CC BY
30
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 103-121
= Математика
УДК 511.3
Метод Н. М. Коробова приближенного решения дифференциальных уравнений
*
в частных производных *
А. В. Родионов
Аннотация. В работе рассмотрены варианты обобщения метода
Н. М. Коробова приближённого решения задачи Дирихле для уравнений с частными производными вида (^ (, ■ ■ ■, дОг) м(х) =
= /(X) е граничным условием и(Х) |эсз = у>(ж), где функции и(х),/(ж),<^(ж) принадлежат классу периодических функций на случай использования обобщённых параллелепипедальных сеток М(Л) целочисленных решёток Л.
Ключевые слова: обобщённые параллелепипедальные сетки, дифференциальные уравнения в частных производных, задача Дирихле.
1. Введение
В работе [5] Н. М. Коробов рассмотрел решение частной задачи Дирихле с нулевым граничным условием для уравнения Пуассона с правой частью из класса Е£:
д2и д2и .. „
Щ +... + Щ = /(Х)’ (1)
и(Х),/(Х) Є Е%, (2)
/ (жі, . . . , —Х], . . . ,Ха) = -/(жі, . . . ,Х] , . . . ,Ха) (І = 1, ... ,в),
и(Х) = 0 при Хі(1 — Хі) ■ ... ■ Ха(1 — Ха) = 0. (3)
Таким образом,
и(Х) \дСз =0, С а = [0; 1)а.
Метод Н. М. Коробова состоял в получении с помощью параллелепипедальных сеток Ыт = ({ ^дт } ,•••,{ ^Дт }) (к = 0,..., N — 1) приближённого решения указанной задачи Дирихле на основании точного решения в виде ряда Фурье, которое легко выписать по ряду Фурье периодической функции
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00571).
/(X). Необходимость приближённого решения обусловлена тем, что, как правило, явного вида ряда Фурье неизвестно, а потому, точное решение имеет только теоретическое значение.
Общая задача Дирихле выглядит следующим образом:
“и = /(Х)’ (4)
и(х) 1 эав = ^(х) , (5)
и(х),/(х),^(х) € Е%, (6)
где
^ ( 9 9 \ = ^ ^ 911 1 (7)
ЧУдхг,'"7 дх3) = ¿=0 ••• 1= а11’-Л дх!1 ••'дх? • ( )
Естественно, что в таком виде задача Дирихле не всегда разрешима. Требуются дополнительные необходимые и достаточные условия, связывающие функции /(X) и <^(х), которые обеспечивают разрешимость задачи Дирихле на некотором классе функций, который будет определен позднее.
Целью настоящей работы является получение приближённого
решения общей задачи Дирихле с помощью произвольной обобщенной
параллелепипедальной сетки М(Л) целочисленной решётки Л.
Как будет показано далее, при достаточно естественных ограничениях либо на дифференциальный оператор Q (дХ-, • • •, ), либо на
граничные условия в задаче Дирихле последовательность решений ии (X), соответствующих граничным условиям ^ (X) = 1л„ ^(х) и правой части / (X) = 1л„ / (X) будет сходиться к решению и(х).
2. Решение задачи Дирихле для случая тригонометрических
полиномов
Прежде всего найдем собственные функции и ядро дифференциального оператора Q( дХ- >•••> шг). Для любого т € Ъ3 зададим величины Q(m) равенствами
П- Пд П{Я)
№)= ^ ••• $^ал(2пг)11+--- +1дт{-• • • т3/ = ^ Аз(т)(2пг)!, (8)
31=0 1д=0 1 = 0
А1(т )= ^2 а3-,...,3д т1- •••т1 • (9)
3-+. . . +1д =1
Заметим, что если все коэффициенты а11;. ..;1д — алгебраические числа, то в силу трансцендентности числа п величина Q(m) = 0 тогда и только тогда, когда А3- (т) = 0, для всех ] = 0, • • •, п^).
Лемма 1. Для любого т Є 1 функция е2пг(т>х) является собственной функцией оператора дХ-) с собственным числом Q(m), если
^(т) = 0, или принадлежит ядру Кегд оператора, если Q(m) = 0.
Доказательство. Действительно,
—... — е2пі(т’Х) = (2пг)і1+- • •+— т—1... т— е2пі(т>Х). дх—- 1 в
Поэтому
^ д д ^ е2пі(?т,;к) =
^9X1 е
п- га3
—-+••• +— тЛ тІз е2пг(?й,Х) =
ь ті... е
= ^ “—-.•• • —(2пі)
—1=0 —3=0
= Q(m )е2пі(т’Х),
что и доказывает утверждение леммы.
Будем использовать обозначение Кегд для самого ядра оператора, а для множества значений т, для которых е2пг(т,х) Є Кегд будем использовать обозначение Кегд.
Пусть 5 С 1 — произвольное конечное множество целочисленных векторов т. Обозначим через То (5) — пространство всех тригонометрических многочленов с постоянными коэффициентами
То (5) = | Р(X) = £ Ьте:
I гп^Б
2пг(т,Х)
Ьт Є С, т Є 5
Очевидно, что если /(X) € Кегд и /(X) = 0, то уравнение
м(:г)=/ ^ (10)
не имеет решений. Более того, пространство То(5) можно представить как прямую сумму подпространств
То(5) = То (5 \ Кегд) Ф То ^р|КеГд^
и уравнение (10) имеет решение тогда и только тогда, когда
/(X) € То (5 \ Кегд) •
Теорема 1. Для пространства То(5) общим решением дифференциального уравнения
/ (X) = X] Ьт е2пг(т,х) € То (5 \ Кегд) , -ТО < XV < ТО (V = 1, •••,«)
* €5\Кегд
(11)
является тригонометрический многочлен
и(Х)= I] ¿тл е2пг(т’Х) + ^ ст е2пг(т’Х), (12)
т Є£\Кегд т Є£^Кегд
где ст _ произвольные числа.
Доказательство. Рассмотрим произвольный многочлен и(Х) Є Т0(5):
и(Х) = > ст е2пі(т>Х).
т Єй1
Тогда
Ч£' Ст<ИЙ »е2"“*-** =
41 8 7 т €5
= ^ Ст <2(т )е2™(т-х) = / (X) = £ Ьт е2™^
т€5\Кегд т €5\Кегд
Таким образом, приравнивая коэффициенты тригонометрических многочленов слева и справа, получим
Ьт
¿(т)
для каждого т € 5 \ Кегд и Ст — произвольное число, если т € 5 Р| Кегд, что и доказывает утверждение теоремы. Обозначим через множество
всех целочисленных векторов = = (,?1, •••,,78), каждый из которых имеет координаты, образующие перестановку чисел 1, 2, • • •, в такую, что 1 ^ 7 < • • • <7* ^ в, 1 ^ < • • • < ^ в. Таким образом 17|-4| = С и
о = ^8 8 = {(1, 2, • • •, в)}. Для дальнейшего потребуется явный вид 8-1:
,71 в-1 = {(2,.", 5, 1), (1, 3,.",5, 2),..., (1,.",5 - 2,5,5 - 1), (1,.. .,*)}.
|7* і| = 5.
с
Для произвольного вектора ^ Є 7;% и многочлена ^>(ж) Є Т0(£) определим действие оператора Рг(і';.і) проектирования на пространство Т0(5,/8,*), где
Т0 (3, /,.,) =
= { Р((!„ , . . . ,Х,)) = £ Ь(т„.....т„ )е2"(т>. +■ ■ ■ +т»**)
(т,... ■ ■ .т,,)ЄS(jS’t)
Ь(тл.. ■ ■ ,т*) Є С (тЛ , . . . , тЛ Т Є 3 (/;*)
3 (ь.і) = {(тл ,.",тІ4 )|(ті,..., т8) Є 3}, следующим образом
Рг(/;і)^(ж) = ^ е2пі(тл хі +■■■+т«) ^ Ьп.
(т,. т^, )eS(ja,t) , П*6“3’ >
Таким образом,
Рг(ь,0Мж) = ^ Ьп,
raЄS
а
Рг(/5.5)^(ж) = ^(ж).
Лемма 2. Для и(ж),^(ж) Є Т0(£) граничное условие
и(ж) = <^(ж) (ж Є дС;) (13)
выполняется тогда и только тогда, когда для любого і с 0 ^ ¿<5 и ^ Є 7|4 выполняются соотношения
Рг(/5.*)и(ж) = Рг(/;*Мж).
Доказательство. Обозначим через С^^) грань 5-мерного единичного куба такую, что ж^ = 0 для £ + 1 ^ V ^ 5, а через ^(і^) грань 5-мерного
единичного куба такую, что ж^ = 1 для і + 1 ^ V ^ 5. Ясно, что
дс = д (с0(/в.*) и сКЗм)) .
0<*<; ~зз^*а,
Если ж Є С0^*)и С1 (і;, *), то справедливо равенство и(ж) = Рг(і;.*)и(ж), аналогично, ^>(ж) = Рг(і’;.і)^(ж). Отсюда следует утверждение леммы.
Лемма 3. Для «(X), ^>(X) € То(5):
«(X) = ^2 С*е2™(т’х), р^) = ^2 Ойе2™(т’х)
гп€Я гп€Я
граничное условие (13) выполняется тогда и только тогда, когда для любого 7з,8-1 € ^8-1 и (т^1, • • •, ш^3_1) € Б (78-8_1) выполняются соотношения
^2 Сп = ^ ¿й (14)
пЕ5, пЕ5,
(пп . . ,п^3_1) = (тл . . ,тдв_1> (”л ■ ■ ,"^в_1) = (т^1 . . •т;;в_1)
Доказательство. Действительно,
Pr(js,s-l)м(X) =
= X] е2™(тл *1+••• +т^3_1 *;в_1) ^2 Сй,
(га^ ,•••,*,■ 1)€5(7.._1) , ч
V ;1 ’ > ;3_1'^ \ув,в ^ (п;.....П; „ ) = (ш; ,. . . ,Ш,' _ )
Pr(Js,s-l)^(X) =
е2п*(т;1 * ;1 +••• +т;3_1 *;3_1 ) ^ ^
е2пг(Ш;1 *;1 +• • • +т;3_1 *,5_1 )
(т;1 ,• • • ,т,5_1 ^(л,^)
В силу леммы 2 имеем:
е2п*(т;1 *;1 +••• +т;3_1 *;в_1 ) ^2 Сп =
(т;1 ,• • • 1 )€5'(.?3,3_1) Пбв;
тг*
п£5,
(пл,... ,п;3_1)=(тл,... ,т;3_1)
(пл,... ,п;3_1)=(тл,... ,т;3_1)
е2п*(т;1 *;1 +••• +т;3_1 *;в_1 ) ^2
е2пг(Ш;1 *;1 +• • • +т;3_1 *;3_1 )
(ШЛ -• • • ,Ш;з_1 )€5(75,5_1) (п;1 ,. . .
что и доказывает утверждение леммы.
Теорема 2. Для пространства То(5) задача Дирихле для
дифференциального уравнения с частными производными
4^X7 ••••■;!;) / (X)•
/(X) = X] Ьте2пг(т,*) € То (5 \ Кегд) , ТО < XV < ТО (V ^^^в)
т €5\Кегд (15)
с граничным условием
«(X) = ^>(X) (X € дС8) , ^(ж) € То(5), (16)
а
где тригонометрический многочлен ^>(ж) имеет вид
<^(ж)=^ ¿те2пі(т х), (17)
т Єй1
разрешима тогда и только тогда, когда найдутся ст (ш Є £П-Кегд),
для которых для любого ^ , 5-1 Є 8-1 и (ш^,..........,ті3-і) Є 5 , 5-1)
выполняются соотношения
ЕЬ-гп . V-^
Q(m )
nGS\Kerg, nGSflKerg,
Cn —
X) dn, (18)
nGS,
и ее решением является тригонометрический многочлен
u(X)= £ ОттУ e2ni(m’X) + 2 cm e2ni(m’x). (19)
m GS\Kerg m ESHKerg
Доказательство. Пусть
u(X) = ^ Отт e2ni(m’x) + ^ cm e2ni(m’x) (20)
m GS\Kerg m ESHKerg
— общее решение дифференциального уравнения (15). Тогда на основании леммы 3 имеем утверждение теоремы.
В случае, если ^P|Kerg = {(0,..., 0)}, то общим решением уравнения (11) является многочлен
u(x)= £ Q(m ^+с.
mGS\{0}
где с — произвольная константа.
Среди всех дифференциальных операторов Q ( ,..., gf-) выделим
класс Q невырожденных дифференциальных операторов, состоящий из операторов Q (, • • •, gf-), для которых KerQ = {(0,..., 0)}. Важность
этого класса операторов объясняется тем, что с точностью до константы
решение дифференциального уравнения с частными производными для этих операторов определяется однозначно. Очевидно, что оператор Лапласа принадлежит классу Q.
Отметим, что если оператор Q (дХ^,..., gf-) вида (7) невырожденный, то а0 ... 0 — 0.
(nji ■■ ■ ■ ,■ ■ ■
(nji ,■ ■ ■ ’nj--i)=(mh ,■ ■ ■ ,mj--i)
(nji ’■ ■ ■ ’nje-i)_(mji ’■ ■ ■ ’mjs-i)
3. Дискретная задача Дирихле с решеткой Л
Пусть задана целочисленная решетка Л, которая определяет обобщенную параллелепипедальную сетку М (Л) и абсолютно минимальную гиперболическую полную систему вычетов МН(Л). С задачей Дирихле (4)
— (6) свяжем дискретную задачу Дирихле с решеткой Л, отличие которой от просто задачи Дирихле заключается в том, что дифференциальное уравнение с частными производными и граничное условие ослабляются и задаются не на единичном 5-мерном кубе и его границе, а только на конечном множестве М(Л) и его проекциях на грани единичного 5-мерного куба. За счет этого решение можно найти в пространстве Т(МН(Л)).
Введем следующие обозначения:
Для произвольного вектора , * Є * и обобщенной параллелепипедальной сетки М(Л) определим действие оператора Рг(, *) проектирования на грань С./. , *), где
СД/.м) = {ж = (жі,..., ж^ЖЖі• • • • • жл) Є • жі4+і = • • • = жл, = 0} ,
следующим образом Рг(/. ,*)М(Л) = 1 ж = (жі, • • •, ж.)
у Є М (Л) (жЛ, • • •, жІ4) = (ул, • • •, ^
^і+і
ж
-з
Пространство Е^ представим в виде прямой суммы = Еа ’ ^ ф Кегд
где
2пг(т , X)
Е“ = ^ /(ж) = ^ с(ш)е
т Є^з\КєГд
Кегд = ^ /(ж) = £ с(ш)е2пг(т,ж)
т €Кегд
/ (ж) Є Е.
/ (ж) Є ЕП •
Таким образом, дифференциальное уравнение с частными производными
•••••¿) “(ж) = / (ж)
разрешимо только для функций /(ж) € Е^
Прежде всего рассмотрим дискретную задачу для дифференциального уравнения с частными производными.
0
Определение 1. Дискретной задачей с 'решеткой Л для дифференциального уравнения с частными производными называется уравнение
“(ж) = /(ж) ж€м(Л) (21)
/(ж) € Еа (22)
Решением дискретной задачи с 'решеткой Л для дифференциального уравнения с частными производными назовем тригонометрический многочлен ■и(ж’) € Т(М* (Л)), удовлетворяющий уравнению (21) с функцией ( 22).
Определение 2. Дискретной задачей Дирихле с решеткой Л называется уравнение
ЧэЖ;■■■■'¿)“(ж) = /(ж) ж€м(Л) (23)
/(ж) € Еа (24)
с дискретными граничными условиями
■и(ж) = Тл^>(ж), (ж € дС5) , (25)
где <^(ж) — периодическая функция из класса Е^ (а > ш(^) + 1), а /л^(ж) — её интерполяционный многочлен,
Тл^(ж) = ^ ¿(гп )е2™(Й х),
т еМ *(Л)
где
¿(П) = N Е ^(У)е-2пг(Й’?7), N = |М (Л)|.
Уем (Л)
Решением дискретной задачи Дирихле с решеткой Л назовем тригонометрический многочлен и(ж) € Т(М*(Л)), удовлетворяющий уравнению (23) с функцией (24) и с дискретными граничными условиями (25).
Таким образом, дискретную задачу Дирихле с решеткой Л для дифференциального уравнения с частными производными можно рассматривать как приближение решения задачи Дирихле (4) — (6).
Для невырожденных операторов (д^,..., дЦ-) € 0 имеем Кегд = С как множество функций и Кегд = {0} как множество тех т, для которых е2пг(т , х) € € Кегд. В этом случае для краткости будем писать Е*а = Е^ ’ д. Другими словами, класс функций Е*а состоит из всех функций /(ж) € Е^, у которых с(0) = 0.
Теорема 3. Решением дискретной задачи с решеткой Л для дифференциального уравнения с частными производными
«(¿•-•¿)«<*> =/(ж)-* Е /жЄМ(Л), (26)
41 .7 уем (Л)
Є Є Е" (27)
является тригонометрический многочлен
“(*> = Е' Ж е2п'(т-г) + с, (28)
тем*(Л) ^( )
где с — произвольное число и
Ж X] /(У)е 2пг(т> у), при ш = 0;
Ь(гп) = ^ уем (Л)
0, при ш = 0\
Доказательство. Рассмотрим интерполяционный многочлен для функции / (ж)
1л/(ж) = ^ Ь(т )е2-(Й х),
т ем *(л)
где
ь(т) = N Е /(У)е-2пг(т ,У)-
Уем (л)
Поскольку Ь(0) = N X] /($), то для функции
Уем (л)
/*(ж) = /(ж) - N Е /(£)
Уем (л)
интерполяционный многочлен имеет вид
1л/*(ж) = Е' Ь(т )е2™(™ > х). т ем *(л)
Из теоремы 1 в случае 5 = М*(Л) имеем доказываемое утверждение.
Теорема 4. Дискретная задача Дирихле с решёткой Л для дифференциального уравнения с частными производными
«(£•••••¿)“(ж) =/(ж)-N Е /®, жЄМ(Л), (29)
41 ^ Уем (Л)
«(£ € а'/ (ж) € Е“ (30)
с дискретными граничными условиями
«(ж) = /л^(ж), (ж € дС5) , (31)
где ^>(ж) — периодическая функция из класса Е^ (а > т(ф) + 1), а /л^(ж) — её интерполяционный многочлен,
Тл^(ж) = ^ ¿(П )е2™(т’Х),
тем * (л)
где 1
¿(П) = 7 Е ^)е-2пг(т’У), N = |М (Л)|
Уем (л)
разрешима тогда и только тогда, когда существует сл такое, что для каждого .8)8- 1 € ^*8- 1 выполнены соотношения
Е Ц = Е ад.
йеМ* (Л), ' йеМ* (Л),
(йЛ ,■ ■ ■ ,п7--1)=(т71 ’■ ■ ■ ,т7--1) (йл ,■ ■ ■ ,п7--1)=(т71 ,■ ■ ■ ,т7--1)
т2! + ... + т2-_1 = 0 (32)
Е ¿(п) + Е'
Ь(п)
= СЛ,
Q(ft)
йеМ * (Л), йеМ * (Л), 4 7
(п^1 ,■ ■ ■ й-_1) = (т.,1 ,■ ■ ■ ,т^-_1) (й^1 ,■ ■ ■ >й,-_1) = (тп ,■ ■ ■ >т^-_1)
т21 + ... + т2-_1 = (33)
где 1
ь<й) = 57 Е /(у)е-2'‘(й’й.
Уем (л)
Решением дискретной задачи Дирихле с решёткой Л (29) — (31) является функция
“(*)= Е' Ж е2"(т'Я + СЛ, (34)
тЄМ * (Л) ^( )
Доказательство. Согласно теореме 2 в случае 5 = М* (Л) и Кегд = {0} имеем доказываемое утверждение.
Рассмотрим пространство тригонометрических многочленов Т*(М*(Л)), состоящее из всех тригонометрических многочленов Р(ж) вида
Р (ж) = Е Ь(т )е2™(т>х) = ^ Ь(т )е2™(т>х).
тем * (л)\{0> тем * (л)
В пространстве тригонометрических многочленов Т*(М*(Л)) рассмотрим базис, состоящий из функций
ЬУ(ж) = N Е" е2™(У>Х-У), у € М(Л),
тем * (л)
которые выделяются характеристическим свойством
г (ж) Г 1 - N, при ж = у,
У(ж) \ -е2п^(т>х), при ж = у, ж € М(Л).
Обозначим через Цу(ж) € Т*(М* (Л)) решение дифференциального уравнения с частными производными
/ д д \
^ ^ -—,..., —— ) «(ж) = Ьу(ж), ж € М(Л). (35)
д ж1 дж
Таким образом,
1 ж . е2пг(?т,Х-у)
ад = N £ “даГ
тем * (л) ^ 1
и общее решение дискретной задачи с решеткой Л дифференциального уравнения с частными производными
Ч^м(г) = /(ж) - NN Е /(й’ ж€ М(Л) (36)
41 ^ уем (л)
можно записать через базисные функции следующим образом
«(ж) = Е / (У)и’у(ж) + с,
Уем (л)
где с — произвольное число.
4. Решение задачи Дирихле для общего периодического
случая
Введем в рассмотрение новый класс функций Е^^), где
д д \ ^ ^ д71 д7-
а7
дж1’ ’дж^ ;1=о ;-=о"71’'"’7-дж1 д7
— дифференциальный оператор порядка п = п + ... + п8.
Определение 3. Периодическая функция ^(ж1,..., ж8) с периодом 1 по каждой переменной принадлежит классу Е^^), если
^(x) = Е
m eZs
p2ni(m,X)
cm,e
и для коэффициентов Фурье выполняется оценка
IMlEf(Q)
(mi.. mS)a ■ Q(m)
Величина
. (37)
Ef(Q) = sup |cm ■ (mi...ms)a ■ Q(m)| < to, (38)
m €Zs ni ns
Q(m ) = E ••• Ё aji-",js (2ni)j1+--- +js mi1... mSs. (39)
ji=0 js=0
является нормой на пространстве Ea(Q), относительно которой оно является несепарабельным банаховым пространством.
Положим
Q*(m) = тах Q(n)-1.
д(га)^д(т)
Заметим, что для любого П € ^ справедливо неравенство Q* (гп) ^ 1.
Определение 4. Периодическая функция ^(ж1,..., ж8) с периодом 1 по каждой переменной принадлежит классу Е+“^), если
^(x) = Е
m ezs
p2ni(m,X)
и для коэффициентов Фурье выполняется оценка
Величина
|Cm| < _______lE++a(Q)______________________________________. (40)
m (mi... ms)a ■ Q*(m)
E+a(Q) = sup |cm ■ (mi...ms)a ■ Q*(m)| < to. (41)
s mezs
является нормой на пространстве E+a(Q), относительно которой оно является несепарабельным банаховым пространством.
Теорема 5. Для пространства Е^^) общим решением дифференциального уравнения
Чджт ••••• ¿) «(*) =/ <*)•
—то < ж^ < ТО (V = 1,..., з),
/(ж)= Е Ьте2™(т’Х), /(ж) € Е+“^) (42)
т еХ-\{0}
является периодическая функция
«(ж) = Е" 0^ е2пг(т’Х) + с, «(ж) € Е^), (43)
тех- °(т)
где с — произвольное число и ряды в правых частях (42) и (43) абсолютно сходятся.
Доказательство. Рассмотрим произвольную периодическую функцию «(ж) € Е^^):
«(ж) = ^ сте2™(т’х), ст € С, т € Г.
т еХ-
Тогда
_д_ _д
дж1 ’ ” ’ ’ дж
«<*>=1>да)е2"(«>
41 5 7 т ех-
Таким образом, приравнивая коэффициенты тригонометрических рядов Фурье, получим для каждого вектора гп € ^ \ {0} уравнение стQ(m) = Ьт, решение которого имеет вид ст = 0(к) .
Далее заметим, в силу условия
С
|Ьт 1 < (ту.. .т^)“ ■ Q*(m)
имеем
I С
]Т |Ьте2п’(”'"г) < £ = С(! + 2С(“))'■ (44)
т еХ- теХ- 3
Ьт е2пг(т,х) < _С____________ < с(1 + 2^(а))5
(?т) ^ / (т1 т_)а ■ ІQ(m)1 ■ Q*(m) ^ ( ( )) ,
т ех-
тех (ть..тв)а ■ ^(т)| ■ Q*(m)
что и доказывает утверждение теоремы.
Теорема 6. Для пространства Е*(^) задача Дирихле для
дифференциального уравнения
--вХ:) ,1(Х) =/ (Х),
—то < Ж^ < ТО (V = 1, .. . , з),
/(Ж) = Е Ьте2пг(т’х) (46)
т е2в
с граничным условием
и(ж) = <^(ж) (ж Є дС:) , <^(ж) Є Е*, (47)
где периодическая функция <^(ж) имеет вид
^(ж) = Е ¿те2пі(т>х) (48)
т ехв
разрешима тогда и только тогда, когда найдётся с0, для которого для
любого _7:,:-1 Є ^|:-1 и (т^,..........,ш^3_1) Є выполняются
соотношения
V -Ь^ = V ^
(пп . . ,піз_і) = (тл . . >ті3_і) (“л ,■ ■ ■ ,"л,_і) = (тл ,■ ■ ■ ’т73-і)
шіі + • .. + шІ_і = ° (49)
Ьп
Ф(п)
“Є2в, йє2в, '
= Со,
шл + ... + шІ-і = °. (50)
Решением задачи Дирихле (46) — (48) является периодическая функция
Ь.
Я(гп)
'“<*>=£' ТнЩГе2"(т') + ^ (51)
т е2в
Доказательство. На границе функция и(ж) имеет вид
Рг(/:,:-1)и(ж) =
Е' р2пі(тліхл +••• +тл3-іЛ—) \^' Ьт і Сп
■/ ^ Ж'Ш) +
(тлі ’•••>ті3-і )е^з(.?з,з-і) (п ,■■■,„. ,П)1(т’ • ,. ■ ■ т _)
(пл,. ■ ■ ,пл3_і)-(тлі,. ■ ■ ,тл3_і) (плі,. ■ ■ ,пл3_і )-(тлі,. ■ ■ ,тлв_і)
Аналогично для функции <^(ж)
Рг(/в)в_1)<р(ж) =
= ^ е2™(тл +••• +т,-_1 Х--1) ^ ¿й.
(т,-, ,• • • ,т, 1)е^-(,;--_1) , Пч6^-’ ч
V Л> ,-_^ ' ^ (",1 ’...’П,-_1) = (т,1 ’. ..’т,-_1)
Приравнивая коэффиценты рядов Фурье получим утверждение теоремы.
5. Погрешность приближенного решения задачи Дирихле
Пусть задана целочисленная решетка Л и М*(Л) = МН(Л) — абсолютно минимальная гиперболическая полная система вычетов фундаментальной решетки Zs относительно целочисленной решетки Л. Согласно теореме 4 (см. стр. 112) решением дискретной задачи Дирихле (29) — (31) с решеткой Л является тригонометрический многочлен
Ь(т,)
Q(m)'
ил(Х)= Е' От) е2-(т-) + сл, (52)
тем * (Л)
где
Ь(ш) = N Е /(г/)е-2пі(тЧ
N
уем (Л)
Ь(п)
«л = ' , х
Е гі(п) + Е'
О(п)
пЄМ * (Л), пЄМ * (Л), ^ 4 7
п=(пі,0,. . . ,0) п=(пі ,0,. . . ,0)
Естественно рассматривать тригонометрический многочлен «л (Ж) как приближение к решению «(ж) задачи Дирихле (46) — (47). Следующая теорема отвечает на вопрос о точности этого приближения.
Теорема 7. Для произвольной целочисленной решетки Л для решения (51) задачи Дирихле (46) — (47) справедливо неравенство
і««—ил<«)ііс« 211 ((Г-—П1)!(Г—Л1>) +
+ Е ^ Е Ш ( Е О2С (а)-2 + Е С)2г <0—
т=0 к=т \)=&+2 )=к+1
Доказательство. Действительно,
“(Х)=Е' ТШе“(т'х) + со, «л(ж) = ^е'2"(тл + сл.
те23 Т( ) тем * (л) Т( )
Поэтому
и(х) - Мд(х)= 1 е2*‘(т'г) + £ е2*‘(т'г) + СО - СЛ.
тем * (Л) Q( ) тех-\м * (Л)Q( )
Оценим по отдельности сначала первую сумму, а затем остаточный ряд и последнюю разность.
Имеем для суммы:
Si =
Е' bm Ь(ТП) 2пг(т,ж)
Q(m)
m€M * (Л) 1
EV"^' |bm+n| __
^ |Q(m )l
|Q(m)| ' |Q(m (n, Л))|’
m£M*(Л) гаеЛ '^v 7 1 neZs\M *(Л)'^У V ’ ,n
где m(n, Л) € M*(Л) и n — m(n, Л) € Л, то есть n = m(n, Л) (mod Л). Отсюда следует, что
S < y^ ___________________II/Q^IIe+^q)___________ <
^ neZS\M*(Л) (nT---nS)a ■ Q*(n) -|Q(m(n Л))| "
< I|f (X)lle+“(Q) E (nr...ns)“ ,
neZs\M * (Л) v 1 sy
так как Q*(n) ■ ^(т,(п,Л))| ^ 1 по определению величины Q*(п) и неравенству д(гп(п, Л)) ^ д(п).
Аналогично оценивается остаточный ряд:
S2 _
m ezs\M * (Л^(П)
bm 2пг(т,ж)
< _________llf(x)|Eg(Q)_________ <
ezS\M *(Л) (mT---mS)a -|Q(m)|- Q(m)-i "
< llf(«)IU;«j)_ £
m eZs\M * (Л)
Теперь рассмотрим разность
/ \
се— сл _ e dn + E' Ok — E d(n) + E'
Q(n)
neZs, n6Zs, '
b(n) Q(n)
пбМ * (Л), пбМ * (Л), ^ V 7 I
(ni ,0,. . . ,0) n=(ni,0,. . . ,0) \n = (ni,Q,. . . ,0) n=(ni,0,. . . ,0) /
£№ — d(n))+ £ dn + £' it—Ш+ £ b
Q(n) ' Q(n)
пбМ * (Л), п£2-\М * (Л), пбМ * (Л), 7 -\М * (Л),^4 7
п=(п1’0’. . . ,0) n=(nl’0’. . . ,0) n=(nl’0’. . . ,0) n = (nl’0’. . . ,0)
Очевидно, что оценки данных сумм аналогичны соответствующим оценкам сумм 51 и £2. Отличие состоит лишь в том, что суммирование происходит по одной переменной.
Таким образом, получаем оценку
к*> -люк »К +£ £ <&( ¿ s z <“>j-2 + ¿ es 2j ,
m=0 * k=m ( > \j=fc+2 j=k+l ) )
что и доказывает утверждение теоремы.□
Список литературы
1. Rodionov A. V. Number theoretic metods for solving partial differential equations // Algebra and Number Theory: Modern Problems and Application: proc. of XII Iintern. confer., dedicated to 80-th anniversary of professor V. N. Latyshev. Tula: TGPU, 2014. P. 159-161.
2. Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9. Вып. 1. С. 82-90.
3. Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Киселева О. В. О произведении обобщенных параллелепипедальных сеток целочисленных решёток // Чебышевский сборник. Тула: ТГПУ, 2002. Т. 3. Вып. 2(4). С. 43 - 59.
4. Многомерная теоретико-числовая Фурье интерполяция / Н.М. Добровольский [и др.] // Чебышевский сборник. Тула: ТГПУ, 2004. Т. 5. Вып. 1(9).С. 122-143.
5. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.
6. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.
7. Родионов А. В., Чуприн С. Ю. О гиперболических параметрах решётки линейного сравнения // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч. 1. С. 50-63.
8. Родионов А. В. О методе В. С. Рябенького - Н. М. Коробова приближенного решения уравнений с частными производными // Чебышевский сборник. Тула: ТГПУ, 2009. Т. 10. Вып. 3.
9. Родионов А. В. Решение дифференциальных уравнений в частных производных методом В. С. Рябенького // Изв. Саратовского университета. 2013. Вып. 4. Ч. 2 С. 120-124
10. Родионов А. В. Теоретико-числовые методы решения дифференциальных уравнений в частных производных // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: матер. XII Междунар. конф., посвященной 80-летию проф. В.Н. Латышева. Тула: ТГПУ, 2014. С. 297-300.
Родионов Александр Валерьевич ([email protected]), ассистент, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.
Korobov’s method of approximate solution of partial differential
equations
Abstract. The paper discusses the generalization of N. M. Korobov’s method of approximate solution of the Dirichlet problem for equations of the form
with boundary condition u(x) |dGs = <^(x), where the functions u(x), f (x), ^>(X) belongs to the class of periodic functions Ef in case of using generalized paral-lelepipedic nets M(A) integer lattices A.
Keywords : parallelepiped nets, partial differential equations, the Dirichlet problem.
Rodionov Alexander ([email protected]), assistant, department of mathematical analysis, algebra and geometry, Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University.
A. V. Rodionov
Поступила 17.04.2014
