Метод оптимизации силовой конструкции крыла по жесткости при варьировании распределением относительной толщины профиля Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м III 197 2

№ 4

УДК 629.735.33.015.4

МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ СИЛОВОЙ КОНСТРУКЦИИ КРЫЛА ПО ЖЕСТКОСТИ ПРИ ВАРЬИРОВАНИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНЫ ПРОФИЛЯ

Г. В. Украинцев, В. М. Фролов

Предлагается метод оптимизации силовой конструкции крыла, позволяющий получить конструкции, обладающие наибольшей изгиб-ной жесткостью, варьированием относительной толщиной крыла и функцией распределения толщин силового материала при условии постоянства веса и удовлетворения некоторым аэродинамическим ограничениям.

Постановка задачи. Исследуется задача о получении максимальной жесткости крыла путем рационального выбора закона распределения по размаху относительной толщины профиля крыла с (гг) и приведенной толщины панели 8пр(г) при условии постоянства объема (веса) силового материала:

(1)

о

и выполнении аэродинамического ограничения, записанного в виде

I _

• , ^Ь{г)сп(г)йг = Тя, (2)

о

где Ь(2) — хорда крыла; 8пр(г) считается равномерно „размазанной“ по всей длине хорды.

При п = 1 выражение (2) превращается в условие постоянства лобового миделя крыла, при п= 2 —в условие постоянства волнового сопротивления (метод решения допускает и другие значения п, в том числе и дробные).

В случае получения избыточной жесткости соответственно может быть уменьшен объем (вес) силовой конструкции.................

5—Ученые записки ЦАГИ МЬ 4

65

Известно, что при данных внешних нагрузках наибольшей жесткостью в еемействе конструкций с постоянным объемом силового материала и неизменной геометрией будет обладать конструкция, имеющая наименьшую потенциальную энергию. В данной статье этот принцип применяется к конструкциям, в которых варьируется геометрический параметр с (г). Рассматриваются крылья, которые достаточно точно моделируются балочной схемой. К их числу относятся конструкции большого строительного удлинения, в первую очередь поворотные части крыльев изменяемой в полете стреловидности. Поскольку в балочной схеме жесткостные параметры связаны с осью жесткости крыла, которая в общем случае составляет с самолетной осью 2 угол х- вводим ось 2*, совпадающую с осью жесткости крыла. Тогда 1% — длина крыла вдоль оси

жесткости, (2*)> с* (г*) и 8*пр(2*) — соответственно хорда, относительная толщина профиля и средняя приведенная толщина панели в сечении крыла, перпендикулярном оси жесткости.

Таким образом, выражения (1) й (2) примут вид

I*

Ь* (г*) 8* (г*) ¿2* = <3! (3)

О

I* _

| 6* (2*Х (2*) ¿2* = Тп *. (4)

О

Для упрощения индексации здесь и в дальнейшем вместо 8*пр(2*) будет писаться просто 8* (2*).

Потенциальная энергия конструкций, работающих по балочной схеме, записывается следующим образом:

и

і и -ТІ

Мизг (2%) . Мкр (2-;.)

^^изг (2>*) @1кр (2-*)

На основных режимах полета крутящий момент по крылу относительно оси жесткости на порядок меньше, чем изгибающий. Поэтому вторым членом в формуле (5) можно пренебречь. Таким образом,

и~т)тГ%'\Лх'- (6)

' У * ИЗГ ' /

О

Момент инерции сечения с использованием понятия средней эквивалентной высоты (2*) с* (2*), где коэффициент пропорциональности р-<1 не зависит от 2*, запишем в следующем виде:

/изг (2*) = -^-*®(г*)^(2«)8*(2*). (7)

Подставив (7) в (6), получим .

. .... и — Г___________ ^ (8)

'...... ЬъЛг^лгЖ^) *• °

Здесь и в дальнейшем индекс у изгибающего ¡момента опускается.

Решение поставленной задачи сводится к задаче на условный экстремум: необходимо определить минимум функционала (8),

варьируя значениями с* (2*) и 8* (г*) при условии, что

V*! --- ^ Ьщ (2*) 8^ (2*) (?1 ¡и - 0;

о

г*

= ^ (г*) (2*) — * = 0.

(9)

(Ю)

Принимается, что внешняя нагрузка М (гх) не меняется при варьировании распределением силового материала и относительной толщины, т. е. не учитывается влияние деформаций крыла на перераспределение аэродинамической нагрузки.

Применяется метод неопределенных множителей Лагранжа, согласно которому записываются следующие уравнения:

дЪ* ■*“ 1 ¿8* ' дУ2.

дсл

= 0; = 0.

(П)

(12)

Проведя соответствующие преобразования выражений (3) —(10), получим уравнения для определения неопределенных множителей ^ и >.2 и функций с* (г*) и 8* (г*).

Расчетные формулы. Из уравнения (11) с учетом выражений (8) и (9) получим

*•(*.) =---------Ми*)в1* ,-----------• О3)

Л/(г*)

Из уравнения (12) с учетом выражении (8) и (10) будем иметь

2 _1_

•"'Чг.Ж

Мп

С2 (*.) С* (г.)

Мл+2(г*)^

(14)

Заметим, что при заранее заданной относительной толщине ¿Л2*) рациональное распределение 8* (г*) определится по формуле (13). Для крыла с постоянной относительной толщиной с* (2*) = с, формула (13) преобразуется к виду

8* (**)■=

Ь1(г

(15)

М(г„)

Л Ь* (г*)

О

при с, (2*) = с..

Распределение силового материала, соответствующее формуле (13) или (15), обеспечивает максимальную жесткость конструкции с неизменной геометрией. Система уравнений (13) и (14) может быть решена в общем виде. Подставив (13) в (14) после некоторых преобразований, получим

/1 + 1

Обозначим

Мп+2(г*) П,

2

п+2

(г*)

I* п

2-л

]ЛГ+2 (г*)ь:+2{г,)с:+2(г*)с1г,

(16)

I. л ]

О

2-л

| Мп+2(г,)Ьп+2 (г.м)’сп^\г,)йг., — А.

Тогда

п-\-2

С* (*,) =

/Ип+1 (г*)Т{пп+Цп

2 п + 2

(17)

(18)

Ьп,+1(г*)А (л+1)л

Подставив (18) в (17), определим А, после чего можно записать окончательное выражение для с* (г*):

С^*) —

1 _1_ Мп+1 (2*)7\,"

Ьп+' (2,)

1— п

|жп+1 (2*) Ьп+1(г*)с1г,

(19)

Подстановка выражения (19) в формулу (13) дает

8%(2*)—

ЛГ+1(2,)С,

2я

&:+1(2*)|УИя+1(2,)6"+1(2,)^24

(20)

Соотношения (3) и (4) должны выполняться при любом виде функций 83(2*) и с% (2*), в том числе и когда они постоянны по размаху. Это дает возможность выразить величины Тп # и * через осредненные для всего крыла величины 8^ и с\:

<?1* ■=£ |М2.)</2*;

О

-о !*

^л & сп* (^^)

(21)

причем

8; = :

f 6*(z^)b^(z^)dz^

~~йГ ;

J (^¡r) ^2-j.

о

** _

(23)

П $ “

__j_ п

**

j 6* (2*)

dz*

(24)

Если исходный вариант крыла, подвергнутый оптимизации, имел постоянную относительную толщину с* (г*) =*С то с°п*~с1■ С учетом формул (21) и (22) получим:

_i лп+1

М"+1(2*)

_2 L« + l

С (2.)

Л л

1—п

j Mn+'(z*)bn+1 (z*)dz*

(25)

Mn+1 (г.) \ 6. (z.)dzt

8° *L

I—Я

¿"+1(z*) i Mn+1 (*.) 6"+1 (2 J ¿2,

Интересно отметить, что 8*(2&)

с* (2jji)

Сп,

(26)

(27)

Формула для определения напряжений по балочной теории о — в соответствии с принятыми в данной работе обозначениями преобразуется к виду

0(2*) = ■ г...---------------• (28)

Р*;(г*)с. (*•)»•(*•) ;

После подстановки в формулу (28) значений с* (г*) и §*(2*), согласно формулам (25) и (26), получим

1Л П

«(*•) =

Р^яЛ

1—п

|УИЛ+1(2*)С1(2:*)^2!

_

Sь*(2*)¿2*

= const.

(29)

Согласно выражению (29) напряжения получаются постоянными по размаху. Таким образом, чисто теоретическое решение приводит к равнонапряженной по размаху конструкции.

Параметрические исследования. Все формулы предыдущего параграфа выведены для произвольного закона изменения функции М(г*). Было лишь сделано допущение об отсутствии влияния перераспределения относительной толщины профиля и приведенных толщин панелей по размаху крыла на внешние нагрузки. При исследовании конкретных конструкций необходимо пользоваться подсчитанными для них эпюрами изгибающих моментов. В данном случае расчетные параметрические исследования проводятся для выявления закономерностей, заключенных в полученных формулах.

) Г2 1

\

\

\ N л= 1 2

ч \

\

ч \ \

\ \

\

2' \

А п N.

/

V ы

\\ N V к]

Ч \ /Г.*.

/ 2 X N. \ \

Ч V \

N Л

ч\ \

С ^

‘'Л*

и

0,5

О 0,1 0,2 0,3 0,1 0,5 0,6 0,7 0,0 0,9 2^

Фиг. 1

поэтому принимается, что погонная нагрузка на крыло пропорциональна хордам. Тогда для определения относительной величины изгибающих моментов при неизменной площади крыла и его длины вдоль оси жесткости можно пользоваться формулой:

1 + 2тг-1 1 + тг

6

г*

1 - X1 -з'

----7^----2

(30)

где % — и ~ строительное сужение.

На фиг. 1—9 приводятся результаты параметрических исследований, в которых варьировались параметр п — показатель степени в выражении (4) и строительное сужение ?]*. Расчеты проводились для в=1; 2 и 1/2 и %=2 и 4. Графики на фиг. 1 и 2 показывают, что уменьшение величины параметра п приводит к более резкому

перераспределению относительных толщин с* (£*) профиля крыла вдоль оси жесткости. Причем в корне крыла относительные толщины увеличиваются по мере уменьшения л, а в концевых сечениях крыла уменьшаются. Влияние параметра л уменьшается с увеличением строительного сужения_т)!(;. Например, для ■*¡*=2 в корневом сечении крыла величина с* (2*) увеличивается (по сравнению со средним интегральным значением) в 1,32 раза при га = 2, в 1,57 раза при га = 1 и в 1,89 раза при га =1/2. Для *¡* = 4 соответствующие значения равны 1,21; 1,37 и 1,57. В сечении 2* = 0,8 для % = 2 относительная толщина составляет 0,59 от среднего значения при га = 2; 0,46 —при /1=1 и 0,38 —при п =1/2. Соответствующие значения для % = 4 меньше отличаются от единицы и составляют 0,65,

К •V П- 1 Чщ

"2

V, ч

ч

ч

1 ^5 ч

N

ч; 77-

N \

\ о \ V

\ ч ' \ ч

\ ч ' N N.

\ ь \

\ \

\ \\

О 0,1 0,2 0,3 0,4- 0/ 0,6 0,7 О/ 0,9 г%

Фиг. 2

0,53 и 0,44. Кривые распределения вдоль оси жесткости приведенных толщин панелей (см. фиг. 3 и 4) показывают: в корне крыла

с уменьшением га уменьшается величина ^ , оставаясь больше

* 8* (г*)

единицы; в концевых сечениях с уменьшением га величина ■

5

*

увеличивается, оставаясь меньше единицы. С ростом тг)^. отклонение функции * ^2*’ 0ге’ ^ от единицы уменьшается. Наиболее резкое 8*

перераспределение относительной толщины соответствует случаю неизменной геометрии с* (2*) = с*, наименее резкое — случаю га= 1/2.

На фиг. 5—8 показана эффективность оптимизации по предлагаемой методике (по сравнению с оптимизацией при неизменной геометрии) с точки зрения жесткости и деформаций. Как видно из фиг. 5 и 6, в рассмотренном диапазоне изменения параметров га и т) можно получить увеличение жесткости корневого сечения крыла в 1,8—2,4 раза, причем выигрыш в жесткости увеличивается с уменьшением п и ти. Зона увеличения жесткости захватывает не-

Фиг. 3 Фиг.

СО

Фиг. 6

*)і = «

КО ¡

Ї

0J ¡i

- 1 -o *■- í" -

0J /7- 4

1 \ *$

0J \

2

0,2 <¡

0 W ff,л OJ 0,2 0,3 OJ 0,5 OJ 0,7 OJ OJ **

I

/

11,28 />

! f

0^ J ! ft

/

0,20 h

OJff c* = -tí / */

/7 = \ N ) /; V/

0J2 і ! \ N V, /

к Г V / /

?' \ i /

f / y

Á '■y

z¿>

0 0,1 0,2 Q3 0, * 0,5 0,0 0,7 OJ OJ i

Фиг. 8

сколько больше половины длины крыла. Начиная с сечения 2*^0,55, локальные жесткости крыла, оптимизированного по параметрам £*(2*) и 8* (г*), становятся меньше, чем для оптимальной (по жесткости) конструкции с неизменной геометрией, особенно в концевых сечениях, где весьма быстро устремляются к нулю И С* (2*) И 8* (2*).

На фиг. 7 и 8 построены девиации и прогибы вдоль оси жесткости-крыла. Прогибы крыла, оптимизированного по предлагаемой методике, существенно меньше, чем для оптимальной по жесткости конструкции с постоянной по размаху относительной толщиной профиля крыла. Особенно большое уменьшение прогибов (более чем в два раза на большей части крыла) можно получить при ^* = 2 и п— 1/2. С ростом % и п выигрыш в прогибах уменьшается. В концевых сечениях крыла кривые девиаций при п — 2, 1 и,

особенно, 1/2 круто уходят вверх и в районе 2* = 0,80-^0,85 (в зависимости от сужения) пересекают кривую, соответст-

— —о

вующую случаю с* (£*) = Это отражается и на прогибах У7, которые в концевых сечениях быстро увеличиваются, но все же остаются меньше, чем в случае с^{г) = с\, по крайней мере до 2* = 0,9. При

меньше, чем \У (с* = с°).

Уменьшение прогибов оси жесткости стреловидного крыла способствует увеличению критической скорости реверса элеронов и уменьшает упругие искажения поточной хорды, которые снижают аэродинамическое качество крыла.

На фиг. 9 показан эффект, который может быть получен с помощью предлагаемого метода оптимизации, в части прочности конструкции. Как видно из графиков, уровень напряжений в конструкции значительно снижается при уменьшении параметров п и т). В обследованном диапазоне изменения этих параметров можно получить снижение напряжений до величины, равной 0,77 от исходного значения, соответствующего оптимизации при неизменной геометрии. Следует также отметить, что чем меньше значение параметра п, тем легче удовлетворить условию равнопрочности, так как с уменьшением п уменьшаются отклонения величины 8^(2*) от среднего значения.

Конструктивные ограничения. Приведенные выше результаты чисто теоретического решения нуждаются в корректировке с позиций практической осуществимости. Условие равнонапряженности, получаемое из чисто теоретического решения, при высоком уровне

-I--------1--------------------I______I..

* 3 * * 7*

Фиг. 9

7)^ = 2, например, в сечении

еще на 30%

напряжений сводится к условию равнопрочности, которое в концевых сечениях с малыми значениями приведенной толщины или вообще не осуществимо или требует установки дополнительных нервюр, т. е. некоторого увеличения веса конструкции. Очевидно также, что ни приведенная толщина панели, ни тем более относительная толщина профиля крыла практически не могут быть сведены к нулю.

Эти параметры должны быть ограничены некоторыми минимальными значениями, определяемыми из конструктивных соображений. Естественно, что конструктивные ограничения могут быть установлены лишь при проектировании конкретных конструкций. Для оценки возможного эффекта примем следующие условные

конструктивные ограничения С*55*^>0,5 и >- 0,3. Ограниче-

с 8

* #

ния по приведенной толщине распространяются и на случай неизменной геометрии с* (г*) = £„. Расчеты проводились для т) = 2 и п =1/2. Результаты расчетов показаны на фиг. 1, 3, 5 и 7 ответвлениями кривых с индексом „к. о“. Введение конструктивных ограничений ликвидировало повышенную гибкость концевых сечений крыла и рост девиаций в них сильно замедлился. Причем кривая девиации при ^* = 2 и «=1/2 по всему размаху крыла идет ниже, чем в случае с* (г*) = сЭпюры прогибов в концевых сечениях приобрели форму, близкую к прямой (вместо параболической). В сечении 2*= 1 прогиб при ?)* = 2 и «=1/2 примерно на 30% меньше, чем в случае неизменной геометрии. Нормальные напряжения остаются постоянными до сечения 2,. = 0,74, от которого начинаются конструктивнные ограничения по относительной толщине профиля крыла. От сечения 2* = 0,74 нормальные напряжения уменьшаются

до нуля в сечении 2* = 1. Принятые конструктивные ограничения

и ' 1* _

привели к увеличению | й* (¡г*) 8* (г*) на 1% и | Ь* (2*) с1 (г*) г/г*

и и

на 5%. Такие увеличения интегралов несущественны и в случае необходимости могут быть сведены к нулю незначительной корректировкой величин 8*(2*) и с* (г*).

Приведенные результаты свидетельствуют о том, что предложенная оптимизация крыла по геометрическому параметру с* (2*) и функции распределения относительной толщины §*(2*) позволяет существенно увеличить изгибные жесткости крыла (уменьшить прогибы), сохраняя неизменным вес силового материала. При этом примерно в том же отношении увеличивается крутильная жесткость. Подобное увеличение жесткостей открывает дополнительные резервы в повышении критических скоростей явлений аэроупругости и приводит к уменьшению некоторых вредных влияний деформаций крыла на аэродинамические характеристики.

Рукопись поступила 151XII 1972 г.