Определение оптимальных параметров конструкции с геометрическими неоднородностями, которые находятся под воздействием агрессивных сред Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 620.193.2:69,001.11

С. В. КОЛЬЧИК (ДНУ iM. О. Гончара, Дшпропетровськ)

ВИЗНАЧЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ ПАРАМЕТР1В КОНСТРУКЦ1Й З ГЕОМЕТРИЧНИМИ НЕОДНОР1ДНОСТЯМИ, ЩО ПЕРЕБУВАЮТЬ П1Д Д1ею АГРЕСИВНИХ СЕРЕДОВИЩ

Стаття присвячена проблем! оптим1зацп параметр1в конструкцш, як1 мають геометричш неоднорщносп та перебувають в агресивному середовищ! Для и виршення був побудований алгоритм спрямованого по-шуку, який базуеться на принцип! етапност! та включае в1дом1 методи, скомбшоваш таким чином, щоб ус-тшно виршувати складш задач! оптимального проектування транспортних конструкцш п!д д1ею агресив-них середовищ. В якосп !люстрацп наведено приклад пошуку оптимального шдкршлення кругового отвору в пластин!, що схильна до корозшного зносу.

Статья посвящена проблеме оптимизации параметров конструкций с геометрическими неоднородностя-ми, которые находятся в агрессивной среде. Для её решения был построен алгоритм направленного поиска, который базируется на принципе этапности и включает в себя известные методы, скомбинированные таким образом, чтобы успешно решать сложные задачи оптимального проектирования транспортных конструкций под действием агрессивных сред. В качестве иллюстрации приведен пример поиска оптимального подкрепления кругового отверстия в пластине, подверженной коррозионному износу.

The article is devoted the problem of optimization of parameters of constructions with geometric inhomogenei-ties, which are in the aggressive environment. For its solution the algorithm of directed search was built based on the stage principle and including the known methods, which are successfully combined to solve the intricate problems of the optimum planning of transport constructions under the aggressive environments action. As an illustration the example of optimum search of circular opening reinforcement in a plate under corrosive wear is considered.

Елементами багатьох транспортних споруд е конструкций як в процес експлуатаци шдля-гають не лише ди навантажень, температур, але й хiмiчно активних середовищ. При цьому, вка-заш фактори нерщко ддать спшьно, в найспри-ятливших поеднаннях, що приводить до змен-шення несучо! здатносп конструкцш i значного скорочення термшу !х служби. Неврахування впливу агресивних середовищ може приводити до передчасного або аваршному виходу з ладу споруд. В перюд економiчноI кризи особливо актуальною стае проблема створення мщних i легких конструкцш, що виготовлеш з максимальною економiею матерiалу та здатнi працюва-ти в агресивних середовищах протягом встано-вленого термiну служби.

Серед задач оптимального проектування конструкцш тд дiею агресивних середовищ, що широко дослщжуються останнiм часом укра1нськими вченими, наприклад, в роботах [1 - 3], задача пошуку оптимальних параметрiв конструкцш з геометричними неоднорщностя-ми, такими як отвори, практично не розглянута. Наведена задача е досить складною, коли шви-дкiсть корози залежить вiд напруг. У цьому ви-падку зона концентрацiI напружень поблизу отворiв стае ще небезпечшшою внаслiдок взае-много впливу механiко-хiмiчних факторiв, що

приводить, як правило, до передчасного виходу конструкцiI з ладу. Розрахунок довговiчностi таких споруд е сам по собi громiздкою i нетри-вiальною задачею, котру при пошуку оптимальних параметрiв доводиться виршувати на кожному кроцi ошташзаци, що, як правило, складае десятки, а деколи i сотнi разiв. При ве-ликiй розмiрностi задачi це може бути серйоз-ною проблемою, яка вимагае значних обчислю-вальних ресурсiв, що не завжди можливо. Вжи-вання iснуючих оптимiзацiйних алгоршмв, адаптованих пiд вирiшення широкого класу завдань пошуку оптимальних параметрiв конструкцш тд впливом агресивних середовищ, стае неефективним для оптимiзацiI конструкцш з геометричними неоднорщностями.

Тому цылю даног статтi е визначення оптимальних параметрiв конструкцiй з геометричними неоднорщностями типа шдкршлених отворiв, що перебувають пiд дiею агресивних середовищ, за допомогою розробленого ефек-тивного оптимiзацiйного алгоритму, який най-бiльш повно враховуе особливостi задач наве-деного класу.

Для прямокутно! пластини з круговим отво-ром, шдкршленим двостороннiми ребрами по-стшно! товщини, що розтягнута рiвномiрно розподшеним навантаженням (рис. 1) i пе-

© Кольчик С. В., 2010

ребувае в агресивно-активному середовищ^ де швидюсть корози залежить вiд напруженого стану конструкций формулюеться наступна оп-тимiзацiйна задача: знайти таку форму шдкрш-лювальних ребер, щоб обсяг 1х матерiалу був мiнiмальним, але при заданому навантаженнi iнтенсивнiсть напружень у момент часу [ ] не перевищила припустимо! величини.

Рис. 1. Пластина з круговим отвором, пвдкршленим двостороншми ребрами постшно! товщини

Постановка задач1 оптимального проекту-вання у форм1 задач1 нелшшного математично-го програмування записуеться у виглядк

G( X) ^ min; (1)

г(x, t) >0;

X < x < x

i = 1, M,

(2) (3)

де О(х) - цiльова функцiя;

gi (х, t) - обмеження по мщносп, якi зале-жать вщ часу ^

х = [х1, х2,..., хп]Т - вектор змiнюваних па-раметрiв;

х-, х+ - верхня i нижня границi конструк-тивних обмежень;

М - кiлькiсть змшюваних параметрiв. Вважаемо, що розрахунок мщносп констру-кцп у будь-який момент часу проводиться методом сюнченних елеменпв.

При проектуваннi пiдкрiплення отвору в пластинах, як правило, мшмум маси (або його обсягу) вщшукуеться за рахунок варiацil тов-щин елементiв при незмiннiй формi шдкрш-лення. Однак, у рядi випадюв з конструктив-них, функцiональних або технолопчних розу-мiнь доцiльно прийняти постiйною товщину пiдкрiплення, а яюсть конструкци полiпшити за рахунок змши форми пiдкрiплення таким чином, щоб конструкщя могла безаварiйно екс-

плуатуватися в агресивному середовищi заданий час.

Постановка задачi (1)-(3), де змiнюваними параметрами виступають координати вузлiв зовшшньо1 границi пiдкрiплення, записуеться у наступному виглядi:

G(x) = £Foj (x)(ho; - ho) ^

i=1

с* <с, i=1,n ; min{t*, t*,..., t*} > [t];

Ш1п;

Х0 < Х < Xk ,

(4)

(5)

(6) (7)

де G (х ) - обсяг шдкршлення;

- площау-го скiнченного елемента в по-

чатковий момент часу;

Н0у - товщина у-го скшченого елемента, що

вiдноситься до шдкршлення, у початковий момент часу;

х - вектор координат елеменпв, що апрок-симують пiдкрiплення;

х0, хк - нижня i верхня границi вектора х ; Н0 - початкова товщина пластини; с - допустимi напруження; I*, t**,.., ^ - час вичерпання несучо1 здатно-ст елементiв конструкци;

[t] - припустимий час експлуатаци конструкций

с* - еквiвалентнi напруження в ^тому скш-ченному елементi в час

п - кiлькiсть елеменпв у сюнченно-еле-ментнiй апроксимаци;

т - кiлькiсть елементiв, що апроксимують пiдкрiплення.

Для розв'язування поставлено1 задачi про-понуеться використовувати принцип етапносн [5], що полягае в розкладанш вихщно1 складно1 задачi на проспш^ послiдовний розгляд яких приводить до виршення поставлено1.

Для цього задача оптимального проектуван-ня конструкцiй може бути розбита на наступш етапи: 1) вибiр початкового наближення; 2) по-будова початково1 областi пошуку; 3) спуск на обмеження; 4) рух до екстремуму.

Перший етап. При виборi початкового наближення доцшьними е прийоми, застосовуваш у проективнш практицi: використання даних про прототипи конструктивних рiшень; використання нормативних вимог; розгляд i аналiз бiльш спрощених схем з метою варiантного вибору основних параметрiв, що ютотно впли-

вають на змшу цiльовоI функцiI й обмежуваль-них функцiй.

Основними вимогами, що пропонуються до початкового наближення, е його приналежшсть областi пошуку (виконання вшх обмежень) та

менша вiдстань мiж початковим наближенням

_ . * х i точкою оптимуму X .

Другий етап. Як правило, область пошуку вибираеться на основi фiзичних мiркувань, до-свiду проектування та iнженерноI штущп. У данiй постановцi вона визначаеться констру-ктивними обмеженнями.

Третм етап. Спуск на обмеження пропону-еться здiйснювати за допомогою методiв спря-мованого пошуку. Найбшьш ефективним i простим у реатзаци представляеться метод град> ентного спуску [6]:

х(к+1) = х(к) _ т(к) УО(х)

11УО (х)||

т(к) > 0; (8)

УО (х) =

д О (х) -1

д х.

дО( х) --<

д хп

11УО (х)\\ =

X (д О( х)/д хг )2

(9)

(10)

г =1

де У О (х) - градiент цiльовоI функцiI О(х);

1/| | У О (х) || - нормуючий множник;

т( к) - величина кроку у напрямку антиград> ента цiльовоI функцiI;

к - номер тераци;

в{ - базисш вектори.

На вiдмiну вщ традицiйного метода градiен-тного спуску, пропонуеться перевiряти обмеження в (2к +1) точках, збертаючи шформащю в двох останнiх iз них. Якщо усi функцiI обмежень в останнш точцi пошуку задовольняють обмеженням, то спуск продовжуеться, у противному випадку в межах останнього штервалу вибираеться третя точка з номером 2к, у якш перевiряються обмеження. Перевiрка обмежень тшьки в зазначених точках дозволяе скоротити

обчислення в

1

раз у порiвняннi з тради-

к + 2

цшним пiдходом [5].

На основi iнформацiI, отриманоI з викорис-танням методу градiентного спуску, здшсню-еться локалiзацiя точки, що знаходиться побли-зу активного обмеження. Для цього будуеться штерполяцшний полiном, що апроксимуе зна-чення обмежень у останшх трьох точках у на-

прямку найшвидшого зменшення цiльовоI функци:

Р(Н) = а0 + а1Н + а2 Н2.

(11)

Використовуючи значення функци обмежень gm (т = 0, 2) у вузлах Н0 = 0, Н1 = к, Н2 = с к, можна однозначно знайти коефщен-

gl С2 _g2 _go(C2 _1) С к (с_ 1)

= ^ С_ g2 _ go(C_ 1) Ск2 (1 _с) ,

(12)

(13)

(14)

де с - вiдома величина.

Тодi положення точки пошуку на активному обмеженш (або обмеженнях) визначаеться як

х(к+1) = х(к) _

(г = 1, М):

к* дО (х)

||УО(х)|| дх,

де

к =-

_а1 + ^

_ 4а0 а2

2а2

(15)

(16)

Четвертий етап. Пiсля того, як поверхня обмеження досягнута, необхщно вибрати напря-мок руху в локальний екстремум. Для цього може бути використано метод проекци градiен-та. Цей метод, як вщомо [6], мiстить у собi два етапи: етап найбiльшого зменшення цiльовоI функцiI уздовж дотичноI пперплощини до активного нелiнiйного обмеження; етап вщнов-лення з метою задоволення активного обмеження iз заданою точнiстю.

Напрямок найбiльш штенсивного зменшення значень цiльовоI функци р(к) визначаеться

як

р(к) = г(к) _ а,Ъ(к), (г = 1, М)

(17)

де к) = _УО( х(к)) - антиградiент ц^ово^' фу-нкцiI;

Ъ\к) =Уg (х(к)) - градiент функци обмежень

(к)

у точщ х. ';

а, - коефщент, що обумовлений ортогона-льшстю векторiв Ъ(к), р(к) як

ти полiнома а0, а1, а2:

а1 =

а, =-

(r(k)> b(k))

I II?

b(k) 2

(18)

та

x(k+i) _ x(k)

<8.

(23)

де

J.k) I

.. p(k))2, |b(kII =£><k))2. (19)

Процес руху уздовж напрямку p(k) здш-снюеться вiдповiдно до наступно1 форму ли:

x(k+1) = x(k) , Y P,

(k)

i( k)

(20)

де y - величина кроку (y > 0).

Якщо хоча одне з обмежень у точщ x(k+1) не задовольняеться, то його вщновлення здшсню-еться шляхом руху i3 зазначено! точки уздовж напрямку градiента цшьово1 функцп i подаль-шо! локалiзацil вiдповiдно до запропонованого у статп алгоритму.

На вiдмiну вiд традицiйного методу проекци градiента, у запропонованому алгоритмi немае необхщносп робити точний вихвд на поверхню обмежень у випадку !хнього задоволення, до-сить лише визначити напрямок руху в локаль-ний екстремум. Зазначений напрямок задаеться у виглядi[6]:

x( k+l +2) = x( k+l+1)

x(k+l+1) _ x(k+l) I x(k+'+1) _ ySk+l) I

т > 0; l = 0, L .

(21)

де L - кшьюсть точок у напрямку t.

Рух уздовж обраного таким чином напрямку здшснюеться доти, поки не будуть порушеш обмеження або не почнуть зростати значення цшьово! функци. Обмеження, як i ранiше, пере-

вiряються в (2k +1) точках (k = 0, 1, 2, ...). При порушенш обмежень використовуеться описана рашше процедура локалiзацil точки поблизу активного (активних) з них. У випадку зрос-

тання цшьово1 функци в точцi x(k) здшснюеть-

(k _1) •

ся повернення в попередню точку x i пода-льший спуск на поверхню обмежень. Поим за допомогою методу проекци градiента вщбува-еться вибiр нового напрямку руху.

Процес пошуку локального екстремуму здiйснюеться доти, поки не буде виконано одне (або одночасно декшька) з наступних умов:

G(x(k+1)) I > I G(x(k)) I <I G(x(k-1)) I (22)

Д k)

(k _1)ч

де в - задана точшсть розрахунку.

Складностi коректно1 реалiзацil такого алгоритму пов'язаш, головним чином, iз необхщш-стю багаторазово1 перебудови сiтки скiнченних елеменпв. Така процедура е досить вщповща-льною, тому що пiдкрiплення не зшмае концен-трацiю напружень повшстю, i, отже, iснуе зона швидко1 змiни напружень. Таким чином, на кожному крощ пошуку оптимального проекту необхщно перебудовувати сiтку, кiлькiсть еле-ментiв яко! буде змiнюватися, ^ як наслiдок, перевiряти точнiсть отриманого на нш розрахунку, що може виявитися досить трудомют-кою задачею. Тому для пошуку оптимальное' форми пiдкрiплення отворiв у пластинах про-понуеться не перебудовувати !х розбиття на скiнченнi елементи, а використовуючи елемен-ти дискретного програмування [6], тобто зм> нювати границю шдкршлення з вузлами почат-ково! сiтки, найбiльш близькими до знайдених в результатi розв'язування задачi оптимiзацil. Таким чином, пошук оптимально1 форми шдкршлення являе собою процес змши товщин елемеипв, значення яких на кожному кроцi пошуку вщом^ при незмiннiй сiтцi скiнченних елемеипв. Похибка описаного припущення мае порядок кроку сггки. Оскiльки в зош шдкрш-лення внаслiдок швидко1 змши напружень використовуеться досить дрiбне розбиття на елементи, похибка застосування тако1 операци ви-являеться незначною.

Задамо координати вузлiв у полярнiй систе-мi. Для спрощення розрахункiв сггку сюнчен-них елементiв побудуемо таким чином, щоб впливом змши кута повороту можна було зне-важити. Пюля перебування чергово1 точки у просторi проектування визначаемо приналеж-шсть кожного радiусу-вектора шарово1 сiтки i вiдстань до його границь. Границя шару, вщ-стань до яко! е найменшою, стае координатою точки х = { г1, г2,..., г^ } в просторi проектування.

З урахуванням симетри розглядаеться чет-верта частина пластини. Пластина, що розрахо-вуеться, мала наступнi параметри:

а = 0,5 м - половина довжини пластини; Ь = 0,5 м - половина ширини пластини; г = 0,03 м - радiус отвору; Я = 0,05 м - радiус шдкршлення; к = 0,02 м - товщина в регулярнш частиш пластини;

Н = 0,065 м -товщина пластини в зош шд-крiплення;

Е = 2,1-107 МПа- модуль пружносп; у = 0,3 - коефщент Пуассона; с = 2,4-104 МПа - припустимi напруження. Сiтка трикутних елеменпв, що апроксиму-ють зону шдкршлення, наведена на рис. 2.

Рис. 2. Розбиття пластини поблизу отвору

Середня площа елементiв, що належать зош шдкршлення, склала 0,3-Ю-4 м2. Напруження на кiнцях пластини с0х змiнювались в дiапазонi ид 5,5-104 до 7,5-104 МПа.

У якост моделi корозiйного руйнування матерiалу конструкци була вибрана модель В. М. Долинського [4], де швидюсть корози залежить вiд напруженого стану конструкци.

Рiшення поставлено! задачi знайдеш для чо-тирьох значень критичного часу експлуатаци конструкци [Г] = 2; 2,5; 3; 3,5 роки.

Пошук оптимальних проектiв зажадав 13...16 крокiв залежно вiд початкових умов ^вня напружень на кiнцях пластини та значень критичного часу експлуатаци конструкци). Ршення тако! задачi методом, що запропо-нований у статп [3], потребувало втричi або вчетверо бiльше крокiв (залежно вщ початкових умов), i як наслiдок в десятки разiв бiльше обчислювальних ресурсiв, тому що на кожному крощ для перевiрки обмежень вирiшувалась задача довговiчностi, яка сама по собi е ресур-сомiсткою, особливо для багаторозмiрних задач. Отримаш результати дозволяють зробити висновок про ефектившсть розробленого алгоритму для ршення задач наведеного класу.

Залежшсть оптимального об'ему шдкршлення вщ рiвня навантаження на краях пластини подана на рис. 3. На пiдставi отриманих результата можна зробити висновок про те, що зi збшьшенням рiвня навантаження зменшуеться

вплив граничного часу експлуатаци конструкци на роз\пр оптимального об'ему.

Рис. 3. Залежшсть оптимального об'ему шдкршлення ввд навантаження на краях пластини: 1 - [Г] = 2 роки; 2 - [Г] = 2,5 роки; 3 - [Г] = 3 роки; 4 - [Г] = 3,5 роки

Змши геометри шдкршлення у залежносп вщ розмiру крайових напружень наведена на рис. 4 - 5.

СИ * 2

Рис. 4. Геометр1я оптимального шдкршлення при 7,5-104 МПа

Рис. 5. Геометр1я оптимального шдкршлення при 5,5-104 МПа

Анатз наведених результатiв дозволяе зро-бити висновок про те, що розмiр напружень с0 х практично не впливае на форму оптимального шдкршлення при однакових параметрах агресивного середовища, а лише приводить до змши його площь Характер змши форми шдкршлення, що дослщжений при збшьшенш зна-чення припустимого часу та фiксованому рiвнi навантаження на кiнцях пластини, якiсно збпаеться з характером змiни форми, виклика-ного збiльшенням значень навантаження при постшнш величинi критичного часу

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Дзюба, А. П. Алгоритм оптимального проекту-вання конструкцш з урахуванням корозшного ураження [Текст] / А. П. Дзюба, О. Г. Василенко // Математичш проблеми техшчно1 мехашки: матер1али М1жн. наук. конф. - Д., Дншродзер-жинськ: РВВ ДДТУ, 2007. - 1 с.

2. Дзюба, А. П. Алгоритм оптимального проекту-вання фермових конструкцш при спшьнш ди силових навантажень та агресивного середови-

ща [Текст] / А. П. Дзюба, О. Г. Василенко // Математичш проблеми техшчно1 мехашки -2008 : матер1али Мiжн. наук. конф. - Д., Днш-родзержинськ: РВВ ДДТУ, 2008. - 1 с.

3. Зеленцов, Д. Г. Адаптация метода скользящего допуска к задачам оптимизации корродирующих конструкцш [Текст] / Д. Г. Зеленцов, Н. Ю. Науменко // Системш технологи : регю-нальний м1жвуз. зб. наук. пр. - Вип. 3 (38). - Д., 2005. - С. 48-56.

4. Долинский, В. М. Расчет элементов конструкций, подверженных равномерной коррозии [Текст] / В. М. Долинский // Исследования по теории оболочек. - Казань, 1976. - Вып. 7. -С. 37-42.

5. Малков, В. П. Оптимизация упругих систем [Текст] / В. П. Малков, А. Г. Угодчиков. - М.: Наука, 1981. - 288 с.

6. Химмельблау, Д. Прикладное нелинейное программирование [Текст] / Д. Химмельблау. - М.: Мир, 1975. - 534 с.

Надшшла до редколегп 09.10.2009.

Прийнята до друку 20.10.2009.