления материалов, Государственное высшее учебное заведение «Приднипровская государственная академия строительства и архитектуры», ул. Чернышевского, 24-а, 49600, Днипро, Украина, тел. +38 (056) 756-33-13, e-mail: vladyslav.danishevskyy@pgasa.dp.ua, ORCID ID: 0000-0002-3049-4721
2 Кафедра технологии строительного производства, Государственное высшее учебное заведение «Приднипровская государственная академия строительства и архитектуры», ул. Чернышевского, 24-а, 49600, Днипро, Украина, тел. +38 (0562) 47-02-98, e-mail: nastuel gaidar@ukr.net
Анотащя. Мета. Оптимальне проектування будгвель та споруд потребуе виршення низки важливих проблем, пов'язаних з визначенням найкращо! топологи i геометрично! форми конструкцш, фiзичних властивостей елементгв, зв'язюв елеменпв мiж собою тощо. При цьому необхдао враховувати вплив багатьох чинниюв: розподш статичних i динамiчних навантажень, корозшт процеси, характер умов експлуатацп, вимоги до надшност та довпжчносп об'екту. Складтсть розв'язання таких задач пов'язана з тим, що у багатьох випадках цiльовi функцй е нелшшними, залежать ввд велико! юлькост параметргв, а також можуть мати деюлька локальних екстремумiв. Метою роботи е розвиток нових методiв для розв'язання задач нелгншно! оптимiзацil. Методика. У робот! використовуеться метод рою частинок, який iмiтуе поведгнку децентралiзованих бюлопчних систем та належить до методгв штучного колективного гнтелекту. Результати. Запропоновано нову програмну реалiзацiю методу рою частинок у системi комп'ютерно! алгебри з в^ритим кодом Maxima. На прикладах тестових функцгй Розенброка та Растрiгiна показано високу обчислювальну ефективнiсть методу та доаиджено вплив його параметрiв на швидюсть практично! збiжностi. Наукова новизна. У поргвнянш з класичними алгоритмами, метод рою частинок може бути особливо ефективним для знаходження екстремумiв нелшшних мультимодальних функцш, а також для розв'язання задач високо! розмiрностi. Практичне значення. Розвинутий метод може бути застосований для розв'язання задач оптимального проектування будiвельних конструкцш, будiвель та споруд.
Kro40Bi слова: оптимальне проектування; нелттна оптимiзацiя; методы колективного ттелекту; метод рою частинок; функщя Розенброка; функщя Растрiгiна
Аннотация. Цель. Оптимальное проектирование зданий и сооружений требует решения ряда важных задач, связанных с определением наилучшей топологии и геометрической формы конструкций, физических свойств элементов, связей элементов между собой, прочее. При этом необходимо учитывать влияние многих факторов: распределение статических и динамических нагрузок, коррозионное воздействие, характер условий эксплуатации, требования к надежности и долговечности объекта. Сложность решения таких задач связана с тем, что во многих случаях целевые функции являются нелинейными, зависят от большого количества параметров, а также могут иметь несколько локальных экстремумов. Целью работы является развитие новых методов для решения задач нелинейной оптимизации. Методика. В работе используется метод роя частиц, который имитирует поведение децентрализованных биологических систем и является одним из методов искусственного коллективного интеллекта. Результаты Предложена новая программная реализация метода роя частиц в системе компьютерной алгебры с открытым кодом Maxima. На примерах тестовых функций Розенброка и Растригина показана высокая вычислительная эффективность метода и исследовано влияние его параметров на скорость практической сходимости. Научная новизна. По сравнению с классическими алгоритмами, метод роя частиц может быть особенно эффективным для нахождения экстремумов нелинейных мультимодальных функций, а также для решения задач высокой размерности. Практическое значение. Развитый метод может быть использован для решения задач оптимального проектирования строительных конструкций, зданий и сооружений.
Ключевые слова: оптимальное проектирование; нелинейная оптимизация; методы коллективного интеллекта; метод роя частиц, функция Розенброка; функция Растригина
PARTICLE SWARM METHOD FOR SOLVING THE PROBLEMS OF NONLINEAR OPTIMIZATION
DANISHEVSKYY V.V.1, Dr. Sc. (Tech.)., Prof, GAIDAR A.M.2*, Assistant Prof.
1 Department of Building Mechanics and Strength of Materials, State Higher Educational Institution "Piydniprovska State Academy of Civil Engineering and Architecture», 24-a, Chernyshevskoho St., 49600, Dnipro, Ukraine, tel. +38 (0652) 47-02-98, e-mail: vladyslav.danishevskyy@gmail.com
2 Department of Technology of Building Production, State Higher Educational Institution "Prydniprovska State Academy of Civil Engineering and Architecture", 24-a, Chernyshevskoho St., 49600, Dnipro, Ukraine, tel. +38 (0652) 47-02-98, e-mail: nastuel gaidar@ukr.net
Abstract. Purpose. The optimal design of buildings and structures requires solving a number of important tasks related to determining the best topology and geometric shape of structures, physical properties of elements, connections of elements among themselves, etc. In this case, it is necessary to take into account the influence of many factors: the distribution of static and dynamic loads, corrosive effects, the nature of the operating conditions, the requirements for the reliability and durability of the unit. The complexity of solving such problems is connected with the fact that, as a rule, the objective functions of such problems are nonlinear. Methods. Various approaches are used to solve nonlinear optimization problems: stochastic search (Monte Carlo method); search methods in which the step is successively reduced, following to the given relation (halving, golden ratio, inverse Fibonacci numbers); gradient descent method; evolutionary algorithms; penalty function method and others. In recent years, a new class of methods of numerical optimization has been intensively developed, in various works it is called social-behavioral, population, or swarm. For practical verification of the particle swarm method, the finding of the extrema of the test functions of Rosenbrock and Rastrigin is considered. Results. A new software implementation of one of the methods of artificial collective intelligence, the particle swarm method, is proposed for solving nonlinear optimization problems in the Maxima open-source computer algebra system. The high computational efficiency of this method for finding global extrema of "ravine" and multimodal functions in those cases where the application of many classical algorithms can be difficult is shown. Scientific novelty. Compared to classical methods, swarm intelligence methods are especially effective for finding extrema of nonlinear multimodal functions, as well as for solving high-dimensional problems. Practical significance. The effect of the method parameters (particle number and weight coefficients) on the rate of practical convergence is investigated. The developed method can be used, inter alia, to solve the problems of optimal design of building structures, buildings and structures.
Keywords: particle swarm method; Rosenbrock function; Rastrigin function; optimal design of building structures
Вступ. Оптимальне проектування 6уд1вель 1 споруд потребуе вир1шення низки важливих проблем, пов'язаних з визначенням найкращо! топологи 1 геометрично! форми конструкцш, ф1зичних властивостей елемент1в, зв'язюв елементсв м1ж собою тощо. При цьому необхщно враховувати вплив багатьох чинниюв: розподш статичних 1 динам1чних навантажень, корозшш процеси, характер умов експлуатацп, вимоги до надшносп 1 довгов!чносп об'екта. З математично! точки зору оптимальне проектування зводиться до пошуку глобальних екстремум1в деяких цшьових функцш, в якост яких можуть розглядатися маса конструкцп, !! вартють, мщшсть, жорсткють, термш служби. Складшсть розв'язання таких задач обумовлена з тим, що, як правило, цшьов1 функцп е нелшшними, залежать вщ велико! кшькосп параметр1в, а також можуть мати багато локальних екстремум1в (так зваш мультимодальш функцп).
Для розв'язання задач нелшшно! оптим1зацп можуть використовуватись р1зш тдходи: стохастичний пошук (метод Монте-Карло); методи перебору, в яких крок послщовно зменшуеться вщповщно до деякого заданого стввщношення (дшення навтл, золотий перетин, зворотш числа Ф1боначч1); метод град1ентного спуску; еволюцшш алгоритми; метод штрафних функцш та шшь
В останш роки штенсивно розвиваеться новий клас метод1в чисельно! оптим!зацп, яю у р1зних роботах називаються сощально-поведшковими, популяцшними або ройовими [1]. Таю методи шстроваш живою природою. Вони ¡м1тують поведшку колективних бюлопчних систем, що складаються з окремих оаб. Особи обмшюються шформащею та взаемод1ють одна з одною за певними законами. Незважаючи на вщсутшсть будь-якого центру управлшня, це призводить до виникнення штелектуально! групово! поведшки. Система в цшому виявляеться здатною знаходити кращ1 розв'язки, шж це може зробити кожна з оаб окремо. Вщзначимо, що даш методи е наближеними.
1х зб!жшсть не доведена строго математично, але експериментально встановлено, що у бшьшосп випадюв вони дають досить хороший результат.
Методи ройового штелекту мають наступш переваги:
• вщсутшсть обмежень на типи функцш 1 параметр1в, що входять у математичну модель задачу
• можливють дослщжувати весь проспр розв'язюв та захищешсть вщ «зависання» в локальних екстремумах;
• не потр1бно обчислювати похщш цшьово! функцп;
• простота реал1зацп;
• можливють розпаралелити обчислю-вальний процес.
У пор1внянш з класичними алгоритмами, методи ройового штелекту особливо ефективш для знаходження екстремум1в нелшшних мультимодальних функцш, а також для розв'язання задач велико! розм1рносп. До недолтв слщ вщнести залежшсть швидкосп зб1жносп вщ значень вшьних параметр1в 1 вагових коефщ1ент1в, кшькють яких у бшьшосп метод1в досить велика.
Методи ройового штелекту можуть грунтуватися на р1зних алгоритмах. Метод рою частинок описуе поведшку децентрал1зовано! згра! птах1в, яю шукають мюце з найбшьшою концентращею корму. У метод! св1тлячк1в менш яскрав1 частинки рухаються у простор! розв'язюв назустр1ч бшьш яскравим, при цьому «яскравють» визначаеться значенням цшьово! функцп у данш точщ. Мурашиний алгоритм наслщуе поведшку колонн мурах ! може застосовуватися для розв'язання
лопстичних задач. 1мунш мереж! моделюють роботу кл1тин ¿мунно! системи. Так само, як ! штучш нейронн! мереж!, ¡мунш мереж! здатш до навчання, не потребують заздалегщь вщомо! модел! задач!, а будують !! сам! на основ! отримано! шформацп. Так! методи ефективн! для розв'язання задач прогнозування, класифшаци (розтзнавання) та управлшня.
У данш робот! розглядаеться розв'язання задач нелшшно! оптим1зацп за
допомогою методу рою частинок. У роздш 2 наведено математичш стввщношення, що покладено в основу методу, та описана схема побудови обчислювального алгоритму. У роздшах 3, 4 розглянуто приклади знаходження екстремум1в тестових функцш Розенброка та Растршна. Дослщжено вплив кшькосп частинок 1 значень вагових коефщ1ент1в на швидюсть зб1жносп методу, визначено його оптимальш параметри. Висновки наведено у роздш 5.
Процедура оптим1зацн методом рою частинок. Метод рою частинок був спочатку запропонований Дж. Кеннеди Р. Еберхарт 1 Ю. Ш! [2; 3] для 1м1тацп сощально! поведшки. Огляд застосувань даного методу для розв'язання задач оптим1зацп наведено у статп Р. Пол1 [4].
Кожна частинка характеризуе собою один 1з можливих розв'язюв задача Положення частинки у простор! розв'язюв визначаеться вектором координат хп = (XI, х2, х3,..., xD}, компоненти якого - це параметри, вщ яких залежить цшьова функщя. Тут п - номер частинки, п = 1,2,3,... Д; D - розм1ршсть задача Частинки перемщуються в простор1 розв'язюв у пошуку найкращого положення, яке вщповщае екстремуму цшьово! функцп. Область пошуку задаеться умовами обмежень:
хГп < хё < х/ах; ё = 1,2,3,..^.
(1)
На кожнш 1терацп координати хп та змщення (швидкосп) частинок vn визначаються за формулами:
,,0+1) _ „а ) , „('■)
(2)
/;+1) = с0 V(0
п 0 п
V — = сVг + (рп - х(п)) + с2г2 (g(;) - хп;))
()(3)
де ■ - номер 1терацп, ■ = 0,1,2,.; рп(1) -координати найкращого положення, знайденого частинкою; g(l) - координати найкращого положення всього рою; с0, с1, с2 - вагов1 коефщ1енти; г1, г2 - незалежш випадков1 величини в штервал1 [0,1]. Початков1 координати та швидкосп, як правило, вибираються випадковим чином.
У формул! (3) перший доданок визначае «шерщю» руху частинки. Наявшсть шерцп запоб1гае стрибкопод1бним змшам траекторп. Рекомендован значення коефщ1ента с0 знаходяться у штервал1 0.4 < с0 < 0.9 [1]. Ефективним може бути застосування адаптивного алгоритму, коли в процес розв'язання задач1 значення с0 поступово знижуеться. При цьому на початкових 1теращях забезпечуеться широкий огляд простору пошуку, а на кшцевих - точна локал1защя положення екстремуму.
Другий доданок формули (3) скеровуе частинку у б1к !! особистого найкращого положення рп(1), а третш - у б1к найкращого положення g(l), яке знайдено роем. Значення коефщ1ент1в с1, с2 визначають питому вагу «когштивно!» 1 «сощально!» складових поведшки частинки. При малих значеннях с1, с2 частинки рухаються по гладких траектор1ях, а з1 збшьшенням цих параметр1в рух стае бшьш стохастичним. Як правило, рекомендуеться с1 = с2, 0.5 < с1, с2 < 2. Змшш г1, г2 вносять випадков1 вщхилення вщ задано! траекторп руху, що дозволяе дослщжувати бшьшу область простору.
Ефектившсть роботи методу залежить вщ вагових коефщ1ент1в, оптимальш значення яких у загальному випадку визначаються рельефом цшьово! функцп та шдивщуальш для кожно! задача При правильно обраному баланс м1ж с0, с1 1 с2 швидкють руху частинок поступово знижуеться 1 наближаеться до нуля в окол1 точки екстремуму, що розшукуеться.
Суттевий вплив також мають умови, як1 задаються на зовшшшх границях простору розв'язюв та визначають поведшку частинки, якщо координати обчислеш за формулою (2) лежать за межами обласп пошуку. Можуть використовуватися модел1 границь, що поглинають, вщбивають, демпф1рують або е прозорими [5]. У бшьшосп випадюв гранищ, як поглинають та вщбивають, стимулюють дослщження, вщповщно, перифершно! та внутр1шньо! областей простору розв'язюв. Прозор1 границ та так1, що демпф1рують,
забезпечують бшьш р1вном1рне дослщження Bcie'í задано'! область У данш робот використовуеться модель прозоро!' границi. Якщо частинка потрапляе за межi простору розв'язкiв, значення цшьово!' функцп для не'! не обчислюеться. Тодi на наступних iтерацiях частинка швидко повертаеться в область пошуку, притягаючись до точок pn(l)
i S(l) .
Кiлькicть частинок N, що використовуються, залежить вiд розмiрноcтi задачi D. Збiльшення популяцп дозволяе бшьш повно доcлiджувати проcтiр розв'язюв, але потребуе бшьшо!' кiлькоcтi виклиюв цшьово!' функцп. Невелика кiлькicть частинок, навпаки, скорочуе обчислення, але при цьому метод може «зависати» у локальних екстремумах. Доcлiдження показали, що у багатьох практичних випадках хорошi результати досягаються вже при N = 10...30 [1]. В цiлому, оптимальна кшьюсть частинок може пiдбиратиcя шдивщуально для кожно!' задачi.
Критерп завершення процесу пошуку можуть бути наступш:
• виконання задано!' кшькосп iтерацiй;
• досягнення заданого значення екстремуму цшьово! функцп;
• стагнащя пошуку, коли знайдене значення екстремуму не покращуеться протягом декшькох оcтаннiх iтерацiй.
Схема алгоритму методу рою частинок наведена на рисунку 1. У данш робот^ програмна реалiзацiя виконана в cиcтемi комп'ютерно!' алгебри з вiдкритим кодом Maxima, яка поширюеться на умовах вшьно!' лщензп GNU GPL.
Функц1я Розенброка. Для практично!' верифшацп методу рою частинок розглянемо знаходження екcтремумiв деяких тестових функцiй [6], якi можуть використовуватися для оцшки
продуктивноcтi алгоршмв оптимiзацii. Нехай розмiрнicть задачi дорiвнюе двом D = 2.
Рис. 1. Алгоритм методу рою частинок / Fig. 1. Particle swarm algorithm
Функщя Розенброка - неопукла функщя «долинного» типу, яка визначаеться формулою:
f = (1 - xi)2 + 100 (Х2 - xi2)2 (4)
i мае глобальний мш1мум fmin = 0 у точщ xi = x2 = 1. Графк функцп (4) зображений на рисунку 2. Для даного прикладу застосування методу град1ентного спуску виявляеться малоефективним. Через наявшсть вигнуто! полого! долини, оптим1зац1я пов1льно рухаеться в напрямку мш1муму зигзагом кроками малого розм1ру. В1дзначимо, що ця проблема значно посилюеться при збшьшенш розм1рносп задач1.
Puc. 2. rpa$iK $yHKw 'i Po3eH6poKa / Fig. 2. Rosenbrock function graph
3agaeMO o6.nacTb nomyKy
cniBBigHomeHH^MH (1), ge:
min min o min min 0 rc\
x1 = x2 = -2, x1 = x2 = 2. (5)
By.no BHKOHaHO cepii po3paxyHKiB 3 pi3HOro KmbKiCTW HaCTHHOK N Ta pi3HHMH
значениями вагових коефщ1енпв c1, c2 (за цих умов прийнято c0 = 0.5). На рисунках 3, 4 наведено усереднеш залежносп, яю шюструють вплив розрахункових параметр1в на швидюсть зб1жност1 методу. Обчислювальш експерименти показали, що найкраща швидкод1я досягаеться за N = 16 та с1 = с2 = 1.
а частинок 16 частинок 32 частники
50 100 150 200
мльюсть виклик|в цтьово'г функцм
Рис. 3. Вплив к1лькост1 частинок на швидюсть зб1жност1 для функцП Розенброка / Fig. 3. The influence of the number ofparticles on the convergence rate for the Rosenbrock function; с1=с2=1
Рис. 4. Вплив значень вагових коефiцieнтiв на швидюсть збiжностi для функци Розенброка / Fig. 4. The influence of the values of the weights on the convergence rate for the Rosenbrock function; N = 16
Процес роботи методу оптим1зацп граф1чно шюструеться на рисунку 5, де наведено контурний граф1к функци Розенброка (хрестиком вщзначено глобальний мш1мум) i показано положення частинок на рiзних ^еращях.
i = 1
i = 3
i = 4
i = 5
i = 6
i = 7
i = 10
i = 16
Рис. 5. Положення частинок у просторi розв'язтв на
рiзних тера^ях для функцП Розенброка / Fig. 5. The position of particles in the solution space at different iterations for the Rosenbrook function
При розрахунках прийнято N = 16, с1 = с2 = 1. Виконавши 16 ггерацш, що вщповщае 256 викликам цшьово! функцп,
знайдено наближене значения екстремуму fmm - 0.0615.
Функщя Растр1г1на. Одним i3 приклад1в мультимодальних функцш е функцiя Растрiгiна:
g = 20 + xj2 + x2 —10 [cos ( 2px1 ) + cos ( 2px2 )]
(6)
графiк яко'1' наведено на рисунку 6. Глобальний мшмум gmin = 0 знаходиться в точщ x1 = x2 = 0.
Рис. 6. Графгк функцП Растрггта / Fig. 6. Rastrigin function graph
Знаходження мш1муму ще! функци е складною задачею через велику кшьюсп локальних екстремум1в, що може викликати «зависання» класичних алгоритм! в оптим1заци. Застосування методу рою частинок дозволяе ефективно дослщити весь проспр розв'язюв та визначити глобальний мш1мум при вщиосио иевеликш кшькосп обчислень.
Область пошуку задана
стввщношеннями (1), (5). Рисунки 7, 8 шюструють залежшсть швидкосп зб1жносп методу вщ кшькосп частинок N та вщ значень вагових коефщ1енпв с1, с2. При розрахунках прийнято с0 = 0.5. У даному приклад1 найкращий результат одержано за N = 32 та с = с2 = 1.
Рис. 7. Вплив к1лькост1 частинок на швидюсть зб1жност1 для функцП Растртна /Fig. 7. The influence of the number ofparticles on the convergence rate for the Rastrigin function', c} = c2= 1
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 «¡лысеть зикликш цшьозо! функцм
Рис. 8. Вплив значень вагомих коефiцieнтiв на швидюсть збiжностi для функцП Растрiгiна / Fig. 8. The influence of the values of the weighting coefficients on the convergence rate for the Rastrigin function; N = 32
Положення частинок на рiзних ^еращях наведено на рисунку 9. Щоб знайти наближене значення екстремуму
gmin - 0.4975, було виконано 16 керацш (512 виклиюв цшьово'!' функцп).
J3U
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 i = 1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
i = 3
Рис. 9. Положення частинок у nросторi розв'язтв на р1зних iтерацiях для функцП Растртна /Fig. 9. The position of particles in the solution space at different iterations for the Rastrigin function
Висновки. В робот запропонована нова програмна реалiзацiя одного з методiв штучного колективного штелекту - методу рою частинок - для розв'язання задач нелшшно! оптимiзацп в системi комп'ютерно! алгебри з вiдкритим кодом Maxima. Показана висока обчислювальна ефективиiсть даного методу для знаходження глобальних екстремумiв «долинних» та мультимодальних фуикцiй у тих випадках, коли застосування багатьох класичних алгоритмiв може виявитися ускладненим. Дослiджеио вплив параметрiв методу (кшькосп частинок i значень вагових коефщеш!в) на швидкiсть практично! збiжиостi. Розвинутий метод може бути застосований, у тому чист, для розв'язання задач оптимального
проектування будiвельиих коиструкцiй, будiвель та споруд.
i = 13 i = 16
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Карпенко А. П. Современные алгоритмы поисковой оптимизации. Алгоритмы, вдохновленные природой : монография / А. П. Карпенко. - Москва : Издательство МГТУ им. Баумана, 2017. - 446 с.
2. Eberhart R. Swarm Intelligence / R. Eberhart, Yu. Shi, J. Kennedy. - Morgan Kaufmann, Elsevier, 2001. - 512 pp.
3. Poli R. Analysis of the publications on the applications of particle swarm optimisation / R. Poli // Journal of Artificial Evolution and Applications. - 2008. - Article ID 685175. - 10 p.
4. Галан А. Ю. Выбор параметров алгоритма на базе метода роя частиц для синтеза антенных решеток с секторной диаграммой направленности / А. Ю. Галан, А. В. Борискин // Радiофiзика та електрошка. - 2011. -Т. 2 (16), № 1. - С. 11-18.
5. Practical genetic algorithms with CD-Rom / [R. L. Haupt, S. E. Haupt]. - New-York : Wiley, 2004. - 272 p.
REFERENCES
1. Karpenko A.P. Sovremennyye algoritmy poiskovoy optimizatsii. Algoritmy, vdokhnovlennyye prirodoy [Modern search engine optimization algorithms. Algorithms inspired by nature]. Moscow : MSTU named after Bauman, 2017, 446 p. (in Russian).
2. Eberhart R., Shi Yu. and Kennedy J. Swarm Intelligence. Morgan Kaufmann, Elsevier, 2001, 512 p.
3. Poli R. Analysis of the publications on the applications of particle swarm optimisation. Journal of Artificial Evolution and Applications. 2008, Article ID 685175, 10 p.
4. Galan A.Yu. and Boriskin A.V. Vybor parametrov algoritma na baze metoda roya chastits dlya sinteza antennykh reshetok s sektornoy diagrammoy napravlennosti [Choice of algorithm parameters based on the particle swarm method for the synthesis of antenna arrays with a sector radiation pattern]. Radiofizyka ta elektronika [Radiophysics and electronics]. 2011, vol. 2 (16), no. 1, pp.11-18. (in Russian).
5. Haupt R.L. and Haupt S.E. Practical genetic algorithms with CD-Rom. New-York : Wiley, 2004, 272 pp.
Надшшла до редакцп 11.10.2019.
