Метод функции Римана и разностный метод решения одной нелокальной краевой задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.635.4

МЕТОД ФУНКЦИИ РИМАНА И РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

© 2007 г. M.X. EernmoKoe

In this work with the help of Riman's method of functions the existence and the only ness of solution of non local boundary problem for the pseu-doparabolic equation of the third kind must be proved difference approximation of scheme of the second kind by the steps of net must be built. A priori appreciation for solution of difference tasks is obtained, there fore coincidence of scheme with the speed 0(/z2 + t2) in the net norm Wl.

Постановка задачи

В прямоугольной области Б = {(х,/): 0 < х < I, 0 < / < < Т} рассмотрим задачу с нелокальным условием

Ь(ы) =ихх+-д.(х,/)щ +п(х,0ихх +а(хЛ)их+Ъ(хЛ)и д(хД), (1)

t

П(0,/) = Д(0 и(/,0 + Iк(/,т)и(1,т)ёт , 0« - П(1,/)= 0

= в(0 и(/,0 - 0 < / < Г, и(х, 0) = и0(х), 0 < х < I, (2) где коэффициенты уравнения (1) и в условиях (2) удовлетворяют следующим условиям гладкости:

д(х,/), А(0, Ж), К/,/), Ь(х,/), ах(х,/),

dt(x,t), Пж(x,t) e с(d); u0(x) e C1[0,/j.

(3)

П(х,/) = их/ +п(х, /)их - полный поток, например, влаги через сечение в единицу времени.

Уравнение (1) возникает при описании движения влаги в почво-грунтах с учетом возникновения потоков влаги под действием градиента капиллярного движения [1].

Функция Римана. Первая начально-краевая задача

В [2] построен аналог функции Римана у=у(х,/; й, т) для уравнения (1) в области 0 = {(х,/):0<х< й, 0</< т }, с помощью которого получено представление

и(й,т) = и(0,т) ух(0,т&, т) - |(у(0, Г;£,т)их( (0, /) +

0

+ (п(0, t)v(0, t; 4, т) (0, t)+u(0,t) (vxt (0, t;4, т) --- (п(0, t)v(0, t;4,z))x + a(0, t)v(0, t;4,z))) dt - (4)

й

-1 ((х,0)у(х,0; й, т)и(х,0) - Ух (х,0;й, т)их (х,0))х + 0

тй . ч +1| у(х, й, Т)х, ()йх& . 00

Также построен аналог функции Римана w=w(x,t;a,т) для уравнения (1) в области О = {(х,/): а <х<1, 0<< т }, с помощью которого получено представление

т

и(а,т)=и(1,т) wx(l, т;а,г) -1(^((,/;а,т)ихЛ(I,/) + 0

+ п(1, /) а, т)их (I, /) +и(1,/) ((, /;а,т)-

-Хп(1, / ^(1, Ка,т))х + а(1, ^(1, а, т))) Ж + (5)

I

+ | ((х,0)^(х,0; а, т)(х,0) - wx (х,0; а, т)их (х,0))х +

а

т I , ч

+ || w(x, а, т)(х, /~)йхй/ .

0а

Из представлений (4) и (5), с учетом условий (2), получаем

т

и(1, т) = и(0, т)ух(0, т;1, т) - | К1(т, /)и(0, /-

0

т

- 1К 2 (т, /)и(1, № + п(г), (6)

0

т

и(0, т)=и(1, г)wx(/, Т;0, т)-1К3(т,/)и(1,+у2(г), (7) 0

где

К1(т,/)= ух1 (0, 1,т)-пх (0, / )у(0, I, т) -

-п(0, t )vx (0, t;/,т) + а(0, t)v(0, t;/,т);

г

К2(гД)=р1 (t)v(0, r,l, т)+ Jh(p,t)v(0,p;l,т)р , pe(0,t);

t

К3(т)= wxt ((, t;0, т) - nx (l, t )w(l, t;0, т)- n(l, t )wx ((, t;0, т) +a(l, t) w(l, t;0, т) - ß2 (t) w((, t;0, т);

l

Т1(т)= J(vx ((,0; l, т) 0( x) - d (x,0)v(x,0; (,т) 0( x))dx + 0

т(

+ J J v(x, t; l, т)(x, t)dxdt; 00

l

у2(т)= J (d(x,0)w(x,0;0, т) 0 (x) - wx (x,0;0, т) 0 (x))dx +

0

т(

Юк ={х,=/'к: /=0,1,...,Н Ык = /}, ют={^=]г.'=0,1,...,ш, тт = Т}.

На сетке & кт дифференциальной задаче (9) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации 0( к2 +тта ):

yt= X, (аУ( 0x,i + (y)xt,i + b, ai+1 Ух,/ + + b- ayN - diy(CT) + ^i, (x,t) e c x C,

«1X0У^о - 0,5hd0y^ - ßiу%> - Z тР4>уУ n

s=0

У -

( )

У,0=

0,5h

+}} Цх, /;0, т)х, г)йхйг -1 /;0, т)).

00 0 Подставляя (7) в (6), находим

т

и(1, т)[1-^х(/, т,0, т)ух(0, т,1, т)]+1К0(т,ф(/,=

0

=Т0(т), (8)

где К0(тО=К3(т, /)ух(0, г, I, т) + К2(т) + К1(т,/) ^х(/,

т

т,0, т)+1 К1(т, t)К3(т, /)Л ; 0

т

Г2(т) = Г1(т) + 12(т)ух(0, т I, т) - |К1(т,.

0

С помощью леммы, доказанной в [2], убеждаемся, что множитель при и(1, т) нигде не обращается в нуль.

Таким образом, находя из интегральных уравнений Вольтерра (7), (8) и(0, т )=Д т), и(1, т )= ср(т), задачу (1) - (2) редуцируем к первой начально-краевой задаче, однозначная разрешимость которой установлена в работе [2].

Итак, справедлива следующая Теорема 1. Пусть коэффициенты в уравнении (1) и в условиях (2) удовлетворяют условиям гладкости (4). Тогда задача (1) - (2) имеет единственное регулярное в области Б решение.

Построение разностной схемы. Устойчивость и сходимость

Разностную схему будем строить для следующей задачи:

ди д (, . . ди Л д д ( , ч ди Л ч ди

— = —I к(х, 0— 1+--1 п(х, 0— 1+ г(х, t)--

д1 дх ^ дх) дt дх ^ дх) дх

-д(х,t)и + /(х,t), 0< х < I, 0<<Т, (9)

С учетом условий (2),

■п, ч 1 , -.ди д ( _ ди Л где П(х,() = к(х, ^ — +—I п(х, t)— I.

дх дt ^ дх)

0< с0 < п(х, 0 < с1, к(х, 0 > с2 >0, | гц (х, t), кх (х, t), гх (х, t), г(х, 0, д(х, t)|< с3 , г(0,t) = г0 < 0, г(Ц) = > 0. (10)

Предположим, что коэффициенты в (2) и (9) имеют нужное по ходу изложения число производных.

Введем в замкнутой области Б равномерную сетку [3]: Юкт = юк X ®т={(хг,ф, хе Юк , tе ют},

(Yi yx,0)t +-:-+ ^0 , t e ют

yt,N

0,5h

- alXNy-xl - 0,5hdNyN) -ß2 у N )

0,5h

_ iyy-x)t,N +ц + 0,5hyN te y 0) = Mo(x) x ещ . 0,5h 0,5h ' ^ h

Обозначим через z = y - u, тогда для z получим задачу

Zf = A(t) z( ) + Sz + Y ,

z(x,0) = 0, (11)

где

~(f) z =

Az = ^ (az^CT)) x,; + b+ a;+iz + b_ aiz(xari) - dizf),x e №h,

«1X0zx;7^ - 0,5hd0z0ff) -eiz^5 - Z т^^

Л- z = -

0,5h

, x = 0,

Л+ z = ■

- aNXNzzN - 0,5hdNz<N) -ß2zNT)

0,5h

, x = l,

¿z

8~ z =

(Y1zx,0)t 0,5h

)t, N

о z = —

0,5h

x e&h,

x = 0, x = l,

Y" =

0,5h ,

Y+ =.^2

0,5h

x e ®h,

x = 0,

x = l,

X

X = 1 1 +

X = 1 +

0,5h | r | к

0,5hr0

-1

к

0,5

X+= 1 - °,5hrN

x e ®h,

x = 0, x = l,

к

N - 0,5

+

R=

0,5h | r | к

- разностное число Рейнольдса;

z(a) = az + (1 -a)z , z = zJ+1, z = z J, r =r++r

j+i

+ -r —r

r+ = 0,5(r + \r\ ) > 0, r-0,5(r - \r\ ) < 0, b ± = r±/, \y,u1,u2 = 0( h 2 + т2),

т = \ 2

s = 0, s = j

т, s = 1, j -1

2, a = 1 2

1, a, 1 2

z- = zi zi -1 z = zi+1 zi z =

x h ' x h ' t

zj+1 - zj

х, - 0,5 = х, - 0,5К, / = ^ +0,5 = / + 0,5 Т , ф--,/,) =

=д(х,-, /у ), <р (х,,/) = / (х,, /у ), а,- = ¿(х,- - 0,5, /у ), ^ = П х х (х,-_0 5,/у), т,К - шаги сетки.

Для схемы (11) не установлен принцип максимума, поэтому получить априорную оценку для решения в равномерной метрике не удается. Воспользуемся методом энергетических неравенств. Введем скалярное произведение и норму:

N N 2

[и,у] = 2 игУ, Й , || и] |0 = 2 и, Й =(и,и],

i=0

ih

где h = < 2

i=1

i = 0, i = N

h, i = 1, N -1

Умножим первое уравнение (11) скалярно на Z=

= z + z :

[ zt,Z ] = [ A(t)zia) ,Z ] + [Sz, Z ] + [ Y, Z ]. (12) Преобразуя суммы, входящие в тождество (12) при а =0,5 с учетом граничных условий, находим

[1, z2]+0,5(^, Z-2] = -(0z-)f, Z-] -0,5 (axXZ, Zx) + +0,5 (b+ ai+lZx i, Z) +0,5 (b-atZ~x i, Z) -0,5 [d,Z2] -

-0,5 в ZNZ0 + 0,5 P2ZN - 0,5 Z0 j TPJSZN + (Y ,Z) +

s=0

+ и Z0 + U zn (13)

Справедлива следующая [4]

Лемма. Для любой функции y(x), заданной на сетке ah, справедливо неравенство

max y 2( x) <e||yx ]|2 +f-+j 11| y ||2,

xeah Vs 1)

где s - произвольная положительная постоянная.

Оценивая каждое слагаемое тождества (13) с помощью s -неравенства Юнга и леммы, после несложных преобразований получаем

' ' 2 '

xJI 0 V xJI /t

2 (||z||2 )t + m1 || Zx j|2 +2 C0 (||zx j|2 )t < M1 II Z ||2 +

+Ы2||гх ] |2 + М з 2 (N ) + ^12 + ^22+^11^1|2, (14)

где Ш1, Мь М2, М3 - положительные постоянные, зависящие от входных данных задачи (19). Просуммируем (14) по у ' от 0 до у :

21| z j+1 ||2 + 2 С0 ||z^j|2 + m1 Z UZl']|2т<

x j'=0 x

<1 Z||^y"||2 т+ M1 Z|| Zj ||2 т + M2 Z ||zj j|2 т +

2 j'=0 j'=0 j=0 x

+M3 Z Z(znN)2Тт+ ZЦ? + U)т. (15)

j=0s=0 j=0

1 I,

Обозначим через F(tj) = — j||2т + 2 j'=0

+ jj Ui2 +U, тогда после некоторых преобразова-

j'=0

ний из (15) находим

m2 (|| zj+М|2 +||z^^+1j|2 ) + m1 ^ || Z- j|2r<

< M4т( || zj+1!!2 +1| zj-+1j|2)

j=0

ЧГ +

x

(||zJ'||2 +|| zj]|2)t Выбирая т < Т), T0 = Му2М , получим

+ M5 Z ||z +||z^ ]|ZT + F(tj). j'=1 x

zj +1||2 + || zl+1j|2

+M7 F (tj):

j

||^M|Z +||z^]|z <M6 z (||zj'||2 +|| ]|2)т + x j=1V x

(16)

где Ш1, М4, М5, М6, М7 - положительные постоянные.

Применяя к (16) лемму 4 из [5], получаем требуемую априорную оценку

j+1

+ ||^'+1]|2<М[ П^'и2^ 2(их2 .(17)

х 1у'=0 у=0 )

Из априорной оценки (17) следует следующая Теорема 2. Пусть выполнены условия (10) в классе достаточно гладких коэффициентов, тогда при малом т < т решение разностной задачи (11) сходится

к решению дифференциальной задачи (9) в сеточной

1 2 2 норме W2 со скоростью 0(К + т ).

В заключение выражаю искреннюю благодарность профессору М.Х. Шханукову-Лафишеву за внимание к работе.

Литература

1. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М., 1976.

2. Шхануков М. X. // Дифференциальные уравнения. 1982.

Т. 18. № 4. С. 689-699.

т

ma =

т

3. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1977. 5. Самарский А.А. // ЖВМ и МФ. 1963. Т. 3. № 2. С. 266-

4. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической 298.

физики. М., 1973.

Кабардино-Балкарский государственный университет_13 февраля 2007 г.