CC BY
42
УДК 517.988
ОБ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ С НАКРЫВАЮЩИМИ ОТОБРАЖЕНИЯМИ
(с) Т. В. Ж^уковская, Е. С. Жуковский
Ключевые слона: накрывающее отображение; липшицово отображение: приближенное ретттепие операторных уравнений; итерация.
Рассматривается уравнение Т(х. х) у, где отображение Т но каждому аргументу действует из метрического пространства Л' в метрическое пространство V и является но мерному аргумен ту накрывающим. а но вюрому лиишмиеным. 15 ряде исследований этого уравнения для доказательства основных утверждений используются итерации {.Гр, для построения которых требуется решать уравиепие Т(:Е. Х„ I )~у. При практическом применении таких итераций возникают задачи исследовапия влияния погрешностей на сходимость итераций, нахождения оценок допустимых погрешностей па каждом таге вычислении и т. д. 15 данной работе рассматриваются все перечисленные проблемы, предлагаются условия сходимости к решению рассматриваемою уравнения итераций, получаемых, если уравиепие Т(.г..гм |) —у решается приближенно. Для важного в анализе класса уравнений, решения которых называют точками совпадения отображений, перечисленные задачи ранее были решены Л.В. Арутюновым.
В работах |1] |8| получены условия разрешимости и корректной разрешимости, исследованы свойства множеств решений уравнений с; накрывающими отображениями в метрических пространствах. 11олучснные результаты нашли применение в теории операторных и интегральных уравнений \-о]1ччта (см. |(>1), неявных обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [7]—19|). функционалы ю-дифферепцнальных уравнений (см. 110]. 111]), в задачах управления (см. |12| |15|). в математической экономике (см. |16|). Дл я доказательства основных у тверждений шттируемых работ используются итерации, сходящиеся к решениям исследуемых уравнений. Метод итераций удобен также тем, что позволяет строить приближенные решения. 11рак-ти ческое применение зтого метода должно учитывать, что любые вычисления проводятся с некоторой погрешностью, и поэтому требуется исследовать влияние погрешностей па сходимость и тераций, найти оценки допустимых погрешностей па каждом шаге вычислений и т.д. Исследованию этих проблем посвящена данная работа. Отметим, что для важного в анализе класса уравнений, решения которых называют точками совпадения отображении, перечисленные задачи решены Л.В. Арутюновым в |17].
Пусть заданы метрические пространства X, У с метриками р\. ру, соответственно. Через Ду(«, г) обозначим замкнутый шар пространства X с центром в точке и радиуса г и
аналогичное обозначение шара введем в пространстве У.
О п р е д е л е ннс 1 11 ]. Отображение I': X —> У. называется а -накрывающим ( «>()),
Vи е X Уг > 0 от) С F(Дv(u. г)).
Пусть теперь заданы элемент у € У и отображение Т :Х х Л' —> У", удовлетворяюще) следующему условию: существуют такие «>/?>(), что Т( л’) :Х —*У является непрерывным и «-накрывающим при любых V € X, а Т(н,): X —» У является /3-липпищевым при любых у е X. Рассмотрим уравнение
Г(х.х) у. (Г)
Д..І я решения этого урат ІЄН им можно использовать итерации {,т„,} С А', определяемые следующим образом. Для произвольного .то € А', вследствие) накрывания отображения Т(-,.Го), существует такой .гі є А', что
Г(.г,. аг0) = !)■ <хр.х, -то) < ру (у, Т(:г0! хо)) ■
И т. д.; апатгичпек на м-м шаге
3 хп €Х: X (хп, я?«-1) = У, <хрх(хп.хп-1) < ру (у. Т (.т„_,. аг„_і)). (2)
Как показано в [7]. если метрическое пространство А' полное1, то для любого элемента .Го€ Є А' итерапин (2) сходятся к решению х £ Є X уравнения (1), и это решение удовлетворяет оценке рх{£,Хъ)<{а-Р)~лр)'(у, Т(.г0: :го)).
Па каждом шаге построение итераций (2) сводится к решению уравнения
Т (,т. хп _ і) = у,
Теперь будем учитывать погрешность нахождения этого решения и предполагать, что вместо точного его значения хп мы имеем его приближение ип- Паша задача состоит в определении допустимой погрешности такого приближения, при которой последовательность {и,Д также сходится к решению уравнения (1).
'Iі е о р е м а 1. Пусть пространство X является полным. Пусть задана последовательность {(/.,,} С А", отвечающая следующему требованию: существуют такие нетприцатель-ные числа е. А, что при любом натуральном п выполнены, неравенства
рх(ип.хп) < (Г1єрх{ип.ип-1). />г(Т(и„.,ї/„_і), у) < дрх{ип,ип--\),
где хп решение уравнения Т(.г,мп_і) у. удовлетворяющее неравенству
арх{тп.ип--\) < ру (у. Т(«„_ь«п-і))-
Если, кроме то?.о,
В I 6 < а — г.
то последовательность {»«} сходятся к решению х (є А' уравнения (1), для которого справедлива оценка
Рх{^по) < (« - В - 6 - е)~1ру (у. Т(?/о,«о)).
Один из возможных алгоритмов нахождения итераций {ип}, удовлетворяющих теореме 1, предложен в работе' [18].
Надана о сходимости итераций к точке совпадения отображений, при построении которых учитывается погрешность определения на каждом шаге значения хп. ранее исследовалось А.В. Арутюновым в [17]. В этой работе; рассматривалось уравнение;
Г(х) = Ф(.т). (1)
в кегшреш отеюражение; Г:Х—>¥ являе:те;я иенрерывиым и а-накрывающим, а ешюражечше Ф: X —г У /?-.'1ишпицевым. « > /3 > 0 (решение уравнения (4) называют точкой совпадения отображений /*’, Ф ), а также многозначные аналоги уравнения (4).
К решению уравнения (4) применимы итерации, аналогичные рассмотренным в теореме 1, а имение), имехгг место следующее утве;ржде:ние.
'Iі еорема 2. Пусть пространство X является полным. Пусть задана ‘последовательность {</„} с X, удовлетворяющая условию: существуют такие неотрицательные числа £. д, что при любом натуральном п выполнены неравенства
РХ ('Чп, Т-п) < ПГ1В /> \(ип, Уп- I ), ру{1''('Ип), /■’(■f'n))) < Л РХ ("->• Пп- I ),
где хп решение уравнения I’(■)’) Ф(.г„_і). отвечающее неравенству
apx(-r,i:Un-i) < py(l'\iin-i),(Hiin-i))-
Если, кроме того,
6 + 6 < а — •-*.
то последовательность {»«} сходятся к решению х { € X уравнения (4), для которого справедлива оценка
рх(£,«()) < (ft - /і - b - e)~lPY (/-’(«о). Ф(»о))-
I Усмотренная здесь теорема 2 и полученный ранее в [17| результат представляют независимые условия сходимости итераций к точке совпадения отображений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арутюнов Л. В. Накрывающие отображения в мотричосютх пространствах и пеподвижпт.те точки / Доклады Лкадомии паук. 2007. Т. ПО. .4" 2. С. 151-151>.
2. Арутюнов А.ІІ. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений /. Мат. заметки. 2009. Т. 86. .V* 2. С. 16-3-169.
8. Арутюнов А.Б. Точки совпадения двух отображений / Функпиопалытый апализ и его приложотптя. 201 I. Т. 18. Вып. I. С. «0-03.
•1. Арутюнов Л.Н. І Іакрьіваюіцие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки .7 Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. Ді 2. С. 151-155.
5. Arutyunov A., Avakov Е.. GeVMan В., Obiikhovskii V., Dmitruk A. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points // Journal of Fixed Point Theory and Applications. 200!). Т. 5. X* I. C. 105-127.
(S. Arutyunov A. I-’.. Zhukovskiy M.S., Zhukovskiy S.li. <Covering mappings and well-posedness of nonlinear Vollerra. equations / .Nonlinear Analysis: Theory. Methods and Applications. 2012. V. 75. P. 1026-1044.
7. Аваков E.P., Арутюнов А.В.. Жуковский E.С. Накрывающие отображения и их приложения к диф-фероттиальпым уравпепиям, по разрешенным относительно производпой // Дифференциальные уравпопия. 200». Т. 15. > 5. С. 61.4-6.41.
8. Арутюшм А.П.. Жуковский, И.О.. Жуковский О корректности дифференциальных уравнений, ні: разрешенных относительно производной. Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. .V* 11. С. 1523-1537.
9. Жуковский Е.О.. Плужиикова Е.А. Накрывающие отображения в произведепии метрических пространств и краевые чадячи для дифференциальных уравнений, ні: разрешенных относительно производной
,• 1,иффсренциа..1ьные уравнения 2013. 'Г. 19. Л" I. (139-155.
10. Жуковский Е.С.. Жуковская Т.Н. О разрешимости дифференциального уравнения с запаздыванием, по разрептоппого относительно производпой /'/ Востпик Тамбовского уттиверситета. Серия: Естостветтптле и технические пауки. 2011. Т. 10. Вып. 1. С. 67-69.
11. Жуковский, ЕС.. Осиїти Н.Ф., Плу.нсиикова К. А. О корректности функциональна дифференциального уравнения нейтрального тина /7 Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические пауки. Тамбов. 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1078-1081.
12. Арутюнов А.В.. Жуковский С.Е. Локальпая разрешимость управляемых систем со сметанными ограничениями 7 Дифференциальные уравнения. 2010. I . 16. .Vі I I. (1501-1570.
13. Arutyunov А. V’. , Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems /7 Applicable Analysis. 2011. Vol. 90. Iss. 6. P. 889-898.
I I. Жуковский E.C.. Плужиикова Е.А. К вопросу о разрешимости управляемых дифферепциальпых систем . Вестник Тамбовского университета. Серия: Нстественные и тех ни ческие науки. Тамбов, 2013. 'Г. 18. Вып. I.C. 19-51.
15. Плужиикова Е.А. Корректная разрешимость задач управления для систем дифферепциальпых уравнений неявного вида Востпик Удмуртского университета. Математика. Мехапика. Компьютерные пауки. 2013. X* 3. С. 19-61.
16. Лрутипим Л.П.. Жукоигк'ип С.П., Пмшма II. Г. Равновесные цены как точка совпадения двух отображений , Журнал вычислительной математики и математической фичики. 201 It. Г. 5,4. .V" 2. (!. 225-2.47.
17. Арутюнов А.В. Итерационный метод нахождения точек совпадения двух отображений ,7 Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52. X* 11 С. 1917-1950.
18. Жуковская Г.В.. Пучков 11.11. О приближенном нахождении точек совпадения отображений Современные методы теории краевых задач. Воронеж: Изд-во Воронежского гос. ун-та, 2012. С. 65-67.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фунда-меиталытых исследований (проекты .V" 11-01 -00877, № М-01-97501).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Zhukovskaya T.V., Zhukovskiy E.S.
OX ONK ITERATIVE METHOD OF FIXDIXC SOU!TIOXS TO OPERATOR EQUATIONS WITH COVERING MAPS
We consider ( he equation T(x. x) — y. where llie map X act s, in each argument., from a met ric space X into a metric space Y and is covering with respect to the first argument and Lipschitz with respect to the second one. In st udies of such an equat ion, for proving t he basic statements, the iterations j are oft en used, and in order to build them, one has to solve the equation T(.r.xn In practical application
of these iterations, there appears the problem of errors affecting the iterations convergence, as well a.s that of finding estimates of admissible errors at each iteration, et c. Пего we consider all the listed problems and offer the conditions that guarantee the convergence of the iterations that one gets from the equation T(a:,a:„_i ) — y to a solution of the initial equation. For one important in analysis class of equations, the solutions to which are called the coincidence points of the maps, the mentioned problems were solved by A.V. Arutyunov.
Key words: covering map; Lipscliitz map; approximate solution of operator equations: iteration,
Жуковская Татьяна Владимировна. Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, допеттт кафедры вмептей математики, e-mail: ( _zlnikovskaialf>'imail.ru
Zhukovsky Tatyana Vladimirovna, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of High Mathematics Department, e-mail: zlnikov skai afi1 mail.ru
Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии, e-mail: zukovskysMmail.ru
Zhukovsky Kvgeiiy Semenovich, Tambov State University named after C.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Algebra and Geometry Department, e-mail: zukovskvsSfmail.ni
