Метод последовательных приближений в оценке близости приближенного и точного точечных отображений при учете неизохронности процессов в динамике систем ИФАПЧ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 517.9+518.61

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ОЦЕНКЕ БЛИЗОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО И ТОЧНОГО ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПРИ УЧЕТЕ НЕИЗОХРОННОСТИ ПРОЦЕССОВ В ДИНАМИКЕ СИСТЕМ ИФАПЧ

© 2013 г. О.Г. Антоновская

НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

olga.antonovsckaja@yandex.ru

Поступила в редакцию 27.06.2013

Решается вопрос о точности результатов, полученных путем изучения точечного отображения, построенного по первому приближению метода последовательных приближений, при исследовании поведения траекторий динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с малым параметром.

Ключевые слова: математическое моделирование, динамика систем, асимптотические методы, малый параметр, точечное отображение.

Введение

Важную роль в теории нелинейных колебаний и теории систем автоматического регулирования играет метод точечных отображений [1, 2], позволяющий единообразно подходить к исследованию математических моделей систем различной природы, описываемых дифференциальными уравнениями.

Построение точечных отображений не представляет затруднений, если известно общее решение рассматриваемых дифференциальных уравнений. В случае, когда получение такого общего решения невозможно, можно прибегнуть к тем или иным приближенным (в том числе и асимптотическим) методам [2-5]. При этом учет погрешности необходим, т.к. в противном случае применение приближенного точечного отображения может привести к качественно неверному результату [4].

При изучении систем импульсно-фазовой автоподстройки частоты (ИФАПЧ) методом точечных отображений возникают дополнительные трудности, связанные с тем, что это системы синхронизации с динамически изменяющимся интервалом регулирования, а соответствующее точечное отображение является неизохронным [6-8]. В качестве малого параметра ц выступает астатизи-рующий параметр фильтра (в случае идеального астатизма ц=+0) [8].

В настоящей работе ставится вопрос о точности результатов исследования поведения траекторий динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с малым параметром [4,5], полученных путем изучения точечного отображения и произведения точечных отображений, построенных по первому приближению метода последовательных приближений [2] на дуге траектории, соответствующей фиксированному интервалу времени. При оценке погрешности приближения используется методика, предложенная в [1] для оценки разности между точным решением дифференциального уравнения и нулевым приближением в методе Ван-дер-Поля.

Построение приближенного точечного отображения методом последовательных приближений

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

X, = МХ, x2,..., хп, =1,2,...,и, (1)

где 0<ц<<1. Пусть т есть время пребывания траектории системы в подпространстве, где она определяется дифференциальными уравнениями (1). Фазовое пространство в этом случае представляет собой топологическое произведение пространства переменных х1,х2,...,хп и

окружности, соответствующей фазе ф = t - [?/х]х.

Поверхность ф=0 в этом фазовом пространстве

является секущей, и фазовые траектории опре- 0

деляют на ней точечное отображение Т [2], ко- 2 гг-^ 0 0 0 млпл

торое может быть найдено путем интегрирова- <ц Г[-^Г 1 ' 1,X2,...,Xn,tl)| ^] t

ния уравнений (1). В качестве приближенного 0 1 0

точечного отображения для изучения Т возьмем Т [2, 9]

< пц2 ВМ | tdt = пц2 ВМХ2/2!, , = 1,2,...,п, (8)

0

~ = х,0 + ц}X,(х0,х20,...,х°п,t)dt, ,=1,2,.,п. (2) 1 х'2(^-пц2ВМх2/2!, 1 = 1,2,-,п. (9)

Заметим, что точное точечное отображение Для того чтобы оценить х3 (т) - х1 (х), замеТ может быть найдено методом последователь- тим, что

ных приближений как | х3 (т) - х1 (т) |<| х3 (т) - х2 (т) | + | х,2 (т) - х1 (т) |. (10)

х = х,0 + цlim ГX,(х;(t),х2т(t),...,хпт(0,0^, (3)

При этом

0 ,=1,2,.,п, I x,3(t) - х,2(t) |< цГ| X,(х2^),х22(t),...,хп^),t) | dt <

0

где последовательные приближения ищутся по рекуррентной формуле

0 х 0 х 0 0 1=1

х1 (t) = х,0 + ц| X, (х10, х20,..., хп, t)dt.

0

т

хт (о=х,0+ц| X,. (хгчо, х2т-1(/),..., хт-1(/), ^)df, (4)

< цВ Г [£|х2 (t) - х) ^ )|]^:

< п 2ц3В 2М Г—dt = п2ц3В 2М —, , = 1,2,...,п, (11)

0

| х3(т) - х1(т) |< пц2ВМт2/2!+п2ц3В 2Мт3 /3!=

= (М / В)((пцВт)2 /2!+(пцВт)3 /3!),

, = 1,2,...,п, (12)

и т.д.

,=1,2,.,п, т=2,3,4,... .

Будем считать функции Xi(х1,х2,...,хп,^,

,=1,2,...,п, непрерывными и ограниченными на

множестве | х1 - х0 |< А (, = 1,2,...,п) и, кроме Предположим, что для т-го приближения

того, удовлетворяющими условиям Липшица, | хт ^) - х;-1^)|< пт-1цтВт-1Мтт /т!,

т.е. существуют положительные числа Ми В, , = 12 п (13)

такие, что для любых точек М(х1,х2,...,хп), ю ( в ) 1

М'(х1, х2,..., хп), М"(х" х* ,..., хп) из рассматри- | х, (т) - хДт)|< (М / пВ)^"

ваемого интервала и любых t выполняются не-

1=2 1!

равенства Т ( + п 1,2 ,.,пб (14)

Т огда для (т+1)-го приближения имеем

^ (х1'х— хп •' >< М: , = 1'2'..'п' (5) |х-+1(т) - х'МНх*» - хт (т)| + |х- (т) - х'(т) |,

| X (XX X г) - X (х" х" х" Л |< , V /1 I , V/ , V / I , w , \ /ь

| ^ (х1, х2 ,..., хп , t) ^ (х1, х2 ,..., хп , *') |< , = 12 п (15)

< В]Г|х"- X"" |. (6) А п»=кольку

| х - X

1=1

Будем последовательно оценивать разности

| х,т+1 (/) - хт & < цвГ | х; (/) - хт-1 (/) ^ <

х7 (т) - X,1(т), i = 1,2,...,n, поскольку ~ = x,1(т), , т т+1 (16)

«. , , ' ' - _ ^т ,т+1

,=1,2,...,п. < птц т+1ВтМ Г —Л = птц т+1ВтМ

2 1 * т!

Для оценки разности х, (т) - ху (т) заметим,

0 т! (т +1)!

что

то

2 1 Г 1 1 1 | х;+1(т) - X1 (т) |< (М / пВ)У(пцВт) 1

х,2(,) - х'(,) = ц] [X,. (х!(/), х!(/),..., хп (О, /) - ' ' 12 1!

0

, = 1,2,...,п, (17)

- Xi (х^, х20,..., хп, / )]^^, и формулы (13), (14) доказаны методом матема-

, = 1,2,...,п, (7) тической индукции.

т.е. Таким образом, в пределе

I Xi - ~ 1=1 xi (т) - х,1 (т) < — ^

ИЛ ^

1=2

j!

= Мв ^ (1 + пцВт)),

, = 1,2,...,п, (18)

т.е. ошибка нахождения X,, , = 1,2,..., по первому приближению в методе последовательных приближений имеет порядок малости ц2.

Замечание 1. В случае, когда начальное значение t = t0 ф 0 , формула

| х,- - ~ |=| х, (t0 +т) - x,1(t0 +т) |<

< М(епцВт - (1 + пцВт)), пВ

, = 1,2,...,п, (19)

может быть доказана путем перехода к новому времени t1 = t0 + t .

Замечание 2. Случай одного дифференциального уравнения автоматически получается при п=1.

Заключение

Результаты приведенных выше исследований посвящены вопросам построения близких к тождественным точечных отображений для исследования квазилинейных систем дифференциальных уравнений и находят свое применение для обоснования возможности приближенного исследования близких к тождественным точечных отображений плоскости в плоскость [10] и п-мерного пространства в себя [11], что существенно для решения вопросов применимости результатов приближенного исследова-

ния систем с малым параметром. При этом речь может идти и об оценке погрешности приближенного задания точечных отображений более сложного вида, а именно точечных отображений, представляющих собой произведение элементарных точечных отображений, содержащих малый параметр [8].

Список литературы

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 916 с.

2. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 472 с.

3. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с.

4. Антоновская О.Г. // Вестник Нижегор. ун-та. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1999. Вып. 2(21). С. 198-208.

5. Антоновская О.Г. // Вестник Нижегор. ун-та. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2011. Вып. 1(23). С. 243-254.

6. Горюнов В.И. // Динамика систем: Межвуз. сб. Горький: Изд-во ГГУ, 1985. С. 113-125.

7. Горюнов В.И., Кириллов Ю.П. // Динамика систем: Межвуз. сб. Горький: Изд-во ГГУ, 1976. С. 156-163.

8. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник Нижегор. ун-та. 2013. Вып. 1(1). С. 184-190.

9. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. 384 с.

10. Антоновская О.Г. // Вестник Нижегор. ун-та. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2004. Вып. 1(27). С. 63-69.

11. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник Нижегор. ун-та. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2006. Вып. 2(31). С. 9-16.

SUCCESSIVE APPROXIMATION TECHNIQUE IN PROXIMITY EVALUATION FOR EXACT AND APPROXIMATE POINT MAPPINGS TAKING INTO ACCOUNT NONISOCHRONISM IN PULSED PHASE-LOCKED LOOP SYSTEM DYNAMICS

O. G. Antonovskaya

The article considers the accuracy in studying trajectories of dynamic system behaviour described by differential equations with a small parameter. These equations are obtained by point mapping using the first approximation in the successive approximation technique.

Keywords: mathematical modeling, system dynamics, asymptotic methods, small parameter, point mapping.