CC BY
36
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м V 1974
№ 1
УДК 629.015.46.24.07
МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАВНОПРОЧНОЙ КОНСОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ЗАДАННЫХ ДОПУСКАЕМЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ, НАГРУЗКАХ И КОНСТРУКТИВНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ
Т. Г. Зураев
Излагается метод решения обратной задачи на основе метода [2]: расчет переменной толщины равнопрочной консольной пластины при заданных допускаемых напряжениях, нагрузках и конструктивных ограничениях. Приведены примеры расчета.
1. Предлагается простой инженерный способ расчета распределения силового материала в конструкции по заданным напряжениям, нагрузке и конструктивным ограничениям. В качестве прямого метода используется метод пластинной аналогии для расчета крыльев малого удлинения [2]. Согласно [2] крыло малого удлинения рассматривается как конструктивно-анизотропная пластина.
Обшивка крыла имитируется трехслойной анизотропной пластиной. Пояса лонжеронов и нервюр „размазываются" на соответствующих участках крыла. Работой стенок лонжеронов и нервюр пренебрегаем. Цилиндрическая жесткость обшивки крыла выражается в виде
Е№Ъоб Г! _ 250б_ 4 /
и
+ -гГ°#
2(1 — (А2) |^* А 1 3 \ А
где к — строительная высота крыла (расстояние между крайними точками верхней и нижней обшивки крыла), 8о6 — толщина обшивки (фиг. 1), ц — коэффициент Пуассона, поясов лонжеронов и нервюр (Е1Л и Е1Н) представ-
Жесткости
ляются в виде цилиндрических жесткостей £л и Л„:
£А2<
н
А> =
+
1-
где 8Л — толщина „размазанных" поясов лонжеронов, 8Н — толщина „размазанных" поясов нервюр.
При вычислении цилиндрической жесткости поясов лонжеронов и нервюр не учитывается коэффициент Пуассона. В тех случаях, когда толщина обшивки 8об принимает значительно меньшие значения, чем /г, можно при вычислении цилиндрической жесткости пренебречь вторым и третьим слагаемыми в скобках. Заметим, что при замене обыкновенных жесткостей поясов цилиндрическими значениями /г должны браться несколько меньшими, чем при определении цилиндрической жесткости обшивки. Рекомендуется вместо /г брать /гц. т — расстояние между центрами тяжестей сечений верхнего и нижнего пояса.
Класс конструкций, к которым может быть применен предлагаемый инженерный способ, ограничен возможностями прямого метода. Сходимость процесса последовательных приближений теоретически не установлена. Однако на практике при рассмотрении многочисленных примеров процесс последовательных приближений сходился достаточно быстро. Это дает основание полагать, что данный алгоритм может использоваться для определения распределения силового материала в более широком классе конструкции, чем тот, который рассмотрен в данной статье.
В качестве преимуществ данного алгоритма по сравнению с классическими методами минимизации целевых функций, используемыми в статической прочности, можно выделить следующее:
— простота, которая позволяет без составления целевой функ* ции минимизировать вес, т. е. подобрать необходимый объем силового материала;
— быстрота определения последующего приближения, которая связана с упрощенным представлением функциональной связи между напряженным состоянием конструкции и распределением силового материала. Упрощение заключается в предположении, что напряженное состояние в заданной точке определяется геометрическими параметрами силового материала только в этой точке.
В результате решения задачи определяется функция распределения силового материала пластины 8(.х, у) при заданной функции распределения допустимого напряженного состояния а(х, у) с наложением конструктивных ограничений на распределение материала вида
*(■*. У)>ь*(х, у).
Естественно, что на тех участках, где определяющую роль играют дополнительные ограничения на распределение силового материала, условие равнопрочности исключается.
Построим следующий алгоритм решения. Нанесем на пластину расчетную сетку и примем за неизвестное в каждой клетке (г, ;) расчетной сетки значение толщины 8 (х, у) = 8;
В качестве ограничения на действующие напряжения используем следующий функционал
^ § [адоп (х, у) °дейст У)]2 &уйх . . . , (1)
в котором адоп(х, у) — допускаемые по условиям общей и местной
прочности напряжения в пластине здейст(л:, у)— действующие напря^ жения при произвольном распределении толщины.
Между напряжениями а{х, у) и неизвестными значениями толщины путем решения прямой задачи устанавливается связь .
<3 (х, у) =/ (§1,1, . . . , 8,, т, . . . , V т) , (2)
выражающая неявную зависимость функционала (1) от функции распределения 8(л:, у).
На неизвестные 8|, у- = 8(л:, у) накладываются конструктивные ограничения в виде неравенств
8г,/>8*,;- . . . , (3)
т. е. толщины не могут быть меньше определенных величин. Здесь {8у^} — матрица положительных чисел.
Решение прямой задачи строится на основе вариационно-разностного метода [2]. Согласно этому методу определение функции 8(л:, у) сводится к решению системы алгебраических уравнений.
Таким образом, формулируется следующая задача нелинейного программирования: необходимо определить такие значения переменных 8,-,у, которые доставляют минимум функционалу (1), удовлетворяют системе уравнений (2) и ограничениям (3). Решение такой задачи может быть использовано при проектировании конструкции крыла, состоящего из различных по характеру работы силовых элементов: обшивки, поясов лонжеронов, поясов нервюр, стенок лонжеронов и нервюр. Следовательно, в каждой расчетной клетке нужно определить долю силового материала, соответствующую каждому виду силовых элементов.
В литературе известны два способа распределения силового материала по группам. В первом задают определенные соотношения [1] между распределениями силового материала по различным силовым элементам крыла и тем самым задача сводится к определению одной неизвестной функции распределения материала. Так, например, устанавливается связь между толщинами обшивки и площадями стрингеров, лонжеронов и нервюр 80б = аЬл = й8Н) где а и Ь — положительные числа, 8Л — „размазанная" толщина поясов лонжеронов и стрингеров, 8Н — „размазанная" толщина поясов нервюр.
Во втором способе считают, что различные по характеру работы элементы не связаны между собой. Тогда общая задача разбивается на несколько отдельных задач с неизвестными функциями распределения силового материала.
Очевидно, что лучшие результаты дает оптимизация конструкции с учетом совместной работы различных силовых элементов крыла. .
Данный метод позволяет получить лишь первое приближение при проектировании конструкции крыла.
2. Решение сформулированной выше задачи нелинейного программирования будем строить на основе последовательных приближений. Зададимся исходным нулевым приближением распределения толщины пластины 80{л;, у). Затем, решив систему уравнений [2], определим эквивалентные напряжения оэкв. На основе допускаемых и полученных эквивалентных напряжений, а также нуле-
вого приближения для функции распределения толщины строим первое приближение
I 8,(х, .у) /1 -3,(лг, =. ' -"V /С,+ С5.Р ,,
1 8* (я, у), если Й! < 8* (х, у),
тде ЗдопО^ У) — допускаемые эквивалентные напряжения, а°кв(х, _у) — действующие эквивалентные напряжения.
В силу условия (4) процесс последовательных приближений приводит к выравниванию напряжений. Этот процесс будет сходиться, если будет выполняться условие сходимости
18/1+1 -8„|<е . . . , (5)
где е — достаточно малое положительное число, не зависящее от л: и у.
Вместо условия (5), которое является условием равномерной сходимости процесса последовательных приближений, можно
использовать более слабое усилие
IК+1 (х, у}- 8„ (х, у) | < 81 (х, у)- (6)
Для выполнения условий (5) или (6) необходимо, как это следует из (4), чтобы выполнялось следующее условие
| ^в1 (■*> У) - °экв (Х- У)\<&2 (*> У).
Если процесс (4) сходится, то, поскольку функционал можно сделать сколь угодно мало отличающимся от его предельного значения, условие минимума функционала (1) будет выполняться автоматически.
. Для ускорения сходимости процесса, определенного формулами ■(4), в первом и втором приближениях следует исключить из знаменателя под радикалом значение действующих эквивалентных напряжений, которые играют роль демпфера. Начиная с третьего, четвертого приближения, как показывает практика вычислений, предпочтительнее пользоваться формулами (4) или (7), тогда сходимость процесса получается более устойчивой, без „раскачки".
Процесс (4) не может расходиться, поскольку между распределением силового материала и напряженным состоянием имеется обратно пропорциональная зависимость, т. е. 5^ 1/а.
Заметим, что на начальном этапе вычислений можно применять интегральную оценку сходимости, используя функционал (1)
|/„+1-/„|<е .... (7)
Легко можно установить, что из выполнения условия (5) вытекает выполнение условия (7). Обратное не всегда верно.
3. В качестве примера рассмотрим определение функции распределения толщины стреловидного крыла малого удлинения, исходя только из заданных допустимых нормальных напряжений в направлении основных силовых продольных элементов крыла (лонжеронов) и конструктивных ограничений на распределение толщины. Нагрузка задается в виде распределенной нагрузки <7 = 0,6 • 105 Па. Допускаемые напряжения полагаются постоянными и равными одоп=100-Ю9 Па. Конструктивные ограничения полагаются постоянными по всему крылу: 8о6щ = 0,06 см, 8Л = 0,05 см.
Неизвестны толщины обшивки и площади поясов лонжеронов и стрингеров. Площади поясов нервюр задаются в процессе счета и остаются без изменения. Стенки лонжеронов и нервюр не рассматриваются вовсе.
Рациональное распределение толщины пластины в каждом конкретном случае зависит от многих факторов: от угла стреловидности передней и задней кромок, от условия закрепления, от распределения относительных толщин профиля крыла, от характера распределения нагрузок.
В рассматриваемом примере все упомянутые выше факторы фиксируются. •
Прежде чем определять распределение силового материала, следует задаваться допустимыми нормальными напряжениями. Этот вопрос не рассматривается в данной работе, хотя конечные результаты зависят от того, как будут заданы нормальные напряжения и конструктивные ограничения. Поэтому результаты расчетов следует рассматривать как иллюстративные. Выбор допускаемых напряжений следует производить в каждом случае на основе результатов специальных работ и инженерного опыта.
Распределение силового материала, полученное при жестком креплении всех продольных силовых элементов, изображено на фиг. 2. Из графиков видна тенденция концентрации силового материала.
В качестве второго примера рассматривается определение силового материала в треугольном крыле. Допустимые напряжения задаются постоянными по всему крылу одоп = 45-107 Па. Конструктивные ограничения на распределение силового материала по крылу полагаются постоянными и равными 5общ = 0,06 см’ = см-Нагрузка задается в виде распределенной ^ = 0,6-105. Крыло крепится к фюзеляжу через продольные элементы III, V, VI (см. фиг. 2). На фиг. 3 изображена функция распределения силового материала. В данном случае силовой материал концентрируется в корне, в зоне V и VI силового элемента. Сравнение графиков на фиг. 1 и 2 свидетельствует о существенной зависимости функции распределения силового материала от формы крыла и задания допускаемых напряжений.
Отметим, что при расчете конкретных примеров для оценки сходимости процесса использовалось условие (5). При этом число итераций, необходимое для получения решения с точностью до в — 0,01, колебалось в промежутке 8—10. Потребное счетное время на БЭСМ-ЗМ на одну итерацию равно 1 мин 15 с.
Иллюстрации показывают возможности использования разработанного алгоритма и программы оптимизации на начальной стадии проектирования для определения функции распределения приведенных толщин силового материала.
ЛИТЕРАТУРА
1. Комаров В. А. Проектирование оптимальных конструкций. Труды КАИ, вып. XXXII, Куйбышев, 1968.
2. Зураев Т. Г. О применении вариационно-разностного метода
в расчетах крыльев малого удлинения. .Ученые записки ЦАГИ“, т. II, 1971. '
5— Ученые записки ЦАГИ № 1
Рукопись поступила 81X11 /972 г.
