Конкуренция двух фирм на рынке логистических перевозок Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2011. Вып. 3

УДК 519.2

В. М. Буре, А. А. Сергеева

КОНКУРЕНЦИЯ ДВУХ ФИРМ

НА РЫНКЕ ЛОГИСТИЧЕСКИХ ПЕРЕВОЗОК

Введение. Логистические системы получили широкое распространение в современной экономической среде, с каждым годом становясь все более сложными и многоуровневыми. В связи с этим возникает потребность в их изучении и создании математического аппарата для описания их функционирования. Имеется множество публикаций, в которых рассматриваются проблемы логистики с точки зрения экономического анализа, теории управления запасами, теории массового обслуживания, статистических оценок, сетевого планирования и управления (например, [1-3]).

В данной работе для исследования логистической модели применяются математическая теория игр и теория вероятностей, а также элементы теории массового обслуживания.

Различают несколько видов логистики: закупочная, сбытовая, транспортная, складская, информационная, финансовая, логистика запасов. Предметом изучения является транспортная логистика.

Под логистической системой будем понимать структурированное множество упорядоченных звеньев в виде физических и юридических лиц (снабженцев, производителей, перевозчиков, дистрибьютеров и т. д.), осуществляющих логистические операции по доведению материального потока от производителя до конечного потребителя [1].

Рассмотрим логистическую систему следующего вида. Пусть на рынке логистических перевозок имеются две фирмы, оказывающие услуги по транспортировке товара от производителя до конечного потребителя. Каждая фирма предлагает свою политику формирования конечной стоимости выполнения заказа клиента. Фирма 1 выполняет заказы клиентов в порядке очереди, фирма 2 - все заказы сразу. При этом стоимость выполнения заказа фирмой 1 является фиксированной, а фирма 2 включает в стоимость цену за единицу времени его выполнения. Также необходимо учесть потери клиентов, связанные с ожиданием выполнения заказа той или иной фирмой. Клиент выбирает фирму для транспортировки товара, стараясь минимизировать свои издержки.

Постановка задачи. Обозначим через т\ - время пребывания в системе клиента при выборе фирмы 1. Это время складывается из двух слагаемых:

Буре Владимир Мансурович — доктор технических наук, профессор кафедры математической теории игр и статистических решений Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 122. Научные направления: анализ данных, вероятностно-статистическое моделирование. E-mail: vlmbure@mail.ru.

Сергеева Анна Александровна — аспирант кафедры математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор технических наук, проф. В. М. Буре. Количество опубликованных работ: 1. Научные направления: математическая теория игр, теория очередей, теория вероятностей. E-mail: sergeeva_a_a@mail.ru.

© В. М. Буре, А. А. Сергеева, 2011

Т1 = Т11 + Т12,

где тц - время ожидания начала выполнения заказа фирмой 1; Т12 - время обслуживания фирмой 1.

Через т2 обозначим время пребывания в системе клиента при выборе фирмы 2:

Т2 = Т22,

так как время ожидания начала обслуживания в фирме 2 равно нулю, где Т22 - время обслуживания фирмой 2.

Параметры Т1 и Т2 являются случайными величинами.Определим затраты клиентов на обслуживание в каждой из фирм.

Пусть С1 - стоимость выполнения заказа фирмой 1, она фиксирована и не зависит от длительности выполнения заказа клиента.

Пусть далее С2 - стоимость выполнения заказа фирмой 2, зависящая от длительности обслуживания клиента фирмой 2:

С2 = С21 + С22Т22,

где С21 - фиксированная стоимость, взимаемая за выполнение заказа; С22 - стоимость единицы времени обслуживания клиента фирмой 2.

Помимо издержек на выполнение заказа клиенты несут потери, связанные с ожиданием выполнения заказа. Пусть г - удельные потери, которые несет клиент при ожидании выполнения заказа, тогда можно определить полные потери, связанные с ожиданием выполнения заказа фирмой 1, которые будут складываться из двух слагаемых:

ГТ1 = г(тц + Т12 ),

а полные потери, обусловленные временем ожидания выполнения заказа фирмой 2, будут выглядеть следующим образом:

ГТ2 = ГТ22 .

Теперь можно рассчитать полные потери клиентов на обслуживание фирмами 1 и 2 соответственно:

Ql = ГТ1 + С1,

0>2 = ГТ2 + С2 = (г + С22)Т22 + С21.

Тогда средние потери клиентов на обслуживание при условии обращения клиента в соответствующую фирму определяются математическими ожиданиями:

Ql = Е0>1 = г(Етц + ЕТ12) + С1,

Q2 = ЕСЦ2 = (г + С22 )Ет22 + С21.

Каждая фирма представляет собой обслуживающее устройство, таким образом, в системе имеются два обслуживающих устройства, каждое из которых устанавливает свой порядок обслуживания [4]. Фирма 1 обслуживает клиентов в порядке очереди, фирма 2 - всех клиентов сразу. Длительности обслуживания клиентов фирмами 1 и 2

являются независимыми случайными величинами с экспоненциальными распределениями. Так, длительность обслуживания клиентов фирмой 1 определяется плотностью

1 м

Л (г) = —еМ1 , г>о,

Ц1

а длительность обслуживания клиентов фирмой 2 - плотностью

1

Ь^) = —емз ; г > о.

М2

Предположим, что в данный момент времени на обслуживание поступает группа, состоящая из п клиентов. При этом известно, что на обслуживании в фирме 1 находится к клиентов (из них к—1 стоит в очереди на выполнение заказа). Каждый клиент решает, какую фирму выбрать для осуществления перевозки товара. Пусть рг - вероятность того, что клиент г выберет фирму 1, соответственно 1 — рг - что фирму 2.

Данная модель приводит к игре п лиц [5], в которой клиенты представляют собой игроков, выбирающих логистическую фирму для транспортировки необходимого товара. Рассмотрим неантагонистическую игру в нормальной форме

Г =< М, {рг}геы, {Нг}геи >,

в которой N = {1,...,п} - множество игроков, {рг}геN - множество стратегий игроков, рг € [0,1], {Hi}ieN - множество функций выигрыша игроков

Нг = — (р^ц + (1 — Pi)Q2i) = — (Рг^и — Q2i) + Q2i),

где рг - вероятность того, что клиент г выберет фирму 1, а 1 — рi - что фирму 2.

Ожидаемые потери игрока г на обслуживание при условии обращения в фирму 1 составят

Qli = гЬц + С1,

здесь ¿1, - среднее время до полного выполнения заказа при условии, что игрок г обратился в фирму 1.

Ожидаемые потери игрока г на обслуживание при условии обращения в фирму 2

Q2i = (г + С22 )t2i + С21,

где ¿2, - среднее время до полного выполнения заказа при условии, что игрок г обратился в фирму 2, г = 1,...,п.

Далее будем использовать функцию потерь игроков: Нг = —Нг, г = 1,...,п.

В рассматриваемой модели под стратегией игроков можно понимать выбор одной из двух фирм, т. е. множество чистых стратегий каждого игрока имеет вид {1, 2}, а вероятность рг в этом случае является смешанной стратегией игрока г и определяет вероятность выбора фирмы 1 игроком г.

Будем предполагать, что рассматривается игра с полной информацией.

Основные результаты.

Теорема. В рассмотренной игре Г =< М, {рг}ге^, {Нг}г^ > существует единственная ситуация равновесия (р\,...,р*п), которая определяется следующим образом :

если гщ(^ + к + - (г + С22)М2 + С1 - с21 < 0, то р* = 1, ¡ = 1

если т^\(к +1) — (т + С22)М2 — С21 + 01 > 0, то р* = 0, г = 1,...,п,

если гц\{к + 1) < (г + с22)м2 + С21 - С1 < г/х 1(| + к +

* 2((т + 022)^2 — т(к +1)/л — 01 + 021) . 1

то =-------------------------------------------, г=1

т^1(и — 1)

где к = 0, если у фирмы 1 нет клиентов в очереди и на обслуживании; к = 1, если у фирмы 1 на обслуживании находится один клиент и нет клиентов в очереди; к > 1, если у фирмы 1 на обслуживании находится один клиент и к — 1 клиент в очереди.

Доказательство. Пусть Ьц - условное среднее время продолжительности обслуживания игрока г при условии, что он выбрал фирму 1, Ь2г - условное среднее время продолжительности обслуживания игрока г при условии, что он выбрал фирму 2. Если то игроков, включая игрока г, выбрали фирму 1, то с вероятностью ^ игрок г займет любое из т мест в очереди на обслуживание у фирмы 1. Так как среднее время обслуживания любого игрока фирмой 1 равно М1 и экспоненциальное распределение обладает свойством отсутствия последействия (т. е. в какой бы момент игрок ни пришел, можно считать, что обслуживание очередного игрока только началось), можем записать условное математическое ожидание времени до начала обслуживания игрока г без учета времени на обслуживание игроков, уже находящихся на обслуживании в фирме 1:

т-1 1 1 т-1 1 , 14 1

\ ' , 1 1 \ ' , 1 ТО (то — 1) 1

> //XI— = —/XI > I = —/XI-------------- = -/XI(то - 1).

т т т 2 2

1 = 0 1=0

В приведенной формуле предполагается, что I игроков из т предшествуют игроку с номером г. Обозначим через Рг (I) - вероятность того, что в совокупности, содержащей I

клиентов, т игроков выберут фирму 1 и соответственно I — т игроков выберут фирму 2.

В рассматриваемой задаче предполагается, что совокупность состоит из п игроков, поэтому математическое ожидание времени до начала обслуживания игрока г без учета времени на обслуживание к игроков, уже находящихся на обслуживании в фирме 1, примет вид

п 1 п —1 1

53 2'“1(т “ 1)-Рт-1(« - 1) = 53 2^тРгп{п ~ 1). (1)

т=1 т=0

Теперь можем записать условное среднее время до полного выполнения заказа при условии, что игрок г обратился в фирму 1:

1 п 1 п- 1 = кц 1 + —/XI 53 (то - 1)Рт_1(п - 1) +/Х1 = к/л 1 + —/XI 53(п - 1) + /XI,

т=1 1=0

и условное среднее время до полного выполнения заказа при условии, что игрок г обратился в фирму 2:

Ь2г = М2.

Покажем, что вектор (р\,.. .,рП) действительно представляет собой точку равновесия. Пусть р1 = ... = р— 1 = Рг+1 = ... = рп = р, тогда, применяя схему Бернулли для биномиального распределения [6], получим

Рг (п — 1)= СП_ р (1 — р)п—1—г. (2)

Подставляя выражение (2) в формулу (1), находим

п—1

]Г mCm-ipm(1 - p)n-1-m = p(n - 1).

Тогда условное среднее время до полного выполнения заказа при условии, что игрок г обратился в фирму 1:

ги = кц 1 + -щр(п - 1) + /л-

Теперь можем подставить полученные выражения в функцию потерь игрока г при выборе фирмы 1:

С}и = г(кц\ + р(п - 1) + щ) + с\ и функцию потерь игрока г при выборе фирмы 2:

Q2i = (г + 022)^2 + С21.

Функция ожидаемых потерь игрока г примет вид

Ы = ТмЯи + (1 — Pi)Q2i = Рг(Яи — Q2i) + Q2i.

Игрок г стремится минимизировать ожидаемые потери Ь. Рассмотрим выражение для Q1i — Q2i:

Я и ~ Ян = г{кц 1 + р(п - 1) + щ) + С1 - (г + с22)м 2 - с21 =

= г (к + 1)М1 + )^ГЦ1Р(П - 1) - (г + с22)м 2 - с21 + С]_.

Возможны следующие ситуации:

• если все игроки, кроме игрока г, выбирают стратегию р =1, тогда при условии Q1i — Q2i < 0 игрок г должен выбрать р'ц = 1;

• если все игроки, кроме игрока г, выбирают стратегию р = 0, тогда при условии Q1i — Q2i > 0 игрок г должен выбрать р'ц = 0;

• если указанные выше условия не выполняются и игроки выбирают стратегию

* 2((г + С22)М2 — Г (к + 1)/л — С1 + С21)

р = Рг = --------------------------тт------------, то игрок г оказывается в ситуации,

Т^1 (п — 1)

когда выбор любой стратегии приводит к одному и тому же результату и, следовательно, игрок г не может уменьшить свои потери, поэтому ему также нет смысла отклоняться от стратегии р*.

Как видим, игроку г не следует отклоняться от стратегии, указанной выше в формулировке теоремы, так как отклонение не приводит к уменьшению потерь. Таким образом, доказано, что вектор р* представляет собой точку равновесия.

Покажем единственность найденного равновесия.

В общем случае процесс выбора одной из двух фирм представляет собой последовательность независимых испытаний, каждый из игроков выбирает либо фирму 1, либо фирму 2. Пусть, в отличие от предыдущего, вероятности р^ г = 1,...,п, выбора фирмы 1 могут быть разными и, следовательно, рассматриваемая последовательность

независимых испытаний не является схемой Бернулли. Вычислим математическое ожидание времени до начала обслуживания клиента г при условии, что он выбрал фирму 1 без учета клиентов, ранее принятых на обслуживание в эту фирму. Для вычисления

п—1

величины У~] т(и — 1), которая представляет собой математическое ожидание числа

1 = 0

игроков, выбравших фирму 1, из совокупности п — 1 игрока без учета игрока г, а также клиентов, ранее принятых на обслуживание в фирму 1, можно воспользоваться следующим приемом. Рассматриваемое математическое ожидание совпадает с суммой математических ожиданий числа «успехов» (под «успехом» можно понимать выбор фирмы 1) в каждом отдельном испытании, т. е. каждым игроком из совокупности п — 1 игрока, следовательно,

п-1 п

(п — 1) = 53 Рт ■

1=0 т =1

т=г

Тогда условное среднее время до полного выполнения заказа при условии, что игрок г обратился в фирму 1:

1п

¿1* = кц\ + —/XI 53 Рт + Мъ

т =1 т=г

и условное среднее время до полного выполнения заказа при условии, что игрок г обратился в фирму 2:

t2i = М2 ■

Соответственно получаем функцию потерь игрока г при выборе фирмы 1:

1

<3 и = г (к/л 1 + —/XI 53 Рш + М1) + С1

т =1 m=i

и функцию потерь игрока г при выборе фирмы 2:

Q2i = (г + С22 )М2 + С21. Функция ожидаемых потерь игрока г имеет вид

^ Pi (Q1i Q2i) + Q2i■

Рассмотрим уравнение

1 п

Ян ~ = г[к}11 + —/Л1 ^ Рт + + С1 - (Г + С22)М2 - С21 = 0. (3)

1

m=i

Если г/хх(| + к + тг)-(г + с22)/Х2 + с-1 - с2\ <0 или г/л\{к + 1)-(г + с22)/Х2 - с2\ + с\ > 0,

п

то это уравнение не имеет решения относительно ^ рт. В первом случае всем игро-

т =1 т=‘Ь

кам следует выбирать р^^_ = 1, во втором - р^_ = 0. Если оба указанных выше условия

n

не выполняются, то величина ^ рт определяется единственным образом из решения

m = 1 m=i

уравнения (3).

n

Как видим, все суммы ^ pm должны быть одинаковыми при всех возможных

m =1 m=i nn

значениях i = 1,...,и,т.е.^2 Pm = Y, Pm, i = j.

m =1 m =1

m=i m=j

Отсюда получаем

Pi = Pj, i = j.

Следовательно, точка равновесия содержит только одинаковые вероятности, но тогда вытекает, что она совпадает с р*. Теорема доказана. □

Заключение. В настоящей работе описана модель рынка перевозок при наличии двух логистических фирм, имеющих разные политики формирования цены выполнения заказа клиента. Сформулирована игра n лиц и доказаны существование и единственность равновесия по Нэшу в данной игре. Найдена точка равновесия.

Литература

1. Ghiani G., Laporte G., Musmanno R. Introduction to Logistics Systems Planning and Control. London: John Wiley and Sons, 2004. 360 p.

2. Daganzo C. Logistics system analysis. Berlin: Springer, 1996. 272 p.

3. Langevin A., Riopel D. Logistics systems: design and optimization. New York: Springer, 2005. 392 p.

4. Буре В. М. Теоретико-игровая модель одной системы массового обслуживания // Вестн. С.-Пе-терб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2002. Вып. 2 (№ 9). С. 3—5.

5. Петросян Л. A., Зенкевич Н. A., Семина Е. A. Теория игр: учеб. пособие для ун-тов. М.: Высшая школа; Книжный дом «Университет», 1998. 304 с.

6. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: в 2 т. / пер. с англ. Ю. В. Прохорова; предисл. А. Н. Колмогорова. М.: Мир, 1984. Т. 2. 751 c.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.

Статья принята к печати 10 марта 2011 г.