CC BY
38
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 37-49
Математика
УДК 511.3
Разложение тригонометрической суммы
*
сетки с весами в ряд по точкам решетки *
Е. М. Рарова
Аннотация. В работе выводится формула для представления тригонометрической суммы обобщенной параллелепипедальной сетки с весами в ряд по точкам соответствующей решетки.
Ключевые слова: алгебраические сетки, алгебраические
решетки, весовая функция, абсолютно сходящийся ряд Фурье, тригонометрические суммы сетки с весами, метод Фролова.
В работе [9] следующим образом сформулирована проблема значений тригонометрических сумм сеток:
"Нормированные тригонометрические суммы параллелепипедальных сеток имеют два значения: 0 и 1. Для нормированных тригонометрических сумм двумерных сеток Смоляка таких значений три: 0, 1 и —1. Для
неравномерных сеток имеется или хорошая равномерная оценка О
или они 'равны 1.
Очень важно получить оценки нормированных тригонометрических сумм для алгебраических сеток.
Если эти суммы имеют спектр значений не сосредоточенный около точек 0 и 1, то алгебраические сетки нельзя хорошо приблизить параллелепипедальными сетками, а алгебраические решётки нельзя хорошо приблизить целочисленными решетками."
Алгебраические сетки являются частным случаем обобщенных параллелепипедальных сеток. Общая теория обобщенных параллелепипедальных сеток была заложена в работах [11-13].
Цель работы — получить формулу для тригонометрической суммы сетки с весами, выражающую значение этой суммы через ряд по точкам решётки.
1.1. Алгебраические сетки. В 1976 году вышла работа К.К. Фролова [27], в которой впервые появились алгебраические сетки. Наиболее полно в авторском изложении метод Фролова представлен в его кандидатской
* Работа выполнена при финансовой подготовке РФФИ (проект № 11-01-00571).
1. Введение
диссертации [28]. Позднее в работах [11-16] Н.М. Добровольский предложил модификацию метода Фролова с использованием специальных весовых функций. Современное полное изложение метода Фролова и его модификации по Н.М. Добровольскому дается в работах [4-7, 24].
Будем использовать следующие обозначения и определения из работ [21, 24]. Рассматриваются:
единичные в—мерные кубы
С3 = {X | 0 ^ хи ^ 1, V = 1, 2,..., в},
С3 = {X | 0 ^ хи < 1, V = 1, 2,..., в};
непрерывные периодические функции с периодом равным единице по
каждой из переменных хи (V = 1, 2,..., в), принадлежащие классу ),
который состоит из периодических функций
/ (х) = ^2 с (т )е2
е2пі(т,х)
ті,. . . ,т3=—ж
для которых
с
|с(п1 )| < (тт...ш!)« (“> 1)
и т = тах(1, |т|) для любого вещественного т.
Для произвольного вектора X его дробной частью называется вектор {X} = ({хі},..., {хз}). Отсюда следует, что всегда {X} Є Сз. Целой частью вектора называется вектор [X] = X — {X}. Через р(Х) = [X + (1,..., 2)] обозначим ближайший целый вектор в смысле нормы 11X111 = тах(|х1|,..., 1x^1). Для нормы вектора отклонения от ближайшего целого 5(Х), заданного равенством
«(х)=р(х)—х = (22) —{х + (22
справедливо неравенство ||5(Х)У1 ^ 1/2.
Далее везде под произвольной решеткой Л С К5 будем понимать только полные решетки, то есть
Л = {ш1А1 + ... + тзАз = т ■ А | т = ( т1,..., тз) Є ^з},
где А1 = (А11,...,А15),...,А5 = (Аз1,...,А55) — система линейно-независимых векторов в К5, а матрица решётки А задана соотношениями
/ А11 ... А1 ^ \ / А1 \
А= • ■ =1 І ,
\ Ав 1 ... Ав в / у Аз )
Взаимная решетка Л* = {X |Уу € Л (X, |д) € ^}. Непосредственно из определения следует равенство (-Л)* = - Л*.
Определение 1. Для произвольной решетки Л обобщенной параллелепипедальной сеткой М(Л) называется множество М(Л) = Л* П П ва.
Сетка М1(Л) = Л* П [—1; 1)а.
Обобщенной параллелепипедальной сеткой II рода М'(Л) называется множество М'(Л) = {X | X = {у}, у € М1(Л)}.
Определение 2. Весовой функцией порядка г с константой В называется гладкая функция р^), удовлетворяющая условиям
о
р^ + (е1,..., еа)) = 1 при X € Са, (1)
£1,. . . ,£3=-1
р^) = о при X € (—1;1)а, (2)
1 1
...у p(X)e2ni(<?>x)dX -1 -1
^ B(ai...as) r для любого а € Rs. (3)
Если выполнены условия (1) и (2), то говорим просто о весовой функции p(x).
Определение 3. Квадратурной формулой с обобщенной параллелепипедальной сеткой II типа и весовой функцией р(Х) называется формула вида
i 1
[... f f (X)dX = (de^)-1 Pxf (X) - Rn'(Л)[/],
0 0 хем '(Л)
где Px = ^ Р(у), ^/(Л) = |М'(Л)|>
?7еМ1(Л),{?;}=х
Rn'(Л) [f] _ погрешность квадратурной формулы.
Для погрешности квадратурной формулы с обобщенной параллелепипедальной сеткой II рода на классе Ef справедлива оценка (см. [13, 21])
Rn'(Л)[E*(C)] = sup |R^)[f]| < CB ■ C1(a)sCH(Л|а), f eEa(c)
C1(a) = 2“+1 ^3 + , Zh(Л|а) = ^ (X1.. .Xs)-“.
где
Отметим важное обстоятельство — квадратурные формулы с обобщенной параллелепипедальной сеткой II типа и весовой функцией р^), вообще
говоря, задают насыщаемый алгоритм численного интегрирования, если весовая функция конечного порядка и решетка не является целочисленной.
Этот алгоритм будет ненасыщаемый для целочисленных решеток, то есть для параллелепипедальных сеток, или для весовых функций бесконечного порядка. Определение ненасыщаемых алгоритмов дано в монографиях [1, 22].
Вопросы построения численных алгоритмов с правилом остановки рассмотрены в работах [8, 10, 23-26, 29].
Параллелепипедальные сетки и метод оптимальных коэффициентов изучаются в работах [2, 3, 9, 17-21] и других.
Пусть а = (ао, а1,..., аа-1) — целочисленный вектор такой, что многочлен
неприводим над полем рациональных чисел и все корни 0^ (V = многочлена (4) действительные.
Обозначим через Т(а) матрицу степеней алгебраически сопряженных целых алгебраических чисел 01,... ,0$ — корней многочлена Ра(х):
$—1
(4)
1
01
1
0$
т (а)
(5)
Аі(а) = ||Т(а)||і = шах 1 (|0і|* + ... + |0/) ,
А2(а) = ||Т(а)||2 = тах (1 + 01 + ... + |0^-1|) = ||ТТ(а)||і, ^=1,. . .
где ТТ — транспонированная матрица к матрице Т.
Тогда параллелепипед
задаваемый матрицей
содержит s-мерный куб
Ks = {X | |xv| ^ 1, v = 1,..., s} = {X | ||X||i ^ 1}, где |X|1 = max |xv|, поскольку ||T(a) ■ X|1 ^ ||T(a)|1 ■ |X|1, то есть
V=1,- . . ,s
max l©^x1 + ... + ©kxs| ^ |e1|fc + ... + |0s|k, (k = 0,1,..., s — 1).
|xv |<1
v = 1,. . . ,s
Для любого t > 0 решетка Л(£ ■ T(a)) называется алгебраической. Она имеет вид
Л^ ■ T(a)) = |x= ^t^©V-1mV,..., t ^ ©V-1mV^ = t ■ m ■ T(a) m € Zsj .
Таким образом, алгебраическая решетка Л^ ■ T(a)) имеет базис
= t ■ (©V-1,..., ©V-1) (v = 1,...,s).
Так как координаты любой ненулевой точки X € Л^(a)) — алгебраически сопряженные целые алгебраические числа, то произведение X1...XS — ненулевое целое рациональное число.
Кроме этого, если T — произвольная невырожденная матрица и T* = = (T-1)т, то решётки Л^) и Л^*) — взаимные решётки: Л*^) = Л^*).
Для алгебраических решеток и сама решетка, и её взаимная решетка не имеют ненулевых точек с нулевым произведением координат.
1.2. Тригонометрические суммы сетки с весами. Совокупность M С Gs точек Mk = ({1(k),..., £s(k)) (k = 1...N) называется сеткой
M из N узлов, а сами точки — узлами квадратурной формулы. Величины Рк = p(Mfc) называются весами квадратурной формулы. В этой работе будем везде предполагать, что все веса вещественнозначные и являются значениями специальной весовой функции.
Для произвольных целых m1,...,ms суммы SM,p(m1,..., ms), определённые равенством
N
Wm1,...,ms) = £ pfc e2ni[mi«l(k)+--- +ms«s (fc)], (7)
fc=1
называются тригонометрическими суммами сетки с весами.
Будем также рассматривать нормированные тригонометрические суммы сетки с весами
^м,р(т1,..., т5) = N £М)Д(ть..., ms).
N
Положим р(М) = ^ р |, тогда для всех нормированных тригонометричес-^=1
ких сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценка
15^)1 < N р(м). (8)
Если все веса равны 1, то будем говорить просто тригонометрическая сумма сетки и писать 5 м (т) и нормированная тригонометрическая сумма сетки 5М (т).
Пусть ^ — натуральное число больше 1 и д1 = [^г-1], д2 = [§], тогда множество {—51, .. . , ^2} является полной системой вычетов по модулю д.
Пусть матрица Т = Т(а) и г > 0. Рассмотрим алгебраическую сетку М(г) = М'(г ■ Л(Т)) из Ж'(г ■ Л(Т)) узлов хк (к = 1,..., Ж'(£ ■ Л(Т))) с весами
Рк = РХк = (^(г ■ Л(Т)))-1 ^ р(£)
Ш=жк ,?7еМ1(*-А(т))
и её тригонометрическую сумму с весами
5м(!),?(«) = (<3е^г ■ Л(Т)))-1 £ ( £ Р(й| е2*‘(т’г).
ж€М(4) \ч{у}=ж, у€М1 (4-Л(Т))
2. Разложение тригонометрической суммы обобщенной параллелепипедальной сетки в ряд
Пусть = (Л^ 1,...,Л^8) (V = 1, ...,«) — базис решетки Л и X*
V -- 1) ♦ ♦ ♦ 5 ''V 5/ ♦ ♦ ♦ 5 «-> / иСЮ-ПЪ 14.^1 11. *1 /\^
(Л* 1,..., XV5) (V = 1, ..., з) — взаимный базис взаимной решетки Л*. Пусть д натуральное число такое, что
тах
^=1, ... ,5
\М=1
£іл*„і < «• (9>
Через К5(д) обозначим 8-мерный куб К5(д) = [—д,д]5, а через П5(Л, д) 8-мерный параллелепипед
П8(Л,д) = < X
-д ^2^ Л^жм ^ д (V = 1,...,$) м=1
Из определения К5(д) и П5(Л, д) следует, что в-мерный куб С П5(Л, д) и при линейном преобразовании
Л11 ... Л51
(У1,... ,у8) = (Ж1,. ..,ж8) •( . ... . | = (жь...,ж8) ■ А,
Л1 5 ... Л5 ;
= ^ Л^ЖМ (V = 1, ...,$) М=1
8-мерный параллелепипед П5(Л,д) переходит в К5(д). Действительно, пусть х Є К5, тогда
Л
^=1
< ^ 1Л^1 < д
м=1
и следовательно, X € П5(Л, д).
Рассмотрим функцию д(ж) на 8-мерном кубе К5(д), определенную равенством
#(ж) = р(ж *)в2™(х *>т), где векторы ж = (ж1,..., ж5) и ж * = (ж1, ..., ж*) связаны соотношением
Л1
л*
(х1, • • •, ж:) = (х1, • • •, х5)
= (Ж1, • • • ,Жй) ■ А 1,
Л1
V = ^ЖЛ ^
М=1
то есть Ж* = ж1Л1 + • • • + ж5Л*.
Гладкая функция д(х) обращается в нуль на границе куба К5(д), поэтому ее можно разложить в абсолютно сходящийся кратный ряд Фурье на кубе
Кй(д):
где
с(П) = (2д)“
2 - (п, х )
^(Ж)е- Пі 2« ^х.
(10)
К,(д)
Лемма 1. Для функции
п(Ж) Г р(Ж*)е2п-(х*>т), при Ж Є Кй(д),
( ) \ #(у), при
при Ж = у + дп, у Є К5(д), п Є справедливо разложение в ряд Фурье
---- - - (п.х)
4(х) = ^ с(П)е Пі 2« ,
5
*
где
1 1
с(П) = (2д)-5 (е^| ... -” 1Л1+-2,+"‘Лд) йу. (11)
-1 -1
Доказательство. Действительно,
с(п) = (2д)-^^ У д(ж)е-2пг 2<? ^ж =
К,(д)
= (2д)-^ У р(ж ■ А-1)е2™(х'А-1’ т)е-2П^^ж =
К,(д)
Я „ 2 • ("1^1 + . . . +П3Х3,х1Х*+. . . +хвХ*)
р(ж ■ А-1)е ( >т)е-2пг------------^---------------^ж =
К,(д)
/* /* ^ •/-» -»\ О —,• (п1 -^1 +. . . +П5^5>У)
= (2д)-5 det Л I р(у)е2пг(у> т)е~ -------^--------^у =
I I ^ ■/-> ->\ 2—; ("1А1+. . . +п5Л5,у)
= (2д)-5(еЛЛ ... р(д)е2пг(у’т)е-2пг-------------------------------^-^у =
Пв(Л,д)
1 1
-1 -1
1 1
= (2д)-5 («л/ ... ^(йеМ^- •■А1+-2«+"-А0 Д/
-1 -1
и лемма полностью доказана.
Теорема 1. Для произвольной решётки Л и произвольной весовой функции р(ж) справедливо равенство *
1 1
5м,дд) = *(д) + ... [ р(у)е2пг(?7’т-а%, (12)
ХеЛ-1 -1
где
^( т) = / 1, при т = 0; т \ 0, при т = 0, т € ^5.
* Здесь и далее символ ^' означает, что из области суммирования исключена нулевая точка.
Доказательство. Рассмотрим для решётки Л квадратурную формулу 1 1
/... / р(у}е2п-(у’т)^у = (ёе! Л)-1 Е рхе2пі(х’т)-
^ хем' (Л)
р(у)е2пі®тЯ . (13)
-1 -1
— '(Л)
Для интеграла в левой части равенства по свойствам весовой функции и периодичности экспоненты имеем:
1 1
у.../ р(у)е2пг®т)^ =
-1 -1 0 1 1
= Е /7р(у+ (^...,^))е2пг®т)^=
£Ь. . . ,е3=-1 0 0
= /."/( Е р(У +(^1,...,£в)^ е2-®т)^у =
0 0 \£15- . . 5£5=— 1 /
1 1
= у.. .у е2п^’т)^д = й(ш). (14)
00
Сумма в правой части равенства (13) есть в точности тригонометрическая сумма сетки с весами 5м(*),,?(т), которую можно записать следующим образом
5м,дт) = (йе^Л))-1ЕI Е р(У0 е2пг(т’х) =
ХеМу {у}=Х, ;у€М1(Л) у
= (det(Л))—1 Е р(ж*)е2п^(т’Х*). (15)
х* ек3 п л*
Так как вне в-мерного куба функция р(ж) обращается в нуль, то
Е р(ж*)е2™(т’Х*) = Е р(ж *)е2™(Х*> т) =
Х*€К3р| Л* Х*еЛ*П Пв(Л,д)
д—1 д—1
Е р(ж*)е2™(Х*’т) = Е р(ж ■ А-1)е2п^(Х'А_1’т) = Е #(ж).
Х *еЛ* Х1,...,Х3 =—д Х1,...,Х3 =—д
Так как
q-1 . к
^ е2п ~2 = 2q^2q (n),
к=-q
где символ Коробова £а (b) задается равенством
Л Г 1 при b = 0 (mod a),
“( ) = | 0 при b = 0 (mod a),
то
q-1 q-1
- ---- --- r\ ■ (n,x)
det(Л) ■ Sm(t),/3{m) = E g(X) = E E c(n)e ni~ =
xi,---,Xs = -q xi,- - - ,xs = -qn=-M
= E c(n)(2q)s^2q(n1)...^2q(ns) = (2q)s E c(2qn).
n=-<^ n=-^
Из выражения (10) для коэффициентов Фурье и леммы 1 находим c(2qn) = (2q)-s У j p(X ■ A-1 )e2ni(xA-i> m)e-2ni(n’X)dX =
Ks(q)
= м-* / / р(х ■ A-1)e2n-(--1, m)e-2ni(ni^+- -- +-- - =
Ks(q)
= (2q)-s detЛ f I p(y)e2ni(«>m)e-2ni(niXi+--- +газХ^,у)йу =
ns^,q)
1 1
= (2q)-s det Л J ... J p(y)e2ni(?7’ m) e-2ni(niXi+----1 -1
Отсюда и из равенства (15) следует, что
1 1
Sm(*),дт) = г(т) + ... / p(y)e2ni(?7’m-x)dy
хел-1 -1
и теорема полностью доказана.
Заключение
Теорема 1 и определение весовой функции р(Х) порядка r с константой B позволяет получить оценку для тригонометрической суммы обобщенной
параллелепипедальной сетки с весовой функцией
|5м,р(т) - £(ш)| ^ (т1 - ж1... т8 - ж5)—г.
Хел
В заключение выражаю благодарность научному руководителю профессору Н.М. Добровольскому за постановку задачи, постоянное внимание и полезные обсуждения.
Список литературы
1. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.
2. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестник МГУ. 1959. № 4. С. 3-18.
3. Бочарова (Добровольская) Л. П. Алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник. 2007. Т. 8. Вып. 1(21). С. 4 - 109.
4. Герцог А. С., Ребров Е. Д., Триколич Е. В. О методе К. К. Фролова в теории квадратурных формул // Чебышевский сборник. 2009. Т. X. Вып. 2(30). С. 10-54.
5. Герцог А. С. Численное вычисление четырехкратных интегралов по методу Фролова с использованием алгебраических сеток биквадратичного поля Дирихле <9(л/2 + %/3) // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 22-30.
6. Герцог А. С. Параметризация четырехмерной сетки биквадратичного поля Дирихле // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Сер. Математика. Физика. 2011. № 23(188). Вып. 5. С. 41-53.
7. Герцог А. С. ПОИВС ТМК: Биквадратичные поля и квадратурные
формулы // Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии: матер. Междунар. научно-практической конф., посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения члена-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина. Тула, 2011. С. 242-247.
8. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе / Л.П. Добровольская [и др.] // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: тр. X Междунар. конф. Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. № 6. Ч. 2. С. 90-98.
9. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов / Л.П. Добровольская [и др.] // Чебышевский сборник. 2012 Т. 13. Вып. 4(44). С. 4-107.
10. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9. Вып. 1(25). С. 185 - 223.
11. Добровольский Н. М. Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6089-84.
12. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6090-84.
13. Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах E^c) и #a(c). Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6091-84.
14. Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Тула, 1984.
15. Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1985.
16. Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения // Теория чисел и ее приложения: тез. докл. Всесоюз. конф. Тбилиси, 1985. C. 67-70.
17. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестник МГУ. 1959. № 4. С. 19 - 25.
18. Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124. № 6. С. 1207 - 1210.
19. Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1960. Т. 132. № 5. С. 1009-1012.
20. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963. 224 с.
21. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе (второе издание). М.: МЦНМО, 2004. 288 с.
22. Локуциевский О. В., Гавриков М. Б. Начала численного анализа. М.: ТОО Янус, 1995. 582 с.
23. Ребров Е. Д. Алгоритм Добровольской и численное интегрирование с правилом остановки // Чебышевский сборник. 2009. Т. 10. Вып. 1(29). С. 65-77.
24. Ребров Е. Д. Квадратурные формулы с модифицированными алгебраическими сетками // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13. Вып. 3(43). С. 53-90.
25. Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. Об алгоритме численного интегрирования с правилом остановки // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: матер. 7 Междунар. конф. Тула, 2010. С. 153-158.
26. Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. ПОИВС ТМК: Алгоритмы интегрирования с правилом остановки // Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии: матер. Междунар. научно-практической конф., посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения члена-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина. Тула, 2011. С. 153-158.
27. Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. № 4. С. 818-821.
28. Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций: дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР, 1979.
29. Algorithms fot computing optimal coefficients /N.M. Dobrovolskiy [et al.] // Computer Algebra and Information Technology: book of abstracts of the International scientific conf. Odessa, August 20-26, 2012. P. 22-24.
Рарова Елена Михайловна ([email protected]), ассистент, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.
Decomposition of trigonometric sum nets with weights in a series out on points of the lattice
E. M. Rarova
Abstract. The formula for the representation of the trigonometric sum generalized parallelepiped net with weights in a series out on points of the lattice is derived.
Keywords: algebraic net, algebraic lattice, the weight function, absolutely converging Fourier series, trigonometric sums grids with weights, Frolov’s method.
Rarova Elena ([email protected]), assistant, department of algebra, mathematical analysis and geometry, Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University.
Поступила 12.01.2014
