CC BY
57
Следствие. Пусть а есть значение рациональной функции от р, то есть а = /(р)/д(р), где /(р), д(р) — многочлены с целыми коэффициентами от р. Тогда последовательность {а/п} не является равномерно распределенной.
Доказательство. Используя свойство р2 = р + 1, выразим /(р), д(р) в виде линейной функции от р. Тогда можно полагать, что а есть значение дробно-линейной функции от р. Далее, согласно лемме 1, значение дробно-линейной функции от р можно выразить в виде линейной функции с рациональными коэффициентами от р. Пусть 5, Ь — рациональные числа.
Согласно оценке (3)
Последовательность sfk+i + tfk не является равномерно распределенной (так как s, t — рациональные числа). Поэтому, согласно лемме 2, последовательность (sp + t)fk также не является равномерно распределенной.
Библиографический список
1. Weyl H. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. // Math. Ann. 1916. Vol. 77. P. 313-352. DOI: 10.1007/BF01475864.
Moscow State University, Russia, 119234, Moscow, Leninskie Gory, 1, parviz.msu@gmail.com The paper presents a family of exponentially growing but not uniformly distributed sequences modulo one. Keywords: uniform distrubtion modulo one, Fibonacci numbers, golden ratio, homographic transformation.. References
1. Weyl H. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. Math. Ann., 1916, vol. 77, pp. 313-352. DOI: 10.1007/BF01475864.
YAK 511.9
Ассистент кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, rodionovalexandr@mail.ru
В работе рассмотрены алгоритмы вычисления гиперболических параметров целочисленных решеток решений линейных сравнений, соответствующих параллелепипедальным сеткам.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение в частных производных, теоретико-числовой метод.
В 1961 году В. С. Рябенький в работе [1] предложил численный метод решения задачи Коши для следующего класса дифференциальных уравнений с частными производными:
(sp + t)fk - (sfk+i + tfk) ^ 0 (k ^ те).
On the Class of Exponentially Growing Sequences that are Not Uniformly Distributed Modulo One
P. Z. Rakhmonov
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ МЕТОДОМ В. С. РЯБЕНЬКОГО
А. В. Родионов
0 < t < T, -те <xv < те (v = 1,...,s), (1)
u( 0,x) = p(X), x = (x1, ...,xs),
(2)
© Родионов А. В., 2013
где
ni А - ^ v^ j j (3)
П ^' • • •' dxs - 2= • • • ^ dxj! • • • dx{s
ji =0 js=0 i s
— дифференциальный оператор порядка п= п\ +...+па, с максимальным порядком по отдельным переменным, не превосходящим ш(^) = шах(п1,..., п), а ^(х) = ^(х , ...,хв) — периодическая с периодом единица по каждому из своих аргументов функция из класса Е^ (а > ш(0) + 1). Таким образом,
<(xi, • • • ,xs) — J] •••
| xs ) у j • • • у j cm1 ,...,ms e
т1= — ж ms = — ^
2ni(m1x1+...+ms xs)
и для коэффициентов Фурье выполняется оценка
|сш1 ,...,ms 1 <
(m1 • • • ms)a '
Величина ||<||Ea — SUP |cm1,...,ms(mi• ••m7)a| < го является нормой на пространстве Ef,
m1,...,ms
относительно которой оно является несепарабельным банаховым пространством.
В своей работе В. С. Рябенький предложил некоторый общий подход численного решения задачи Коши с использованием произвольных сеток, для которых выполнены специальные условия, и показал, что его конструкция применима для многомерных кубических сеток, которые ещё называют равномерными, и для параллелепипедальных сеток Н. М. Коробова.
Пусть задана целочисленная решетка Л, которая определяет обобщенную параллелепипедальную сетку M(Л) и абсолютно минимальную гиперболическую полную систему вычетов MH(Л). С задачей Коши (1)—(3) свяжем дискретную задачу Коши с решеткой Л, отличие которой от просто задачи Коши заключается в том, что начальное условие ослабляется и задается не на единичном s-мерном кубе, а только на конечном множестве M(Л). За счет этого решение можно найти в пространстве T(M^(Л)). Определение 1. Дискретной задачей Коши с решеткой Л называется уравнение
f — -"дУ (4)
0 < t < T, -го <xv < го (v — 1, • • •, s), (5)
с дискретными начальными условиями:
и(0,ж) — <(x), x Е М(Л), (6)
где <(x) — периодическая функция из класса E^ (a > m(П) + 1).
Решением дискретной задачей Коши с решеткой Л назовем тригонометрический многочлен с переменными коэффициентами u(t,x) Е T(M*(Л)), удовлетворяющий уравнению (4) в области (5) с дискретными начальными условиями (6).
Теорема 1. Решением дискретной задачи Коши с решеткой Л является тригонометрический многочлен:
u(t,x)— £ c(m )eQ(m )t e2
c(m) — cm(Л),м*(л)И) — n <(У)е 2ni(m'y)•
3Q(m )t e2ni(m,x)
meM* (Л)
где
1
N
уем (Л)
Доказательство см. в [2]. □
Es
Введем в рассмотрение новый класс функций Е*а (Я), где
я = я
д
д
дх1' ' дх8
п 1 п3
д3
з1=0 3* =0
дх11 дх1в
— дифференциальный оператор порядка п = п1 + ... + п3.
Определение 2. Периодическая функция р(х1, ...,хв) с периодом 1 по каждой переменной принадлежит классу Е*а(Я), если
р(х) = ^ оте
2пг(т,х)
т еЪз
и для коэффициентов Фурье выполняется оценка
Величина
где
|о | — Нр1|Е?(д,т) 1 от1 — /_ _\
(Ш...ш;)а • Я(ш,Т)
I е? (я,т) = йир |от • (шг. ..шв )а • Я(т,Т )| < те,
3 т ехз
Я(т,Т) = шах Яг(П,Т),
д(п) <д(т)
Я^Ш, Т) = шах (
0<г<т \
п1 п3
Мт)г , eQ(m)t • |Я(ш)|) ,
Я(Ш) = £ ... £ ап,...,зз (2^)31+...+33 шГ1 ...ш33,
31 =0 3з=0
является нормой на пространстве Е^(Я,Т), относительно которой оно является несепарабельным банаховым пространством.
Определение 3. Функция п(Ь,х), определенная при 0 — Ь — Т и х Е , периодическая по х с периодом 1 по каждой переменной хи (и = 1,...,з), представимая кратным рядом Фурье с
переменными коэффициентами Фурье, зависящими от Ь и дифференцируемыми по Ь при 0 — Ь — Т:
д
п(Ь,х)= ^ Ьт(Ь)е2пг(т,х), —п(Ь,х)=^ Ьт(Ь)е2пг(т,х)
т ехз т ежз
принадлежит классу ЕЯ^+1(Я,Т), если для любого Ь из отрезка [0; Т] выполнены равенства
Ьт (Ь) = от (Ь)е^(т)*, Ь'т (Ь) = от (Ь)Я(Ш )е^(т)*
и периодическая функция
/(х) = 5] от(Ь)е2пг(т,х) т ехз
принадлежат классу Е^(Я,Т).
Теорема 2. Для пространства ЕЯа+1(Я,Т) общим решением дифференциального уравнения
дп я ( д д
дЬ \дх^ ' дх
п(Ь, х), 0 — Ь — Т, -те <хи < те (и = 1,...,з)
является периодическая функция:
¿(Ь,х) =
т ехз
о^еЯ(т )ге2пг(гп,х)
дЬп(Ь,£)= отЯ(ш)ед(т)^е2пг(т,х),
(7)
(8)
т ежз
122
Научный отдел
где коэффициенты cm — произвольные числа, удовлетворяющие условию
C — sup |cm ■ (mi• • •ml)" ■ n(m, T)| < го,
m ezs
и ряды в правых частях (7) и (8) абсолютно сходятся.
Доказательство см. в работе [2]. □
Теорема 3. Для пространства ERa+1 (П,Т) решением задачи Коши для дифференциального уравнения
du i д д \
dt — n(dxi '•••'dx~J u(t,x), 0 < t < T, -го <xv < го (v — 1, • • •, s) (9)
с начальным условием
и(о,ж) = ^(х), ^(х) е ка(д,т), (10)
где периодическая функция ^(х) имеет вид
^(х)=^ ЪЛе2пг(т>х), (11)
т еЪ3
является
Ътед(т)^е2пг(т'Х), (12)
т еЪ3
где и(£, х) е (ф,Т).
Доказательство см. в [2]. □
Пусть задана целочисленная решетка Л и Ы*(А) = Ы^(Л) — абсолютно минимальная гиперболическая полная система вычетов фундаментальной решетки Ъа относительно целочисленной решетки Л. Согласно теореме 1 решением дискретной задачи Коши (4)-(6) с решеткой Л является тригонометрический многочлен
ил (*,£)= ^ с(ш )ед(т )^е2пг(т'х) = ^ ^СЮЦ; (*,£), т ем * (л) уем (л)
где
с(ш) = см (л) ,м *(л) (ш) = ^ ^ ^(У)е-2пг(т,?7).
уем (л)
Естественно рассматривать тригонометрический многочлен ил(£,х) как приближение к решению и(£,х) задачи Коши (9)-(10). Следующая теорема отвечает на вопрос о точности этого приближения.
Теорема 4. Для произвольной целочисленной решетки Л для решения (12) задачи Коши (9)—(10) с функцией ^(х), имеющей ряд Фурье (11), справедливо неравенство
|u(t x) - UA(t x)l < 2||<(x)||E?(Q'T)( 2s lns-1 9з(Л) + |u(t,x) uMt,x)|< q3(Л)а-1 ^(s - 1)!(a - 1) +
+ Е Е ( ^ ^^С(а)^-2 + £ ^ ^
т=0 к=т ^ ' у=к+2 j=k+1
Доказательство см. в [2]. □
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00571).
Библиографический список
1. Рябенький В. С. Об одном способе получения раз- 2. Родионов А. В. О методе В. С. Рябенького -
ностных схем и об использовании теоретикочисловых Н. М. Коробова приближенного решения уравнений
сеток для решения задачи Коши методом конечных раз- с частными производными // Чебышевский сб. 2009.
ностей // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1961. Т. 10, вып. 3. С. 82-96. Т. 60. С. 232-237.
Solution of Partial Differential Equations by the Ryabenky Method
A. V. Rodionov
Tula State Pedagogical University, Russia, 300026, Tula, Lenina st., 125, rodionovalexandr@mail.ru
The paper discusses the generalizations of the method Ryabenky approximate solutions of partial differential equations to the case of the use of arbitrary distributions Parallelepipedal nets for integral lattices.
Keywords: partial differential equation, number theoretic method.
References
1. Ryabenky V. S. A method for obtaining difference schemes andthe use of nets teoretikochislovyh for solutionthe finite difference method. Tr. matem. in-ta im. V. A. Steklova. [Tr. Math. Inst. V. A. Steklov], 1961, vol. 60, pp. 232-237 (in Russian).
2. Rodionov A. V. On the method of V. S. Ryabenky - N. M. Korobov approximate solutions of partial differential equations. Chebyshevskij sbornik [Cheby-shevsky collection], 2009, vol. 10, iss. 3, pp. 82-96 (in Russian).
УДК 512.55
НОВЫЕ СВОЙСТВА МНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА
Т. В. Скорая1, А. В. Швецова2
1 Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебро-геометрических вычислений, Ульяновский государственный университет, skorayatv@yandex.ru,
2Аспирант кафедры алгебро-геометрических вычислений, Ульяновский государственный университет, Федеральный научно-производственный центр ОАО «Научно-производственное объединение «Марс», shvesovaav@rambler.ru
В работе представлены два новых результата, касающиеся многообразий алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Доказано достаточное условие конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница. Найден базис тождеств и базис полилинейной части многообразия "Vз.
Ключевые слова: алгебра Лейбница, многообразие алгебр, числовые характеристики, кодлина, полилинейная компонента.
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Работа посвящена изучению новых свойств многообразий алгебр Лейбница. Характеристика основного поля Ф предполагается равной нулю. Все неопределяемые понятия можно найти в работе [1]. В статье представлено два новых результата в этой области. Первый результат принадлежит А. В. Швецовой и содержит доказательство достаточного условия конечности кодлины многообразий алгебр Лейбница. Второй результат принадлежит Т. В. Скорой. В нем найден базис тождеств и базис пространства полилинейных элементов многообразия "Vз алгебр Лейбница.
Линейная алгебра с билинейным произведением, удовлетворяющая тождеству Лейбница (ху)г = (хг)у + х(уг) называется алгеброй Лейбница. Возможно, впервые это понятие было рассмотрено в работе [2], как обобщение понятия алгебры Ли. Тождество Лейбница позволяет любой
© Скорая Т. В., Швецова А. В., 2013
