CC BY
30
УДК 519.86
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1304-1308
О ПРИМЕНЕНИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕОРИИ НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
© Н. Г. Павлова
Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: [email protected]
В статье исследуется вопрос существования положения равновесия в динамической модели Эванса-Аллена. В работе приводятся достаточные условия существования вектор-функции равновесных цен, которые получены как следствие теорем о существовании точек совпадения липшицевого и накрывающего отображений.
Ключевые слова: экономическое равновесие; точки совпадения; накрывающие отображения
Статья является развитием работ [1]—[3], в которых результаты теории накрывающих отображений, а именно, теоремы о существовании точек совпадения, применяются для получения достаточных условий существования положения равновесия в различных моделях экономических процессов. Принципиальным отличием данной работы является то, что в ней исследуются динамические экономико-математические модели, в которых отображения спроса и предложения зависят не только от цен на товары, но и от скоростей изменения цен. Впервые динамические модели экономических процессов с непрерывным временем рассмотрел Г.С. Эванс в [4]. В 40-е годы двадцатого века такие модели изучал П.Э. Самуэльсон, в 60-е — Р. Аллен (см. [5]). Однако до настоящего времени не существовало работ, содержащих достаточные условия существования положения равновесия в динамических моделях "спрос-предложение" с непрерывным временем для случая двух и более отраслей. Это связано с отсутствием необходимого математического аппарата. Результаты работ [6]-[8] позволяют решить эту проблему. В частности, результаты статьи [8], посвященной приложениям теории накрывающих отображений к исследованию дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, дают возможность получить достаточные условия существования вектор-функции равновесных цен в модели динамической модели Эванса-Аллена.
Формализуем поставленную задачу. Рассмотрим метрические пространства X и Y с метриками рх и ру соответственно. В дальнейшем будем предполагать, что пространство X полно. Замкнутый шар в пространстве X с центром в точке x радиуса r будем обозначать через Вх(x,r), а замкнутый шар в пространстве Y с центром в точке y радиуса r — через By(y,r) .
Определение 1 (см. [6]). Пусть задано а> 0 . Отображение Ф: X ^ Y называется а -накрывающим, если
Ф(Вх(x, r)) 5 By^(x),ar) Vr > 0, Ух € X.
Определение 2 (см. [7]). Пусть задано а> 0 и множества и С X , V С У . Отображение Ф: X ^ У называется а -накрывающим относительно множеств и , V , если для любых и € и , г> 0 , таких, что Вх (и, г) С и , имеет место включение
Ф(Вх(и, г)) 5 Ву(Ф(и),аг) П V.
Определение 3 (см. [8]). Отображение Ф: X ^ У называется условно а -накрывающим относительно множеств и С X , V С У , если оно является а -накрывающим относительно множеств и и У = V П Ф(и) . Если и = X , V = У, то отображение называется условно а -накрывающим.
Теорема 1 (см. [6]). Пусть пространство X полно, а Б, Б: X ^ У - произвольные отображения, первое из которых непрерывно и является а -накрывающим, а второе удовлетворяет условию Липшица с константой Липшица в <а . Тогда для произвольного х0 € X существует такое £ = £(х0) € X , что
рх (хо ,£) <
т = S к), (1)
PY (D(xo),S(xo))
а — в
Решение £ уравнения (1) может быть не единственным. Это решение £ называется точкой совпадения отображений D и S.
Из приведенной теоремы вытекает (см. [6]) следующая теорема Милютина о возмущении накрывающего отображения.
Теорема 2. Пусть X — полное метрическое пространство, Y — нормированное пространство, отображение D : X ^ Y является непрерывным и а -накрывающим. Тогда для любого отображения S: X ^ Y, удовлетворяющего условию Липшица с константой Липшица в <а, отображение D + S является (а — в) -накрывающим.
Исследуем вопрос о существовании положения равновесия в динамической непрерывной модели Вальраса-Эванса-Самуэльсона.
Пусть имеется n € N товаров, причем i -ый товар в момент времени t € [ti; t2],ti > 0 для потребителя имеет цену pi = pi(t) > 0, i = 1,n. Предположим также, что p(t) = (f)1(t),p)2(t),... ■ ■ ■ ,pn(t)) € П для п.в. t, где Q С Rn — заданное замкнутое множество.
В пространствах Rn и R2n определим нормы по формулам
||ху1 = max\xi\ Vх = (x1,...,xn) € Rn,
i=1,n
||y||2 = max \yi\ Vy = (yi,..,y2n) € R2n,
i=1,2n
Рассмотрим метрические пространства (Х,рх) и (Y, pY) , где X = R+, Y = Rn x R+ , метрика рх определяется нормой || • ||i, а метрика pY — нормой || • ||2 .
Спрос совокупного потребителя описывается отображением D :Q x R+ x [ti; t2] R+ , D = D(p(t),p(t),t) , где Di(p>(t), p(t), t) , i = 1,n , —объем приобретаемого в момент времени t i -го товара. Предложение совокупного производителя описывается отображением S x R+ x x [t1; t2] ^R+ , S = S(p(t),p(t),t), где Si(p>(t),p(t),t), i = 1,n , — объем произведенного и предлагаемого в момент времени t на рынке i -го товара. Будем предполагать, что отображения D и S удовлетворяют условиям Каратеодори:
к1) отображения ) , 5(■,■,£) непрерывны при п.в. £ € [¿1; ¿2] ;
к2 ) отображения 0(р,р, ■) , в(р,р, ■) измеримы при любых (р,р) € П х М+ ;
кз ) для любого р> 0 существует число М , такое, что при любых (р, р) € П х М+ , удовлетворяющих неравенству \\(р, р)\\2 < Р , и п. в. £ € [¿1; ¿2] имеют место неравенства \В(р,р,£)\1 < М
и \\з(р,р,т1 < м.
Рассмотрим динамическую непрерывную модель "спрос-предложение"
а(Б(р,р,1),8 (р,р,г)). (2)
Определение 4. Пусть 5 € (0; ¿2 — ¿1) . Положением равновесия в модели (2) называется абсолютно непрерывная функция р6 : [¿1; ¿1 + 5] ^ М+ , производная которой существенно ограничена, для которой выполняются условия
р(и) = р := (р1,р2,... ,рп), (3)
0(р,р,г) = Б(]р,р,г), р € П Ш € [¿1; ¿1 + 5]. (4)
Определим полное метрическое пространство АС^(р, [¿1,Ь2], П) таких абсолютно непрерывных функций р:[11,12\ ^ М+ , что р € П) , р(11)=р , с метрикой
РАС^(р,[г1,г2],п)(рl,р2) = \\р1 — Ыио^а^^Д") = \\Р1 — = Рь^([г1,г2],К")(Р1, р2)-
Теорема 3. Пусть существуют такие положительные числа V, К1, К2, число т € (0,Ь2 — и функция и0 € Ь1Х([к1,Ь), П), что:
1) для некоторого а> 0 при п. в. £ € [¿1,Ь1 + т] и любом р€ Бщ (р^) отображение 3(^р,Ь):П ^ М+ является условно а -накрывающим относительно шаров
и(¿)= Бп(ио(г),Я1), V(р,£)= Бк+ (5(и0(1),р,1),аК2);
2) существует число в > 0 , такое, что при п.в. £ € [¿1,Ь1 + т] для любого р€ Бк+ (р^) и всех и, и € П выполнено неравенство
\\П(и,р,Ь) — П(й,р,г)\\1 < в\\и — и\\1;
3) при п. в. £ € [¿1,Ь1 + т] и любом р€ Бк+ (р^) выполнено включение
0 € Б(и (г),р,г) — Б(ии (г),р,г);
4) существуют такие числа Ls > 0 и Ьр > 0, что при £ € [¿1,Ь1 + т] для всех р, р € Бк+ (р, V) и любого и € и (¿) выполнены неравенства
ЦЗ(и,р,Ь) — Б(и,р,Ь)\1 < Ls\\р — р\\1, \0(и,р,г) — Б(и,р,Ь)\1 < Ьв\\р — рЦ1;
5) имеет место оценка
го := (а — в)-1 уга1вир \\5(ио(£),р,1) — В(ио(Ь),р,£)\\1 < Ешт := шт{Я1, К2}-
гфъг1+г ]
Тогда для любого е > 0 существует 5 € (0, т] и соответствующее 'решение р6 € АСж(Р, [¿ъ^ + 5], П) задачи (3), (4), для которого выполнено неравенство
6 „.6^
Рьх([Ы1+6],П) (р6,и0)) <го + е
где и0 — сужение функции и0 на [¿1, + .
Доказательство. Рассмотрим отображение
F :П х м+ х [¿1;г2] — мга, F(#(г),р(г),г) = Б(р(г),р(г),г) - о(р(г),р(г),г).
Из условий 1, 2 и теоремы 2 следует, что существуют числа а> 0 и в> 0 , такие, что при п.в.
(
t € [ti,ti + т] и любом p € Br+ (p,v) отображение F является условно а — ß -накрывающим
относительно шаров и(¿) и V(р, ¿) . Кроме того, из условия 4 следует, что существует число Ь > 0 , такое. неравенство
Ь > 0 , такое, что при £ € [¿1,Ь1 + т] для всех р,р € Вк+ (р,и) и любого и € и(¿) выполнено
(и,р,£) - F(и,р,1)\\1 < Ь\\р - р\\1.
Из условия 3 следует, что при п.в. £ € [¿1, ¿1 + т] и любом р € Вк+ (р, V) выполнено включение 0 € F(и(¿),р, ¿) , а из условия 5 — оценка
го := (а - в)-1 уга18ир \\F(ио(£),р,Ь)\\1 < Ят[п :=тт{Е1,Я2}.
гфгМ+т ]
Применяя теорему 3 из [7] к отображению F получаем утверждение теоремы. □
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е., Павлова Н.Г. Равновесные цены как точка совпадения двух отображений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. Т. 53. № 2. С. 55-67.
2. Жуковский С.Е., Павлова Н.Г. О приложении теории накрывающих отображений к исследованию нелинейной модели рынка // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 1. С. 47-48.
3. Павлова Н.Г. О применении теории накрывающих отображений к исследованию экономико-математических моделей // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского / Казанское математическое общество. Казань: Изд-во Казанского математического общества, Изд-во Академии наук РТ. 2017. Т. 54. С. 287-290.
4. Evans G.C. Mathematical introduction to economics. N.Y.: McGraw-Hill, 1930.
5. Аллен Р. Математическая экономия. М.: Изд-во Иностранной лит-ры, 1963.
6. Арутюнов А.В. Точки совпадения двух отображений // Функциональный анализ и его приложения. 2014. Т. 48. № 1. С. 89-93.
7. Arutyunov A., Avakov E., Gel'man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points // J. Fixed Points Theory and Applications. 2009. V. 5. Iss. 1. P. 5-16.
8. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-8215.2016.1) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 17-01-00849).
Поступила в редакцию 16 августа 2017 г.
Павлова Наталья Геннадьевна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
UDC 519.86
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1304-1308
ON THE APPLICATION OF THE RESULTS OF COVERING MAPPINGS THEORY FOR THE STUDY OF DYNAMICAL MODELS OF ECONOMIC PROCESSES
© N. G. Pavlova
RUDN University 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: [email protected]
The paper is a study of the existence of equilibruim points in the dynamic Walrasian-Evans-Samuelson model. Sufficient conditions for the existence of the vector-function of equilibruim prices are derived from the existence theorems for coincidence points of Lipschitz continuous and covering mappings.
Key words: economical equalibruim; coincidence points; covering mappings
REFERENCES
1. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E., Pavlova N.G. Equilibrium price as a coincidence point of two mappings // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2013. V. 53. Iss. 2. P. 158-169.
2. Zhukovskiy S.E., Pavlova N.G. On the application of covering mapping theory to nonlinear market models // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2013. V. 18. Iss. 1. P. 47-48.
3. Pavlova N.G. O primenenii teorii nakryvayushchih otobrazheniy k issledovaniyu ehkonomiko-matematicheskih modeley // Trudy Matematicheskogo tsentra im. N.I. Lobachevskogo / Kazanskoe matematicheskoe obshchestvo. -Kazan': Izd-vo Kazanskogo matematicheskogo obshchestva, Izd-vo Akademii nauk RT. 2017. T. 54. S. 287-290.
4. Evans G.C. Mathematical introduction to economics. N.Y.: McGraw-Hill, 1930.
5. Allen R. Matematicheskaya ehkonomiya. M.: Izd-vo Inostrannoy lit-ry, 1963.
6. Arutyunov A.V. Coincidence points of two maps // Functional Analysis and Its Applications. 2014. V. 48. Iss. 1. P. 72-75.
7. Arutyunov A., Avakov E., Gel'man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points // J. Fixed Points Theory and Applications. 2009. V. 5. Iss. 1. P. 5-16.
8. Avakov E.R., Arutyunov A.V., Zhukovskii E.S. Covering mappings and their applications to differential equations unsolved for the derivative // Differential Equations. 2009. V. 45. Iss. 5. P. 627-649.
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is financially supported by the grant of the President of the Russian Federation for the state support of the leading scientific schools (project НШ-8215.2016.1) and by the Russian Fund for Basic Research (project № 17-01-00849).
Received 16 August 2017
Pavlova Natalia Gennadievna, RUDN University, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
Для цитирования: Павлова Н.Г. О применении результатов теории накрывающих отображений к исследованию динамических моделей экономических процессов // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 6. С. 1304-1308. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1304-1308.
For citation: Pavlova N.G. O primenenii rezul'tatov teorii nakryvayushchih otobrazheniy k issledovaniyu dinamicheskih modeley ekonomicheskih protsessov [On the application of the results of covering mappings theory for the study of dynamical models of economic processes]. Vestnik Tambovskogo universiteta,. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 6, pp. 1304-1308. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-226-1304-1308 (In Russian, Abstr. in Engl.).
