CC BY
37
УДК 517
О ТОЧКАХ СОВПАДЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
© Е. А. Плужникова
Ключевые слова: точки совпадения; векторные накрывающие отображения; метрические пространства.
Сформулирована и доказана теорема о точках совпадения векторных накрывающего и липшицева отображений.
Приведем определения основных понятий, используемых в работе.
Будем рассматривать метрические пространства (Х,рх), (У, ру). Обозначим через
Вх(х,г) замкнутый шар с центром в точке х радиуса г> 0 в пространстве X, аналогичное обозначение введем в У (и других метрических пространствах, используемых ниже). Пусть задано число а> 0 и отображение Г : X У.
Определение 1 [1]. Отображение Г называется а-накрывающим, если для любых г> 0 и и Є X имеет место включение
Г(Вх(и, г)) 5 Ву (Г(и),аг).
Отображение Г называют накрывающим, если оно а -накрывающее при некотором а> 0.
Отметим, что отображение Г является а -накрывающим тогда и только тогда, когда для любых и Є X и у Є У существует элемент х Є X, удовлетворяющий уравнению Г(х)= у и оценке ( )
рх (х, и) ^ а-1ру (у, Г (и)).
Сформулируем основной результат — теорему о точках совпадения векторных отображений.
Пусть заданы метрические пространства (Xj, рхі), (Уі, руі), .] = 1,и, и определены отображения Г : XI Уі, Сі : XI х X2 х ... х Xn Уі, і = 1,и. Рассмотрим систему уравнений
' Гі(хі) = Сі(хі,х2,.. .,хП),
Г2(х2)= С2(хі,х2,...,хп), / ч
. (1)
ч Гп(хп) Сп(хіі х2і . . . , хп),
п
относительно неизвестного х = (хі, х2, . . . , хп) Є П Xj.
і=і
пп
Положим X = , У =п У і . Пусть || • || — произвольная монотонная норма в про-
і=і і=і
странстве вещественных и -мерных векторов мп, то есть для любых векторов І = (Іі, І2,... ... ,Іп) Є мп, г = (г і ,Г2, ... , Гп) Є мп, компоненты которых удовлетворяют неравенству ІІ ^
___ ( п \і/2
^ гІ, і = 1,и, выполнено ||І|| ^ ||г|| (например, евклидова норма ^ ) является
М=і '
монотонной). Зададим метрику в X равенством
рх (х,и) = | (рхі (хі,иі), рх2 (х2,и2), . . . , рхп (хп, Уп,)) ||, (2)
3144
где х = (х1,х2,..., хп) € X, и = (и1, и2,..., ип) € X, и заметим, что соответствующие разным нормам Мп метрики в пространстве X также будут эквивалентными (это следует из эквивалентности всех норм конечномерного пространства). Аналогично зададим метрику в пространстве У.
Определим отображения
Р : X ^ У, Р(х) = (ЪХ))^, С : X ^ У, С(х) = (Сг(х))г=тп. (3)
Тогда систему (1) можно записать в виде векторного уравнения
Р (х) = С(х). (4)
Решение данного уравнения называют точкой совпадения отображений Р, С. В случае, когда отображение Р : X ^ У является а -накрывающим, а отображение С : X ^ У — в -липшицевым, и в < а, существование точек совпадения доказано в [1], в работах [2]—[4] исследованы свойства множества точек совпадения, рассмотрены приложения этих результатов.
Пусть заданы числа аг > 0, в^ ^ 0, г,] = 1,и. Определим матрицы
А = diag(аг)nxn, В = (вц)пхп, С = Л-1В = (а-1 вгj)пхп■ (5)
Предположим, что выполнены условия:
(Ап) для всех г = 1,и отображение Рг(■): Xг ^ Уг является аг -накрывающим;
(Вп) при любых г,] = 1,и для всех х1 € X1, ..., Хj-1 € Xj-1, Хj+1 € Xj+1, ..., хп € Xn
отображение Сг(х]_,..., Хj-1, ■, Хj+1,..., хп): Xj ^ Уг является вV -липшицевым.
Тогда отображение Р будет накрывающим с константой а = У А-1 У-1, отображение С — липшицевым с константой в = ||В||. Поэтому для применения результатов [1] к векторным отображениям (3) необходимо потребовать, чтобы ||А-1|| ■ ||В|| < 1. Мы покажем, каким образом этот результат можно существенно уточнить.
Обозначим через д(С) спектральный радиус матрицы С.
Теорема 1. Пусть метрические пространства Xj, ] = 1,и, являются полными, выполнены условия (Ап), (Вп) и
(Сп) для любой последовательности [ик}с X из сходимостей ик и и Р(ик) ^ С(и)
следует равенство Р(и) = С(и).
Тогда, если д(С) < 1, то существует точка совпадения отображений Р, С, определяемых соотношением (3). Кроме того, для любого е> 0 можно так определить монотонную норму || ■ || в пространстве Мп, что при задании метрики в X равенством (2)
М,
удовлетворяющее оценке
для произвольного и0 = (и°,и°,... ,ип) € X существует решение х = { € X системы (1)
„о. Л 1 + \ (РУ.( Сг(и°),Рг(и0))\
&и >«[т—ё(С) + ')■ {--------а-------),=,
Доказательство. Выберем ео > 0 достаточно малым, так чтобы
(6)
Я(С)+ ео < ~1, -------е (7)
1 - 9(С) - ео 1 - д(С)
3145
Пусть в пространстве Мп задана евклидова норма || • || . Найдем такое натуральное т, что т||СтЦ' К д(С) + є0. Определим эквивалентную норму || • || в Мп равенством [5, с. 15]
||х|| = {д(С) + єо)т-||х||7 + {д(С) + єо)т-2ЦСхЦ' + ... + ||Ст- хЦ', (.
тогда
||С|| <д(С) + ео.
Зададим частичный порядок в Мп, полагая (I = (Л1,Л2,... ,(1п) ^ г = (г1,г2,... ,гп), если
Лг ^ Гг при любом г = 1,и. При такой упорядоченности линейные отображения пространства Мп, заданные матрицами А, В, С, будут монотонными, так как элементы этих матриц неотрицательны. Кроме того, отметим, что из неравенств Л ^ г ^ 0 для евклидовой нормы следует, что Ц^Ц7 ^ |г|/, а вследствие неотрицательности элементов матрицы С для нормы (8) также ||^|| ^ ||г||.
Рассмотрим уравнение (4), равносильное системе (1). Для нахождения решения этого уравнения предлагается следующий итерационный процесс.
Выберем произвольный элемент и0 = (и°1,и°2,..., и0п) € X и вычислим Р(и0), С(и0).
Первый шаг. В силу предположения (Ап) существует элемент и1 = (и^,и^,..., ип) € X такой, что
Р (и1) = С (и0)
и выполнено неравенство
(рХ-1 (и1, и°1),рХ2 (uhu02), . . . , РХп (ип и°п» <
К
>У1 (Сі(и0), Гі(и°)) ру2{С2(и0), Г2(и00)) руп(Сп(и°),Еп(и°п))
аі а2 ап
Второй шаг. Вычислим С(иі). Согласно предположению (Вп) имеем
.
(9)
( у (Сі(иі),Гі(и\)) \ ру2( С2(У1),Г2 (и2))
V Руп (Сп(иі),Гп(иіп))
К В
( рхі(и\,и°і) \ рх2 (и1^,и°2)
\ рхп (ип,ип) /
Вследствие предположения (Ап) существует такой элемент и2 Є X, что Г (и2) = С(иі) и
( рхі (и21,и\) \ рх2 (и^,и2)
К А
і
V рхп (ип,ип)
( руі (Сі(иі),Гі(и\)) \ ру2 (С2(иі),Г2(и2))
V Руп (Сп(иі),Гп(иіп))
К А-іВ
( рхі (и^и!) \ рх2 (и1и<2)
V рхп (и1п,и°п) )
Таким образом, учитывая (5), имеем рХ(и2, и1) ^ ЦСЦрХ(и1, и0).
Аналогично, на третьем шаге для С (и2), согласно предположению (Вп), выполнено неравенство
( руг(С1(и2),Р1 (и22)) \
ру2{ С2(и2),Р2 (и22»
( рхі(и21,иіі) \
КВ
V РуЛСп(и2),Гп(и2п))
Рх2 (Щ,и2)
V Рхп (и2п,и1п) )
3146
Далее, существует элемент и3 Є X, для которого Г (и3) = С(и2) и
( рхі(и31,иі) \ ( руі (Сі(и2),Гі(и2)) \ ( рхі (иІ,и\) \
рх2 (и3,и2)
V рхп (ип,ип) /
КА
і
ру.2( С2 (и2),Г2(и2)) V Руп (Сп(и2),Гп(и^))
К А-іВ
і)
рх2 (и2,и2)
\ рхп (У2п,и1п) /
Следовательно, рХ(и3, и2) ^ ЦСЦрХ(и2, и1) ^ ЦСЦ2рХ(и1, и0).
Продолжая аналогичные построения, получаем последовательность элементов ик € X
таких, что
Г(ик) = С(ик-і), рх(ик, ик-і) К
к „,к— і'і
кі
рх (и ,и )
Так как геометрическая прогрессия {
кі
рх (и ,и) } имеет знаменатель ЦС ||, меньший
единицы, то последовательность {ик} является фундаментальной и сходится к некоторому элементу £ € X. Имеем
РУ(Р(ик),С(£)) = ру(С(ик-1),С(£)) < ЦВЦ(РХ(ик-1,£)) ^ 0.
Таким образом, ик £, Р(ик) С(£) и из условия (Сп) следует, что элемент £ является решением уравнения (4). Наконец, переходя к пределу при к ^ ж в неравенстве
к к к
рХ(ик,и°) ^ ^рХ(и,и3-1) ^ ^ ЦС!]-1рХ(и1,и0) ^ ^(д(С) + е^3-1 рХ(и1,и0),
j=l 3=1 3=1
получаем, что рХ(£,и0) ^ (1 — д(С) — е0) 1 рХ(и1,и0). Отсюда и из неравенств (7), (9) вы-
текает оценка (6). Теорема доказана.
З а м е ч а н и е 1. Точка совпадения векторных отображений, о которой говорится в условии теоремы 1, может быть не единственной.
Замечание 2. В оценке (6) нельзя принять е = 0, что подтверждает следующий П р и м е р 1. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
( х1 = 1 х1 + х2,
1 х2 = 3
имеющую единственное решение х = (0, 0). К этой системе применима теорема 1: отображения Р1: К ^ К, Р2 : К ^ К, Р1(х1) = х1, Р2(х2)= х2, являются 1 -накрывающими, а для отображений С1: К х К К, С2 : К х К К,
С1(х1,х2) = \ х1 + х2, С2(х1,х2) = \ х2,
3 3
константы Липшица равны
Ріі = @22 = 3, Рі2 = ~1, @2і = 0.
Составим матрицу С и найдем ее спектральный радиус:
С=В=
(0 І)■
Пусть для решения рассматриваемой системы имеет место оценка (6) с є = 0, то есть существует такая норма в К2, что для любого вектора и0 = (и^и0) Є К2 выполнено равен-
ство
Ци0Ц =
-||и° - Ви°Ц,
1
3147
равносильное соотношению
( и1 \ = ( и1 — I и°\
[и°) = V и0 )
Из этого соотношения при и10 = 0, и20 = —1 с учетом свойств нормы получаем равенства
^) I=К —0I - К -О I--К —к) I=К 1к)
при любом к = 0, 1, . . . . Отсюда следует соотношение
(— )1=1( —1 )1+1( -1к )1 > 1(— 3к )1=к 1( 1)
при любом к = 0, 1, . . . , которое противоречит аксиомам нормы.
Отметим, что если хотя бы одному собственному значению матрицы С, модуль которого совпадает со спектральным радиусом д(С) этой матрицы, соответствуют не только собственные, но и присоединенные векторы, то для любой нормы в Кп будет выполнено неравенство ||С|| > д(С) [5, с. 16], и поэтому нельзя полагать е = 0 в оценке (6). Рассмотрим частный случай теоремы 1 при и = 1.
Пусть определены отображения Р : X ^ У и С : X ^ У. Применяя теорему 1 к скалярному уравнению
Р (х) = С(х), (10)
получаем следующее утверждение — аналог теоремы [1] о точке совпадения отображений.
Следствие 1. Пусть метрическое пространство X является полным, заданы числа а> в ^ 0 и выполнены следующие условия:
(А1) отображение Р : X У является а -накрывающим;
(В1) отображение С : X ^ У является в -липшицевым;
(С ^ для любой последовательности {ик }с X из соотношений ик и, Р (ик) ^ С (и) следует равенство Р (и) = С (и).
Тогда для любого и0 € X существует решение х = £ € X уравнения (10), удовлетворяющее оценке ( )
рХ(£,и0) ^ (а — в) 1ру (Р(и0),С(и0))
(11)
В данном случае матрицы А, В, С содержат по одному элементу А = (а), В = (в), С = (а-1 в). Поэтому ||С|| = д(С) = а-1 в < 1. Из доказательства теоремы 1 следует, что для любого и0 € X существует решение х = £ € X уравнения (10), удовлетворяющее оценке
рх(£,и0) < (1 — ЦСцу^А^Цру(Р(и°),С(и0)), очевидно, равносильной неравенству (11).
ЛИТЕРАТУРА
1. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
2. Арутюнов А.В. Итерационный метод нахождения точек совпадения двух отображений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52. № 11. С. 1947-1950.
3148
3. Arutyunov A., Avakov E., Gel’Man B., Obukhovskii V., Dmitruk A. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points // Journal of Fixed Point Theory and Applications. 2009. Т. 5. № 1. С. 105-127.
4. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E., Zhukovskiy E.S. Covering mappings and well-posedness of nonlinear volterra equations // Nonlinear Analysis. 2011. С. 1026-1044.
5. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М., 1969. 456 с.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-01-90721).
Поступила в редакцию 28 октября 2013 г.
Pluzhnikova E.A. ON COINCIDENCE POINTS OF VECTOR MAPPINGS
A theorem on coincidence points of a vector covering mapping and a Lipschitz mapping is formulated and proved.
Key words: coincidence points; vector covering mappings; metric spaces.
3149
