CC BY
11
я. К. ТРОХИМЕНКО
МЕТОД РЕАЛ13АЦН ВХ1ДНОГ ФУНКЦГГ РЕАКТИВНОГО КОЛА
Основний етап синтезу електричного або радютехшчного кола по-лягае в реал!заци задано"! функ1Ш екв1валентною схемою. В загаль-нопоширених методах синтезу [1] задана функщя тим чи ¡ншим способом розкладаеться на складов! частини, для яких вщом1 схеми реал1заци. Такий метод не е досить загальним, особливо в тих ви-падках, коли необхщно реал1зувати функцда каношчною схемою, тобто схемою з мшмальною юлькютю елемент1в. М!ж тим при використанш матричних метод1в опису та перетворення параметр1в електричного кола можлива безпосередня реал1защя задано1 функ-Щ1 без розкладання и на складов! частини. Под1бний метод може базуватися на узагальненому метод! вузлових напруг [2] 1 бути його лопчним продовженням в галуз1 синтезу [3].
Функцн реактивних к1л можна описати р!внянням
#де 21 — (2т + 1) ± 1 в залежноеп вщ поведшки функцп на ну-льовш або несюнченшй частот!, а корен 1' чисельника та знаменни-ка перем!жуються, 0 озп1 < со01 < соп2 < со02 < ... < <вот <
Функщю вх!дного ¡м!тансу можна виразити через визначник та головний м1нор матриц] провщностей як
Таким чином, якщо задана вх!дна функщя реактивного кола, то, визначивши по п р!внянню м1нори матрищ провщностей нульо-вогота першого порядив, можна побудувати матрицю провщностей, екв!валентну схем! кола, яка задовольняе р!внянню (1) заданоТ функц!Т.
(Р2 + К1)(р2 + <2)---(Р2 + К1) '
(1)
(2)
Матрицю провщностей порядку п реактивного кола з « + 1 вузлами можна записати як
[У) = Р-1«П + /*1С]) = /Н[Я1. (3)
де [Г] — матриця зворотних ¡ндуктивностей; [С] — матриця емностей.
Матрицю [О] можна розглядати, як пучок квадратичних форм [3, 5], та подати и визначник многочленом
А* = дс (| ■' • ;) АГ ' • + •■■<"* +
(4)
де г — ранг матрищ [С], що визначае повне число корешв;
й — дефект матриц! [Г], що визначае число нульових корешв. Визначник А вдазняеться в1д А0 т1льки множником р~п, а тому можна записати
Д = Дс ( | * ' • ^ Аг ^ " ^ •" р**-" (р + (р* + <). (5) Аналопчно многочлен Ац матрищ провщностей
=ч22:: у)::.«) (рг+^ • • •
• • • (Р2 + <.). (6)
Найвищий стешнь многочлена Аи залежить в1д ранга г' гад-
матриц 1' С ( '"'"), а число нульових корешв — вщ дефекту й' \2... п! 2 п
пщматрищ Г [ ''' I. Ранги особливих матриць [С| 1 [Г] не мо-\2... п1
жуть в1др1знятися бшыне шж на одиницю вщ порядку матриц! [У], а тому
г' = г — I при г = п; й' — О при й — О, г' — г при г = п — 1; й' = 0 при ^ = 1. Таким чином,
(7)
у = А _ Р2<1~П [Д^р2"-"' + • ■ • + ОгРг + Од] т
11 Аи р>- + ■ • • + М2 + Ь0] ' 1 '
де прийнято д! — 0 з врахуванням сшввщношень (7).
Пор1внюючи [1] i [8], можна визначити постшний множник
. (I ... г\ . ¡ п — г ... п\
Ас
' I А I П - Г ... Л I
Аг
г) \п — Г. .. п)
Н = a2(r~d)__\ 1 ■.. > / —
А. . ~~ , 9 > ^ и , • W
>Ъг' А /2 .. .г' \ . . п — г'. . .Л
Ас Аг
12 ... г' / \ л — г'.. ,п
Враховуючи, що найменше число елемен™ wc та wr p¡bho рангу вщповЦних матриць, що не можуть вццпзнятися б!лыне шж на одиницю вщ порядку матрищ [У], та пор1внюючи р!вняння (1) (7) i (8), визначимо числа л, i Wr для чотирьох можливих випад-kíb поведшки функцп Ух(р) на нульовш та нескшченнш частотах.
1. Yí (0) Ух (со) оо. Степ1нь чисельника парний та
на одиницю б1льший степеня знаменника
Y _ Ътр2"1 +... + а0
Пор1внюючи це р1вняння з р1внянням [8], бачимо, що d = О, = /■—-!, тобто матриц! [С] i [Г] неособлив1 i
2. Y1 (0) -> 0; YY (oo) ос. Степшь чисельника непарний та на одиницю б1льший В1д степеня знаменника
Р [й2(т-1)Р2(т^1) + . . . + Ь0]
с
i
ti = wc = wr = т. (10)
Grenim знамен!
у _ p(a2mp2m + ■ • • + Од)
hmP1"1 + ... + Ь0 '
ГЬ^внюючи це р1вняння з р1внянням [8], знаходимо, що d — 1, г' = г—1. Таким чином, матриця [С] неособлива, а матриця [Г] особлива, тому що 2т~2г' — 2{п — 1) i
п = wc — т + 1; wr = m. (11)
3. Уг(0) -* сх.; Ух (с©) 0. Степшь чисельника парний i на оди. ницю менший в1д степеня знаменника
^тр2"1 + .. - + а0
рф^р2"1 + .. . + Ь0)
У цьому випадку d — 0, г — г', тобто матриця [Г] — неособлива, матриця |С] — особлива i вщповщно до р1вняння (8)
п = wr — т + 1; wc~m. (12)
4. Yí (0) -> 0; Ух (ос) -> 0. Степ1нь чисельника непарний i на одиницю менший в1д степеня знаменника
у Р (агтР2"1 + • • • + Дп) 1 &2(m+l)P2lm+1) + • • • + Ь0 •
У цьому випадку ё. = 1, г' = г, тобто матриця [Г] — особлива, матриця [С] — особлива та
п = т + 1; и)Т — щ)с = т. (13)
Знаючи п, шс та Шг Для задано? функцп, можна визначити структуру реал1зуючо1 схеми. Для цього досить розмютити елементи С 1 L юлькктю гюс 1 м1ж я+1 вузлами так, щоб елементи кожного типу утворювали власне дерево схеми, причому виконувались в1дпов1дш умови для К1 (0) 1 У1 (оо). Побудоваш таким чином зв'язаш схеми (в тому числ1 схеми Фостера 1 Кауера) будуть кано-шчними схемами реал!зацп задано! функщ? вхщного ¡М1тансу.
Параметри каношчноТ схеми реал1зацп з найменшою к1льшстю елемент1в можна визначити, використавши розкладання визнач-г; ника суми двох матриць [2]
к П
, л=р-»\> У Дс иг(г/+1---1"М(-1)6; (14)
¿1 ¿л ¿А--А \кчМ...кп)
4=0 1 ; ¿у<п
б = £ I, + к,,
/=1
де сумуються добутки мшор1в ус1х порядмв вщ 0 до п на алгеб-ра'1'чш доповнення взаемно вщповщних м!нор1в.
Таким чином, коефоденти полшома Д можна виразити формулою
а„= V (15)
¿и \ Ма ...кч) 1 ...кп1
Щоб визначити коефшенти по л ¡нома Ди, досить сумування провести в межах 2 < А,-; г"(- < п.
Визначаючи вщповщно до формули (15) коефшенти шшно-м1в А та Дц матриц! провЦностей та прир1внюючи \х вщповщним коефШентам задано! функцп, одержимо систему р1внянь, в якш . число невщомих т = иос+Цйт буде на одиницю менше числа р1в-нянь. Для однозначного визначення параметр ¡в кола як додаткове невщоме можна ввести постшну на яку множать вс1 коефвденти задано! функци.
Пщсумовуючи сказане, можна констатувати, що процедура реал1зацп функцп вхЦного 1м1тансу полягае у визначенш вели-I чин п, ц>ста дог за формулами (10) — (13), побудуванш вщповЦно! схеми реал1зацп з мшмальною шльюстю елемешчв та складанш системи р1внянь для ха невщомих параметр1в кола та множника к. Щоб унаочнити цю процедуру, розглянемо реал1зацш функцп
р (р2 -г 4) 1 р* + Юр2 + 9 '
За формулами (13) знаходимо п = 3; тс = шг = 2 та складае-
мо одну 13 схем, показаних на рис. 1, для яких Уг (0) = 0; Уд (оо) = 0.
Матриця провщностей схеми, наведено! на рис. 1, а,
рСг
■рС1
о
Г!
•рС, р{С1 + С2)+1-± —рС2
рС<>
Визначаючи полшоми Д та Ди безпосередньо або по матрицях [С] \ [Г] за формулами [14] або [15], знаходимо функщю вх1дно'1 пров1дност1
у _ рЬ^А^ + Г^ + С^Г,] 1 р4са + р2 [Г2 (с, ^ С2) + ГА1 + 1\Г2 •
Прир1внюючи коеф!шенти чисельника 1 знаменника задано1 та побудовано1 функцш та перемножуючи ва коефшенти задано! функцп на складаемо систему з п'яти р1внянь з п'ятьма невщо-мими
СхСг (1\ + Га) = к\ ВДГ, = 4 к- СХС2 = к\ Г2 (Сг + С,) + 1\С2 = 10 к; 1\Г2 = 9 к.
Розв'язання Ц1€1 системи дае нормоваш величини
С,
9
г - 60 9бГ
1\ =
16 31 '
15 31 '
240 8649 '
Розглянутий метод е б1льш загальним, шж звичайш методи реал1зац,п функцп вхщного 1м1тансу розкладанням и в ланцюгову або просту дроб, тому що дозволяе побудувати будь-яку каношчиу схему, а не т1льки каношчш схеми Кауера або Фостера [1].
Метод матриц! провщностей придатний не лише для юл без втрат або ЯС-юл, але й для к1л загального вигляду.
0
2
Л1ТЕРАТУРА
1. Балабанян Н. Синтез электрических цепей. Госэнергоиздат,-1961.
2. Сигорский В. П. Методы анализа электрических схем с многополюсными элементами. Изд.во АН УССР, 1958.
3. Б а н д м а н О. Л. Синтез электронных ЯС-схем. «Наука», 1966.
4. Гантмахер Ф. Ф. Теория матриц. Гостехиздат, 1954.
Я- К- ТРОХИМЕНКО
МЕТОД РЕАЛИЗАЦИИ ВХОДНОЙ ФУНКЦИИ РЕАКТИВНОЙ ЦЕПИ
Краткое содержание
' Описан метод реализации входных функций реактивной цепи, основан-
ный на представлении матрицы проводимостей цепи суммой двух матриц .ч однотипных элементов. В соответствии с видом заданной функции выбирают
одну из возможных канонических схем, параметры которой вычисляют путем сравнения коэффициентов числителя и знаменателя заданной функции-и входной функции выбранной схемы.
Ja. К. TROHIMENKO
METHOD OF REALIZING THE DRIVING POINT FUNCTIONS OF REACTIVE NETWORK
Summary
The problem of realizing reactive immitance function is developed. It is proven that admittance matrix reactive network can be decomposed into a sum of two one-type-element matrices. Parameters of realizing network are calculated by comparing coefficients of given function with those driving point function of network.
t
t.
