CC BY
12
УДК 519.2:681.2
Полшозшальш оцшки параметр!в для даних з експоненцшним степеневим розподшом
Заболотит С. В., Чепинога А. В., Бондаренко Ю. Ю., Рудь М. П.
Чоркаський доржашшй тохиологЬший ушворситот E-mail: maxxiuni23&gniaiL com
В робот! запропоповапий оригшалышй шднд до зпаходжешш оцшок результате багаторазових вимь рювань при вппадковпх похибках, що описуеться моделлю експопепцшпого степепевого (узагальпепого гаусового) розподшу. В основ! дапого шдходу лежпть метод максгмзацп полшому (ММПл), якпй базуеться па математичпому апарат! стохастпчппх полшом!в Купчепка та onnci випадкових величин статистиками вшцих порядив (моментами або кумулянтами). Приведено вирази для зпаходжешш полшом1алышх оцшок з використашшм апал1тичпих (методом Кардапо) i чиселышх (метод Ныотопа-Рафсона) розв'язив. Показано, що при степеш стохастичного полшома г < 2 полшом1альш оцшки вироджуються в лш!йш оцшки середнього арифметичного. При використаш полшом!в ступеня г = 3 в1дноспа точн1сть полшом1алыго1 оцшки збглынуеться. Коефщ1епт змепшеппя дисперсп оцшок за-лежить в!д величшш кумуляптних коефщ1еттв 4-го i 6-го порядку, яи характеризують стушпь в1дмишост1 в!д гаусово! модель Шляхом багаторазових статистичпих випробувапь (методом Мопте-Карло) досл!джеш властивост! пормал1зацп полшом1алышх оцшок i проведено пор1впялышй апал!з i'x точпост з в1домими оцшками (середшм, мед1апою i серединою розмаху). Побудовапо облает! ефектив-пост! для кожного 1з метод!в в залежпост в!д параметра форми експопешцйпого степепевого розподшу i обсягу виб!рки.
Клюноаг слова: експопешцйпий степепевий розподш: стохастичш полшоми: статистики вшцих порядив: оцшка параметра
DOI: 10.20535/RADAP.2018.75.40-47
Вступ
Методи статистичного оцппования е одним 1з базових матсматичних шетруменпв, що застосовуе-ться як в загалыий мстролоичшй теор11, так 1 в прикладник задачах, иов'язаних, зокрема, 1з втирю-ванням параметр1в радюсигнал1в та характеристик радютехшчних иристроТв 1 систем. Необхщшсть 1х використання породжена доею р1зномаштних шу-м1в та завад, що спотворюють результата втирю-вань. В таких ситуащях тииовим метролопчним шдходом с представления втирговалыго! модат у вигляд1 адитивно! взаемод11 шформативного параметра 1 випадково! похнбкн. Компенсащя впливу таких иохибок засновала на ироведенш багаторазових втпрювань. Зазвичай при обробщ результате втирювань ириймаеться, що розподш скспсримен-талышх даиих с симетричиим ввдносно свого центру. При цьому штиннс значения шформативного параметра може бути визначене як координата цьо-го центру [1,2].
Найпроспшим 1 часто застосовуваним на пра-ктищ с звичайне усереднення результате багаторазових втпрювань. Проте з точки зору математично! статистики використання лшшно! оцшки параме-
тр1в у вигляд1 середнього арифметичного с опти-малышм (за критер1ем мптизащ! диспсрЙ1 оцшок) лише для достатньо вузького класу випадкових по-хибок, зокрема тих, що адекватно описуються гаусо-вим (нормалышм) законом розподшу ймов1рностей. Широке поширення щя' модат об^рунтовусться вь домим наслщком центрально! гранично! теореми. Проте такий розподш не вщображае всього р1зно-машття реалышх похибок. Це призводить до иеоб-хщност використаиия шших, бшын загалышх но гаусових моделей [2 4].
Одна 1з в1домих альтернатив базуеться на по-нятт1 узагальпепого розподшу помилок, обг'рунто-ваиого в робой Суботша [5]. На щй основ1 було формал1зовано модель так званого експононщаль-ного степепевого розподшу (ЕСР), що оппсуеться функщею виду:
-(ж) =
1
( \х - Q\P \
ex4-
2ар1/Р Г (1 + 1/р ) V Р°р
параметр масштабу, р
(1)
де 0................ ^^^^^озподшу, а
параметр форми.
Очевидно, що при значенш параметр форми р = 2 модель виду ( ) вщповщае гаусовому закону, тому 11 також часто назнвають узагалыюннм
гаусовим розподшом ймов1рностей [6 8]. Зазначимо, що для значень р < 2 фуикщя ( ) мае гостро-верхий характер з пологими спадами (при р = 1 ведповедае розподшу Лапласа). 1з зростанням значень р > 2 розподш стае бшьш плосковершинним 1 в граничному випадку (при р ^ то) траисфор-муеться в р1вном1рний закон (див. рис. 1). Таким чином, ушвсрсалыисть модат (1) поясшоеться тим, що 111мов1ршсш властивост фактично залежать лише вед одного параметра форми р, вар1юваипя яким дозволяе суттево 1х змпиовати.
5 0 5
Рис. 1. Симетричш розподши на основ1 експонен-щалыго! модат при р1зних значениях параметра форми р
Ведомо, що практичне використання будь-яких розподшв вимагае розвинених обчислювалышх процедур статистичного ощшовання 1х параметр1в. 1снуе два основних педходи до знаходження ощ-нок параметр1в модат (1), що базуються ведповедно на метод1 моментв та метод1 максимально! прав-допод1бность Перший характеризуешься простотою алгоритм1чно1 роатзащ!, але мае ввдносно невисоку точшсть. Другий призводить до складних чисель-них процедур 1 е лише асимптотично ефективним, вимагаючи достатньо великих обсяив виб1рки [7 9].
Необхедно також ведзначити, що за останш деся-тшпття сформоване цше амейство експоненщаль-них степеневих розподшв за рахунок поширення на двовтпрний [6] 1 багатовтпрний [10] випадки, а також розробки мультимодалышх [11] та асиме-тричних модифшащй [12 14].
1 Мета дослщження
Ведомо, що знаходження оцшки координати центру симетрично-розподшених випадкових даиих мо-же бути отриманий на основ1 р1зних статистик: мсдоани, середнього, середини розмаху, знакових та рангових оцшок. Анатз монографШ [2, 3], в яких наведеш розультати доследжень щодо використання ЕСР як модат випадкових иохибок, показуе, що ефектившеть те! чи ппно! статистики суттево за-лежить вед величини параметру форми р. Зокрема, як вже зазначалося, для гаусового розподшу (при
р = 2) найбшыи ефективиою е оцшка середнього, для розподшу Лапласа (при р = 1) — медаанна оцшка, а при р1вном1рному розподш (для р ^ то) — середииа розмаху. Деяш доследники рекомеидують застосовувати зважеш суми pÍ3inix статистик, ви-користовуючи в якост критерпо вибору величину косфшденту ексцесу, оцшку яко! достатньо просто отримати [15,16].
В дашй po6oTÍ пропоиуеться використати opnri-налышй педхед до статистичного ощшовання пара-MOTpiB, що базуеться на метода макстпзацй' полшо-ма (ММПл) [17]. Цей ведиосио иовий метод статистичного ощшовання використовуе опис випадкових величии у виглядо скшчено1 кшькост усередиеиих статистик, иаприклад, momciitíb або кумулянтав. У Po6otí [18] здШсноно пор1внялышй анатз ефектив-iioctí ММПл-оцшок i ощнок середнього для pÍ3inix тишв симетричиих розподЫв (apKcinycnoro, piBiio-Mipnoro, трапощеподобного, трикутиого), а також доследжеш властивост емшричних розиодшв цих ощнок. У po6oTÍ [19] на приклада модел1 трапеще-подобного та робот [20] для б1модалышх розиодь «шв бшьш детально доследжеш облает ефективност ММПл-оцшок nopiBiMiio з класичними ощнками.
Дане доследження е бсзпосередшм продовже-нням po6ÍT [18 20]. lloro основною метою е по-р1внялышй анал1з точност ММПл-оцшок при використати в якост fiMOBipiiicno'í модел1 помилок скспоненщалыгого степеиевого розподшу. Методо-лоия доследжень иередбачае отримання вираз1в, що ана-штично описують дисперсй' ММПл-оцшок, та побудову (шляхом статистичного моделюваиия методом Монте-Карло) областей ефективност ощнок, що отримуються pÍ3iiiiMii методами в залежност вед значения параметру форми ЕСР i обсягу виб1ркових даиих.
2 Математична постановка задач!
Нехай в — шформативний параметр, значения якого необхедно ощнити на ociiobí анал1зу вектору х = [xi, Х2, ...хп}. Цей вектор мштить незалежш i однаково розиодшеш bii6ípkobí значения, отримаш в результат! багаторазових втпрювань. Припуска-еться, що математична модель статистичних даиих адекватно описуеться ексионенщалышм степеневим розподшом виду (1). При цьому значения параме-Tpis масштабу a i форми р е апрюрно нев1домими.
3 Знаходження oii,íhok методом максим1зацп пол1нома
У po6otí [17] показано, що знаходження ощнок деякого скалярного параметру в методом макси-м1защ1 пол1ном1в Í3 виб1рки однаково-розподшених
випадкових величин х = {х1,х2, ...хп} може бути введено до пошуку розв'язку р1вняння загального виду:
Ен (°)
- V п (Хп) - ^ (в)
71 -'
в=в
Мг г( р) г(,р) г0
Якщо використати полшом степеш г = 3, то рщНЯННЯ дЛЯ знаходження ММПл-оцшок 9 для ви-иадку симотрично-розподшених даних може бути записано у виглядй
(2)
Н^ (^ - в)р Н - (О2 Р М^] +
де г — степшь полшома, /г (х), г = 1,г — паб1р певиим чином упорядкованих базисних функцш, а (в) = Е {/г (ж)} — 1х математичш спод1вання, що залежать вш параметра, який оцйпоеться. Вагов1 коефщенти Ь^ (в) в ( ) знаходяться за умови забез-
Якщо використати в якосп базисних функщй степенев1 перетворення виду ^ (х) = хг, то 1х математичш спод1вання е початковими моментами аI (9) = Е {хг}. У такому випадку оптимальш ваго-в1 коефщенти Н (в), г = 1,г можуть бути знайдеш 1з вщлшоння системи лйпйних алгебраТчних р1внянь виду:
г 1
(9) (9) = -а3 (в), 3 = 1,г, (3)
де Fitj (9) = а+ (в) - а (в)а^ (в), 1,3 = -г. Та-
формування р1вняння (2) нообхшно мати частковий ймов1ршсний опис у виглядо постдовноси моменпв до 2г-го порядку включно.
Показано [17,18], що при застосуванш стоионо-вих базисних функщй ММПл-оцшки, що отримую-ться при г = 1, е екв1валентними оцшкам середнього для довшьного закону розподшу випадкових величин. Щлм того, за умови симотрп' розподшу ММПл-оцшки для степеш г = 2, також вироджуються в .шнШш оцшки.
Для застосування ММПл при степеш г = 3 на-ведемо сшввшношоння для перших 6-и початкових моменпв (тут '1 в подальшому заложшсть в позиа-
вираз1в будемо опускати):
а\ = в;
а.2 = 92 Р М2,
аз = 93 Р3вМ2,
а4 = в4 Р 602м2 Р Зм2 Р М4, (4)
а5 = в5 Р 10в3м2 Р -59м2 Р 59ц4, а6 = 96 Р 1594м2 Р 45в2м2 Р 15ц\р Р 15в2М4 Р 15^2^4 Р Мб,
де Мг — цептральш моменти розподшу ( ), яш залежать лише вш параметр1в масштабу а \ форми р [ ]:
У = 1
У = 1
33
Р Ноз^[4 -(°3 Р 39М2)}
У=1
0,
в=в
де Н^-Н3 — оптимальш коефщенти, яш знаходяться шляхом анаштичного розв'язку снстемн р1внянь (3) методом Крамера (з урахуванням вираз1в (4)), ма-ють вигляд:
Н1
Н2 =
Н3 =
3в2 (р4 - Зр2) Р 3М4М2 - Мб
М-2 (р24 - Р2Рб) -3 в (р4 - 3 Р2) М-2 (М2А - М2М6У
М4 - 3М2 М-2 (Ма - М2М6)
(7)
Поставивши коефщенти (7) в (6), теля пере-творень отримаемо куб1чие р1вняння вщиоеио параметра, що ощшоеться:
Ав3 РВв2 РСв РВ
в=в
0,
(8)
де А = 1, В = -30^1, С = 30^2 -
(5)
В = &1 »6-3»4»2
1 ^4 -3^ 3
Необхщио вщзначити, що в р1внянш (8) ф1-гурують виб1рков1 статистичш початков1 моментн
П _ч
а = 1 х1> г = -3 ■
У = 1
В робой [18] показано, що розв'язок кубичного р1вняння виду (8) може бути отриманий в ана.шти-чному виглядо на основ1 формул Кардано. Проте 1х використання для отримання ММПл-оцшок ускла-днясться наявшетю нолйпйних иеретворень (обчи-слення квадратних \ куб1чних корошв), а також потенщйною можлив1стю отримання декшькох дШ-сних ршень, що потребус додатково! перев1ркп за криторкм кшькост1 добуто! шформащ! [17,18].
3 обчпслювалыю1 точки зору бшьш ефектив-иим може бути використання чиселышх иоращй-них процедур розв'язку нолйпйних р1внянь. Як початкове наближоння для пошуку кореия р1вня-иия (8) лопчно використати лйпйну ощнку шу-каного параметра у вигляд1 середнього а1, а як умову зупннкн 1теращй прнв'язатн до воличини середньоквадратнчного вщхилеиия лйпйних оцшок
6 = ^(а2 - а^)/п, яку можна масштабувати на деякий множник Д, що буде визначати необхщний стутнь точност (наириклад, Д = 10-3). Зазначимо, що вцщовшш статистики а^ та а2 обчислюються у раз1 формування коеф1щб:нт1в кубйшого р1внян-ня (8).
0
2
а
Якщо для чисолыгого розв'язку куб1чного р1в-няння (8) використати метод Ныотона-Рафсона [21]. то алгоритм обчислоння ММПл-оцшок можпа иред-ставити у виглядо насту иного псевдокоду:
к ^ 1 вк ^
А 10-3
ё ^ А^(«2 - а\)/п
while
вк — вк-1
> ё
к ^ к + 1
а
■^т(в) = п$> (в) — оц (в).
Ця кшьккна характеристика за своТм статисти-чиим змктом подобна до шформащ! за Фшмром [22]. оскшьки при п ^ то 11 обернена величина асимпто-тично прямус до дисперЙ1 параметра, що ощшое-ться. тобто:
2
\в)г
Т -1 \п(в).
Для пор1внялыгого анатзу точносп ощнок ви-корнстасмо поияття коофшдента змеишеиия дисиер-сп [17 20]:
9( в),
'( в) РММ3
2
( в) Р М М1
2.
( в) теап.
Ведомо з [ ], що дисперсш ст
оцшок середнього не залежить вед величини параметра в, а
2
( в)-
внзначасться як вадношення центрального моменту 2-го порядку до обсягу виб1рки п. А оскшьки оцшки середнього екв1валентш ММПл-оцшкам при г = 1, то сшвпадають 1 1х диспера!
22 а( в) РММ 1 = "(в),
М2
(12)
Використовуючи сшвведношення (9) 1 (10). мо-жна отримати анаттичний вираз. що для асимпто-тичного випадку (при п ^ то) дозволяе теоретично визначати дисперсно ММПл-оцшок при степеш полшому г = 3:
л л _ Ав1_1+вв1_1+свк-1+р
С'к ^ Ок-1 3Ав1_1+2Ввк- 1 + С
Рис. 2. Алгоритм обчислоння ММПл-оцшок при степеш полшому г = 3 на основ1 методу Ныотона-Рафсона
4 Точшсть ощнок методу ма-ксим1зацп полшома
Доведено [17]. що ММПл-оцшки с слушннмн \ асимптотично незмщешми. Анаттично обчислоння диспорсш таких ощнок базусться на понятп кшькост! добутсм шформащь величина яко! в загаль-ному випадку може бути знайдона за формулою:
2
( в) Р М М3
п
— + М6_
(13)
3 урахуванням виразу (5). величину коофшденту зменшення диспорсй! можно представить у виглядк
Г2 1
9( в)з
г -
\р
Г 3 Г -
— Г2 3 -
9Г3(3)
—6Г'3 Г3 Г3
Г( 0 Г2(
(14)
(9)
Очевидно, що теоретично значения коофшдента зменшення диспсрси! ММПл-оцшок заложить ви-ключно вед параметра форми р ексионенщального стеионевого розподшу. Графш щя залежносп представлено на рис. 3
(Ю)
(И)
( в) Р М М1
Цей косфшдент с ведношонням диспорЙ1 ММПл-оцшок параметра в, яш знаходяться у раз1 засто-сування полшому г-го порядку до диспера! ощнок ММПл-оцшок при г = 1. Оскшьки оцшки середнього екв1валентш ММПл-оцшкам при степеш г = 1, то сшвпадають 1 1х дисперЙ!. тобто
Рис. 3. Заложшсть коофшденту змеишеиия диспорЙ1 д(в) 3 вед параметра форми р ЕСР
Анатз залежностц представлено! на рис. 3. пвд-тверджус вже ведзначоний ранило факт про одна-кову точшсть ММПл-оцшок 1 ощнок середнього в ситуащ! гаусового закону розподшу помплок (що ведповедае значению параметра форми р = 2). При вйх шших значениях р иотенщйна точн1сть ММПл с вищою. Особливо суттсвим (бшьше шж у два рази) такий виграш може бути для плосковоршинних розпод1л1в з великими значениями параметра р.
п
2
2
5 Статистичне моделювання
Для пор1внялыгого анатзу офоктивност ММПл-оцшок з iiiiniiMii вщомими методами ощ-шоваиия координати центру симетричиих розпо-дЫв в соредовшщ Mathoriiatica було розроблено програмний комплекс, що роатзуе статистичне моделювання методом Монте-Карло. Bin дозволяе на ocuoBi багаторазовнх окспориментв з однако-внмн fiMOBipiiiciiiiMH властивостями вхщних даних проводити зштавлоння точност оцшок. що отри-муються на ocuoBi pi3inix статистик: середнього арифмотичного. медоани, центру розмаху та ММПл-оцшок при г = 3. По аналои! до ( ), як кщькшний криторШ, що характеризуй офоктившеть нового методу. використаемо омшричш значения коофшденту вщношення диспсрси!:
9( 0)3
Я( 0)3
0)3
т2
'(0) РММ 3
^ ( 0)m e an 2
'(0) РММ 3
у2 '
( 0) median 2
а(0)РММ 3
у2 '
( 0) mid-range
1
Мг =
E(xv х} ,
де х = «1 = П xv-
v=1
В1ДИОВ1ДНО показуе. те що 1снуе певна кореляцш анаттичних розрахуншв та результате. отриманих шляхом статистичного моделювання. Як можна по-м1тити, з1 збшьшенням обсягу виб1рки п розб1жшсть хйж теоретичними та окспоримонталышми даними зменшуеться. Так при п = 20 розбЬктсть складае до 20%, а вже при п = 200 зменшуеться до 2-3 %. Оскшьки окспоримонталыи результати прямують до теоретично розраховаиих значены це шдтвор-джуе асимптотичш властивост воличини кшькост добуто! шформащ! (9). яка впкорпстовуеться при розрахуику диспорЙ1 ММПл-оцшок.
На рис. 4 наводош гранищ. що роздшяють облает! найбшынсм офоктивност (на основ1 критор1ю мпимуму диспорсш) при застосуванш р1зних методов оцпиовання. Щ облает отримаш шляхом статн-стнчного моделювання методом Монте-Карло (для т = 104 експериментв) при р1зних значениях параметра форми ЕСР р та обсяив виб1рки п.
(15)
2 2 2 2 Де а(0) mean1 а(0) median' °(0) mid-range' а(0)РММ 3 _
усереднеш на основ1 т експериментв значения дис-nopci'i оцшок. що отримуються i3 застосуванням середнього. мод1ани. центру розмаху та ММПл при г = 3 вщиовщно.
Очевидно, що на достов1ршсть результате моделювання в neBiiifi Mipi впливають як величина обсягу виб1рки п, так i кшьшеть проведених експериментв т при фшеованих значениях параметр1в експоненщалышх степеневих розподшв.
Нообхщно також вщзначити. що алгоритм обчи-сления ММПл-оцшок передбачае наявшеть шфор-мащ! про параметрп модат помплок. Проте для бшыност реалышх ситуащй така шформащя anpi-орно вщеутня. У цьому внпадку можна використати адаптивний шдхщ [19. 20]. який полягае у обчи-сленш anocTepiopiinx ощнок централышх момонтв (нообхщних для знаходження коофщентв куб1чно-го piBiramra (8)). на ocuoBi сшввщношоння:
(16)
CyKynnicTb результате статистичного моделювання для pi3iinx зиачень параметра форми ЕСР (р = 1 ^ 10) та обсяпв виб1ркових зиачень (п = 20 ^ 200), що отримаш при т = 104 багаторазовнх окспориментв, представлено в табл. 1.
Анал1з тооротичних та експеримеиталышх зиачень коефщеитв вщношення диспера! д(0)3 д(0)3
50 100 150 200
Рис. 4. Облает офоктивност мотод1в зиаходжеиия ощнок координати центру амойства симетричних експоненщалышх розподшв
На основ1 наведеиих результате можна зробити настуиш висновки. Для значень р < 1.3 (область 1 гостроворшинш розподши) найбшын ефектив-ною е мед1анна ощнка. Для д1аиазону значень в межах 1.3 < р < 3 (область 2) бшып точною е статистика середнього. Для значень р > 3 б1льш ефективними стають ММПл-оцшки. ]Межа. що роз-дшяе област1 3 найб1льш ефективних ММПл-оцшок 1 область 4 ефективних ощнок у вигляд1 сородини розмаху суттево заложить вщ обсягу виб1ркових значень 1 носить парабатчний характер. Напри-клад, для п = 20 вона знаходиться б1ля значения р « 6, дая п = 50 — р « дая п = 100 — р « 13, а для п = 200 в райош р « 17.
Б1льш наочну в1зуал1защю вщносного ступеня ефективност1 ^!^!Пл-ощнок дае ЗБ-графш функщ1 Е// (р, п), представлений на рис. . Дану поверхню умовно можна подшити на декшька частин (за-лежно в1д граииць ефективиост1 р1зиих метод1в. наведеиих на рис. 4. Зокрома. область 3 в1диовщае значениям параметр1в р, п при яких ефективн1сть ^1^1Пл-ощнок е кращою пор1вняно 1з шшими мето-
Табл. 1 Коефщенти вщношення дисиерсй' оцшок
p 9(6)3 Результати статистичного моделювання
9(6)3 4(6)3 Г (6)3
ri
20 50 100 200 20 50 100 200 20 50 100 200
10 0.4 0.63 0.51 0.44 0.43 0.27 0.19 0.16 0.15 1.38 1.12 0.81 0.6
5 0.61 0.8 0.71 0.62 0.61 0.36 0.29 0.25 0.23 0.9 0.6 0.39 0.24
3 0.89 0.99 0.97 0.9 0.89 0.52 0.5 0.42 0.4 0.61 0.37 0.21 0.12
2 1 1.13 1.08 1.04 1.01 0.77 0.7 0.67 0.66 0.39 0.2 0.1 0.06
1 0.85 0.97 0.85 0.83 0.81 1.4 1.36 1.36 1.51 0.12 0.05 0.02 0.01
дами. тобто виконуеться умова:
iin j с
min а(в)РММ3, а(6)теап, a(6)median, °(6)mid-range j
—
= а(в)РММ3.
Сама поверхня вщносно!' ефективност Eff (р, п) для облает 3 представляв собою штериоля-цпо множннн результата статистичного моде-лювання i складасться i3 двох частин: для За це множила оборноних значень коефь
9(в)з (за
щентв ефективност Eff (р, п)
min
-2
5.2
;.2
®(6)mean, ^(6)median, ^(6)mid-range I
а
для 2
3b Eff (р,п) = г
(6)3
(за
2 2 2 ®(6)mean, ^(6)median, ^(6)mid-range I
умови 2
а(6)теап)'
min
2
® (6)mid-range^'
Для тих випадшв. коли сфектившсть ММПл-оцшок с иижчою вщносно хоча б ОДНОГО i3 illHIIIX методов (облает 1. 2 i 4). для кращого в1зуального сприйняття величину функцй' ефективност штучно визначено як Eff (р, п) = 1.
Рис. 5. ГИдносна сфектившсть ММПл-оцшок
Анал1з рис. 5 иоказус. гцо ввдносно зменшення дисиерсй' ММПл-оцшок може бути достатньо суттс-вим (бшынс шж у 2 рази).
високу сфектившсть застосування методу максимь защ! полшому для знаходження оцшок координати центру випадкових даних. яш адекватно можуть бути оиисаш моделлю у вигляд1 сксионснщалыгого степеневого розподшу. Важливим фактором с то. гцо застосування запропонованого шдходу не потрс-буе апрюрнси шформащ! про значения парамстр1в тако! модель Показано, гцо алгоритм знаходження ММПл-оцшок информативного параметру при степеш полшома г = 3 зводиться до виршения кубь чного р1вняння. Косфщснти такого р1вняння фор-муються 1з використанням аиостсрюрних оцшок централышх моментв до 6-го порядку стохастичио! складово! (випадково! похибки). Розглянуто можли-вшть використанням процедури Ныотона-Рафсона для внзначення корешв.
На основ1 ионяття кшькост добуто! шформа-Щ1 отримано анаттичний вираз. який описуе за-ложшеть коофщенту зменшення диспера1 ММПл-оцшок (пор1вняно 1з оцшками середнього) в за-лежност вщ параметру форми експоненщального степеневого розподшу.
Шляхом статистичного моделювання проведено пор1внялышй анал1з ефективност (за криторь см мпимуму дисиорЙ1) ММПл-оцшок 1з вщомими непараметрнчннмн оцшками. на основ1 статистик середнього. мод1ани \ середини розмаху. Побудова-ш облает ефективност для кожного 1з мотод1в в залежност вщ величини параметра форми експо-нонщалышх розиодЫв та об'ему виб1рки. Показано, що точшеть запропонованого шдходу може суттс-во (бшьше шж у 2 разн) перевнщуватн класичш непарамотричш ощнкн.
Одним 1з иодальших наирямшв дослщжень ефективност! застосування методу макстизащ! поль ному може бути пор1внялышй анал1з точност \ складност обчислювалышх процедур знаходження оцшок координати центру експоненщйних вщно-сно параметричного пщходу на основ1 максимально! правдопод1бност1.
Висновки
Дослщження. проведен! в дан1й робот1. дозво-ляють зробити загалышй висиовок про потеищйио
References
[1] The. International Vocabulary of Metrology, Basic, and General Concepts and Associated Terms (VIM), .JCGM ■200:2012 [1SO/1EC Guide 99].
[21 Novitskii P. V. and Zograf 1. A. (1991) Olsenka pogreslmostei rezul'tatov izmerenii [Estimation of errors of measurement results], Moskow, Energoatomizdat Publ., 304 p.
[31 Box G.E. and Tiao G.C. (1992) Bayesian Inference in Statistical Analysis. DOl: 10.1002/9781118033197
[41 Maugey T., Gauthior .1., Pesquet-Popescu B. and Guillemot C. (2010) Using an exponential power model forwyner ziv video coding. 2010 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. DOl: 10.1109/icassp.2010.5496065
[51 Subbotin M.T. (1923) On the law of frequency of error, Mat. Sb„ Vil. 31, No 2, pp. 296-301.
[61 Taguchi T. (1978) On a generalization of Gaussian distribution. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, Vol. 30, Iss. 1, pp. 211-242. DOl: 10.1007/bf02480215
[71 Varanasi M.K. and Aazhang B. (1989) Parametric generalized Gaussian density estimation. The Journal of the Acoustical Society of America, Vol. 86, Iss. 4, pp. 14041415. DOl: 10.1121/1.398700
[81 Nadarajah S. (2005) A generalized normal distribution. Journal of Applied Statistics, Vol. 32, Iss. 7, pp. 685-694. DOl: 10.1080/02664760500079464
[91 Growder G.E. and Moore A.H. (1983) Adaptive Robust Estimation Based on a Family of Generalized Exponential Power Distributions. IEEE 'transactions on Reliability, Vol. R-32, Iss. 5, pp. 488-495. DOl: 10.1109/tr. 1983.5221739
[101 Lindsey .J.K. (1999) Multivariate Elliptically Contoured Distributions for Repeated Measurements. Biometrics, Vol. 55, Iss. 4, pp. 1277-1280. DOl: 10.1111/j.0006-341x. 1999.01277.x
[111 Hassan, M. Y. and Hijazi, R. H. (2010) A bimodal exponential power distribution, Pak. J. Statist, Vol. 26, No 2, pp. 379 396.
[121 Fernandez C., Osiewalski .1. and Stool M.F..I. (1995) Modeling and Inference with ^-Spherical Distributions. Journal of the American Statistical Association, Vol. 90, Iss. 432, pp. 1331-1340. DOl: 10.1080/01621459.1995.10476637
[131 Komunjer 1. (2007) Asymmetric power distribution: Theory and applications to risk measurement. .Journal of Applied Econometrics, Vol. 22, Iss. 5, pp. 891-921. DOl: 10.1002/jae.961
[141 anf' Zinde-Walsh V. (2009) Properties and esti-
mation of asymmetric exponential power distribution. Journal of Econometrics, Vol. 148, Iss. 1, pp. 86-99. DOl: 10.1016/j.jeconom.2008.09.038
[151 Zakharov 1. P. and Shtefan N. V. (2002) Dolinition of eilective distribution center value at statistical processing of measurement observations, Radioelektronika ta mform.at.yka, No. 3 (20), pp. 97-99
[161 Warsza, Z. L., Galovska, M. (2009) About the best measurand estimators of trapezoidal probability distributions. Przeglqd Elektrotechniczny, Vol. 85, No. 5, pp.86 91.
[171 Kunchenko Yu. P. (2002) Polynomial parameter estimations of close to Gaussian random variables, Aachen: Shaker Verlag. D01:10.1007/978-3-319-77174-3
[181 Warsza Z.L. and Zabolotnii S.W. (2017) A Polynomial Estimation of Measurand Parameters for Samples of Non-Gaussian Symmetrically Distributed Data. Advances in Intelligent Systems and Computing, pp. 468-480. DOl: 10.1007/978-3-319-54042-9_45
[191 Warsza Z. and Zabolotnii S. (2017) Evaluation of the Uncertainty of Trapeze Distributed Measurements by the Polynomial Maximization Method. Pomiary Automatyka Robotyka, Vol. 21, Iss. 4, pp. 59-65. DOl: 10.14313/par_226/59
[201 Zabolotnii S. V., Kucheruk V. Yu., Warsza Z. L. and Khassenov A. K. (2018) Polynomial Estimates of Measurand Parameters for Data from Bimodal Mixtures of Exponential Distributions, Vestnik Karagandinskogo uni-versiteta, No. 2 (90), pp. 71-80.
[211 Mathews .1. H. and Fink K. D. (2004) Numerical methods using MA'l'LAB, London, Pearson.
[221 Cramer H. (1946) Mathematical Methods of Statistics (PMS-9). DOl: 10.1515/9781400883868
Полиномиальные оценки параметров для данных с экспоненциальным степенным распределением
Заболотний С. В., Чепинога А. В., Бондаренко Ю. Ю., РуОьМ. П.
В работе предложен оригинальный подход к нахождению оценок результатов многократных измерений при случайных погрешностях, описываемых моделью экспоненциального степенного (обобщенного гауссова) распределения. В основе данного подхода лежит метод максимизации полипома (ММПл), осповаппый па математическом аппарате стохастических полипомов Купченко и частичном описании случайных величин статистиками высших порядков (моментами или кумулянтами). Приведены теоретические основы ММПл для нахождения оценок информативного параметра из выборки одинаково распределенных случайных величин. Получены аналитические выражения для нахождения полиномиальных оценок. Показано, что при степени стохастического полинома г ^ 2 полиномиальные оценки вырождаются в линейные оценки среднего арифметического. При использовании полипомов степени г = 3 относительная точность полиномиальных оценок увеличивается. Рассмотрены особенности использования числеппых процедур (метод Ныотопа-Рафсопа) для нахождения решений стохастических уравнений. Для асимптотического случая (при п ^ то) получены аналитические выражения, описывающие дисперсию ММПл-оцепок. Показано, что теоретическое значение коэффициента уменьшения дисперсии ММПл-оцепок (по сравнению с лилейными оценками среднего арифметического) зависит от величины кумуляптпих коэффициентов 4-го и 6-го порядка случайной погрешности. Путем многократных статистических испытаний (метод Монте-Карло) осуществлен сравнительный анализ точности полиномиальных оценок с известными пепара-метрическими оценкам (средним, медианой и серединой размаха). Показано, что с увеличением объема выборки п расхождение между теоретическими и экспериментальными данными уменьшается. Построены области
эффективности для каждого из методов в зависимости от параметра формы экспоненциального степенного распределения и объема выборки. Показано, что точность предложенного подхода может существенно (более чем в 2 раза) превышать точность классических непараметрических оценок.
Ключевые слова: экспоненциальное степенное распределение; стохастические полиномы; статистики высших порядков; оценка параметра
Polynomial parameter estimation of exponential power distribution data
Zabolotnii S. V., ChepynohaA. V.,
Bondarenko Yu. Yu., RudM. P.
The paper proposes an original approach to obtain the results of multiple measurements at random errors, which are described by the exponential power (generalized Gaussian) distribution model. The approach is based on the polynomial maximization method (PMM), which is based on Kunchchenko's mathematical apparatus using stochastic polynomials and a partial description of random variables of high-order statistics (moments or cumulants). The theoretical foundations of PMM are presented in relation to finding the estimates of the informative parameter
from an equally distributed random variables sample. There are analytical expressions for finding polynomial estimations. It is shown that r < 2, then polynomial estimates degenerate in linear arithmetic mean estimates . If the polynomial degree r = 3 then the relative accuracy of polynomial estimations increases. The features of numerical procedures (Newton-Raphson method) for finding the stochastic equation roots are considered. Obtained analytical that describe the dispersion of the PMM estimates for an asymptotic case (for n ^ to). It is shown that the theoretical value of reduction coefficient variance of PMM estimates (in comparison with the linear mean estimates) depends on the magnitude of the random error cumulative coefficients of the 4th and 6th order. Through multiple statistical tests (Monte Carlo method) carried out a comparative accuracy analysis of polynomial estimates with known non-parametric estimates (median, mid-range and mean). It is shown that with increasing size of sample the difference between theoretical and experimental data decreases. The efficiency areas for each method are constructed, depending on the exponential power distribution parameter and sample size. It is shown that the accuracy of the proposed approach can significantly (more than twofold) exceed the classica 1 nonparametric estimation.
Key words: exponential power distribution; stochastic polynomials; high-order statistics; parameter estimation
