Метод определения равновесия при условии штрафных санкций за задержку в обслуживании на строительном рынке Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

В. М. Буре, А. А. Сергеева

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 3

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

ПРИ УСЛОВИИ ШТРАФНЫХ САНКЦИЙ ЗА ЗАДЕРЖКУ

В ОБСЛУЖИВАНИИ НА СТРОИТЕЛЬНОМ РЫНКЕ*)

Введение. Задачи нахождения оптимального поведения участников экономического процесса приобрели популярность еще в конце XX в. и в настоящее время остаются актуальными. Аппарат теории игр играет важнейшую роль при решении такого рода задач. В статье изучается строительный рынок ремонтно-отделочных работ, на котором могут оперировать несколько подрядчиков. Клиентами на рынке будут считаться строительные фирмы, отдающие отделку помещений на аутсорсинг подрядчикам. Задачей клиента является выбор подрядчика с целью минимизации общих издержек. Для решения данной задачи будет использовано теоретико-игровое моделирование. Ранее в работах [1, 2] описывалась задача нахождения равновесия в игре на логистическом рынке, в [3] - игра фирм на строительном рынке. В статье [4] предложен подход для решения задач близкого типа. В работе получено дополнительное ограничение в виде штрафов за задержку при выполнении заказов.

Постановка задачи. Рассмотрим строительную компанию, производящую ремонт-но-отделочные работы. В контракте компании прописан определенный срок сдачи работ. При нарушении данного обязательства компания вынуждена выплатить штраф за задержку. Для некоторого вида работ строительная компания использует подрядчиков.

Будем считать, что на рынке имеются три подрядчика, выполняющие ремонтные работы, каждый из которых устанавливает собственные условия обслуживания. Клиентами для подрядчиков являются строительные компании, выбирающие фирму для выполнения работ, стараясь минимизировать общие затраты, учитывая свои возможные убытки при превышении сроков выполнения работ. Таким образом, на выбор клиентов помимо стоимости влияет и время выполнения заказа.

В данной работе анализируется деятельность трех подрядчиков, каждый из которых действует на строительном рынке ремонтно-отделочных работ по собственной схеме, задавая собственный порядок выполнения заказов и устанавливая свою политику формирования конечной стоимости заказа.

Длительности обслуживания клиентов являются случайными величинами, распределенными показательно с параметрами соответственно для каждого из исполнителей A, B или C.

Пусть подрядчик A принимает заявки в порядке очереди. Плата за выполнение заявки устанавливается в виде константы ci.

Пусть подрядчик B принимает все поступившие заявки единовременно и сразу приступает к их выполнению. В его схеме определения стоимости заказа будут

Буре Владимир Мансурович — доктор технических наук, 199034, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: vlmbure@mail.ru.

Сергеева Анна Александровна — аспирант, 199034, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: sergeeva_a_a@mail.ru.

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 12-01-00747a).

© В. М. Буре, А. А. Сергеева, 2013

присутствовать некоторая фиксированная стоимость С21 и стоимость за единицу времени осуществления заявки С22.

Пусть у подрядчика С формируется очередь из заявок, как и у А, но общая стоимость заказа складывается только из временной составляющей с ценой С32 за единицу времени выполнения заказа.

Необходимо определить, каким образом клиент должен выбирать подрядчиков, чтобы минимизировать свои издержки.

Каждый клиент при ожидании выполнения своего заказа теряет время, которое могло быть использовано для завершения работ и сдачи объекта. Обозначим через г некоторое стоимостное выражение потерь в единицу времени, связанных с упущенными возможностями при выборе данного конкретного подрядчика.

Штрафные санкции. Перейдем к рассмотрению потерь, которые несет клиент при задержке выполнения заказа. В данном случае под штрафом понимаются дополнительные деньги, которые выплачиваются подрядчику, если характер работ слишком сложный. Это прописывается в контракте с подрядчиком. Если окажется, что по объективным причинам потребуется дополнительное время для выполнения работ не по вине подрядчика, например по причине пересогласования проекта, то, начиная с определенного момента, клиент будет оплачивать это время по другим расценкам, т. е. выплачивать штраф. Размер штрафа будет определяться следующим образом. Фиксируем Т и введем индикатор

1(г,Т) = {м <Т

Обозначим через Й1,Й2, Дз штраф, который выплачивает клиент при превышении времени выполнения заказа более чем на Т1 при обслуживании первым подрядчиком, Т2 -вторым и Т3 - третьим подрядчиком соответственно. То есть Т1,Т2,Тз для каждого подрядчика обозначает временной предел, при превышении которого клиент должен доплачивать за сложность выполнения заказа. Будем предполагать, что Й1,Й2, Дз достаточно велики.

Так как первый подрядчик ведет обслуживание последовательно и все клиенты идут друг за другом, то длительности их обслуживания будут распределения по закону Эр-ланга, или, иначе говоря, по гамма-распределению с целочисленным значением параметра формы. Пусть имеется к +1 клиентов, обозначим через Т1 = ^к+=1 тц, где тц -время обслуживания г-го клиента. Тогда т\ ~ 1) с плотностью распределения

г > 0, г < 0.

Введем обозначения .11(к1) = Е1(т1 ,Т1),32 = Е1(т2,Т2),Лк3) = Е1(т3,Т3). Путем несложных преобразований можно для ^(к1) найти выражение

сю

Г 1 П //2^4*1 /Т14*1-1

М^) = У 1о^к1+1)т = щ^е- + *1 + +

Т1

/ Уе. п

, ДА _ I ^ Г('г+1)

1а{^-,к+ф) -

0

Для второго подрядчика, в силу того, что он ведет обслуживание всех клиентов одновременно, имеем

Г Г 1 _Т2

«/2 = / /2 = / —е М2 (М = е ^ .

Т2 Т2

Так как третий подрядчик обслуживает клиентов в порядке очереди, то, проводя рассуждения, аналогичные как для первого подрядчика, получаем

сю

I' 1 тЗ//Тч\к* ГТч\к 3-1

^ = ] = Щ^ТГ ((¿) + ** Ц) +

Тз

+ к3(к3- 1)(11)кз~\...+ (к3у.(^)+ (Аз)!У

\/3/ /

Определение оптимального поведения клиента. На рынке имеется п клиента Л1) .(11^ , , (12) тов, которые являются игроками. Пусть ц = ц + ц - условное среднее время

продолжительности обслуживания игрока г = 1,...,п при условии, что он выбрал под. ,(2) ,(22) , „ ,(3) .(31) . ,(32) рядчика А, ц = ц - при условии выбора подрядчика В, ц = ц + ц - для

п , (11) ,(31) , (12) ,(22) ,(32)

подрядчика С, где ц ,ц - время ожидания клиента в очереди, ц -

время обслуживания клиента, г = 1,...,п. Если т игроков, включая игрока г, выбрали подрядчика А, то с вероятностью ^ игрок % займет любое из то мест в очереди на обслуживание. Так как среднее время обслуживания любого игрока равно /1 и экспоненциальное распределение обладает свойством отсутствия последействия, можем записать условное математическое ожидание времени до начала обслуживания игрока г без учета времени на обслуживание игроков, уже находящихся на обслуживании у подрядчика при условии, что I игроков из т предшествуют игроку с номером г:

т—1л , т-1 .. , 1 \ 1

1 1 1 то(то - 1 1

> 1ц 1— = —/XI > I = — Щ--- = -/XI(то - 1).

^—' т т z—' т 2 2

1=0 1=0

Обозначим через вероятность того, что в совокупности, содержащей I клиен-

тов, г игроков выберут подрядчика А. В рассматриваемой задаче предполагается, что совокупность состоит п игроков, поэтому математическое ожидание времени до начала обслуживания игрока г без учета времени на обслуживание &1 игроков, уже находящихся на обслуживании у подрядчика А, примет вид

П 1 п— 1 1

]Г -М1(то - - 1) = Е - 1}-

т=1 т=0

Аналогично определяется математическое ожидание при выборе подрядчика С. Пусть &1 - количество клиентов в очереди и на обслуживании у подрядчика А, &3 - у подрядчика В. Теперь можем записать условное среднее время до полного выполнения заказа при условии, что игрок г обратился к подрядчику А, В или С соответственно:

(1) 1 п (1) 1 п—1 (1)

т=1 1=0

, (2)

Ч = М2,

1 П 1 п—1

43) = к3(Л! + -мз 5> - ^Р^! (п- 1) + мз = + -Мз 1гР^ (п- 1) + Мз.

Теперь приступим к рассмотрению функций затрат игроков, которые будут различными для каждого подрядчика. Функции затрат игрока г при выборе фирмы А, В или С соответственно будут выглядеть следующим образом:

1 п— 1

= г{кцл1 + -щ 53 1р11\п ~ !) + М) + С1 + И1^(к!),

1=0

У2г (М2) = (г + С22)М2 + С21 + Д^2,

1 п—1

Ымз, кз) = !лз{г{кз + 1) + -г 53 НР^\п - 1) + С32) + ПзНкз)-

к=0

Будем считать, что каждый игрок выбирает подрядчика с определенной вероятностью: р(1 ) - вероятность выбора подрядчика А, р(2 ) - подрядчика В, р(з ) - подрядчика С, р(1) + р(2) + р(з) = 1. Полная функция затрат игрока г примет вид

Яг = р(1]Уц(^1,к1) +р(2) У2М +р(3)ЫМ3 ,кз) =

= р(1)(Уи (Р1,к1) - У2г (М2 )) + У2г (М2 ) + р(3) (Узг (М3 ,кз ) - Уй (^2 )).

Игрок г стремится минимизировать ожидаемые потери Яг.

Для нахождения оптимального поведения игроков будем использовать теоретико-игровое моделирование, тогда задача может быть сформулирована в виде игры Г = < М, {р(^}геи, {Нг}ген >, где N = {1,...,п} - множество игроков, {р(:')}геи - множество стратегий игроков, р(^ € [0,1], ] = 1, 2, 3, {Нг}геи, Нг = -Яг - множество функций выигрыша игроков. В качестве принципа оптимальности будет рассматриваться равновесие по Нэшу.

Для нахождения условий, при которых равновесной для игрока г является та или иная стратегия, будем рассматривать следующие выражения:

1 п — 1

У а ? ) Уц ) = г(кцл1+-ц1 УЗ^/1)(П~1)+М1)+С1-(Г+С22)М2-С21+Д1 .Мк^-Кэ-Ь,

1=0

1 п—1 (з)

к=0 1 п— 1 (1)

Уц(И1,к1) - Узг{^з,к?,) = г{кцл1 + -щ 1р11\п ~ 1) + м) + с\ ~ т(г(кз + 1) +

1=0

1

+ \г 53 кР®\п - 1) + с32) + Ri.Uk,) - ЕзМкз).

к=0

Стратегия игрока г представляет собой вектор рг = (р(1),р(2),р(з)). Для формулировки результатов введем определение полностью смешанной стратегии, являющееся расширением определения, данного в [5].

Определение. Назовем стратегию рг = (р(1),р(2),р(3)) игрока г полностью смешанной стратегией на множестве {1, 2, 3}, если р(1) € (0,1), р(2) € (0,1), р(з) € (0,1), г = 1 € N.

Будем последовательно рассматривать все варианты выбора клиента: когда с вероятностью 1 выбирается только один подрядчик из трех, а остальные с вероятностью 0; когда выбор осуществляется только между двумя подрядчиками из трех и когда все подрядчики выбираются с положительными вероятностями. Начнем с рассмотрения случаев, когда игрок выбирает одну из фирм с вероятностью 1.

1). Если выполнены условия

Г(и1г((/с1 + 1) + ±(п - 1)) + С1 + гг^кг) < ц2(г + с22) + с21 + И2.12, {тгЦкг + 1) + \{п - 1)) + С1 + Й1.1\(кх) < цз(г(кз + 1) + с32) + Д3 7з(Ы

то ситуация равновесия по Нэшу (р*,... ,рП) имеет вид р* = (1,0, 0), г € N.

2). Если выполнены условия

\^2(г + С22) + С21 + Й2^2 < Мз(т(кз + 1) + сз2) + Из^(кз), \т(г + С22) + С21 + Я2 7 < м(г(к1 + 1)) + С1 + Я^к),

то ситуация равновесия по Нэшу (р*,... ,рП) имеет вид р* = (0,1, 0), г € N.

3). Если выполнены условия

¡т(г(к3 + 1) + \г{п - 1) + с32) + Ез-Нкз) < М1(>(>1 + !)) + С1 + \из(г(к3 + 1) + \г{п - 1) + с32) + ПзМкз) < М2{г + с22) + с21 + Д2

то ситуация равновесия по Нэшу (р*,... ,рП) имеет вид р* = (0,0,1), г € N.

4). Если выполнены условия

'щг{{кх + 1) + ±(п - 1)) + С1 + Й!Мкг) < цз(г(кз + 1) + с32) + Д37з(Ы щ(т(к1 + 1)) + С1 + Й171 (к1) < ¡Л2(т + С22) + С21 + Я2^ < мКк + 1) + \{п - 1)) + С1 + КиМЬ),

то ситуация равновесия по Нэшу (р*,.. .,рП) в классе полностью смешанных стратегий на множестве {1, 2} имеет вид

* [ М2(т + С22) + С21 - Ц1т(к1 + 1) - С1 + Д2^2 - Я^^)

Рг = -1-7--.

V 2М1г("--1)

¡л2(г + с22) + с21 - ¡Л1г{к\ + 1) - С1 + Д272 - 7?!«/1 (/?!)

г(п - 1)

1 - ^ ' ^ ' ^ ; у ^ -¿=1еЛГ.

5). Если выполнены условия

'мз(г(к3 + 1) + \г{п - 1) + с32) + ПзНкз) < тСК^ + 1)) + С1 + НгМЬ), цз(т(кз + 1) + С32) + Яз7з(кз) < М2(т + С22) + С21 + Д2 7 < Мз(т(кз + 1) + \г(п - 1) + с32) + Ез-Нкз),

то ситуация равновесия по Нэшу (р*,. ..,рП) в классе полностью смешанных стратегий на множестве {2, 3} имеет вид

0 1 _ М2(г + с22) + С21 - Цз(г(к3 + 1) + С32) + Д272 - Н3^(к3)

^ц3г(п - 1)

М2(г + С22) + С21 - Цз(г(кз + 1) + сз2) + Й2^2 - Дз^(кз)\ . ,г

1 г € -/V.

- 1) J

6). Если выполнены условия

Vir((Ä;i + 1) + i(n - 1)) + ci + Й1 Ji(>i) < + c22) + c2i + R2 J2, /х3(г(/г3 + 1) + Hn - !) + c32) + ИзЫкз) ^ ц2(r + c22) + c2i + R2J2, Mi(r(ki + 1)) + Cl + RiMh) < ¡ЛЗ(r(k3 + 1) + ±r(n - 1) + c32) + i?3J3(A;3), + 1) + c32) + i?3J3(fc3) < Aiir((fci + 1) + i(n - 1)) + Cl + RiMh),

то ситуация равновесия по Нэшу (p*,.. . ,рП) в классе полностью смешанных стратегий на множестве {1, 3} имеет вид

* _ Амз(r(k3 + 1) + \г(п - 1) + с32) - + 1) - d + R3J3 ~ R1J1 V - \){mr - ¡лзг)

_ M3(r(fc3 + 1) + \r(n - 1) + c32) - + 1) - d + R3J3 - R1J1 \ .

1i и/ \ I , г G iV.

2 (n - 1)(/Xir - /x3r)

7). Если выполнены условия

ц1(т(к1 + 1)) + ci + Ri Ji(ki) < ^2(r + c22) + C21 + R2J2 < Mir((ki + 1) +

+ i(n-l)) + ci)+ÄiJi(A;i),

Мз(т(к3 + 1) + c32) + R3J3(кз) < M2(r + C22) + C21 + R2J2 < М3(т(к3 + 1) + + ±r(n - 1) + c32) + Д3 J3(k3),

fj,i(r(ki + 1)) + ci + RiMh) < цз(г(кз + 1) + ±r(n - 1) + c32) + i?3J3(A;3), M3(r(A;3 + 1) + c32) + Д3 J3(A;3) < ^((fci + 1) + ±(n - 1)) + Cl + RiMh),

то ситуация равновесия по Нэшу (р*,.. .,рП) в классе полностью смешанных стратегий на множестве {1, 2, 3} имеет вид

* [№(г + С22) + С21 - Ц1г(к1 + 1) - С1 + Д2^2 - Д^^) Рг = -1-;-7\-.

V 2/«1Г(п-1)

М2(г + С22) + С21 - М1г(к1 + 1) - С1 + Д2 ^ - #1^1 (к1)

1

i/xir(n - 1)

2

М2(т + C22) + C21 - М3(т(к3 + 1) + C32) + R2J2 - R3-h(k3)

\цзг{п - 1)

М2(У + с22) + с21 - Цз(г(к3 + 1) + с32) + R2J2 - fi3J3(fc3)\

^цзг(п - 1) )

i = 1 е Ж.

Во всех вышеперечисленных пунктах равновесие является единственным в классах рассматриваемых стратегий.

Заключение. В статье рассмотрено поведение строительных компаний при выборе подрядчика на рынке трех фирм. Введено дополнительное условие уплаты определенного штрафа при нарушении сроков выполнения заказа. Формулировка задачи представлена в теоретико-игровой постановке. Оптимальное поведение игроков найдено в классе полностью смешанных стратегий.

Литература

1. Буре В. М., Сергеева А. А. Конкуренция двух фирм на рынке логистических перевозок // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2011. Вып. 3. С. 22-28.

2. Буре В. М., Сергеева А. А. Теоретико-игровая модель выбора фирмы на рынке логистических перевозок // Математическая теория игр и ее приложения. 2012. Т. 2, вып. 3. С. 14-38.

3. Угольницкий Г. А. Оптимизационные и теоретико-игровые модели управления инвестиционно-строительными проектами // Математическая теория игр и ее приложения. 2009. Т. 1, вып. 2. С. 82-97.

4. Буре В. М. Теоретико-игровая модель одной системы массового обслуживания // Вестн. С.-Пе-терб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2002. Вып. 2 (№ 9). С. 3-5.

5. Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука, 1985. 272 с.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья поступила в редакцию 21 марта 2013 г.