ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2012. Вып. 1
УДК 519.2
В. М. Буре, А. А. Сергеева
МОДЕЛЬ ВЫБОРА ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ РАЗНЫХ СПОСОБОВ ФОРМИРОВАНИЯ ЗАКАЗА
Введение. Процесс выбора наилучшего варианта для производства товара или оказания услуги в современной экономической деятельности встречается повсеместно. Максимизация прибыли при минимизации затрат - естественный закон, которому подчиняются все схемы формирования деятельности любого предприятия. Выбор наилучшего способа обслуживания при наличии разных вариантов осуществления заказа и разнообразных схем оплаты, а также различных типов клиентов является предметом изучения в настоящей работе.
Рассматривается компания, предоставляющая услуги по выполнению заказов клиентов. Пусть на рынке имеется некоторое количество клиентов, которые представляют собой фирмы, различающиеся по промышленным отраслям, формам ведения бизнеса, структуре и прочим параметрам. Каждый клиент нуждается в обслуживании своего заказа и обращается в компанию по осуществлению такой услуги. Данная компания предлагает клиентам три варианта осуществления заказа. Клиенты выбирают подходящий им вариант, стремясь минимизировать затраты на обслуживание.
Подобные задачи рассматриваются в работах [1-5].
Постановка задачи. Пусть в компании, предоставляющей услуги по выполнению заказов, есть три обслуживающих устройства, каждое из которых имеет определенную схему обслуживания. Пусть в первом устройстве все заказы выполняются в порядке очереди, за это берется фиксированная оплата, в устройстве 2 все заказы исполняются сразу, но помимо фиксированной платы производится оплата за единицу времени выполнения заказа, а в устройстве 3 все заказы выполняются в порядке очереди, но плата берется только за единицу времени выполнения заказа Клиент выбирает тип обслуживания, стараясь минимизировать издержки на выполнение заказа.
Введем следующие обозначения: Ti,T2,T3 - время пребывания в системе клиента при выборе устройства 1, 2 или 3 соответственно: Ti = тц + T12, где тц - время ожидания начала выполнения заказа устройством 1, T12 - время обслуживания устройством 1; т2 = T22, так как время ожидания начала обслуживания в устройстве 2 равно нулю, где T22 - время обслуживания устройством 2; T3 = T31 + T32, где T31 - время ожидания
Буре Владимир Мансурович — доктор технических наук, профессор кафедры математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 122. Научные направления: анализ данных, вероятностно-статистическое моделирование. E-mail: vlmbure@mail.ru.
Сергеева Анна Александровна — аспирант кафедры математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор технических наук, проф. В. М. Буре. Количество опубликованных работ: 3. Научные направления: математическая теория игр, теория очередей, теория вероятностей. E-mail: sergeeva_a_a@mail.ru.
© В. М. Буре, А. А. Сергеева, 2012
начала выполнения заказа устройством 3, Т32 - время обслуживания устройством 3. Величины ti, Т2, тз являются случайными.
Определим затраты клиентов на обслуживание в каждом из устройств. Пусть с1,с2,сз - стоимость выполнения заказа устройством 1, 2 или 3, ci фиксирована, С2 = С21 + С22Т22, здесь С21 - фиксированная стоимость, С22 - стоимость единицы времени обслуживания клиента устройством 2, сз = С32Т32, где С32 - стоимость единицы времени обслуживания клиента устройством 3.
Помимо издержек на осуществление заказа клиенты несут потери, связанные с ожиданием осуществления заказа. Пусть тц,Т2г,гзг - удельные потери, которые несет клиент i при ожидании выполнения заказа устройством 1, 2 или 3, тогда можно рассчитать полные потери, связанные с ожиданием исполнения заказа устройствами, следующим образом:
rii Т1 = ТЦ(Т11 + Т12),
Г2гТ2 = T2iT22, r3i тз = r3i(T31 + Т32).
Теперь можно найти векторы полных потерь клиентов на обслуживание устройствами 1, 2 и 3 соответственно:
Q1 = ГЦТ1 + С1 = Г^(Т11 + Т12 ) + С1, Q2 = r2iT2 + С2 = (r2i + С22 )т22 + С21, Q3 = r3iT3 + Сз = (r3i + С32)Т32 + r3iT31.
Тогда векторы средних потерь клиентов на обслуживание при условии обращения клиента к соответствующему устройству определяются математическими ожиданиями
Q1 = EQ1 = гЦ(ЕТ 11 + ET12) + С1,
Q2 = EQ2 = (r'2i + С22) ET22 + С21, Q3 = EQ>3 = (r3i + С32)ЕТ32 + r3iET31.
Длительности обслуживания клиентов устройствами 1, 2 и 3 являются независимыми случайными величинами с экспоненциальными распределениями, длительность
-— t -—t
обслуживания клиентов выражается плотностями f\(t) = — е м , /2(i) = —е ^ , 1
Ш = ^ "З,г>0.
Предположим, что в данный момент времени на обслуживание поступает группа, состоящая из п клиентов, при этом известно, что на обслуживании в устройстве 1 находится к\ клиентов (из них к\ — 1 стоит в очереди на обслуживание), в устройстве 3 - кз клиентов (из них кз — 1 стоит в очереди на обслуживание). Каждый клиент решает, какое устройство выбрать для осуществления заказа. Пусть р(1) - вероятность того, что клиент г выберет устройство 1, р^ - что устройство 3, 1 — р^ — р^ - что устройство 2.
Данная модель приводит к игре п лиц, в которой клиенты представляют собой игроков, выбирающих устройство для осуществления заказа. Рассмотрим неантагонистическую игру в нормальной форме
г =< N [р{}, {Н}ен >,
N = {1,...,п} - множ< рР) € [0,1], ] = 1, 2, 3; {Нг}геи - множество функций выигрыша игроков,
где N = {1,...,п} - множество игроков; {р^^еи - множество стратегий игроков,
Н = +(1- р(1) - р^П + р^П*) = - Я2г)+Р?\Язг - П2г)+П2г),
здесь рг1 - вероятность того, что клиент г выберет устройство 1, р^ - что устройство 3,
1 (1) (3) „ „
1 - р\ - рг - что устройство 2.
Пусть каждый вектор Пз = {Прг}, г = 1,...,п, ] = 1,2,3. Ожидаемые потери
игрока г на обслуживание при условии обращения к устройству 1, 2 или 3 записываются
так:
П = г лД") + /(12)) + С
П1г = Гц(1г + гг ) + С1,
(11) (12) где ц - среднее время ожидания выполнения заказа, а ц - среднее время выполнения заказа при условии, что игрок г обратился к устройству 1, г = 1,...,п;
(22)
П2г = (Г2г + С22)/( ) + С21,
где /(22) - среднее время выполнения заказа при условии, что игрок г обратился к устройству 2, г = 1,...,п;
Пзг = Тз431) + (Г3г + С32)/(32),
(31) (32)
где ц - среднее время ожидания выполнения заказа, а ц - среднее время выполнения заказа при условии, что игрок г обратился к устройству 3, г = 1,...,п. Далее будем использовать функцию потерь игроков Нг = -Нг, г = 1,...,п. В рассматриваемой модели под стратегией игроков можно понимать выбор одной
из трех фирм, т. е. множество чистых стратегий каждого игрока имеет вид {1, 2, 3},
(1) (2) (3)
а набор вероятностей рг = (рг ,рг ,рг ) в этом случае является смешанной стратегией игрока г.
Будем предполагать, что рассматривается игра с полной информацией. Основные результаты.
Теорема. В данной игре существует единственная точка равновесия (р\,...,р*п), г = 1,...,п, которая определяется следующим образом:
1) р* = (1, 0,0), если выполняются неравенства
( М1г1г((^1 + 1) + ~ !)) + С1 < ^{Г2г + С22) + С21,
+ 1) + ~ 1)) + С1 < + 1) + с32);
2) р* = (0,1,0), если выполняются неравенства
\^2(гц + С22) + С21 < Цз(г3г(кз + 1) + С32), \^2(г2г + С22) + С21 < Ц1(гц(к1 + 1)) + С1;
3) р* = (0, 0,1), если выполняются неравенства
4) р*
] Мз(Узг(>з + 1) + - 1) + С32) < щ(ги(к1 + 1)) + СЬ
] ^з(гЗг(кз + 1) + - 1) + С32) < ¡Л2{г2г + С22) + С2Ь
/ п п \
Е «I — (п — 2)а 22 «I — (п — 2)а
I =1 I =1
1* _ 1 _ _о
п1
п1
, если выполняются нера-
венства
+ 1) + \{п - 1)) + С1 < Цз(гзг(кз + 1) + с32), М1(гц(к1 + 1)) + С1 < М2<У2» + с22) + с21 < А«1Г1г((А;1 + 1) + ^(п - 1)) +
5) Р*
0,1 -
Е Ьз — (п — 2% Е Ьз — (п — 2%
з =1 з =1
3=г 3=г
п1
п1
если выполняются нера-
венства
\ ^з(гзг(кз + 1) + ^Г3г(п - 1) + с32) < щ(ги(к1 + 1)) + СЬ
\мз(гзг(^з + 1) + С32) < М2<у2» + с22) + С21 < ^з(гзг(кз + 1) + ^¿(п - 1) + с32);
6) р*
22 — (п — 2)3,1 Е — (п — 2)3,1
г =1 г=г
п1
0, 1
г=г
п1
если выполняются нера-
венства
г
+ 1) + - 1)) + С1 < М2<У2» + с22) + с2Ь + 2) + ^гзДп - 1) + с32) < /х2(»"2» + с22) + с2Ь + 1)) + С1 < т(г^(к3 + 1) + - 1) + с32),
+ 1) + с32) < А«1Г1г((А;1 + 1) + ^(п - 1)) + С1;
7) р*
Е «I — (п — 2)аг
I =1 1фг
п1
1
Е «I — (п — 2)«г I =1 1фг
п1
Е Ьз — (п — 2)Ь<
з =1 3=г
п1
Е Ьз - (п - 2)Ь<
з =1 3=г
П — 1
если выполняются неравенства
/
И1(гц(к1 + 1)) + С1 < + С22) + С21 < /Х1(гн(/г1 + 1) + ~ 1) + С1),
+ 1) + С32) < М2(?*2г + С22) + С21 < т(г^(к3 + 1) + - 1) + с32),
+ 1)) + С1 < т(г^(к3 + 1) + - 1) + с32),
+ 1) + С32) < + 1) + - 1)) + с1-
Здесь г = 1,
4
(Г21 + С22)М2 - + 1)^1 - С1 + С21
аг = -1-,
2М1г1г
, _ {г21 + С22)М2 ~ г*а(к3 + 1)^3 - + с21
— 1 :
М1Г1»((&1 + 1) + НП ~ 1)) ~ Г3»(^3 + 1)МЗ ~ Г31С32Ц3 + С1
2 1
= 0, если у фирмы 1 нет клиентов в очереди и на обслуживании, к1 = 1, если у фирмы 1 на обслуживании находится один клиент и нет клиентов в очереди, к1 > 1, если у фирмы 1 на обслуживании находится один клиент и к1 - 1 клиент в очереди, к3 = 0, если у фирмы 1 нет клиентов в очереди и на обслуживании, к3 = 1, если у фирмы 1 на обслуживании находится один клиент и нет клиентов в очереди, к3 > 1, если у фирмы 1 на обслуживании находится один клиент и к3 - 1 клиент в очереди.
Квадратная скобка в условии 6) означает, что должно выполняться одно из предложенных условий.
Доказательство. Обозначим через вероятность того, что в со-
вокупности, содержащей I клиентов, г игроков выберут фирму 1. В рассматриваемой задаче предполагается, что совокупность состоит из п игроков, поэтому математическое ожидание времени до начала обслуживания игрока г без учета времени на обслуживание к1 игроков, уже находящихся на обслуживании в устройстве 1, примет вид
п-1 (.) п— 1 (3)
Е тРт'(п — 1), аналогично для устройства 3-Е ^МзъРу (п — 1).
т=0 у=0
Теперь можно записать условное среднее время до полного выполнения заказа при
условии, что игрок г обратился к устройству 1, 2 или 3:
1 п- 1 1 п- 1
=к1(Л! + 42) =М2, = k3ц3 + -ц3YJhPh\n-l)+^■
l=o к=0
Математическое ожидание числа игроков, выбравших устройство 1, из совокупности п- 1 игрока без учета игрока г, а также клиентов, ранее принятых на обслуживание
в устройство 1, можно записать как сумму вероятностей «успехов» в независимом испытании (где под «успехом» понимается выбор одного из вариантов обслуживания)
п-1 п т
Ет(п — 1)= Е р
1=0 т =1
т=г
Функции потерь игрока г при выборе устройства 1, 2 или 3 соответственно будут выглядеть следующим образом:
/
Я И = Гц
+ Р+ + СЪ Q2i = {Г2г + С22)М2 + С21,
т =1 т=г
Язг = М3
Ы^з + 1) + Т/Зг £ + С32 •
\
г =1 г=г
Сумма Е рг3 легко может быть выражена через Е р™1.
г =1 т =1
г=г т=г
Функция ожидаемых потерь игрока г примет вид = рг(Яи — Я2г) + Я2г + рг(Язг — Я2г). Игрок г стремится минимизировать ожидаемые потери Нг. Будем рассматривать выражения для — и —
/
Ян — Я2г = М1
Гн(/г1 + 1) + ^Гн X | - /Х2(»"2» + с22) - С21 + СЬ
т =1
\ т=г
/
Язг — Я2г = М3
Г3г(>3 + 1) + ^ + С32 - /Х2(»"2» + С2г) ~ С21,
V
г =1 г=г
Язг — Яи = М3 /
V
(Лз + 1) + -гз< X рг(3) +
Г3г
\ I =1
V 1=г
С32 I —
М1
Гц(к1 + 1) + -г и
1 — ¿2 р(3)
С1.
\ I =1
Покажем, что вектор (р*, ...,р*п) действительно представляет собой точку равновесия. Возможны следующие ситуации: 1. Если
|Я1 — Я2 < 0, — Я3 < 0,
то игрок г должен выбрать р* = (1,0, 0), г = 1,...,п.
2. Если
Я2 - Я3 < 0, Я2 - Я1 < 0,
то игрок г должен выбрать р* = (0,1, 0), г = 1,...,п.
3. Если
{яз - Я1 < 0, \Яз - Я2 < 0,
то игрок г должен выбрать р* = (0,0,1), г = 1,...,п.
4. При нарушении первого из условий в ситуации 1 и второго из условий в ситуации 2
величина Е рт определяется единственным образом из решения уравнения Ян -
т =1 т=г
Я2г = 0:
р
т =1 т=г
(1) т
(г2г + С22)М2 - Г1г(к1 + 1)^1 - С1 + С21 .
г = 1,...,п.
2/"1г1г
Введем обозначения а»
(г2г + С22)М2 - Г1г(к1 + 1)^1 - С1 + С21 .
г = 1,...,п.
Решая эту систему, находим р», г = 1,...,п:
(1) - (п - 2)а1 + а2 + ... + ап
Р\ =-1-;
п - 1
(1) а1 - (п - 2)а2 + ... + ап
Р2 =-;-,
2 п — 1
(!) _а\ + а-2 + ■ ■ ■ - (п - 2)ап
Рп -I
п1
Легко показать, что 0 ^ р» ^ 1.
п
Е а1 - (п - 2) а»
Таким образом, р* =
I =1 1=г
п1
1
Е а1 - (п - 2) а»
I =1 1фг
п1
г = 1,...,п.
\ /
5. При нарушении второго из условий в ситуации 3 и первого из условий в ситуации 2 величина Е определяется единственным образом из решения уравнения Я3» -
г =1 х=г
Я2г = 0.
Аналогично случаю 4 имеем
/
„(3)*
0, 1
Е Ьз - (п - 2)6» Е Ьз - (п - 2)6
з =1 з =1
3=г 3=г
п1
п1
0
, (Г2г + С22)М2 — Г3г (к3 + 1)^3 — Г3гС32^3 + С21 . ,
Ьг = -:-, 1=1,...,П.
6. При нарушении второго из условий в ситуации 1 и первого из условий в ситуации 3 и выполнении первого из условий в ситуации 1 либо второго из условий в ситуации 3 величина £ р(3) находится единственным образом из решения уравнения
I =1 =
Я3г — Яи = 0.
Аналогично случаю 4 получаем
пп
( £ 3г — (п — 2)3* £ 3г — (п — 2)3*\
, 0, 1
г =1 г=г
г =1 г=г
п1
п1
\
3г =
+ 1) + \{п ~ 1)) - + 1)/х3 - г34с32/«3 + с 1
2(М1гн - Мз^з»)
/
г = 1,...,п.
,(1)
7. При нарушении всех условий из ситуаций 1-3 величины £ рт1 и £ р^ опре-
т =1 г=1
т=г г=г
деляются единственным образом из решения системы
Я 1г — Я2г = 0,
Я3г — Я2г = 0,
р
£ «I — (п — 2)«г I =1 1фг
п1
1
£ «I — (п — 2)«г I =1 1фг
п1
£ Ьз — (п — 2)Ьг
з =1 3=г
п1
£ Ьз — (п — 2)Ьг
з =1 3=г
п1
г = 1,...,п.
Теорема доказана.
Литература
1. Буре В. М. Теоретико-игровая модель одной системы массового обслуживания // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2002. Вып. 2 (№ 9). С. 3—5.
2. Буре В. М., Сергеева А. А. Конкуренция двух фирм на рынке логистических перевозок // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2011. Вып. 3. С. 22-28.
р
3. Петросян Л. A., Зенкевич Н. A., Семина Е. A. Теория игр: учеб. пособие для ун-тов. М.: Высшая школа; Книжный дом «Университет», 1998. 304 с.
4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: в 2 т. / пер. с англ. Ю. В. Прохорова; предисл. А. Н. Колмогорова. М.: Мир, 1984. Т. 2. 751 с.
5. Чейз Р., Джейкобс Ф, Аквилано Н. Производственный и операционный менеджмент. 10-е изд. / пер. с англ. О. А. Островской, О. Л. Пилявского; под ред. Н. А. Коржа. М.: ООО «И. Д. Ви-льямс», 2007. 1184 с. (Chase Richard B., Jacobs Robert F., Aquilano Nicholas J. Production and Operational Management)
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья принята к печати 20 октября 2011 г.