CC BY
20
УДК 629.08
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ ЭКСПЛУАТАЦИЕЙ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
Дмитриенко Д.В., к.э.н., ФГБОУВО «ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова», e-mail: kaf_osnipr@gumrf.ru
Исследование операций и методы статистики являются ключевым инструментом повышения эффективности эксплуатации водного транспорта, количественного анализа данных при выполнении коммерческой работы, управлении логистическими процессами, совершенствовании управления главным производственным потенциалом в условиях ограниченных ресурсов - основными средствами организаций и предприятий отрасли. Переход на технологии цифровой экономики требует кардинальных изменений в совершенствования эксплуатации объектов водного транспорта, получении оптимальных решений путем использования современных вычислительны сред и компьютерных моделей. Для совершенствования планирования производства в работе предлагаются модельные и алгоритмические решения, реализованные средствами балансовых моделей и моделей, основанных на цепях Маркова. Интерпретация моделей и алгоритмов для реализации планов в детерминированных вариантах и с использованием марковских процессов как единого технологического процесса определяет отличие работы от известных публикаций в исследуемой предметной области. Приведенные примеры, доведенные до численных результатов, подтверждают корректность и устойчивость модельных и алгоритмических решений.
Ключевые слова: балансовые модели, матрицы прямых и полных потребностей, модели «затраты - выпуск », присадки, конечный продукт, эргодический процесс, цепь Маркова, матрица вероятности переходов, стационарный процесс.
IMPROVEMENT OF WATER TRANSPORT OPERATION MANAGEMENT USING METHODS OF INVESTIGATION OF OPERATIONS
Dmitrienko D., Ph.D., FSEIHE «Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping», e-mail: kaf_osnipr@gumrf.ru
Operations research and statistical methods is a key instrument for improving the efficiency of water transport, quantitative analysis of the data when performing commercial work, the management of logistics processes, improve the management of main production capacity in low-resource settings - the basic means of the organizations and companies in the industry. The transition to the digital economy requires fundamental changes to improve the operation of water transport facilities, obtaining optimal solutions through the use of modern computing environments and computer models. To improve production planning in the suggested model and algorithmic solutions implemented means balance models and models based on Markov chains. Interpretation of models and algorithms for implementation ofplans in determinate ways and with the use of Markov processes as a single process determines the difference between the work from well-known publications in the studied subject area. The examples brought to the numerical results confirm the correctness and stability of the model and algorithmic solutions.
Keywords: balance model, matrix, direct and full of needs, model "costs - output" of the additive, the final product, ergodic process, Markov chain, matrix transition probabilities, stationary process.
Новые методы, модели и алгоритмы управления эксплуатацией водного транспорта, являющиеся составной частью современной теории управления комплексом транспортных систем, образуют значимую составляющую инструмента для реализации Стратегии развития внутреннего водного транспорта Российской Федерации на период до 2030 года. В области эксплуатации обеспечению прогресса способствуют современные компьютерные сети и системы, сетевые технологии, разработанные на их основе стандарты и интерфейсы интеграции, способы обработки данных, а также научно обоснованные решения, существенно расширяющие область практических приложений инструмента в целом[10].Для управления предприятиями на водном транспорте применяются различные прогрессивные методы, базирующиеся на конкретных способах принятия решений [7]. Методы формализованы и доведены до стандартов, предназначенных для управления предприятиями и объектами водного транспорта. Технологии транспортного менеджмента предприятия представлены следующими типовыми стандартами:
- стандарт планирования ресурсов производства (ManufacturingResourcePlanning -MRP II);
- планированияресурсовпредприятия (MRP II & FRP (Finance Resource Planning), Enterprise Resource Planning - ERP I);
- оптимизации управления ресурсами (ERP II);
- планирования потребности в материалах (MaterialRequirementPlanning - MRP);
- образования замкнутого цикла планирования материальных ресурсов (CL MPR);
- взаимодействия менеджеров предприятий и организаций в продвижении товаров и услуг (Customer Relationship Management - CRM, Customer Synchronized Relationship Management - CSRM).
Отметим, что стандартами руководствуются при формировании транспортно - логистических потоков продукции путем координации и интеграции операций, организации совместной деятельности менеджеров отдельных подразделений предприятий и управляемых объектов, с целью минимизации затрат ресурсов на продвижение продукции по цепи "производство - транспорт-распределение - сбыт". Широкое распространение на практике получили стандарты MRP-II и ERP II. Основанные на принципе системности и функциональной целостности, стандарты могут применяться для управления предприятиями различного масштаба, в том числе - крупными фирмами, пароходствами, имеющими активный бизнес, с обеспечением поддержки принятия решений на различных уровнях управления [2],[6].Применение для планирования ресурсов производства стандартов позволяет поддержать большую группу функций управления предприятием, в том числе -планирование потребности в материалах, производственных мощностей, бизнес - планирование и др. Средствами MRPII-систем реализуется оперативное получение информации о текущих результатах деятельности предприятиякак в целом, так и с детализацией по отдельным заказам, видам ресурсов, транспортных услуг, этапам выполнения производственных планов. Оптимизируются производственные и материальные потоки путем сокращения непроизводственных затрат. Системы MRPII и ERP II, прежде всего, ориентированы на управление внутренними процессами предприятия и заданные модели технологии производства различных видов продукции (работ, транспортных услуг). Экономический эффект от эксплуатации достигается, благодаря согласованной работе отдельных подразделений предприятия, интеграции функций управления. Вместе с тем, основанные на состоянии техносферы и технических решениях тридцатилетней давности, стандарты не могут оставаться неизменными. Для управления объектами водного транспорта в условиях конкуренции они должны подлежать изменениям и дополнениям, с учетом современного состояния науки, фундаментальных положений теории эксплуатации водного транспорта, развития информационных технологий, повышения сложности моделей и алгоритмов оптимизации процессов эксплуатации в исследуемой предметной области [5]. Внесение кардинальных изменений в технологии эксплуатации водного транспорта на основе логистического подхода предполагает необходимость решения комплекса прикладных задач в области математики, техники, экономики и управления, что позволит совершенствовать взаимодействие материальных и информационных потоков на базе методов исследования операций [8],[11]. В этой связи в работе предлагаются модельные и алгоритмические решения, направленные на совершенствование
планирования производства средствами балансовых моделей и моделей, основанных на цепях Маркова, что позволяет расширить область применения методов исследования операций в управлении эксплуатацией объектов водного транспорта.
Предлагаемые решения могут применяться в сфере методов и специальных правил, служащих инструментом формирования управляющих воздействий на потоковые процессы, обусловленных концепциями транспортной логистики в форме алгоритмов производственно-коммерческой деятельности.
Совершенствование планирования производства основано на использовании модели определения потребных деталей и узлов для выполнения заказов на изготовление и ремонт оборудования, при изменении номенклатуры и качества выпускаемой продукции, вследствие несбалансированности отдельных секторов рынка и др.[9] Модель базируется на матричном уравнении.
х - А-х = у ,
где .г - вектор комплектующих деталей и узлов (материалов) размерности (пх1), требуемых для выполнения плана выпуска продукции, определяемого вектором У размерности (пх1); ^ - квадратная (пЧп) - матрица прямых потребностей в деталях и узлах (сборочная матрица), составляемая по диаграмме выпуска (сборки) плановой продукции, согласно теореме Гозинта.
Модель (1), предлагаемая для планирования выпуска продукции (выполнения ремонтных работ судовых энергетических установок и судового электрооборудования, формирования запасных частей и агрегатов для обслуживания судов в рейсе, навигационного оборудования водных путей, проведения ремонтных работ на шлюзах, гидротехнических сооружениях и др.), по структуре совпадает с открытой моделью «затраты - выпуск» Василия Леонтьева. Модель по существу является универсальной, поскольку основана на одних и тех же матричных уравнениях и может использоваться в различных по назначению производственных системах.
Применительно к определению потребных деталей и узлов задается внешний спрос на продукцию у (основной спрос) для каждого продукта. С помощью матрицы прямых потребностей А—(а ) устанавливается линейная форма потребных деталей для выпуска одной единицы
продукции каждого вида, согласно технологии производства. Всктор-^опрслсляст условие сервиса производственного процесса по обеспечению основного спроса (выпуску конечной продукции). Поскольку А инвертируемая матрица, модель можно представить в виде:
х = (I - А)-1-у = В■ у
где В - матрица Леонтьева (технологическая матрица). Модель (2) может быть получена, если рекуррентные соотношения
Ч+1
= y + A-xk, k = 0,1,2,...
(2)
(3)
приводят к сходимости решения при всех
x > 0
т.е. обеспечивается стационарность процесса. Если по производственным условиям матрица прямых потребностей оказывается разреженной, а ее собственные значения равны нулю, то спектр матрицы Леонтьева будет со-
eig (B) > 1
стоять из единиц, что отвечает известному условию стационарности .
Следует также отметить возможность восстановления элементов матрицы А по статистическим рядам, устанавливающим связь между
входом и выходом (2) путем формирования^' в виде прямоугольной матрицы размерности (пхг) системы линейно независимых векторов полного ранга, где r>n. [3]. Такая матрица может быть образована с помощью векторов - столбцов с равномерным распределением [4]. С этой целью в среде MatLAB следует воспользоваться оператором:
yr - rand(п,г) (4)
Если теперь матрицу (4) преобразовать к виду -^т также полного ранга по формуле (2), то в процессе производства матрица прямых потребностей может быть восстановлена по массивам xr и yr с помощью уравнения
A = Air - (X/ УГ-(УГ-УГ)-1)-1, (5)
т.е. матрица прямых потребностей может храниться в виде «эталонных» массивов случайных чисел, что обеспечит, в случае необходимости, конфиденциальность информации о структуре производственного процесса.
Процедуру составления матрицы прямых потребностей рассмотрим на следующем примере. Предположим, что структуру производства (выпуска продукции) можно представить в виде открытой модели, изображенной на рис.1. Для выпуска каждого вида конечного продукта P и P2, согласно диаграмме Гозинта (рис.1),требуется получить промежуточные продукты L и L , состоящие из трех компонент K1, K2 и K3.
Чтобы получить одну единицу конечного продукта P1, требуется d единиц промежуточного продукта L1 и d единиц продукта L2. Для выпуска одной единицы Р2 необходимо, соответственно, d,, единиц продукта Z, и ¿/,, единиц продукта Lr
К2
С21
С 22
d21„
d 22
L2
Рис. 1. Диаграмма Гозинта
Аналогично составлена часть диаграммы для получения одной единицы промежуточных продуктов Ь и Ь2 из компонент К1, К2 и К3. Количественные оценки материальных потоков в этой части диаграммы, согласно заданным направлениям дуг, можно представить в матричной форме:
(KL У
^11 C12
C21 C22 . (L ^ P)
C31 C32 _
(6)
Чтобы обеспечить выпуск промежуточных продуктов L1 и L2 в количествах d1=d11+d и d2=d21+d22 потребуется Xk компонент K:
Хи = (К ^ ьу
X» = (Ь ^ Р)
и, аналогично,
Р1 Р2
где р1 и р2 - спрос на конечный продукт. Поскольку значениям р1 и р2 с помощью уравнения
(К ^ Р)=(К ^ Ь)(Ь ^ Р)
Хкр = (К ^ ру
Р1 ,Р2.
, то вектор X можно определить по заданным
(7)
Можно предложить количественную интерпретацию применения диаграммы Гозинта (рис.1) для решения класса эксплуатационных задач, например, задач на составление смесей. С этой целью диаграмме придадим следующее смысловое содержание.
Предположим, что балансовая модель применяется для подготовки охлаждающей жидкости судовых дизелей. Процесс подготовки состоит в добавлении к требуемому объему пресной воды трех видов присадок К1, К2 и К3. Присадки сначала используются для приготовления двух видов смесей Ь1 и Ь2. Затем из смесей, согласно технологии, получаются два вида охлаждающей жидкости (конечного продукта) Р1 и Р2 с различными технологическими характеристиками. Будем полагать, что эти жидкости предназначаются для охлаждения главных и вспомогательных двигателей. Известно, что присадки добавляются, с целью снижения жесткости воды, замедления коррозии, улучшения циркуляционных процессов в каналах охлаждения блоков цилиндров, повышения эффективности отвода тепла в теплообменных системах с контурами охлаждающей воды с присадками и забортной воды и др. Введем следующие численные значения параметров: - измерения в граммах на единицу присадки
с11 С12 "15 22"
(К ^Ь ) = С21 С22 = 10 17
_с31 с32 _ 11 14
- измерения в килограммах на единицу промежуточного продукта
(Ь ^ Р ) =
^1 <1 12 "125 168"
^21 d22 _ _ 96 128
- измерения в тоннах на единицу конечного продукта
Р1 "0.75"
_ Р2 _ 0.35
По моделям (6) и (7) определим потребности в ингредиентах, необходимых для приготовления охлаждающих жидкостей:
Хьр = (Ь ^ Р).
Хр = (К ^ Р)
Р1 "125 168" "0.75" "152.55"
_ Р2 _ 96 128_ _0.35_ _116.80_
Р1 Р 2
= (К ^ Ь)(Ь ^ Р)
Р1 Р 2
(кг) 22" 17 14
"125 168" " 0.75"
96 128 0.35
4857.9 3511.1 3313.3
(г)
Полученные решения могу быть выполнены в компактной форме, если ввести матрицу А, обобщающую модели (6) и (7), и использовать те же численные значения параметров. В этом случае для расчетов целесообразно применить модель (2), что значительно упростит вычислительный процесс и сократит число рутинных операций.
Матрицу прямых потребностей А для рассматриваемого примера составим по диаграмме Гозинта (рис.1).
Приведенная ниже обобщенная матрица, в которую включены модели выполненного пошагового расчета, называемая матрицей прямых потребностей, определяет число компонент ингредиентов, необходимых для приготовления (выпуска) одной единицы каждого последующего продукта в терминах размерности величин, примененных в диаграмме Гозинта.
0 0 0 0 0 0 0
К1 0 0 ^ ^ 0 0 0 К 0 0 «м ^ 0 0 0
К3 0 0 ^ ^ 0 0 0
Матрица составлена по следующему алгоритму. Сначала выбрана последовательность столбцов, относящихся к продуктам Р Р Ь , Ь2, К1, К2, К3 (вершины графа). Затем такая же последовательность использована для обозначения строк. В результате создана структура, удобная для внесения параметров, указанных на ребрах графа (приведенных на диаграмме, рис.1), по столбцам. Из диаграммы следует, что для приготовления 1 т жидкости Р1 требуется d11=125 кг смеси Ь1 и d21=96 кг смеси Ь2. Эти параметры внесены как элементы строк Ь1 и Ь2 столбца Р Другие элементы первого столбца равны нулю, поскольку к вершине Р1подведены только ребра d11 и d . К вершине Р2 из вершин Ь1 и Ь2 подходят лишь ребра d12=168 кг и d22=128кг. Поэтому во второй столбец Р2 внесены только эти элементы. В результате математически сформулировано условие: для приготовления 1 т охлаждающей жидкости Р2 требуется d12=168 кг смеси Ь1 и ¿^=128^ смеси Ь1.
Аналогично в строках К1, К2, К3 третьего Ь1 и четвертого Ь2 столбцов содержатся, соответственно, параметры с , с21, с31 и с12, с22, с32. Следовательно, сформулированы условия: для приготовления 1кг смеси Ь1 необходимо иметь с = 15 г присадки К1, с = 10 г присадки К2 и с31= 11 г присадки К3.
Для приготовления 1 кг смеси (промежуточного продукта) Ь2 требуется, как следует из диаграммы (рис.1), с12=22 г присадки К1, с22=17 г присадки К2, а также присадки К3 в количестве с32=14 г.
Р1 Р2 Ц Ч К1 К2 К3
Р1 0 0 0 0 0 0 0
Р
Ч dn d12 0 0 0 0 0
Ч <4 <4 0 0 0 0 0
Элементы пятого, шестого и седьмого столбцов должны быть равны нулю. Введем вектор переменных состояния
X — [ X2 Xз X4
X.7]7
с элементами, соответствующими продуктам Р Р Ь , Ь2, К1, К2, К3. Элементы этого вектора, содержащего все ингредиенты, необходимо определить из условия выполнения производственного плана, заданного вектором.
У У У У
13 4 15 16
у.Г
у — [У У2
Поскольку связь между л и 1 определяется балансовой моделью (1), а по условию примера производственный план состоит только
олучении кон( будет иметь вид
У У
в получении конечного продукта (охлаждающих жидкостей) в количествах 11=0.75 т и 12=0.35 т, то матричное уравнение для расчета
X=У+Л•X или
^ 0.75 0.00 0.00 0.00 0.00 0 0 0
X2 0.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0 0 0
X3 0 125 168 0.00 0.00 0 0 0
X4 — 0 + 96.0 128 0.00 0.00 0 0 0
X5 0 0.0 0.00 15 22 0 0 0
X6 0 0.00 0.00 10 17 0 0 0
X. 0 0.00 0.00 11 14 0 0 0
X! X2
Xз X4
X5
X6 X,
(8)
Решение уравнения (8)получим при помощи рекуррентного соотношения (3). Выберем вектор начального приближения х0=[1 1 1 1 1 1 1]Т.
Тогда получим последовательность векторов, представленную в таблице 1, со сходимостью решения к стационарному процессу на четвертой итерации (см. вектор X(4)).
Таблица 1.
Номеритерации
Д0) X(\) X(2) Д3) Д4)
1 0.75 0.75 0.75 0.75
1 0.35 0.35 0.35 0.35
1 293 152.55 152.55 152.55
1 224 116.80 116.80 116.80
1 37 9323 4857.85 4857.85
1 27 6738 3511.10 3511.10
1 25 6359 3313.25 3313.25
Для стационарного процесса удобно использовать модель (2), позволяющую по заданному плану У рассчитать X, а также решить обратную задачу: найти по известному X вектор У. Приведем несколько решений, полученных для различных планов (таблица2).
Первый план составлен при условии выпуска конечной продукции (охлаждающей жидкости) в количествах Р1 =1 т и Р2=1т. Поскольку выпуск других продуктов не планируется, в векторе У первые два элемента равны единице, а остальные - нули. Для выполнения этого плана потребуется такое количество материалов, которое указано в элементах вектора X, соответствующего вектору У: X3=294 кг, X4=223 кг, X=9323 г, X,=6738 г и X=6359 г.
'5 '6 7
Второй и третий планы содержат только составляющие конечных продуктов, и ингредиенты, представленные соответствующими им векторами X полностью (без остатка) должны использоваться для выпуска продукции.
Четвертый план характеризуется тем, что, кроме условий, предусмотренных в третьем плане, требуется дополнительно иметь запас первой присадки в количестве 500 г. Поэтому в векторе X1' четвертого плана пятый элемент увеличен на 500 единиц в сравнении с третьим. Наконец, при составлении пятого плана предполагается выпуск только второго вида охлаждающей жидкости (0.55 т) с одновременным созданием запаса третьей присадки в количестве 1000 г.
Таблица 2.
План Вектор У Вектор X
1 [1, 1, 0, 0, 0, 0, 0] [1, 1, 293, 224,9323,6738,6359]
2 [0.75, 0.35,0,0,0,0,0] [0.75,0.35,152.55,116.8,4857.85,3511.1,3313.25]
3 [0.4, 0.15,0,0,0,0,0] [0.4, 0.15, 75.2, 57.6, 2395.2,1731.2,1633.6]
4 [0.4, 0.15,0,0,500,0,0] [0.4, 0.15, 75.2, 57.6, 2895.2, 1731.2, 1633.6]
5 [0, 0.55,0, 0, 0, 0,1000] [0, 0.55, 92.4, 70.4, 2934.8, 2120.8, 3002.0]
Переходы к стационарному решению в балансовых моделях могут происходить не детерминировано, а иметь стохастический характер и управляться переходной матрицей Р=(р .), где р.. - вероятность нахождения системы в момент t+1 в состоянииесли в момент t она находилась в состоянии г. В таких случаях асимптотическое поведение вектора переменных состояния х(г) технологического процесса исследуется с помощью цепей Маркова [1]. При этом, если переходные вероятности р.. положительны, то функции х(г) сходятся при к стационарному режиму, согласно уравнению N
г—1
Важным является то, что предельные значения не зависят от начального состояния системы [15]. Марковская цепь является результатом случайных испытаний, при этом результатом теста может быть только одно состояние (из множества возможных) [14]. Марковские цепи целесообразно применять для моделирования грузопотоков на водном транспорте, с использованием экспертных оценок судовладельцев и грузополучателей о вероятности переключения грузопотоков с наземных видов транспорта на внутренний водный транспорт [13].
Рассмотрим следующий пример. Предположим, что рынок транспортных услуг по перевозке контейнерных грузов представлен в регионе тремя логистическими компаниями. Судоходная компания А осуществляет перевозки по внутренним водным путям, компания В -железнодорожным транспортом, компания С - автомобильным транспортом.
Доля рынка контейнерных перевозок в момент t компании А составляет 30%, компании В, соответственно, 20%, а 50% рынка занимает компания С. Необходимо с помощью модели определить, каково будет распределение доли рынка транспортных услуг в последующий период í+1, если известна матрица вероятности переходов из состояния в состояние:
Переход из состояния ABC
А
Переход В
б состояние С
0.6 0.1 0.3
0.2 0.7 0.1
0.3 0.2 0.5
Рис. 2 Граф переходов цепи Маркова
Граф переходов, соответствующий приведенной матрице, представлен на рис. 2. Модель перехода системы из исходного состояния в последующее имеет вид
xt+1 = Р 'х. (9) Воспользуемся уравнением перехода для оценки стационарного процесса на рынке транспортных услуг. Предположим, что в момент
х0 = [ 0.3 0.2 0.5]г
t=0 вектор состояния 0 . Тогда в момент t=1 состояние рынка можно оценить вектором х1:
" 0.6 0.2 0.3" " 0.3" " 0.37
x = 0.1 0.7 0.2 0.2 = 0.27
0.3 0.1 0.5 0.5 0.36
Последующие решения представлены в таблице 3. Таблица 3.
Х0 Х2 X4 X5 X9 x.0 X„
0.3 0.37 0.384 0.3854 0.3846 0.3837 0.3825 0.3824 0.3824
0.2 0.27 0.298 0.3106 0.3168 0.3199 0.3232 0.3234 0.3234
0.5 0.36 0.318 0.3040 0.2987 0.2964 0.2943 0.2942 0.2942
Сходимость решения произошла на одиннадцатой итерации. Из полученного решения следует, что балансовое состояние рынка соответствует долевому распределению:
хА = 38.24%, хв = 32.34%, хс = 29.42%
при условии, что хв х<с . Заметим, что это условие также выполняется на всех итерациях.
В приведенном примере достигнутое равновесное состояние не зависит от выбора начального приближения, т. е. цепь Маркова является эргодической. В тех случаях, когда также получаются сбалансированные состояния, но они зависят от начальных условий, цепь считается неэргодической [12]. Следует отметить, что для непрерывных процессов при отсутствии последействия динамика цепи Маркова моделируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений, которые с течением времени (по окончании переходного процесса) позволяют получить оценку стационарного режима.
Выводы. В области исследования операций марковские процессы позволяют на качественно новом уровне решать проблемы управления запасами, всесторонне исследовать системы массового обслуживания, совершенствовать теорию управление эксплуатацией водного транспорта путем развития и научного обоснования способов принятия оптимальных решений. Применение балансовых моделей для решения многочисленных практических задач, направленных на выполнение Стратегии развития внутреннего водного транспорта Российской Федерации на период до 2030 года, будет способствовать созданию среды для развития платформ и технологий различных сфер эксплуатационной деятельности на водном транспорте, формированию профессиональных компетенций, определяемых требованиями внедрения цифровой экономики.
Литература:
1. Захаров В.М., Эминов Б.Ф. Алгоритмы укрупнения цепей Маркова // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева, №2 (выпуск 1), 2013. С.125-133.
2. Карманов В. Г.Математическое программирование. - М.: Физматлит, 2004. - 264 с.
3. Кельберт М. Я., Сухов Ю. М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. II: Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложения . М.: МЦНМО, 2009. - 295 с.
4. Коралов Л.Б., Синай Я.Г. Теория вероятностей. Случайные процессы. М.: МЦНМО, 2013. - 407 с.
5. Косоруков, О.А.Исследование операций: учеб.для вузов / О.А. Косоруков, А.В Мищенко. М.: Экзамен, 2003. - 445с.
6. Орлова, И.В.Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование / И.В. Орлова, В.А. Половников. М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2011. 368 с.
7. Писарук Н.Н. Исследование операций/ Н. Н. Писарук. - Минск: БГУ, 2015. - 304 с.
8. Погорелов Б.А., Пудовкина М.А. Об обобщениях марковского подхода при изучении алгоритмов блочного шифрования // Прикладная дискретная математика. Приложение. Сентябрь 2014. № 7, 2014. С. 51-52.
9. Рудой Ю. Г., Обобщенная информационная энтропия и неканоническое распределение в равновесной статистической механике, ТМФ, 135:1 (2003), 3-54.
10. Яблонский А.И.Математические модели в исследовании науки / отв. ред. Ю.М. Гаврилец; АН СССР, ВНИИ систем.исслед. -М.:Наука, 1986. - 315 с.
11. Geiger B., Temmel C. Lumpings of Markov chains, entropy rate preservation, and higher-order lumpability // Advances in Applied Probability, 51(4), 2014. pp. 1114-1132.
12. Gorban, Alexander N.; Gorban, Pavel A.; Judge, George. . Entropy: The Markov Ordering Approach. Entropy 12, no. 5 (2010), 11451193.
13. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models, Ninth Edition. AcademicPress, Inc., Orlando, FL, 2006.-800 p.
14. Zhdanok A.I. Finitely additive measures in the ergodic theory of Markov chains. I // Siberian Advances in Mathematics. — 2003. — Vol.13, no 1. — P. 87-125.
15. Zhdanok A.I. Finitely additive measures in the ergodic theory of Markov chains. II // Siberian Advances in Mathematics. — 2003. — Vol.13, no 2. — P. 108-125.
