CC BY
13
УДК 621.372.85
Узагальнена математична модель tohkoi несиметрично1 1ндуктивно1 дтфрагми у прямокутному хвилевсда
Захарченко О. С., Мартинюк С. С., Степане?ко П. Я.
Нацншалышй тохшчшш ушворситот Укра'ши "Ки'шський иолггохшчшш шститут ¡Moiii 1горя СЛкорського"
E-mail: novikoe&bigmir.пеI.
Методом штегралышх р1впяпь розв'язапо електродипам1чпу задачу зпаходжеш1я узагальпепо! матриц! розсиоваппя пескшчешю топко! песиметричпо! одпостороппьо! ищуктивпо! д!афрагми у прямокутному хвилеводь Одержано систему штегралышх р1впяпь. порядок яко! дор1вшое числу власпих хвиль пря-мокутпого хвплеводу. що по черз! падають па д!афрагму 1з л1во! частково! облает!. Розв'язок кожпого з mix зводпться до системи лшшшх алгебра1чпих р1впяпь в1дпоспо коефкцеттв розкладу пев!домого тапгепц1алыюго електричпого поля у отвор! зв'язку по його власпим коордипатпим фупкидям. Ви-piniemm дапо! системи визпачае розподш тапгешцальпого електричпого поля у в!кш д!афрагми. по якому обчислюеться узагальпепа матриця розсиоваппя пеодпор1дпост1. що розглядаеться. Проведено чисельпе досл1джеппя властивостей одержапого pinienim i дапо рекомепдацп щодо його практичного застосуваппя.
Клюноаг слова: узагальпепа матриця розсиоваппя: пескшчешю топка песиметричпа шдуктивпа д!а-фрагма: прямокутпий хвилев!д
Вступ
Прямокутпий хвилевщ з розмщеними у иьому неоднорщностями грае одну 1з провадних ролей у роатзащ! широкого класу компоненте хйкрохви-льовсм техшки. У якосп таких неоднорщностей у прямокутному хвиловодо найбшыпого иоширеиия иабули шдуктивш доафрагми. У роботах [1 5] вка-зуеться иа можливкть застосуваиия шдуктивних доафрагм у якоста слсмсппв об'емних резонатор1в. мшрохвильових фшьтр1в. секцш диферендоалыгого фазового зеуву. пристрсмв для втпрювання коефь щеттв матридо розсиоваппя у хвилевщному тракта. вузл1в узгоджеиия коакаалыго-хвилевщних переходов та комплексиих иаваитажеиь. Найбшын повна б1блюграф1я з питань розрахунку 1 застосуваиия доафрагм у прямокутному хвиловодо представлена у робота [6]. 1з не! слвдус. що побудова значно! кшькоста хйкрохвильових пристрсмв засновала на використанш ¡доалыго! модел1 тонко! шдуктивнея доафрагми. Припущення нсскшченно тонко! доафра-гми [3 6] дозволяе значно спростити анатз структури. оскшьки вся 11 однохвильова матриця розспова-ння визначасться одним комплексним коефщентом вщбиття. В [5] показано, що характеристики дь афрагми в площиш и геометричиого положения повшетю визиачаються через один параметр, який достатиьо просто знаходиться експеримеиталыю.
Фактично можливкть використаиия наближенея модат д1афрагми у вигляд111 однохвильовся матридо розйювання 1 пов'язанея з нею реактивно! про-вщноста обмежена робочим д1апазоном частот, при якому уздовж хвплеводу може поширюватися лише основна хвиля Ню. Використаиия дое! наближено! модат при анал1з1 складно! хвилевщнея структури можливе лише у випадках. коли випц типи хвиль. яш збуджуються на одшй неоднорщноста. при своему поширенш уздовж хвплеводу повшетю затуха-ють. не досягаючи суаднься неоднорщноста [3. 4]. Таким чином, шформацп про реактивну ировщшеть д1афрагми недостатньо. якщо дана неоднорщшеть повинна використовуватись у з'еднанш декшькох базов их ел сменив. утворюючи складну поздовжньо нсоднорщну структуру. Для забезпечення можли-вост1 використаиия д1афрагми у склад1 тако! поздовжньо неоднорщно! структури иеобхщно знати II узагальнену матрицю розс1юваш1я. яка враховус взасмод1ю сусщн1х неоднорщностей по вищих типах хвиль [7]. Використаиия остаиньо! забезпечус можлив1сть високоточного проектуваиия складно! поздовжньо пооднородней структури 1з як завгодно близько розташованими иеоднорщиостями на вщ-м1ну в1д наближено! модель яка в цих умовах дае значну иохибку.
В [7] обОрунтована необх1дн1сть розробки висо-кояк1сно1 СЛСМСНТН01 бази м1крохвильово1 техн1ки за рахунок зменшення иохибок розрахунк1в. що
досягаеться створенням бшын точних електродина-хйчних моделей, заснованих на метода узагальнено! матрищ розсповання. Таким чином, шдвищення ви-мог до характеристик деяких пристрош хйкрохви-льово! техшки обумовлюе необхщшеть перегляду кнуючих олоктродинахпчних методов у вщношенш шдвищення точноста розрахуншв узагальнених ма-триць розсповання неоднорщностей у ирямокутно-му хвиловодо 1 в першу чергу тонких шдуктивних доафрагм.
ГПдвищення ефективносп ироектування мшро-хвильових пристрош передбачае урахування неси-метричносп конструкций яка неодмпшо з'являеться в кожному реальному зразку внаслщок неточностей виготовлення. Тому особливу у вагу стд придшяти неоднорщностям 1з несиметричним розташуванням вщносно поздовжньо! площини симетрп ирямоку-тного хвилеводу. Якгцо неодмпшою умовою ирое-ктування будь-якого надвисокочастотного вузла с оцшка доиусшв на виготовлення, то розрахункову модель необхщно будувати з урахуванням несиме-тричносп конструкцп. Зазвичай вщхилення розмь р1в структури вщ вдоатзованих моделей дуже мат. Тому вщчути змшу характеристик пристрою вна-сшдок похибок виготовлення можна за доиомогою лише алгоритхйв з високою точшетю обчислень.
Як настдок, для проектування надвисокоча-стотних иристроТв з урахуванням можливих неточностей виготовлення необхщно мати серпо ал-горитм1в розрахунку несиметричних структур, яш з'являються в кожному реальному иристро! у прочее! виробництва. Як передбачасться, до алгоритми можуть бути одержат шляхом реал1зацп ршгснь складиих слсктродинам1чних задач. Тому виклю-чно важливо мати базу числових даних, яш можна було б використати для налагодження зазна-чених алгоритм1в. Одним 1з шлях1в розв'язання щя важливо! ироблеми с одержання високоточних ршень слсктродинам1чних задач для класичного базового елемента у вигляд1 тонко! несиметрично! односторонньо! шдуктивно! д1афрагми у ирямоку-тному хвилеводь У дашй робот розглядасться задача узагальнення кнуючого ршмння на випадок дифракцп на нсскшченно тоншй д1афрагаи всьо-го спектру електромагштних хвиль Нт0. Одержан! результати справедлив! для реалышх хвилевщних структур, у яких використаиия математично! мо-дел1 нсскшченно тонко! д1афрагми с адекватним наближенням. Особливо! уваги заслуговус можли-вшть створення бази даних для налагодження ал-горитм1в розв'язання задач по визначеншо допуешв на виготовлення мшрохвильових пристрош на осно-в1 шдуктивних нсоднорщностсй у прямокутному хвилсводь Результати дано! роботи можуть знайти застосування при розробках алгоритм1в швидко-го 1 внеокоточного обчнелення частотних характеристик багатоступшчастих несиметричних хвилевь дних структур.
1 Математична модель д1афра-гми
Елсктродинам1чна структура, що розглядаеться, схематично зображена на рис. 1, де показано по-здовжнш перер1з прямокутного хвнлеводу шириною а з нескшченно тонкою д1афрагмою, ширина вшиа яко! иозначена лиерою с. На рис. вщеутне по-значення внеотн хвнлеводу, оскшьки розглядасться скалярна задача, розв'язок яко! не залежить ввд величини Ь. Виконаемо електродинам1чиий аиал1з ф1зично! модель зображено! на рис. 1, з метою зна-ходження I! узагальнено! матрищ розсповання, використаиия яко! гарантуе високоточне моделювання д1афрагми у склад1 будь-яко! поздовжньо неодно-рвдно! структурн у прямокутному хвилевод1 1з як завгодно малнмн вщетанями мЬк суадшми неодно-рщностями. Будемо виходити 1з загально ведомого иозначення узагальнено! матрищ розйювання [8] Ьтп , яке означае, що п-та миля ^-го хвилеводу пе-ретворюеться у ^^^^илю ^-го хвилеводу, де то = 1, 2, ...,М; п = 1, 2,..., Ж. Знаходження дано!
структури иередбачае розв'язання N задач дифра-кцп електромагштних хвиль на д1афрагмь 1з цього позначення слщуе, що власш функцп прямокутного хвилеводу 1 в1киа д1афрагми иумеруються одним 1ндексом, зазвичай у порядку зростання критичних хвнльовнх чисел. Для визиачеиия параметр1в уза-гальиеио! матрищ розс1ювання виберемо метод ш-тегралышх р1внянь, який дозволяс об'еднати вс1 N розв'язк1в електродинам1чних задач дифракцп в одну обчислювальну процедуру.
Рис. 1. <Мзична модель тонко! д1афрагми
Розв'язання ключово! задач1 проводимо у набли-жонш адоалыго! провщносп д1афрагми i метал1чиих ст1иок незаповненого д1електриком прямокутного хвилеводу. Приймемо для простоти, що вхщиий i вих1диий хвилеводи одиаков1, а власи1 функцп часткових областей по обидв1 сторони д1афрагмп ifleiiTiiniii. Для цього випадку в робоп [6] одержано штегральне р1вняння в1дносно невщомого тангенщ-ального електричного поля у BiKiii д1афрагми при naflinni на електродинам1чну структуру, що розгля-даеться, основно! хвшп Ню прямокутного хвилеводу. Воно дозволяс обчислювати вх1дну комплексну
ировщшсть д1афрагми в д1апазош частот, в якому МОЖЛИВС пошироння ЛИШС 0сн0вн01 хвшп прямоку-тного хвиловоду.
Один 1з шлях1в розв'язання слектродинам1чно1 задачь що розглядаеться, бачиться в узагалыгенш одержаного в [6] штегралыгого р1вняння на випадок падшня 1з „швеи частково! облает на доафрагму всьо-го спектру первинних електромагштних хвиль Нпо. 3 огляду на однорщшеть структуры уздовж ой у електричний вектор кожнем з цих хвиль мае вщмш-иу вщ пуля лише компоненту, паралельну вузькш стпщ1 хвиловоду. Анаттичш вирази для власних функщй хвиловоду 1 доафрагми зиаходяться зидно 1з загальио вщомим визиачеииям узагалыгснем ма-трищ розешвання втп*1 ■ Дотримуючись методики ирщлвшовання тангенщалышх складових електри-чних 1 магштних по.шв на гранищ иодшу часткових областей, як у робот [6]. одержимо узагалыгену систему штегралышх р1внянь
N Y Ф
/ J m ^ m
ЕФт^С -
Y Ф
± n ^ ni
Е — ^ Dk Ф к,
Е Dk
~¥т^Im^km — ^n^lni ^ — -1, • • • i
В аналогичному вигляд! щ коефщенти можуть бути записан! як
Vkm — / Ф кФт^С;
Щ,т — Ф l^mdc; Щп — Ф l^ndc.
(4)
(1)
де Е - невщоме тангенщальне електричне поле у отвор1 зв'язку; Фт, Ф„ - тангенщальш складов! власних скалярних функщй прямокутного хвиловоду; Ут, Уп - вщповщш 1м иров1 дност; т = 1,2,...,М; п = 1,2,...,Щ М - число хвиль, яи враховуються у розкладанш електричного поля у хвилевод1; N - число хвиль, яш по черз1 падають на нооднорщшеть, утворюючи иослщовшсть задач дифракщ!; с - ширина вшна доафрагми.
Для кожного п розв'язуемо систему штеграль-них р1внянь (1), використовуючи метод Гальорш-на [9]. Вщповщно до цього методу иевщоме тангенщальне електричне поле Е у отвор1 зв'язку апро-ксимуемо рядами координатиих функщй (власних хвиль) вшна доафрагми
(2)
де Ок - нев1дом1 комплекеш коефщенти; к = 1,2,..., К; К - число координатиих функцш, яи враховуються у розкладанш.
Шдставляючи (2) в (1) 1 виконуючи поротворон-ня у вщповщност з методом Гальоркша, для кожного п одержуемо систему лшшних алгебраТчних р1в-нянь вщносно комплексних коофшдеттв розкладу тангонщалыгого електричного поля у отвор1 зв'язку в ряд по систем! його координатиих функщй
Зазначимо, що л1ва частнна сшввщношоння (3) утворюе квадратну матрицю коофщентв при iiobí-домих, де шдекс к розгортае систему по рядках, а шдекс I по стовпцях. Кожна складова матрищ пра-вих частин (3) вщповщае pimeiniio окремо! задач1 дифракцп як результат пад1ння на д1афрагму задано! власно! XBimi прямокутного хвнлеводу. Видно, що квадратна матриця коеф1щент1в при иевщомих но заложить вщ вигляду право! частини снстомн (3). Це дае змогу для вир1шоння (3) використати про-граму розв'язання снстомн „шшйних алгобра1'чннх piBiMiib з багатьма правнмн частинами. При цьому заздалогщь noBiiinii бути знайдеш bcí складов!, як1 формують матрицю кооф1щб:ит1в.
Щоб знайти розрахуиков1 сп1вв1диошеиия для обчислення коефщентав зв'язку ^km, i r¡ln, необ-хщно задати анал1тичн1 вирази для тангенщалышх складових олектричних пол1в у хвиловод1 та bíkiií д1афрагми. Вигляд кожного такого виразу заложить вщ розташування хвиловщно1' структури з д1афрагмою в1дносно прямокутно1' системи координат. Iciiye док1лька можлнвнх випадшв зображення ф1зично1 модол1 д1афрагми вщносно прямокутно1' системи координат. Однак, bcí вони приводить до однакового кшцевого результату, не дивлячись на деяш BÍflMÍiniocTÍ у формулах для обчислення кое-ф1щент1в зв'язку. Прошюструемо цо положения на приклад1 двох основних зображеиь д1афрагми вщ-носно прямокутнем системи координат. Для вииадку розташування д1афрагми, як зображено на рис. 1, у вщпов1дност1 до [10] маемо
Фm — Am Sin ŒmX; Фк — Вк sin /ЗкХ, (5)
де ат — т-к/щ ¡Зк — кж/c-, Ат — ^ffîa-, Вк — \[Щс.
Для обчислення гцkm необхщно в перше píbhhh-ня (4) шдставити значения тангенщалышх складових олектричних функщй (5) i виконати штегрува-ння. Таким чином, маемо
Vkm
j 2/^асsin ¡3kх sin amxdc• (6)
(3)
де к — 1, 2,...,K] п — 1, r¡km - коефпцент
зв'язку k-TÓi координатно!' функцп BiKHa дiaфpaгми Ф k i rn-TOÏ власно!' функцп прямокутного хвилеводу Фm; мають коефпценти щп.
Пiдcтaвляючн (5) в формулу (6) i виконуючи iii-тегрування в межах bía 0 до су вщповщноста з [ ], одержуемо
1 rsin(^k - ani)x sin(^k + )х Vkm — [-5---5—;-]• (7)
л/ас ¡3k - o.r¡
¡3k + а„
Haдaлi поставляемо в (7) мож1 штогрування х — ^а х — ci використовуемо формули перетво-рень тригономотричних функщй [11]. В peзyльтaтi
перетворення остаппього виразу з урахуваппям меж штегрування одержуемо
2 -(-1)fc¡3k sin атс
Pi - ah '
Vkm —
(8)
Коесрщенти зв'язку щп ¡дентичш Щт, якщо у впраз1 ( ) виконати замшу шдекав к, т на I, п. Аналопчно, коефщентп зв'язку щт обчислюються по сшввщношенню ( ) при 3aMÍni к шдексом I.
Зазначимо, що формули (5) (8) одержан! для випадку розташування д1афрагми всередиш прямо-кутного хвплеводу. як показано на рис. 1. Iciiye та-кож важлива альтернативна ф1зична модель, коли д1афрагма розташовусться на протилежшй CToponi хвплеводу.
Для другого випадку розташування д1афрагми всередиш ирямокутного хвплеводу замкть формул (5) маемо
= Ат sin атх; Фк = Вк sin ¡3k [х - (а - с)]. (9)
Шдставляючи сшввщношення (9) в першу формулу (4) i обчислюючи штеграл у в1дпов1дност1 з [11]. знаходимо
Vkr
1 ( sin(^fc - ат)х - ¡Зк (а - с)
si
Рк ^т
sin(^fc + ат)х - ¡Зк (а - с) ¡Зк + ат
Vkr.
2 -(-1)m^fc sin атс Pi - аш '
одне ршгсння, яке коректно вщображае иоведшку тангенщалыгого електричпого поля у в1кн1 д1афра-гми. Сл1д зазначити, що за винятком дек1лькох ви-падк1в сшввщношення (12) практично школи не ви-конуеться точно, оск1льки значения К \ М можуть вщображатися лише цшими числами. Таким чипом, для практичних розрахуик1в сп1вв1диошеиия (12) иеобх1дио замшити його наблнженнм аналогом
К/М ~ с/а.
(13)
(Ю)
в межах штегрування В1д х — а - с до ж — а. Шдставляючи в (10) моли 1нтегрування i проводячн в1диов1дн1 перетворення. одержуемо
(И)
Можна бачити, що вираз (11) вщлзняеться в1д сшввщношення (8) тшьки множником (-1) , що приводить лише до зм1н знак1в i не порушуе чисель-них значень коефщятв матрищ (3). Як результат. кшцев1 значения елемент1в матрищ розсповання дь афрагми для обох розглянутих випадшв повн1стю си1впадають. Ц1 даш шдтверджують iiiBapiaiiTiiicTb положения д1афрагми в1дносно прямокутно! системи координат.
Для коректного розрахунку матрищ розйювання при апроксимацИ тангенщалыгого електричпого поля у BiKiii д1афрагми згщно з формулою (2) буде-мо використовувати загально в1доме сшввщношен-ня [81
К/М = с/а. (12)
Це сшввщношення знайдено емшрично на основ1 pinieiib численних задач дифракщ! електромагш-тних хвиль на неоднор1дностях у прямокутному хвнлевод1. Bono дозволяе i3 численних розв'язшв системи лшшних алгебраТчних р1внянь (3) вибрати
Анал1зуючи р1шення задач1 з використанням формули (13). можна бачити. що при малих значениях К i M л1ва частина цього сп1вв1дношеиня зиачно вщлзняеться в1д право!. Це св1дчпть про те, що при малих значениях К i M неможливо одержати розв'язок олоктродинахпчнем задач1 з ви-сокою точн1стю. При збшыпенш величин К i M сшввщношення (13) все бшыне прямуе до точного значения (12).
Розглядаючи сшввщношення (8) i (11), можна бачити, що у даному вигляд1 вони мають област1 змш параметр1в i am, де ïx р1зниця суттево змеишуеться, прямуючи до пуля. Це явище зиачио noripinye умови для досягнсння biicokoï точиост1 результат1в розрахунку матрищ розйювання д1а-фрагми. 3 шдвищенням порядку системи лшшних алгебраТчиих р1вняиь (3), що необхщно для одержа-ння результат1в з високою точшетю, збшынуеться fiMOBipuicTb иояви тако! ситуацп, коли мае м1сце значка похибка обчиелення коефщентав зв'язку Vkm, Vim i Vin внаелщок зменшення числа в1рних де-сяткових знашв у знаменниках формул (8) i (11). Таким чином, бажання одержати розв'язок електро-динахпчнеи задач1 з високою точшетю обумовлюе необхщшеть пошуку найб1льш ирийнятних споеоб1в обчиелення коефщенпв матрищ (3), як1 б забез-иечували в1деутн1сть похибок у всьому д1апазон1 3Miini po3MipiB д1афрагми i частоти. Для обчиелення коофшдеттв зв'язку може використовуватися асим-птотичне наближення, коли знаменники формул, иод1бних до (8) i (11), прямують до нуля. Однак, як иоказуе анал1з цих аеимитотичних наближень, вони забезиечують високу адекватн1еть лише при значениях знаменнишв, у нашому випадку — am, дуже близьких до нуля. Для бшын вщдалених вщ нуля значень знаменник1в, зазначен1 формули не да-ють rapaiiTOBanoï точносп обчиелень. Тому автори бшыносп po6iT, приевячених анал1зу 1ндуктивних д1афрагм у прямокутному хвплевод1, обчпелюють коофшденти зв'язку шляхом чиселыгого штегруван-ня.
Як слщуе i3 Teopiï чиеельного штегрування [12], цей cnoei6 зиаходжеиия коефщенпв зв'язку можна з yenixoM використовувати при вщносно иевисоких порядках К системи ( ). Значения К залежить вщ po3MipiB структури та частоти i значною Mipoio вщ вибраного методу 1нтегрування. Для Bcieï сукупно-CTi цих фактор1в необх1дне додаткове дослщження
облает придатноет вибраного методу чиеельного або зменшуетьея на деяку малу величину 6, наири-штегрування. клад.
2 Чисельш результата
Одним о найбшын ефективних способ1в штегру-вання швндко осцилюючих функщй е шдхщ, засно-ваннй на використанш методу Гауеа. Для иодалыно-го дослщження будемо внкорнетовувати розробле-ний алгоритм чиеельного штегрування, заенований на 96-точков1й квадратуршй формул! Гауеа. Зидно
3 базового формулою методу Гауеа [12] однохнрний штеграл вщ функщ1 одно! змшно1 може бути заии-еаний у вигляд1
I /(х)йх = ^ !(
(14)
де Хг = (д + К)/2 + (К - д)/2у^ % = 1, 2,..., 96; щ, щ _ табличш значения коефщентв розкладу в ряд функцп /(х).
Заетоеуемо формулу (14) для чиеельного обчи-елення розглянутих коофшдеттв зв'язку. У вщпо-вщност з (14) формула (6) набувае вигляду
'Пкт = ^^ ^ Щ Бт ¡ЗкХг Бт атХН, (15)
де Хг = с/2 + с/2^; г = 1, 2,..., 96.
Для розглянутого альтернативного вииадку. коли д1афрагма розташована на протилежшй сторош хвилеводу вщповщно до формули (14) маемо
'Пкг
= у/с/а^^Щ 8Ш ¡Зк [Хг — (а — с)] 8Ш атХг, (16)
де х1 = (2а — с)/2 + с/2^; % = 1, 2,..., 96.
Щоб оцшити облает придатноет вибраного методу чиеельного штегрування, було проведено розрахунки коефщентв зв'язку Щт за формулами (8), (11), (15) \ (16) з контролем точноет отчисления сшввщношення ¡З^ — а1п. Пор1вняльний анатз цих результате евщчить про те, гцо для невисоких значень к \ т чисельш значения знайдеш за анаттичшти формулами (8) та (11), з високою точшетю вщиовщають даним, одержаним за допомогою сшввщношень (15), (16) для чиеельного обчислоння. Даш обчиелеиь суттево розходятьея, коли один 1з шдекав к або т наближаетьея до порядку формули Гауеа. Таким чином, для виеокото-чних розрахуншв слщ кориетуватиея аналиичними формулами (8), (11) з обов'язковим контролем точноет! обчиелення сшввщношення ¡З^ — а^. Оетанню процедуру можна суттево епроетити, якгцо реальну структуру хвилеводу з доафрагмою замшити ф1зи-чною моделлю, у яшй один 1з розм1р1в збшынуеться
с(ф1зично1 модат) =
= с(реадьно°1 структуры) ± 10-т х 3. (17)
Правильний виб1р величин т \ 6 полегшуе одер-жання результате з високою точшетю. Якгцо по-тр1бно одержати 6 правилышх значущих цифр результату обчиелення коефщентв зв'язку, то г = 6, а 6 повинно бути дробовим 1ррацюнальним числом, наприклад, 3 = 0,1113171923. Виб1р таких значень т 1 3 дае гарантю того, що при будь-яких порядках К сиетеми лшшних алгебраТчиих р1внянь (3) сшввщ-иошепия р| — а^ не прямуватиме до нуля, а реальна структура будо адекватно описана ф1зичною моделлю.
Використовуючи одержан! анаттичш сшввщно-шення, обчиелення узагалыгснеи матрищ розспован-ня проводимо у наступшй послщовност. Задаючись значениями К \ М, вщповщно до вщомих розмь р1в структури обчнелюемо матрнцю коофщентв зв'язку. Для ведомого значения частоти обчислюе-мо нормоваш ировщност хвиль, яш враховуються у розв'язку задач1 дифракщ!. Одержан! даш вико-ристовуемо для формування матрищ коефщентв при невщомих. Оетанню матрицю завантажуемо у ирограму розв'язання систем лппйних алгебраТчннх р1внянь з багатьма правими частинами. Розв'язок дано! еистеми визначае розподш тангенщального електричного поля у вшш д1афрагми. По даному розпод1лу знаходимо узагальиеиу матрицю розе1ю-вання д1афрагми, використовуючи формули, подь бш до [13].
Дослщжоння властивоетей одержаних ршонь почнемо 1з анал1зу вхадно! проввдност неек1нченно тонко! шдуктивно1 д1афрагми, ширина вшна яко! дор1вшое половиш ширини ирямокутного хвилеводу с = а/2. Вивчення характеристик несиметрично! д1афрагми е ключовою задачею даного розгляду, оекшьки для цього випадку кнуе точно р1шення. В [6] приведено обчиелено з високою точн1етю значения реактивно! провщност д1афрагми для в1дио-шення с = а/2 \ величини частотного параметру 2а/Х = 1, ^^е А - довжина хвил1 у вшьному просто-рь Для ирямокутного хвилеводу з розм1ром широко! ет1нки 48 мм це значения частотного параметру ввдпов1дае робочШ частот! 4,371974 ГГц. На даи1й частот! значения нормовано! вхадно! проввдност дь афрагми у в1дпов1дност1 з [6] дор1вшое
Ух = (1—Й1)/(1+Й1) = С+зВ = 1—4, 835147.?, (18)
де - коефщент вадбиття хвил1 Н10 в1д д1афра-гми; С - активна складова, що чисельно дор1внюе вщношеншо хвильових опор1в хвилевод1в по обидв1 сторони в1д даафрагми; В - нормована реактивна проввдшеть д1афрагми, що вивчаетьея у дашй робот1.
и
)
Х4 )'и
При чиселышх дослщжсннях поряд з нормова-ною вхщною провщшстю у якосп характеристик д1афрагми будемо використовувати модуль i фалу коефщента проходження основно! хвил1 прямоку-тного хвиловоду через неоднорщшсть, як оломоит однохвильово! матрищ розаювання. Чисслыи значения модуля /л = |S'(11)| i фаз и ip = arg[S'(11)] коефщента проходження, обчислеш зпдно з точним значениям (18) вхщно! провщносп д1афрагми, вщ-повщно дор1внюють ^ = 0, 3822293 i = 67, 528159°. Bei розультати дослщжснь одержано для ф1зично1 модел1 д1афрагми зпдно з формулою (17). Для порядив К = 100 системи лшшних алгебраТчних piBiMiib. яш найчастшм внкорнетовуютьея на пра-ктищ, розрахунок за розробленим алгоритмом дае наетупш значения модуля та фази косфшдента проходження вщповщно ц = 0, 382334 i ip = 67, 5217°.
Розроблоний алгоритм дозволяе оцпшти грани-4iii можливоста дано! роатзацй' методу штеграль-них piBiraiib при апроксимацп тангенщалыгого еле-ктричного поля у BiKiii д1афрагми рядами власних скалярних функщй. У табл. 1 наведено даш роз-рахунку модуля i фази коефщента проходження в залежносп вщ порядку системи лпшишх алгебра!-чних р1внянь ( ) при високих значениях К. Видно, що з пщвищенням К результаты розрахуншв модуля i фази коофшдента ироходжеиия ociiobiioi хви-«ш через д1афрагму повшьно прямують до точних значень. OcTaiini розультати, обмежеш значениям К = 3800, одержан! при значних витратах машинного часу. Тому можна вважати, що розрахуики параметр1в д1афрагми при бшын високих значениях К практично не доцшьш навиь при використанш комп'ютер1в велико! продуктивность Даному значению К вщповщають похибки обчислення фази коефщента проходження S = 0,0000303° i реактивно! провщпосп 1,4477 х 10-4.
Табл. 1 Зб1жшсть результата для коефщента проходження
К <Р, град
2200 0,38223040 67,528093
2600 0,38223017 67,528107
3000 0,38223001 67,528117
3400 0,38222990 67,528123
3800 0,38222982 67,528129
на одиницю останнього знака, одержуемо наступний результат В = —4,835107. Для бшын низьких значень М = 401 1 М = 399 вщповщно одержуемо В = —4,835726 1 В = —4,831858. Реактивна провщ-шеть д1афрагми при дотриманш (12) 1 значениях К = 200 та М = 400 доршнюе В = —4,834597. Одержан! розультати евщчать про те, що будь-яке вщхплення К \ М вщ значень, яш вщповщають сшввщношсншо (12), збшынуе похибки розрахуику. Щ похибки зменшуються при збшыненш порядку К системи лшшних алгебршчнпх р1внянь ( ). Якщо розхпри структури з д1афрагмою приводить до дробового вщношення с/а, то його потр1бно округлитп в сторону збшынення. У цьому внпадку похибка вщ наблнженого характеру сшввщношення (13) буде мошне впливати на розультати розрахуику.
Проведемо ощнку вщносно! похибки розрахуику реактивно! провщносп д1афрагми в залсжносп вщ порядку К системи лшшних алгебраТчних р1в-нянь (3), базуючись на даш обчислень, иоказаних на рис. 2а \ рис. 26. Видно, що вщносна похибка обчислення реактивно! провщносп д1афрагми при малих порядках К системи лшшних алгебрашних р1внянь (3) спочатку швидко змеишуеться, ик це показано на рис. 2а. А попм теля досягнення деякого К (у даному випадку 40) реактивна провщшеть не-скшченно тонко! неснметрнчно! д1афрагми повшьно прямуе до точного значения (18), а похибка II обчислення до мпималыго! величини, як це показано на рис. 26.
Користуючись графшами, показаиими иа рис. 2а \ рис. б, можна визначити порядок К, при якому слщ розв'язуватн систему р1внянь (3) для досягнення необхщно! точносп розрахуику реактивно! провщноста \ вйе! узагалыгено! матрищ розсповання д1афрагми.
Для шюстрацп можливоста обчислення узагаль-Н01ГО1 матрищ розсповання наводимо приклад зна-ходження коефщента вщбиття хвшл Н20 вщ д1а-фрагмп, як елемента Впконуючп вщповщш
розрахуики для вщношення розм1р1в в1киа д1афра-гми 1 хвилеводу с/а = 0, 5 1 частотного параметру 2а/Х = 2, 2 , що для хвилеводу шириною 48 мм вщповщае частот! 6,870245 ГГц, маемо
Розглянемо характеристики одержаного ршеп-ня, коли в1дпошеппя с/а виражаеться числом дро-бовим 1 стввадношоння (12) перетворюеться в ие-р1вп1сть ( ). Пехай К = 3800, тод1 згщпо з ( ) М = 760^. Збшьшуемо значеппя М па одиницю останнього знака 1 проводимо розрахунок характеристик тонко! неснметрнчно!' д1афрагмн з вщно-шенням розм1р1в с/а = 0,5, для якого мае мшце точно ршоння (18). У результат! розрахуику одержуемо значения реактивно! провщносп д1афрагмн В = —4,835154. Проводячи розрахунок реактивно! провщносп д1афрагми для значения М, зменшеного
s<221) = (-0^6№9; 0, ^^95j); |^(21)| = 0,662549; arg [S^^] = 171, 992473°.
(19)
Щоб перекоиатися у коректносп значения (19), нообхадно мати надшш розультати, як1 можна було б використати для пор1вняння. Оскшьки необхь дш даш по розрахуику узагалыюно! матрищ роз-аювання д1афрагми невщомь проводимо вадповадш обчислення, використовуючи широко вщомий метод ГИТБ [14]. Загально вщомо, що метод ГИТБ мае обможош можливост1 досягнення високо! то-чност1 розрахуику структур з гострими ребрами, що мають сильну особлив1сть тангенщального еле-ктричного поля. Тому проводимо обчислення для
40 80 120 160 200 Порядок системи р1внянь
(а)
80 120 160 Порядок системи р1внянь
(б)
200
Рис. 2. Ввдиосна похибка розрахунку реактивно! проввдносп д1афрагми в залежносп вед порядку К
системи лшшних алгебраТчних р1внянь (3).
д1афрагм р1зно1 товщини £ 1 використовуемо для одержання необхедних даних метод екстраполягдо. За результатами розрахунку методом ГОТБ було побудовано графши залежностей модуля 1 фази ко-ефщента ведбиття хвшл Н20 як фуикгщ товщини д1афрагми. Анал1з зазначоних залежностей свед-чнть про то. що при зменшенш товщннн д1афрагми результати обчислонь повшьно наближаються до високоточного значения (19) з похибками. яш не перовнщують 0.2 % по модулю коефщента ведбиття 1 0, 5° по фаз1 при £ = 0. Шдсумовуючи одержан! даш. можна зробити висновок. що розроблоний у робот алгоритм може бути усшшно використаний сшыю з методом ГОТБ при необхедноста розрахунку з'еднань прямокутних хвилевод1в у Н илощиш, яш у своему склад1 мштять тонш несимотричш д1а-фрагми.
Висновки
У строий постановщ одержано розв'язок оло-ктродинам1чно1 задач1 знаходжоння узагалыгено! матрищ розсповання нсскшченно тонко! носимотри-ЧН01 односторонняя шдуктивно1 д1афрагми у ирямокутиому хвиловод1 шляхом узагалыгення кшую-чого ршення на випадок дифракщ! на д1афрагап всього спектру електромагштних хвиль Нт0. Задача зводиться до розв'язання системи штогралышх р1внянь по числу хвиль. падаючих на д1афрагму. Для кожного з них методом Гальоркша одержано систему лшшних алгебраТчних р1внянь ведносно коефщятв розкладу неведомого тангонщалыгого електричного поля у вшш д1афрагми по його вла-сиим координатним фуикщям. Розв'язок системи базуеться на обчисленш коефщятв зв'язку координатных функцш вшна д1афрагми з тангонщаль-иими складовнмн електрнчннх шмпв у хвиловодь
Розглянуто два педходи до знаходжоння коефь щеттв зв'язку. один з яких поредбачае одержання 1 використання анаттичних вираз1в. 1нший пед-хед заснований на чисельному штегруванш добутку координатних функщй вшна д1афрагми 1 власних функцш хвилеводу. Метою використання чисельно-го штегрування методом Гауса с шдтвердження ко-ректносп результате розрахунку за анаттичшгаи формулами. Проведено пор1вняння результате обчислонь на основ1 двох згаданих педход1в. Показано, що при новисоких значениях шдекяв координатних функщй вшна д1афрагми '1 електромагштних хвиль у хвилевод1 результати розрахуншв сшвиадають з високою точшетю. Даш обчислонь суттево розхо-дяться. коли один 1з зазначоних шдокяв прямуе до порядку квадратурно! формули Гауса. Зроблено висновок. що для високоточного знаходжоння еле-ментв узагальноно! матрищ розсповання необхедно використовувати лише анаттичш сшвведношення.
Проведено оцшку граничних можливостей дано! роал1защ1 методу штогралышх р1внянь при апро-ксимащ! тангенщалыгого електричного поля у вшш д1афрагми рядами власних скалярних функщй. Показано. що з педвищенням порядку системи лшшних алгебраТчних р1внянь результати розрахуншв модуля 1 фази коефщента проходжоння основно! хвил1 через д1афрагму повшьно прямують до точних зна-чонь.
Розглянуто характеристики одержаного ршен-ня. коли ведношення розм1р1в вшна д1афрагми та хвилеводу виражаеться числом дробовим 1 сшвведношення (12) перотворюеться у нер1вшсть (13). Одержан! результати сведчать про те. що будь-яке ведхилення К \ М вед значеиь, яш ведповедають сшвведношеншо (12). збшынуе похибки розрахунку. Щ похибки зменшуються при збшыненш порядку К системи лшшних алгебра1чних р1впяиь ( ). Якщо розм1ри структури з д1афрагмою приводять до дробового ведношення с/а, то його потр1бно округлятп
в сторону збшыноння. У цьому випадку похибка вщ наближеного характеру сшввщношення (13) будо менше вплнватн на розультати розрахуику.
Проведено ощнку вщносно! похибки розрахуику реактивно! провщноста д1афрагми в залежио-CTi вщ порядку К системи лшшних алгебра!чних р1вияиь (3). Користуючись одержаними даними, можна визначити порядок К, при якому слщ розв'язувати систему piBiraiib (3) для досягиеиия необхщно! точноста розрахуику реактивно! ировщ-nocTi i Bcie'i узагалыгено! матрищ розйювання д1а-фрагми.
Для шюстрацп можливоста обчислення узагальнено!' матрищ розйювання наведено приклад зна-ходження коефщента вщбиття хвшп Н20 вщ дь афрагми, як елемента S^^- Щ°б переконатися у коректпост1 одержапого значения Ь22 > проведено вщповщш обчислення з використанням широко Bi-домого методу FDTD. 3 щею метою викоиаио обчислення для д1афрагм pi3iio! товщини i використано метод екстраиоляцп для одержання необхщних да-них. Показано, що при зменшенш товщини д1афра-гми результата обчнелень повшьно наблнжаються до високоточного значения з похибками, яш не пе-ревищують 0.2 % по модулю коефщента вщбиття i 0, 5° по фаз1 при t = 0. Таким чином, розроблений у робота алгоритм може бути ycnimno використаний сшыю з методом FDTD при необхщноста розрахуику з'еднань прямокутних хвилевод1в у Н площиш, яш у своему склад1 мштять toiikI несимотричш д1а-фрагми.
Одержано у робота piniciiira може бути використано при розв'язанш задач по визиаченшо допу-ск1в на внготовлення мшрохвильових прнстрош на ocnoBi шдуктивних неоднорщностей у прямокутно-му хвилеводь Розультати дослщження д1афрагми за допомогою даного алгоритму мають не тальки само-CTifnie значения, а також можуть бути використаш для контролю точноста обчислення електродина-хпчних параметр1в тонких структур за допомогою загалышх метод1в розв'язаиия електродинам1чних задач, наприклад FDTD. Розультати дано! роботи можуть знайти застосування при розробках алго-ритм1в швидкого i високоточного обчислення часто-тних характеристик багатоступшчастих несиметри-чних хвилевщних структур.
Перелж посилань
1. Дробахии О. О. Техника и полупроводниковая электроника СВ4 / О.О. Дробахии, С.В. Плаксии, В.Д. Рябчий, Д.Ю. Салтыков. Севастополь: Вебер, '2013. 322 с.
2. Ruiz-Cruz .1. Л. Computer Aided Design of Waveguide Devices by Mode-Matching Methods / .1.Л. Ruiz-Cruz, •I.R. Montejo-Oarai, .I.M. Rebollar. P. 117-140 // Passive Microwave Components and Antennas / Edited by Vitally Zhurbenko. Vukovar, Croatia: InTech Publisher, 2010. 006 p.
3. Чериоусов Ю. Д. Полосовые характеристики связанных резонаторов / Ю.Д. Чериоусов, В.11. Ивашшков, 11.В. Шеболаев, Л.Е. Левичев, В.М. Павлов // Радиотехника и электроника. 2010. Т. 55, № 8. С. 923-929.
4. Choocadee S. The simulation, design and implementation of bandpass filters in rectangular waveguides / S. Choocadee and S. Akatimagool // Electrical and Electronic Engineering. 2012. Volume 2, Number 3. P. 152-157.
5. Чериоусов Ю. Д. Тонкая диафрагма в прямоугольном волноводе / Ю.Д. Чериоусов, Л.Е. Левичев, В.М. Павлов, Г.К. Шамуилов // Вестиик НГУ. Серия: Физика. 2011. Т. 6, Выи.' 1. С. 44 49.
6. Заргаио Г. Ф. Линии передачи сложных сечеиий / Г.Ф. Заргаио, Л.М. Лерер, В.П. Ляшш, Г.П. Синявский. Изд. Ростовского университета, 1983. 320 с.
7. Мамедов Д. В. Исследование сходимости метода матрицы рассеяния в задаче расчета СВЧ-фильтров с квази-Н модами / Д.В. Мамедов, Л.Г. Ющеико // Восточио-Евроиейский журнал передовых технологии. 2015. Т. 4, № 9(76). С. 34-38
8. Стешеико С. Л. Метод частичных областей с учетом особенностей во внутренних задачах с произвольными кусочио-коордииатиыми границами. Часть 2. Плоско-иоиеречиые соединения и "in-line" объекты / С.Л. Стешеико, С.Л. Приколотии, Л.Л. Кириленко, Д.Ю. Кулик, Л.Л. Рудь, СЛ. Сеикевич // Радиофизика и электроника. 2013. Т. 4 (18), № 3.' С. 13-21.
9. Кравченко В. Ф. Вычислительные методы в современной радиофизике / В.Ф. Кравченко, О.С. Лабуиько, Л.М. Лерер, Г.П. Синявский. М. : Физматлит, 2009. 464 с.
10. Никольский, В. В. Электродинамика и распространение радиоволн / В.В. Никольский, Т.Н. Никольская. М: КД Либроком, 2015. 544 с.
11. Градштейи И. С. Таблицы интегралов, рядов и произведений / И.С. Градштейи, И.М. Рыжик. Под ред. Л. Джеффри, Д. Цвиллиигера. 7-е изд: Пер. с англ. под ред. В. В. Максимова. Санкт-Петербург: ВХВ-Петербург, 2011. 1232 с.
12. Вахвалов Н. С. Численные методы / Н.С. Вахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М. : ВИНОМ. .Лаборатория знаний, 2008. 636 с.
13. Dubrovka F. F. Wideband matching the dual frequency coaxial waveguide feed / F.F. Dubrovka, Yu.A. Ovsianyk, P.Ya. Stepanenko, O.S. Zakharchenko // Telecommunication Sciences. 2012. Vol. 3, No 2. P. 53-60.
14. CST Microwave Studio, User Manual 5 ed., CST CmbH, Darmstadt, Cermany 2004.
References
[1] Drobakhin O. O., Plaksin S. V., Ryabchii V. D. and Saltykov D. Yu. (2013) 'l'ekhnika i poluprovodnikovaya elektronika SVCh [Microwave Engineering and Semiconductor Electronics]. Sevastopol^ Veber, 322 p.
[2] Montejo-Oarai .I.R. and Rebollar .I.M. (2010) Computer Aided Design of Waveguide Devices by Mode-Matching Methods. Passive Microwave Components and Antennas. DOl: 10.5772/9403
[3] Chernousov Yu. D., Ivannikov V. 1., Shebolaev 1. V'., Levi-chev Л. E. and Pavlov V. M. (2010) Polosovye kharakteri-stiki svyazannykh rezonatorov [Band characteristics of coupled resonators]. Radiotekhnika i elektronika, Vol. 55, No 8. pp. 923 929.
[4] Choocadee S. and Akatimagool S. (2012) The Simulation. Design and Implementation of Bandpass Filters in Rectangular Waveguides. Electrical and Electronic Engineering, Vol. 2. Iss. 3. pp. 152-157. DOl: 10.5923/j.eee.20120203.08
[5] Chernousov Yu. IX, Levichev A. E., Pavlov V. M. and Shamuilov G. K. (2011) Thin diaphragm in the rectangular waveguide. Vestnik NGU. Seriya: Fizika, Vol. 6, Iss. 1, pp. 44-49.
[6] Zargano G. F., Lerer Л. M., Lyapin V. P. and Sinyavskii G. P. (1983) Linii peredachi slozhnykh sechenii [Lines of transmission of complex sections]. Rostov university Publ., 320 p.
[7] Mamedov D.B. and Yushchenko A.G. (2015) Research of scattering matrix method convergence in the computation problem of quasi-h mode microwave filters. Eastern-European .Journal of Enterprise Technologies, Vol. 4, Iss. 9(76), pp. 34. DOl: 10.15587/1729-4061.2015.47992
[8] Steshenko S. A., Prikolotin S. A., Kirilenko A. A., Kulik D. Yu., Rud: L. A. and Senkevich S. L. (2013) Mode-matching technique taking into account Held singular ities in the internal problems with piece -wise coordinate boundaries. Part 2. Plane junctions and "in-line" objects. Radi.ojizi.ka i elektronika, Vol. 4 (18), No 3, pp. 13-21. (in Russian)
[9] Kravchenko V. F., Labuirko O. S., Lerer A. M. and Sinyavskii G. P. (2009) Vychislitel'nye melody v souremennoi radiofizike [Computational methods in modern radiophysi-cs], Moskow, Fizmatlit, 464 p.
[10] Nikol:skii V. V. and NikoPskaya T. 1. (2015) Elektrodinamika i rasprostranenie radiovoln [Electrodynamics and propagation of radio waves]. Moskow, KD Librokom, 544 p.
[11] Gradshteyn l.S. and Ryzhik l.M. (2007) Table of Integrals, Series, a,"id Products, Elsevier, 1220 p. DOl: 10.1016/B978-0-12-294760-5.50001-5
[12] Bakhvalov N. S„ Zhidkov N. P. and KobePkov G. M. (2008) Chislennye melody [Numerical methods]. Moskow, BINOM. Laboratoriya znanii, 636 p.
[13] Dubrovka F. F., Ovsianyk Yu. A., Stepanenko P. Ya. and Zakharchenko O. S. (2012) Wideband matching the dual frequency coaxial waveguide feed. Telecommunication Sciences, Vol. 3, No 2, pp. 53-60.
[14] CST Microwave Studio, User Manual 5 ed., CST GmbH, Darmstadt, Germany 2004.
Обобщенная математическая модель тонкой несимметричной индуктивной диафрагмы в прямоугольном волноводе
Захарченко О. С., Мартыпюк С. Е., Степаненко П. Я.
Методом интегральных уравнений решена электродинамическая задача нахождения обобщенной матрицы рассеяния бесконечно топкой несимметричной односторонней индуктивной диафрагмы в прямоугольном волноводе. Получена система интегральных уравнений, порядок которой равен числу собственных воли прямоугольного волновода, поочередно падающих па диафрагму из левой частичной области. Решение каждого из mix сводится к системе ..линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения неизвестного тангенциального электрического поля в отверстии связи по его собственным координатным функциям. Решение дашгой системы определяет распределение тангенциального электрического поля в окне диафрагмы, по которому рассчитывается обобщенная матрица рассеяния рассматриваемой неоднородности. Проведено численное исследование полученного решения и даны рекомендации относительно его применения па практи-
Ключевые слова: обобщенная матрица рассеяния: бесконечно топкая несимметричная индуктивная диафрагма: прямоугольный волновод
Generalized Mathematical Model of Thin Asymmetric Inductive Diaphragm in Rectangular Waveguide
Zakharchenko O.S., MartynyukS. Ye., Stepanenko P. Ya.
Introduction. A significant, number of microwave devices are constructed with applying the investigation results of thin asymmetric inductive diaphragm in rectangular waveguide. Increasing the requirements for the characteristics of these devices stipulates necessity to review the possibilities of existing electromagnetic methods in relation to increasing the accuracy of generalized scattering matrices calculation of this diaphragm. To obtain the high accuracy-results of generalized scattering matrices calculation, a further study of integral equations method is represent considerable practical interest.
Mathematical model of diaphragm. An accurate novel solution for general scattering matrix of infinitely thin asymmetric one-sided diaphragm in rectangular waveguide has been obtained. The problem is formed as the system of integral equations along the number of waves which is incident on the diaphragm. By applying the Galerkin's method, each integral equation is reduced to system of linear algebraic equations relatively to coefficients of tangential electric field decomposition in diaphragm window by series of coordinate functions. The joint solution of all equations gives the distribution of tangential electric field in diaphragm window which is further used for finding the generalized scattering matrix.
Numerical results. Two approaches for finding the coupling coefficients of coordinate functions of diaphragm window and eigen functions of waveguide are investigated. An estimation of limiting possibilities of developed realization of the integral equations method at approximation of tangential electric field in diaphragm window by series of eigen scalar functions has been carried out. It is shown that the calculated results of module and phase of fundamental wave transmission coefficient through diaphragm slowly go to exact values when the order of linear algebraic equation system is increased.
Conclusions. The results of diaphragm investigation by using this algorithm have not only independent value but can be used to verify the accuracy of calculating the electromagnetic parameters of thin waveguide structures by using the general methods for solving electromagnetic problems, for example, FDTD. It is supposed that the results obtained in this work can be used in developing fast and high-precision calculation algorithms for frequency responses of multi-stage asymmetric waveguide structures.
Key words: generalised scattering matrix; infinitely thin asymmetric inductive diaphragm; rectangular waveguide
