Метод конечных разностей для многомерных уравнений потенциальных течений вязкой сжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 3, № 4, 1998

МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ

МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

Б. Р. РЬЮБАЙУЛЫ Казахский государственный национальный университет им. Аль-Фараби, Алматы, Казахстан e-mail: mexmat@mail.lorton.almaty.kz

The finite -difference method for the multi-dimensional equations of potential flows of a viscous compressible fluid with small Reynolds numbers.

1. Постановка задачи

В области (т = (0,Т) х П, П € Я3 рассмотрим систему

^АИ + (А + ^У^тТ) -Ур = 0, р = с2р, (1)

дР + а1у(ру) = 0.

В работе [?] в предположении, что течение потенциально, из (1) получена задача 5 Аи

dt

du

dn

+ (Vu ■ V)Au + (1 + Au)Au = 0, (2)

= 0, u|t=0 = u0(x), 1 + Au0 > 0, u(x,t)dx = 0, (3)

где и — потенциальная функция. Там же доказаны существование, единственность и стабилизация решений. В лагранжевых переменных устойчивость и сходимость разностных схем для одномерного случая вязкого газа хорошо изучена в [2]. Для одномерного случая системы (1) устойчивость и сходимость разностной схемы исследована в [3], а в работе [4] изучается устойчивость и сходимость метода Роте для задачи (2),(3).

© Б. Р. Рысбайулы, 1998.

г

2. Разностная схема

Для наглядности изложения в качестве области П рассмотрим двух- или трехмерный параллелепипед. Область Qт разбивается на элементарные ячейки с шагами т и Нг, такие, что т• к = Т, НгЖг = /г, г =1, 2, 3. Здесь ¡\, 12,/3 — длина соответствующих сторон параллелепипеда. Полученную после такого разбиения область обозначим через Qyh. В частности,

ит

[г = кт; к = 0,},

П = [х = гН]; г = 0,= 1, 2, 3.}, х = [х1, х2, хз}, Н = [Н^ Н2, Н3}. Область П на разбиваем на четыре части, такие, что

П1

Пз

ди ди х, — > 0, — > 0 дх2

ди

х, —— < 0, — > 0

дх1 ди

П2

П4

ди ди х,— > 0, — < 0 х1 дх2

ди ди х, — < 0, -— < 0

х1 дх2

дх1 дх2 Введем следующие разностные операторы:

У иЖ1Й1 + иЖ2Й2 , А(и) = (их1 У)й1 , В(и) = (их1 у)х1 , С(и) = (их2У)й2 ,

Д(и) = (их2 У)Х2, Е (и) = уг + у.

(4)

(5)

Используемые здесь и далее обозначения взяты из [5] и [6]. Для составления разностных схем используются следующие константы:

а

г]

йх1 + б

в

г]

и^2 + б Л/(иЙ2 )2 + б '

7г]

аг + 1 + б1 2

Пг]

в] + 1 + б1 2

(г,^) € Пh.

Легко проверить, что константы 7г]-, П] принимают одно из двух значений: 0 или 1. В области Qhт исследуется следующая разностная задача:

Е(и) + А(и) + (1 - )В(и)]274+1'^'+ + [Пг] С (и) + (1 - Пг]+1)£(и)]2П-+1-П- + 0(1 + у)у,

(6)

где 0 = [7г] = 0} = 1} или 0 = [Пг] = 0^[Пг]+1 = 1}

(7)

иЙ1 |г=1 = иЙ1 |г=М1,М1 + 1 = иХ2 |]=1 = иЙ2 ^=^,N2 + 1 = 0

и|4=о = и0(х1,х2), = 0,1+ и»0 > 0, ^^и0Н1Н2 = 0.

Пй

(8) (9)

При достаточно гладких решениях системы (2)-(3) разностная схема (6)-(9) имеет первый порядок аппроксимации. В работе доказывается корректность задачи (6)-(9). Для наглядности изложения рассмотрим случай, когда 7, = 1 при всех (г,3) € П^,

1 при г = 1, ... , N1 — 1 П, = ^ 0 при г = 1, ... , N — 1 1 при г = 1, ... , N — 1

3 = 1 •••> ^'1; 3 = 3 + 1> ... , 32; 3 = 32 + 1, ..., N2 — 1.

Для этого случая из (6) выводим следующую схему:

У? + ий1 Ух1 + ий2 Уй2 + (1+ у)У = 0, 3 = 1,..,31 — 1> (10)

У? + и51 Ух1 + 0.5^+1x2 Ух 2 + 0.5ий2 Ух 2 + [йл Х1 + 0.5(иЖ2Х2 + иЖ2Х2) + 1]у = 0, 3 = 31, (11)

У* + их1 Ух1 + и,7+1x2Ух2 + (1 + У+1)У = 0, 3 = 31 + 1 . . . ,32 — 1, (12)

У? + иХ1 УХ1 + (1 + У)У = 0 3 = 32, (13)

У? + иХ1 УХ1 + иХ2УХ2 + (1 + У)У = 3 = 32 + 1, . . . , N2 — 1. (14)

Система (10)-(14) с начально-граничными условиями (7)-(8) является объектом дальнейшего исследования.

3. Алгоритм решения задачи (8)—(14)

1. Из (10) при г =1, 3 = 1 с учетом условия (8) вычисляется у11.

2. При г =1 из (10) определяются уг1, г = 1, ... , N — 1.

3. При 3 = 1 из (10) определяются у,, 3 = 1, ... , 3^ — 1.

4. Далее из (10) определяются все у,, г = 2, ... , N — 1; 3 = 1, ... , 3^ — 1.

5. Из (13) определяются у,2; г = 1, ... , N — 1.

6. С использованием у,2 из (11) и (14) определяются остальные значения у,.

7. Затем решается задача

иХ1Х1 + иХ2Х2 У,

У = У — 71--ГТ У^ У^1 Л2

(/1 — ад — Л)

с граничными условиями (8). Всюду ниже предполагается, что = Л2 = Л. Для исследования корректности задачи нам нужны априорные оценки.

4. Априорные оценки

Умножим уравнения (10)—(14) на 2n(Au)2ra-1h1h2 и просуммируем по всем узлам сетки П^-Затем, складывая полученные выражения, применим формулу суммирования по частям [5, 6]- Тогда

|| Au||2n,f + (2n - 1)^(1 + Au)(Au)2nhih2 + J](Au)2nhih2 < 0. (15)

Qh Qh

Из (10)-(14), применяя принцип максимума, получим

max |Au| < max |Au0|,

Qh Qh

Пусть min Au = Aui1j1 < 0- Рассматривая уравнения (10)—(14) в точке минимума Au, имеем

(1 + Au)min > (1 + AU)min > ... > (1 + Auo)min. (16)

Из уравнения (10) выводим:

+ uici+ yxi + UX2yxiiK2 + u®i®2 (yx2 )г+1 + (1 + Au)yxi + yxi Уг+1 = 0, (17)

+ uX2X2 Ух 2 + (1 + Au)yx2 + У a; 2 У.7+1 = ° (18)

Аналогичные уравнения можно выписать для (11)—(14)- Умножим (17) на 4(yxi)3h1h2, а (18) на 4(yx2)3h1h2 и просуммируем по всем узлам сетки П1- Аналогично умножая уравнения типа (17) и (18) для уравнений (11)—(14) на соответствующие величины, суммируем по (i,j) £ П^. Затем, предварительно применив формулу суммирования по частям, складываем полученные неравенства с учетом условий (7)- После этого, применяя неравенство Гельдера, получим

zf < max |их4х,- |z + Mz1/4z3/4, (19)

Q

h

где

z = ||Auxi Ц4.П + |Aux2 ||4,П"

Лемма. Пусть

| Au| = |Uxixi + UX2X2 + UxsX3 | < M, Uxi |r = 0. Тогда справедливо неравенство

|D2u| = lUxiXj| < CiM 1n(C2 + C3M-1|VAu|L2P(nh)) + 2M,

где

3 / \ 1/2P

II VAu|L2P(Hh) = E E(AuXi)2phih2hH , p > 2. ¿=1 V Qh /

Данная лемма доказывается с помощью вспомогательной леммы из работы [7] и восполнением сеточной функции Au по П. Теперь, пользуясь леммой и е-неравенством Коши, из (19) выводим

zt < CiMln(C2 + C3M-1|VAü|L4(nh))z + 9z/4 + z/4.

Отсюда, рассуждая аналогично [4], имеем

|^Ди|и4(Пь) < Мехр(С4)/Сз, при этом на т ставится ограничение

т < (1 - а) {С1М [ехр(С5£) 1п(С2 + С3М-1г°) + +Св(ехр(С5^) - 1)/(ехр(С5Т) - 1) + 9М/4]}-1, 0 < а < 1. (20)

Замечание 1. Если М ^ 0 при £ ^ то, то как в работе [4] доказывается, что С5£ ^ 0, С4 ^ 0 т. е. ограничение на т (20) теряет силу. Тем самым доказана

Теорема 1. Если Ди° € ), VДu° € Ь4(Пн), то для решения задачи (8)-(14)

имеют место оценки

1 + Ди > 0, |Ди| < М, |^Ди||Мпй) < С < то.

5. Корректность задачи (8)—(14).

На основе теоремы 1 доказывается следующая

Теорема 2. 1). Если Ди° € Ьте(Пн), VДu° € Ь4(Пн), то схема (8)-(14) устойчива по

и°.

2). Если Ди° € Ьте(Пн), то схема (8)-(14) имеет единственное решение.

3). Решение задачи (1)-(2) есть предел функций {ин'т}, вычисляемых из соотношений

(8)-(14).

4). Если 1 + Ди° > т > 0, то решение задачи (8)-(14) стабилизируется при £ ^ то, т. е. Ди ^ 0 при £ ^ то.

Доказательство. Утверждение 2) теоремы 2 следует из алгоритма решения задачи

(8)-(14).

Для доказательства утверждения 1) положим • = у - у, где у — решение возмущенной задачи системы (8)-(14). Тогда для • из (10) получится уравнение

• + ий1 т^ + ий2т^ + (ий1 - иЙ1 )уЙ1 + (ий2 - иЙ2 )уЙ2 + (1 + у)г + ту = 0. (21)

Аналогичные уравнения составляются для системы (11)-(14). Умножим (21) и аналогичные уравнения типа (21) на 2и>Л, и просуммируем по всем узлам сетки Пн. Затем применяем формулу суммирования по частям и, учитывая теорему 1, применим разностный аналог леммы Гронуолла. Тогда получится оценка

М2 < С7||г°||2,

что указывает на устойчивость схемы (8)-(14). Перейдем к доказательству утверждения 3).

Определение 1. Обобщенным решением задачи (2)-(3) назовем функцию и(ж,£), удовлетворяющую интегральному тождеству

У Ди^ж^т + У (1 + Дu)VuVndжdn = J Ди^(1)^ж, (22)

Ят Ят п

где п — бесконечно дифференцируемая функция, такая, что пк=т = v\t=T+T = 0.

Введем кусочно-постоянные интерполяции по t и x для Дм и всех остальных функций

дп

[6]. Пусть n(x,t) G C1 (QT+T) и дх равно нулю на границе ST и при t G [T, T + т]. По-

dnTh

строим по ней функции п(к) = n(x,k), ?yTh(x,t), (Vn)Th, (nt)Th. Функции nTh, g . ' (nt)Th

дп дп

равномерно сходятся в Qt к п, т;— и —- соответственно. Умножим (10)—(14) на птЛ2 и

дX i д t

просуммируем по i, j, k. Тогда

Д мп*т h2 +

Дмп®1 Th2 + ^

Дмпх2 Th +

+ У Ux1 пх1 Th2 + ^ Mx2 пх2 Th2 = У Дмп(1)т^Л

Записывая данное равенство в интегральном виде и переходя к пределу при т, h ^ 0, получим (22). В частности, мы доказали разрешимость задачи (2)-(3) в обобщенном смысле (22).

Докажем, наконец, утверждение 4). Если (1 + Дм0) > m > 0, то из (16) следует неравенство 1 + Дм > m > 0. Поэтому из (15) имеем

||Д«||2Пд +(2n - 1)т||Дм||2П + ||Дм||2П < 0.

После некоторых преобразований получим

M = max \Дм\ < e-tln2 max \Дм0\,

i

т. е. M ^ 0 при t ^ то.

Замечание 2. Аналогично исследуется схема (6)-(9) для трехмерного случая. В заключение автор выражает благодарность проф. Смагулову Ш. С. за постановку задачи и внимание к работе.

Список литературы

[1] КАЖИХОВ А. В. Уравнение потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса: существование, единственность и стабилизация решений. Сиб. матем. журн., 34, №3, 1993, 70-80.

[2] Смагулов Ш. С. Математические вопросы приближенных методов для уравнений Навье—Стокса: Дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. Алма-Ата, 1987.

[3] РысвАЕв Б. Р. Метод конечных разностей для одномерных течений сжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса. Докл. АН РК. В печати

[4] РЫСВАЙУЛЫ Б. Метод Роте для уравнений потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. В печати.

[5] САМАРСКИЙ А. А. Теория разностных схем. Наука, М., 1977.

[6] ЛАДЫЖЕНСКАЯ О. А. Краевые задачи математической физики. Наука, М., 1973.

[7] Юдович В. И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Изд-во Рост. ун-та, Ростов-на-Дону, 1984.

Поступила в редакцию 3 марта 1998 г.