Метод приближенного нахождения точек совпадения накрывающего и липшицева отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.6

МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК СОВПАДЕНИЯ НАКРЫВАЮЩЕГО И ЛИПШИЦЕВА ОТОБРАЖЕНИЙ

© Т.В. Жуковская, Е.А. Молоканова

Ключевые слова: накрывающее отображение; липшицево отображение; точки совпадения отображений; метод Ньютона-Канторовича; условия сходимости; априорная оценка погрешности.

Рассматривается метод приближенного нахождения точек совпадения двух отображений, одно из которых является накрывающим, а второе — липшицевым. Алгоритм построения приближенного решения основан на методе простой итерации с использованием идеи метода Ньютона-Канторовича. Исследуются условия сходимости метода, получена априорная оценка погрешности.

Пусть пространства X и У являются нормированными. Рассмотрим уравнение

Е (х) = С(х), (4)

где отображения Е,О : X У. Решение уравнения (4) называется точкой совпадения отображений Е и О. Будем решать задачу приближенного нахождения точек совпадения отображений.

Через Вх(и, г) обозначим замкнутый шар пространства X с центром в точке и радиуса г и аналогичное обозначение шара введем в пространстве У.

Определение 1 [1]. Отображение Е: X ^ У называется а— накрывающим ( а> 0 ), если

Уи € X Уг > 0 Ву(Е(и),аг) С Е(Вх(и, г)).

Приведем равносильное определение.

Определение 2. Отображение Е : X ^ У называется а— накрывающим ( а> 0 ), если

Уи € X Уу € У 3 х € X (Е(х) = у) Л (Ух — и\\х ^ а-1 У у — Е(и) ||у).

Накрывающие отображения используются в исследованиях абстрактных операторных, интегральных, дифференциальных уравнений, краевых задач, управляемых систем (см., например [2]).

Пусть в уравнении (4) отображение Е является а— накрывающим, а отображение О удовлетворяет условию Липшица с константой Липшица в <а. Данное исследование является продолжением работы [3], в которой был предложен метод приближенного решения уравнения (4). Алгоритм основан на методе простой итерации [1], а именно: для г = 0, 1,... строятся хг, такие что

Е (х+) = О(хг), ||х;+1 — хгУх ^ а-1\\Е (хг) — О(хг)\\у.

Практическая реализация метода итерации требует на каждом шаге для нахождения очередного элемента хг+1 решать уравнение

Е (х) = О(хг). (5)

Это уравнение решаем приближенно. Вопрос о возможности приближенного решения уравнения (5) рассмотрен А.В. Арутюновым в работе [4]: установлена допустимая погрешность

2513

вычислений при решении уравнения (5) на каждом шаге, при которой итерационный процесс сходится к точке совпадения отображений Е, О .

Мы предлагаем для приближенного решения уравнения (5) использовать идею метода Ньютона-Канторовича (см. [5, 6]). Дальнейшие исследования опираются на утверждение, доказанное в работе [1]: если Е — непрерывное отображение, то

Ухо € X 3х € X (Е(х) = О(х)) Л (||х — хо||х ^\\Е(хо) — О(хо) ||у). (6)

а — в

Следующее утверждение является обоснованием метода приближенного построения точки совпадения отображений Е и О, характеризует быстроту сходимости итерационного процесса с помощью построения априорной оценки погрешности вычислений.

Теорема. Пусть пространство X является банаховым, пространство У — нормированным, отображение Е: X ^ У является а— накрывающим, а отображение О: X ^ У удовлетворяет условию Липшица с константой Липшица в < а. Пусть для точки х0 € € X существует число 7 € [0; а — в) такое, что оператор Е дифференцируем по Фреше в шаре В = Вх(х0, а_в-11|Е(х0) — О(х0)Цу), оператор Е'(хо) обратим, и

Ух € В || Е'(х) — Е'(х0)||у ^ 7. (7)

Тогда последовательность итераций {хп}, построенная по формуле

хп+1 = хп — (Е'(х0))-1(Е(хп) — О(хп)), П = 0,1, 2,..., (8)

сходится к некоторой точке х* совпадения отображений Е и О. Для каждого приближения хп существует точка х*п совпадения отображений Е и О, удовлетворяющая

оценке

IIхп—хп\\х < а—в|Е(х0) — О(х0) ^. (9)

Доказательство. Вначале покажем справедливость оценки

и(е' (ю))-1 и< а. (и)

Пусть || (Е'(х0))-1 || = N. Возьмем произвольное в> 0, тогда

3у € У (||у||у = 1) Л (ШЕ'х^(Мх > N — в). (11)

Согласно определению производной по Фреше,

Е (х) — Е (х0) = Е' (х0)(х — х0) + п(х — х0), п(х — х0) = о(х — х0), и для данного в > 0 найдется 8 > 0 такое, что

Ух € X (||х — х0||х <8 ^ !п(х — х0)||у <в8).

Рассмотрим уравнение

Е (х) — Е (х0) = уа8.

Из а— накрывания отображения Е, по определению 2, это уравнение имеет решение х такое, что ||х — х0||х <8. Тогда, поскольку

(Е' х))-1(Е (х) — Е (х0)) = (х — х0) + (Е' (х0))-1(п(х — х0)),

2514

имеем

(F' (xo))-1(yaS) = (x - Xo) + (F'(xo))-1(n(x - xo)).

Отсюда и из свойства (11) элемента у получаем

(N - е)ад < ||(F'(xo))-1(ya5)\\x ^ \\x - xo\\x + ||(F'(xo))-1(n(x - xo))||x < S + Ns5.

Следовательно,

N < ае + 1, а — е

или, в силу произвольности е,

N < 1.

а

Докажем методом математической индукции, что все члены последовательности {xn}, построенной по формулам (8), удовлетворяют неравенству

\\xn - xn-i\\x ^ ^ ||F(xo) - G(xo) \\y (12)

аа

и лежат в шаре B.

Для n = 1 по формулам (8) находим

||xi - xo\\x = || - (F'(xo))-1(F(xo) - G(xo))\\x

и, учитывая оценку (10), получаем

||xi - xo\\x ^ a-1\\(F(xo) - G(xo))||y,

следовательно, xi € B. Пусть неравенство (12) выполняется для x2,...,xk, которые лежат в шаре B. Для n = к + 1 по формулам (8) находим

Wxk+1 - xk||x = || - (F'(xo))-1(F(xk) - G(xk))||x ^ a-1^F(xk) - G(xk)||y. Поскольку

F(xk-1) - G(xk-1) = -F'(xo)(xk - xk-1),

то

||F(xk) - G(xk^Iy = ||F(xk) - F(xk-1) + F(xk-1) - G(xk-1) + G(xk-1) - G(xk)||y ^

^ ||F(xk) - F(xk-1) - F'(xo)(xk - xk-1)WY + WG(xk-1) - G(xk)||y.

Учитывая свойства производной по Фреше и применяя формулу конечных приращений к отображению F - F'(xo) (см. [5], стр. 649 ), получаем

||F(xk) - F(xk-1) - F'(xo)(xk - xk-1)HY = ||(F - F'(xo))(xk) - (F - F'(xo))(xk-1)HY ^

^ sup HF'(xk + 9(xk - xk-1)) - F'^H^Hxk - xk-1 ||x• o<e<1

По предположению индукции xk-1,xk € B, поэтому xk + d(xk - xk-1) € B. Попадаем в область выполнения неравенства (7), согласно которому получаем оценку

||F(xk) - F(xk-1) - F'(xo)(xk - xk-1)HY ^ Yllxk - x-Hx.

Кроме того, из в- липшивости отображения G следует

HG(xk-1) - G(xk)Hy ^ PHxk - xk-1Hx.

2515

Тогда

||Е(хк) — О(хк)||у ^ (^ + в)\\хк — хк_1 ||х, (13)

и

\\хк+1 — хк||х ^ а-1(7 + в)Уxk — х—Уу.

Используя предположение индукции, получаем неравенство (12) при п = к + 1:

Шхк+1 — хк||х ^ ||Е(х0) — О(х0) ||у .

аа

Легко видеть, что хк+1 € В, действительно

Шхк+1 — х0||х = Шхк+1 — хк + хк — ... + х1 — х0||х ^ Шхк+1 — хк||х + ... + ||х1 — х0!х ^

< -||Е(х0) — О(х0) ||у ((—)к + ... + — + Л < а \ V а / а )

< а||Е(х0) — О(х0) ||у 1 11+в < а — ^ — в IIе(х0) — О(х0) ||у .

Здесь использована формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем а-1(7 + в).

Аналогично покажем, что последовательность {хп} является фундаментальной. Для любого натурального числа р, учитывая неравенство (12), имеем:

11хп+р — хп||х ^ 11хп+р — хп+р_1 ||х + ... + \\хп+1 — хп||х ^

:(^) V(х,) — сы ту ((^)”_ + ... + 1) < (^у

а\ а / \\ а / /\а/ а — 7 — в

Так как а-1(7 + в) < 1, то эта величина является сколь угодно малой при достаточно больших п. В силу полноты пространства X последовательность {хп}, будучи фундаментальной, имеет предел. Положим

х* = Нш хп.

Докажем, что х* — точка совпадения отображений Е и О. Из (6) имеем: для приближения хп существует точка х*п такая, что Е(хп) = О(х*п) и

Уxn — х*п\\х ^ ||Е(хп) — О(хп) ||у ^ 7 + в Уxn — хп-Лх ^

а — в а — в

Таким образом, получили оценку (9). Здесь использованы также неравенства (13) и (12). Из оценки (9) следует, что последовательность {хп — хп} является бесконечно малой, т.е.

Нш хп = 0 ^ х* = Нш хп = Нш х*п.

п^^ п^ж п—^ОО

Из равенств Е(хп) = О(х*п) и непрерывности отображений Е и О следует, что х* — точка совпадения отображений Е и О.

З а м е ч а н и е 1. В теореме не требуется дифференцируемости отображения О.

2516

Замечание 2. Для построения последовательных приближений xn к решению уравнения (4) вместо формул (8) (см. [3]) можно использовать формулы

xn+1 = xn - (F'(xn))-1(F(xn) - G(xn)), n = 0,1,2,..., (14)

которые дают лучшее приближение к решению уравнения (4) . Однако, из неравенства (7) следует, что операторы F (xn) и F (xo) отличаются мало, поэтому использование формул (14) не приведет к значительному увеличению скорости сходимости. В связи с отмеченными обстоятельствами и простотой применения формул (8) нет необходимости использовать оператор (F'(xn))-1 вместо (F'(xo))-1.

З а м е ч а н и е 3. В случае, когда отображение F является тождественным, F = = I, тогда а = 1,Y = 0, отображение G : X X становится сжимающим: в< 1 (в<а), уравнение (4) имеет единственное решение x*, формулы (8) принимают вид

xn+1 -- G(xn) ч n ---- 0 1] i2,

т.е. получаем метод последовательных приближений. Быстрота сходимости последовательности xn к решению дается известным неравенством (см. [5], стр. 610)

в n

||xn - x*||x ^ ----Ъ ||x1 - xo ||x,

1 - в

которое также следует из неравенства (9).

ЛИТЕРАТУРА

1. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады РАН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.

2. Arutyunov A., Zhukovskii E, Zhukovskii S. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. I. 3. P. 1026-1044.

3. Жуковская Т.В., Пучков Н.П. О приближенном нахождении точек совпадения отображений // Со-времен. методы теории краев. задач. Воронеж: Изд-во Воронежского гос. ун-та. 2012. С. 65-67.

4. Арутюнов А.В. Итерационный метод нахождения точек совпадения двух отображений // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2012. Т. 52. № 11. С. 1947-1950.

5. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

6. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 455 c.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11-01-00645).

Zhukovskaya T.V., Molokanova E.A. METHODS FOR FINDING APPROXIMATE COINCIDENCE POINTS OF COVERING AND LIPSCHITZ MAPPINGS

The method for approximate finding of coincidence points for covering and Lipschitz mappings is considered. The algorithm for construction of an approximate solution is based on the simple iteration method and uses the ideas of the Newton-Kantorovich method. The convergence conditions are studied. A priory error estimation is obtained.

Key words: covering mappings; Lipschitz mappings; coincidence points; Newton-Kantorovich method; convergence conditions; a priory error estimation.

2517